DEUZI£me PRINCIPE. — L'e/Tot d'une force est indépendant

FlG. 9C.

en grandeur cl en direclion que le point M ; ce dernier point est au repos par rapport au système A.

Faisons agir maintenant sur M une force constante en grandeur et en ilircclion, celle direction étant celle do la vitesse du système A. Le point M se mettra en mouvement par rapport à ce 5}'stème dans la direction do la force F, par conséquent, dans celle du mouvement primitir, et suivant le sens de la force, qui peut être le même que le sens du mouvement ou contraire à celui-ci.

Au bout d'une unité de temps, M aura acquis une certame vitesse relative, que nous désignerons par y, rfe façon que In vitesse abrolue de M sera ou bout de la première unité de temps a -{-y. Celle quantité y est positive, si, la Ibrce étant dans le sens du mouvement du système, la vitesse relative de M est de même sens que celui-ci, négative si, la force ayant un sens opposé, la vitesse relative de M est de sens conlraire à celle du système.

Si, au bout de celle première unité de temps, la force cessait d'agir sur M, ce point matériel continuerait à s'avancer d'un mouvement unlfoiine avec une vitesse absolue u -j- 7. Imaginons maintenant un second système B de points, animés tous de la vitesse a-|~7 ''""^ '^ même direction et le même sens que M; ce dernier point ne se déplacerait pas dans ce système.

Mais, si la force, au lieu de cesser au bout de la première unité de temps, continuait à agir pendant une seconde unité de temps en restnnt la même en grandeur et en direction, le point M, d'après le deuxième principe fondamental, acquéreruit au bout de cette deuxième unité de temps, dans le deuxième système B. la même vitesse relative y qu'au bout de la première unité de temps dans le premier système A. Sa vitesse absolue serait donc a-|-ï-|-7 ou a + ây.

Continuons lo même raisonnement ; remarquons que, si la force cessail d'agir au bout de la deuxième unilé de temps, M prendrait un mouvement uniforme avec la vitesse a-\-i^ ciue, si nous imaginons un troisième eyslème C, de points animés tous de la vitesse constante n + Sy dans la même direclion et le même sens que M, ce point ne se déplacerait pas dans ce

système. Mais si la force, au lieu de cesser d'agir nu bout de la deuxième unité de temps, continuait à agir pendant une troisième unité de temps, le point M, diaprés le même principe fondamental, acquérerait au bout de cette troisième unité de temps, dans le troisième système C, la même vitesse relative y qu'au bout de la première unité de temps dans le premier système A. Sa vitesse absolue serait donc a+Sy-f-ï ^^ ^ + ^ï» ^^ ainsi de suite.

On voit, en poursuivant ce raisonnement, que, si la force agit pendant t unités de temps, la vitesse acquise par M, sera fi-|- v/. Ce résultat subsistant, quelque petit que soit le temps pris ici pour unité, le mouvement est uniformément varié, puisque dans des intervalles de temps égaux la vitesse varie de quantités égales, quelque petits que soient les intervalles considérés.

Si la force agit dans le sens de la vitesse initiale du point M, le mouvement est uniformément accéléré, puisque l'accélération y est positive. Il est uniformément retardé, si la force agit en sens inverse de la vitesse initiale, puisque Taccélération y est alors négative.

Nous verrons, à propos de la pesanteur, comment Texpérience justifie cette conséquence si importante du deuxième principe de la Dynamique.

10. ACnON D'UNE FORCE CONSTANTE AGISSANT SUR UN MORILE AMIMÉ D'UNE VITESSE DE DIRECTION QUELCONQUE. — Quand une force constante en grandeur et en direction agit sur un point matériel, et que la vitesse initiale de ce mobile n'est plus dans la direction de la force, la trajectoire n'est plus une ligne droite. Le deuxième principe de la Dynamique permet de démontrer que cette trajectoire est une parabole.

Prenons deux axes de coordonnées rectangulaires OX et OY passant par le point de départ 0 du mobile (lig. 28), dans le plan déterminé par la direction de la force et de la vitesse initiale, OY étant parallèle à la direction de la force. Soit a l'angle que forme avec OX la direction OT de la vitesse initiale, et soit a sa valeur.

