I. — PRINCIPES FONDAMENTAUX

401. Définition de la pression. — Considérons un liquide A (fîg. 2( en équilibre dans un vase, et une portion plane BG de la paroi de ce vase. La suppression de cette paroi BC entraînerait, en général, la destruction de l'équilibre du liquide. Cette paroi exerce donc une action sur le liquide et,, en vertu du principe de V action et de la réaction *, le liquide exerce sur la paroi une action égale et opposée.

{. Principe de l'action et de la réaction. — Toutes les fois qu*un phénomène de mouvement se produit dans la nature, eu tend à se produire, il y a quelque part un autre phénomène f inverse du précédent, gui se produit ou tend à se produire simultanément.

C'est-à-dire que l'efTort fictif qui serait capable, en l'absence d'une cause quelconque, de produire le premier mouvement, est égal et directement opposé à l'effort fictif qui serait capable de produire le second; en d'autres termes et d'une manière abrégée, si l'on désigne ces deux forces sous les noms d^action et de réaction :

Vaction est égale et contraire à la réaction.

Considérons, par exemple, deux corps en contact A et B, à l'état de repos ou de mouvement. Si A presse sur B, il tend à le mettre en mouvement ou à modifier son mouvement h cet instant; il agit donc sur lui avec une certaine force. Alors, d'après la loi actuelle, B doit presser sur A et tendre à le mettre cd mouvement ou à modifier son mouvement à cet instant, c'est-à-dire agir sur

Nous donnerons le nom de liquide parfait à tout liquide pour lequel cette action sur la paroi est normale à la paroi. Nous déduirons de cette hypothèse les propriétés des liquides parfaits et nous montrerons ensuite expérimentalement que les liquides réels, l'eau, Talcool, Téther, etc., possèdent effectivement ces propriétés.

On ne sait a priori comment l'action fdn liquide sur la paroi BC

Fig. 266. Fig. 267.

est répartie sur la surface s de cette paroi. Si elle était répartie

f uniformément, le quotient — représenterait la force par unité de

surface; quelle que soit la distribution de la force sur la surface s,

- sera, par définition, la pression moyenne du liquide sur la surface s.

Si Ton conçoit que Taire s de la paroi diminue indéfiniment dan& tous les sens autour d'un point M, la pression moyenne tend vers une certaine limite, que nous appellerons la pression au point M. Imaginons autour du point M un élément géométrique superficiel w; cet élément supporte une action élémentaire 9, et, en désignant la pression par jo, nous pouvons écrire indistinctement

La définition précédente s'étend à un point M pris sur une paroi courbe ; l'élément w appartient alors au plan tangent à la paroi au point considéré.

La même définition s'étend également à un point M (fig. 267)

lui avec une certaine force, et cette force doit être égale et directement opposée à la première. La force provenant de A et appliquée à B est Vaction de A sur B^ la force provenant de B et appliquée à A est la réaction de B sur A.

Au lieu de presser, les deux corps en contact pourraient tiret* l'un sur l'autre, la conclusion serait la même.

Considérons enfin, comme exemple d'action à distance, un aimant et un fer doux flottant sur des supports en liège, à la surface d'une eau tranquille. Supposons qu'après les avoir maintenus au repos à une certaine distance, on abandonne l'aimant en maintenant le fer doux. Du mouvement de l'aimant, on pourra conclure à chaque instant la valeur de la force qui le sollicite. Supposons, au contraire, qu'on maintienne l'aimant et qu'on abandonne le fer doux. D'après la loi actuelle, si l'on détermine à chaque instant la valeur de la force qui sollicite le fer doux, on devra trouver la môme que précédemment, quand les deux corps seront à la même distance, c'est-à-dire occuperont la même position relative.

pris à l'intérieur du liquide. Imaginons en effet une surface passant par le point M et co;isidérons les actions réciproques des deux masses liquides qu'elle sépare; ces actions s'exercent le long de la surface comme le long d'une paroi et donnent lieu aux mêmes définitions.

402. Bot de l'hydrostatique. — Le but principal de l'hydrostatique est de déterminer les relations qui existent entre les pressions aux divers points de la paroi ou de l'intérieur d'un liquide, et les forces qui agissent sur ce liquide; nous considérerons d'abord les liquides soumis uniquement à l'action de la pesanteur.

La théorie de l'équilibre des liquides pesants peut se déduire tout entière d'une remarque fort ancienne, qui est la suivante :

Si Von considère une portion quelconque d'un liquide parfait en équilibre^ les actions exercées par le liquide environnant sur les divers éléments de la surface qui limite cette masse liquide font équilibre au poids du liquide.

