THÉORIE DES VARIATIONS DE Q
Supposons d'abord la terre exactement sphérique (fig. 264) ; soient PP' son axe, EE' Téquateur. Considérons un fil à plomb AB fixé au point A. Le point B décrit en réalité, autour de FF', avec une vitesse angulaire constante oj, une circonférence de rayon RcosX, R désignant le rayon de la terre et X la latitude de B.
11 en résulte que les forces qui agissent sur B doivent avoir une résultante F, perpendiculaire à FF' et ayant pour expression
F = m(i>2 R cos X.
Or le point B est sollicité par une force cp, dirigée vers le centre de la terre, représentant son attraction sur le point B, et qui serait le poids du corps si la terre était au repos; si donc on appelle y l'accélération qu'on observerait, la terre étant immobile, on a
ç = my.
Le point B est sollicité d'autre part par la tension T du fil; cette tension est égale et opposée au poids du corps ; si donc on appelle g l'intensité de la pesanteur telle que nous l'observons, on a
T = mg,
La projection d'une résultante est égale à la somme des projections des composantes. Appliquons ce théorème en projetant successivement sur le rayon BO et sur une perpendiculaire à ce rayon menée dans le plan méridien, et appelons A l'angle que le fil à plomb fait avec le rayon. 11 vient :
F cos X = 9 — T cos A, F sin X = T sin A,
OU, en remplaçant les forces par leurs valeurs,
g ces A = Y — w2R cos^X, p- sin A = a)2R sin X cos X.
En résolvant par rapport à g' et à A, on trouve
g = ^{y — 0)2 R cos2 X) 2 + w* R» sin2 X cos^ X,
et
A — <^^ R sin X cos A ^^ ^ ~ Y — o)^ R cos 2X*
La première expression permet de déterminer y, et, en portant
dans la seconde, on a la valeur de A. Si Ton calcule, pour Téquateur, la
valeur mw* R de la force F, on trouve qu'elle est égale à ^^ du poids
observé mg^ du corps, ou à hqq ^® ^ï» ^^ comme 289 est le carré de
17, on en conclut que, si la terre tournait environ 17 fois plus vite, les corps situés à Téquateur ne seraient plus retenus à sa surface. On en conclut également que (o*R' est négligeable vis-à-vis de (y — co*R cos'X)* dans la formule qui donne ^, on a donc
j7 = Y — 0)2 R cos2 X = (y — w^ R) + a>2 R sin2X,
ou, en remplaçant y par ^ g^ et oj*R par ^ g^,
Quant à la déviation, qui est de Tordre de FsinX, on peut la représenter simplement par la formule
. to^RsinXcosX 1 . «^
A = = g^gyy sin2X,
qui montre qu'elle est sensiblement proportionnelle au sinus du double de la latitude. Elle est nulle à Téquâteur et au pôle, et maximum à la latitude de 45^.
397. Mais la terre n'est pas exactement sphérique; elle est aplatie aux pôles, ce qui, indépendamment de tout mouvement de rotation, fait encore croître g avec la latitude. On trouve, en effet, par un calcul plus difficile que le précédent, qu'il y a lieu de multiplier la valeur
ffo (l + îk ^*"^^)
par le facteur
ce qui donne, en négligeant ^^^^ ^^^ sin*X,
.9 = ^0 (l + 7^3 sinsx).
Telles sont les considérations théoriques qui ont conduit à la formule empirique du n<* 393.
THEORIE DES VARIATIONS DE g 325
398. Variations de g en altitude. — Soit ^ raccélération de la pesanteur en un point situé à Taltitude z et, par conséquent, à une distance R -h z du centre de la terre, g^ Taccélération au niveau de la mer sur la même verticale. L'application de la loi de Newton donne
Le rapport ^ est toujours assez petit pour que son carré soit
négligeable, ce qui permet de transformer l'équation précédente en la suivante
Mais cette formule suppose le point d'observation isolé du globe terrestre, tandis qu'en réalité l'attraction du continent ou du massif montagneux sur lequel il se trouve compense dans une certaine mesure l'éloignement du centre du globe. Prenons, par exemple, les observations de Bouguer sous l'équateur :
i® A Para, au niveau de la mer, son pendule faisait 98 770 oscillations;
2** A Quito, à l'altitude de 2913 mètres, son pendule faisait 98 740 oscillations;
3° Au Pichincha, à l'altitude de 4500 mètres, son pendule faisait 98 720 oscillations. Si nous posons
on déduit pour K la valeur 1,43 des observations 1 et 3; 1,28 des observations 1 et 2; 1,66 des observations 2 et 3. Ce coefficient
dépend surtout de la masse spécifique des roches sous-jacentes, et,
dans les cas les plus fréquents, on peut le prendre égal à t.
