C'était de l'eau de savon additionnée de glycérine

qui représente une surface à courbures opposées, dite surface minima. En plongeant dans de l'eau de savon des équipages métalliques de diverses formes, on réalise différents cas particuliers de

surfaces minima.

458. Volume du liquide soulève. — Considérons la surface libre d'un liquide que nous supposerons soulevé au-dessus du plan P avec lequel cette surface se confond à une grande distance des parois. L'équation de cette surface (449) ne renferme pas la pression moléculaire K; on doit donc pouvoir établir ses propriétés en faisant abstraction de cette pression et ne tenant compte que de la tension superficielle A.

Cela posé, traçons sur la surface un contour quelconque AB (fig. 323) et considérons les conditions d'équilibre de la partie

ABA'B' de la couche superficielle limitée par ce contour. Le poids en est négligeable. Si p est la pression extérieure, la pression sur le plan P sera aussi p (à la pression moléculaire près), et la pression intérieure en un point M de la couche superficielle sera ~" P p — ZT3, Un élément cr de la face

Fig. 323. interne de cette couche sup-

porte donc une action (p — zcyjff, l'élément correspondant de la face externe une action pc, et ces deux actions se composent pour donner une résultante znc dirigée vers l'intérieur du liquide. Un élément de longueur / de la surface latérale AA'BB' supporte une action kl dirigée vers l'extérieur, et tangentiellement à la surface du liquide. Toutes ces actions se faisant équilibre, la somme algébrique de leurs projections verticales est nulle. Donc, en appelant i l'angle d'une des forces zxsa avec la verticale dirigée vers le bas, et a le supplément de l'angle d'une des forces kl avec la même direction,- on a

2 zrna cos i = S AZ ces a.

Mais c cos i représente la projection de l'élément or sur le plan P et zcjT cos i le poids du liquide contenu dans le cylindre projetant. Le premier membre représente donc le poids du liquide contenu dans le cylindre projetant le contour AB.

Supposons maintenant que la surface AB ait pour limites, d'une part une ligne tracée sur le plan de la surface libre, d'autre part, la ligne de contact de la surface libre avec une paroi. Supposons enfin cette paroi verticale; a sera l'angle de raccordement; et si L

CAPILLARITE 377

désigne la longueur de la ligne de raccordement, le second membre devient

AL cos (X.

Donc le poids du liquide soulevé le long d'une paroi verticale est égal au produit de la tension superficielle par la longueur de la ligne de contact et par le cosinus de l'angle de raccordement. Si ce dernier est obtus, l'expression donne, en valeur absolue, le poids du liquide qui manque entre la surface libre et le plan avec lequel elle se confondrait à une grande distance des parois.

459. Loi de Jnrln. — L'expression précédente conduit immédiatement à la loi de Jurin. Considérons en effet un tube vertical cylindrique à section circulaire de rayon r. Si h désigne la hauteur moyenne définie plus haut (436), le poids du liquide soulevé est 7:r*te; si donc on remarque que L=27r7', la relation précédente peut se mettre sous la forme

, 2A cos a 1 h = .

L'angle de raccordement a ayant une valeur constante, 0 en particulier pour un liquide qui mouille, la hauteur moyenne du liquide soulevé doit être inversement propontionnelle au diamètre du tube. Ce sont ces considérations qui ont conduit Laplace à introduire cette hauteur moyenne dans l'énoncé de la loi de Jurin, et à donner ainsi à celte loi un caractère de précision qu'elle n'avait pas à l'origine.

Dans le cas de tubes étroits, h se déduit avec une approximation suffisante de la hauteur expérimentale K (437), et sa mesure fournit le meilleur procédé de détermination de la tension superficielle.

Ed. Desains a cherché une meilleure approximation en assimilant le ménisque à un ellipsoïde de révolution, mais cette hypothèse ne peut encore convenir qu'à des tubes de diamètre assez faible.

La question a été résolue par Quet dans toute sa généralité et pour des tubes de diamètre quelconque. Il a déduit de l'intégration de la surface capillaire la relation qui existe entre la hauleur moyenne /i, la hauteur h^ du sommet du ménisque et le rayon du tube, et il a pu vérifier l'exactitude de la relation précédente pour des tubes dont le plus large n'avait pas moins de 27™™, 85 de diamètre.

Des raisonnements analogues s'appliquent au cas de deux lames parallèles verticales. Si rfest la distance qui sépare les deux lames, le poids du liquide soulevé sur une longueur égale à l'unité est dhxs\ la longueur de la ligne de contact est 2, et il vient

. 2A cos a 1

CI a

On retrouve cette loi, vérifiée expérimentalement, que Tascension est la même que dans un tube dont le rayon serait égal à la distance des lames (442).

m. — EXPERIENCES DIVERSES.

460. Principe d'Arcbimède. — Considérons un corps en partie plongé dans un liquide, et en équilibre sous Faction de son poids P, d'une force verticale R et des forces provenant du liquide; supposons, par exemple, que le liquide mouille le corps et s'élève le long

de sa paroi (fig. 324).

Traçons sur la surface du liquide, autour du corps el à une distance assez grandi' pour être sur la partie sensiblement plane de la surface, un contour AB. Ea menant le long de AB des Pi 32^ normales de longueur £.

formons la surface latérale AA'BB'. Enfin, fermons cette surface par la surface A'CDEB' qui laisse le plan de la surface libre à une distance e et la surface du corps, plongée au-dessous de ce plan, à une distance égale à l'épaisseur e' qu'a la couche superficielle au contact du corps.