On peut déduire de là tous les principes de l'hydrostatique, en choisissant convenablement la forme de la masse liquide en équilibre.

403. Équilibre d'nn filet liquide. — Imaginons un filet cylindrique, c'est-à-dire un cylindre dont les dimensions transversales soient infiniment petites par rapport aux dimensions longitudinales, et supposons ce cylindre limité par deux plans inclinés d'une manière quelconque par rapport aux génératrices. Soient o>, o)' (fîg. 268) les deux bases du filet cylindrique; cp, cp' les actions qu'elles supportent de la part du liquide environnant, et q le poids du liquide renfermé à l'intérieur du filet.

Les actions exercées par le liquide environnant sur les bases 0), o/ et sur les divers éléments de la surface latérale du cylindre font équilibre au poids du liquide.

D'après un théorème de mécanique, la somme algébrique des ^. ^gg projections des forces de ce système

en équilibre sur une direction quelconque est nulle; or, si l'on prend pour direction celle des génératrices du cylindre, toutes les actions élémentaires relatives à la surface latérale du cylindre ont des projections nulles sur cette direction, la somme algébrique des projections des trois forces cp, 9', q sur cette direction est donc nulle. Par suite, si l'on appelle a, a', p les angles aigus formés par ces trois forces avec une direction parallèle aux génératrices du cylindre, on

a, en tenant compte de la direction des forces,

9 cos a — q cos p — ç' cos a' = 0.

Le volume du filet cylindrique est égal au volume d'un cylindre ayant pour base la section droite cr du lilet et pour hauteur la ligne qui joint les centres de gravité M, M' des deux bases, et qui est parallèle aux génératrices du cylindre. Si Ton désigne part? le poids de Tunité de volume du liquide supposé homogène.

D'ailleurs la section droite d du filet peut être considérée comme la projection de l'une ou de l'autre des bases w, w', et, d'après une propriété géométrique bien connue,

(T =r o) COS a, (j = 0)' COS a'.

Si Ton reporte dans la première équation les valeurs de q^ cosa, cosx', on obtient, après une réduction évidente,

"^ = ^ + / cos a. CI.

Or Zcos p est la différence de niveau des points M et M' ; en la désignant par z, on a

Cl) 0)

ou enfin, en posant î-= », ^, = »',

(I) P==p' + ZGT.

404. Conséquences. — Plusieurs conséquences se déduisent de cette relation :

1° La pression p est indépendante de la direction de l'élément w. Ainsi, la pression en un point pris à l'intérieur d'un liquide en équilibre est indépendante de la direction dans laquelle on la considère, ou de l'orientation de l'élément de surface auquel on la suppose appliquée.

2° La relation (1) peut alors s'énoncer de la manière suivante : La différence des pressions en deux points d'un liquide en équilibre est égale au produit du poids spécifique du liquide par la différence de niveau des deux points.

3<> La pression est la même en deux points d'un même plan horizontal.

4<* Si l'on appelle surface de niveau le lieu géométrique des points où la pression est la même, dans un liquide pesant en équilibre, les surfaces de niveau sont des plans horizontaux. En effet, pour deux

points d'une môme surface de niveau, on a par définition p = p'; donc, d'après la relation (1), la différence de niveau z des deux puials doit être nulle.

Ces diverses conséquences de la relation (1) peuvent s'énoncer de plusieurs autres manières. Supposons, par exemple, les deux éléments w, lo' égaux entre eux :

Od voit que la différence des actions supportées par deux éléments égaux menés h l'intérieur d'un liquide est égale au poids d'une colonne liquide ayant pour base l'un des éléments et pour hauteur la différence de niveau des deux éléments, et, par suite, deux éléments égaux pris sur un même plan horizontal supportent des actions égales.

403. La relation (1) peut s'étendre aisément au cas où la ligne MM', qui joint deux points quelconques, n'est pas située entièrement k l'intérieur du liquide, mais à la condition que ie liquide soit continu entre les deux points. Menons, en efifet (fig. 269), la ligne brisée M'M,MiM, tout entière contenue dans le liquide , désignons g- jgg.

par s„ :„ s, les différences de niveau de ses sommets successifs, par p',p„p„p les pressions en ces points, el appliquons la relation (1) ; nous aurons Pi = p' + s,'^.

n désignant par z la différence de niveau des points M et H', p — p' + zm, comme au n° 403. |