En résumé, l'accélération g en un point situé à l'altitude z et sous la latitude X peut être représentée par l'expression suivante :
g = QSOjôaA — I ^^ (1 — 0,00259 cos 2X). 399. Variations de g h rintérienr de la terre. — Soit M (fig. 265)
un point situé à l'intérieur de la terre. Si l'on décrit une sphère concentrique passant par le point M, le noyau seul de la sphère exercera une action sur ce point, l'efifet produit par les couches extérieures étant nul d'après le n® 394. Dans le cas où ce noyau serait homogène, sa masse serait proportionnelle à son volume, ou
au cube de OM; son action étant d'ailleurs en raison inverse du carré de OM, la gravité varierait donc proportionnellement à la
distance au centre.
Mais la terre n'est pas homogène, sa masse spécifique augmente à mesure que l'on se rapproche du centre suivant une loi qui n'est pas connue, et l'on ne peut faire à cet égard que des conjectures. En admettant, ce qui doit être sensiblement vrai, que la terre est formée de couches concentriques homogènes, et que la diminution de la masse spécifique depuis le Fig. 265. centre est proportionnelle au carré de la
distance, M. Roche a trouvé, pour la gravité g' à la surface d'une sphère intérieure dont le rayon est une fraction a de celui de la terre,
g étant la gravité à la surface du sol.
On voit que la gravité augmente à partir de la surface jusqu'à une distance égale au sixième du rayon où elle atteint sa valeur maximum 1,068g'; elle décroît ensuite, reprend sa valeur primitive aune distance de la surface égale au tiers du rayon environ, puis diminue rapidement et à peu près proportionnellement à a jusqu'au centre où elle est nulle.
Les mines les plus profondes ne descendant guère au delà d'un kilomètre, il semble difficile de vérifier directement cette formule. Néanmoins, Airy ayant observé les oscillations de deux pendules placés l'un à la surface du sol, l'autre au fond dé la mine de Harton dans le Northumberland, à une profondeur de 384 mètres, a trouvé que le pendule placé au fond de la mine faisait, en 24 heures, 2 oscil-
lations ^ de plus que le pendule placé à la surface du sol, ce dernier
battant la seconde; la formule de M. Roche donne 2 oscillations 2 dixièmes.
400. Masse de la terre. — L'identité du poids d'un corps avec l'attraction universelle nous permet d'écrire (395)
,, Mm mg = K -|p-,
OU bien, en appelant f* la masse spécifique moyenne du globe terrestre,
g = ôwKRpi.
THEORIE DES VARIATIONS DE g 327
Toute méthode qui nous permettra de mesurer K nous permettra donc aussi de calculer |jl par cette équation. C'est donc en réalité un seul et même problème que la recherche de la constante de la gravitation universelle et celle de la masse spécifique de la terre.
Des méthodes très délicates ont permis de mesurer l'attraction qui s'exerce entre des corps de masse connue, et des expériences concordantes ont permis d'assigner à la masse spécifique moyenne du globe la valeur
Les divergences entre les nombres obtenus par divers expérimentateurs ne portent, en efifet, que sur le chiffre des centièmes.
Or la terre est en majeure partie recouverte d'eau dont la masse spécifique est 1, et les roches qui forment les continents ont des masses spécifiques comprises entre 2 et 3. L'intérieur du globe doit donc être formé de matières beaucoup plus lourdes et vraisemblablement métalliques. Dans l'hypothèse de M. Roche, la masse spécifique tx, à une distance du centre égale à une fraction a du rayon terrestre, est donnée par la formule
ix = 10,6 (i - i «2^.
C'est de cette formule qu'on a déduit la valeur de la gravité indiquée au numéro précédent.