Cela posé, considérons l'équilibre du système enveloppé par la surface AA'CDEB'BMA. Il est soumis à la force verticale R; son poids est P + p, si on appelle p le poids du liquide soulevé au-dessus du plan de la surface libre ; le poids des couches d'épaisseur e ou e' esl négligeable; la tension superficielle appliquée à la surface des normales n'a pas de composante verticale; enfin, un élément <j de la surface au contact du liquide sous-jacent supporte une action (K -h zr7)(T, z désignant la distance au plan de la surface libre; mais l'élément de volume correspondant de ou <re' est attiré par le liquide avec une force précisément égale à Kd et opposée à la première; il ne reste donc que la force zcror et il suffit de se reportera la démonstration du principe d'Archimède pour voir que la somme algébrique des projections verticales de toutes les forces analogues est égale et opposée au poids Q du liquide déplacé par le corps au-dessous du plan de la surface libre. L'équation d'équilibre est donc, en supposant la force R dirigée de bas en haut,

CAPILLARITE

Tout se passe donc comme si le corps était surchargé du liquide soulevé.

Si le corps présente au liquide une paroi verticale, comme le ferait, par exemple, un aréomètre, p est égal à ALcosx. Par conséquent, plus la tension superficielle est grande, plus l'aréomètre s'enfonce : en plaçant une trace d'éther ou d'huile près d'un aréomètre qui flotte sur l'eau, on le voit s'élever aussitôt, bien que le poids spécifique du liquide n'ait pas sensiblement changé.

Si le corps plongé est une lame extrêmement mince, Q est négligeable ou tout au moins facile à évaluer avec précision. En suspendant celle lame à l'exlrémité du fléau d'une balance et en l'immergeant dans un liquide qui la mouille (a = 0), on pourra connaître, par la différence des poids nécessaires pour l'équilibrer, la valeur de p ou de AL. Il ne restera plus qu'à mesurer L pour avoir la tension superficielle : c'est la méthode de A. Dupré.

Un raisonnement analogue au précédent montre que, dans le cas

Fig. 325.

Fig. 326.

d'une dépression (fig. 325), la poussée se trouve augmentée du poids du liquide déprimé.

461. Honvcments des liquides dans les tnbes coniques. — Considérons un tube légèrement conique (fig. 320) renfermant une petite colonne d'eau, et assez étroit pour qu'on puisse regarder les deux ménisques terminaux comme à peu près sphériques. Imaginons, suivant l'axe, un filet cylindrique de section d, limité par des bases situées très près des ménisques. Soient r et R les valeurs absolues des rayons de courbure de ces ménisques du côté le plus étroit et du côté le plus large. Si p désigne la pression extérieure, l'une des bases du filet supporte un eff'orl

l'autre un effort

ils ont une résultante 2A (- — -^^ jç qui pousse le liquide vers le

sommet du cône si Taxe du tube est horizontal.

Si Taxe du tube est incliné, le sommet en haut, le poids du filet liquide donne suivant Taxe une composante 2cj<r, z désignant la différence de niveau des deux extrémités, et il y a équilibre si Ton a

Si le tube est horizontal, et relie deux réservoirs contenant de l'air à des pressions différentes p et p', il y a équilibre si Ton a

Si l'on emploie du mercure au lieu d'eau, le rayon de courbure du ménisque est toujours plus petit du côté le plus étroit du tube, mais les termes en A sont de signe contraire à ceux du cas précédent et, dans un tube horizontal, le liquide doit s'éloigner spontanément du sommet du cône, ce que l'expérience vérifie.

462. Attraction on répnlslon des corps flottants. — Considérons,

en premier lieu, deux lames de verre verticales (fig. 327), suffisam-

Fig. 327.

Fig. 328.

ment voisines pour que le liquide puisse être soulevé dans leur intervalle plus haut qu'à l'extérieur. Soient a et a' deux points situés sur une même normale aux lames à un niveau compris entre les lignes de contact extérieure et intérieure du liquide avec la paroi. En a s'exerce extérieurement la pression atmosphérique/); en a' s'exerce intérieurement la pression hydrostatique /? — hxjs\ on peut d'ailleurs, comme dans les problèmes précédents, faire abstraction de la pression moléculaire, à la condition de considérer, en même temps que la lame, une couche superficielle adhérente. La

CAPILLARITE

pression extérieure remportant sur la pression intérieure, les lames doivent se rapprocher; ce que confirme l'expérience.

Si, au lieu de plonger d|ins Teau, les lames plongent dans le mercure (fîg. 328), un raisonnement analogue prouve qu'elles doivent aussi se rapprocher; ce que confirme également Texpérience.

Fig. 329.

463. Considérons, en second lieu, deux lames dont Tune soit mouillée et Tautre ne le soit pas par le liquide où elles plongent

Fig. 330.

Fig. 331.

(fig. 329). Lorsqu'on les rapproche Tune de l'autre à une petite distance, le liquide qui s'élevait ou qui s'abaissait primitivement d'une

même quantité sur les deux faces d'une même lame, comme l'indiquent les courbes ponctuées, prend entre elles une position intermédiaire. Soient cr, a' deux points situés sur une même normale

aux lames, le premier au contact de Tair, le second au contact du liquide. En a s'exerce intérieurement la pression atmosphérique; en a' s'exerce extérieurement la pression atmosphérique diminuée de hu, La pression intérieure étant supérieure à la pression extérieure, et un raisonnement analogue prouvant qu'il en est de même pour les points 6, h' de l'autre lame, les lames doivent s'écarter; ce que confirme Texpérience.

L'attraction de deux corps légers flottant sur un liquide qui les mouille (fig. 330), ou qui ne les mouille pas (fig. 331), et la répulsion de deux corps légers, flottant sur un liquide qui mouille Tunel qui ne mouille pas l'autre (fig. 332), sont évidemment des phénomènes de même nature que les précédents.