Si aucune force n'agissait sur le point matériel mobile, il décrirait d'un mouvement uniforme la ligne OT, et, au bout

d*un temps t après son départ de Torigine 0, on aurait la valeur at pour l'espace parcouru OL. Par conséquent, les coordonnées X et j/ du point seraient données par

X = at cos a

y r=zat sin a

Imaginons maintenant un système A, dont tous les points

seraient animés de y /T î la même vitesse que

le mobile en grandeur et en direction; celui-ci ne se déplacerait pas dans ce système. Mais, si le point matériel est soumis à une force F parallèle à OY, et flirijçé de Y vers O, il prendra un mouvement, relatif dans le système A, qui, en vertu du deuxième principe, sera le même que si le mobile était primitivement au repos, le système A restant immobile. Ce mouvement relatif sera donc uniformément accéléré, et, si y est son accélération, le mobile, au bout du temps /, aura, dans le système A, parcouru parallèlement à OY, et dans le sens de YO, un

espace égal à -^y^*-

Il résulte de là qut^ la véritable ordonnée du mobile au temps t est celle (a/ sin a) qu'il posséderait si aucune foire

n'amssait sur lui, diminuée de 3 y/'*. On a donc, pour les coor-

données réelles du point mobile :

Fie. ».

X =at cos a

y = a/ sin a — -y/*

Si Ton élimine le temps t entre ces deux égalités, on obtiendra entre x et y une relation, qui est Téquation de la trajectoire. Or r<;tto élimination donne :

y = x tang a — x*

2a^ cos^ a

On reconnaît là Téquation d*une parabole du second degré,

dont Taxe SQ est parallèle à OY et passe par le point

,, , . a^sin2x d abscisse .

Comme le poids d'un corps est uno force verticale ei constante en grandeur, l'équation (2) représentée trajectoire d'nn projectile qtii serait lancé dans le vide avec une vitesse de valeur a faisant un anjrlo a avec l'horizon. Malgré la présence de Tair, la trajectoire d'un obus lancé par une bouche à feu ne s'éloigne pas beaucoup d'être une parabole (,).

(1) Le point P où la parabole coupe de nouveau l'axe OX a pour abscisse

o'sinSa

. Pour de mêmes valeurs de a el de y, celle quantité devient maxi-

mum pour sin2a = l ou « = —- C'est donc sous l'angle de 45* qu*il faut

braquer une pièce à feu pour qu'elle porte le plus loin possible.

^> l'on considère dans l'égalité (â) l'angle « comme variable et qu'on cherche le lien des intersections successives des paraboles pour lesquelles ^ ^l T conservent la même valeur, on trouve pour ce lien une aitre para- '^lâ du second degré ayant OY pour axe el 0 pour foyer; son équation est

en effet •

11. ACCÉLÉRATION PRODUITE PAR UNE FORCE QUELCONQUE. — Une force F variable en grandeur ou en direction, agissant sur un point matériel animé d'une vitesse quelconque, donne lieu, à chaque instant, à une accélération qui est la même que celle que produirait, en agissant sur le même corps parlant de Télat de repos, une force qui aurait constamment Tintensité, la direction et le sens de la force F à l'instant considéré. C'est ce que le deuxième principe de la Dynamique permet de démontrer. Considérons, pour cela, un point matériel M possédant au

temps t une vitesse absolue CH (ftg. 30) quelconque, du reste. Imaginons un système A dont tous les points seraient animés de vitesses égales et parallèles à CH; si, à partir du temps t aucune force n'agissait sur le mobile M, il resterait au repos par rapport au système A. Mais supposons qu*à partir du temps / une force CL agisse sur le mobile et soit constante en grandeur et en direction pendant le temps A^ En vertu du deuxième principe, le mobile M prendra dans le système A le même mouvement que si M était primitivement au repos, le système A restant immobile ; c'est-à-dire qu'il prendra dans le système A pendant le temps M un mouvement relatif rectiligne et uniformément accéléré, caractérisé par une certaine accélération y> dont la valeur ne dépend que de la gran-

FiG. 30.

Toules les Irajecioircs paraboliques do mobiles lancés avec la vilesse ini« tialc a, soDl laogenles intérieurement à cette parabole (Hg. £9), par conséquent, quel que soit l'angle a sous lequel on braque une pièce do canon lan- <;ant un projectile avec la vitesse a, les points qui sont situés en dehors de cette parubole ne pourront pas Ctre atteints ; aussi les artilleurs doniient-iU a cette courbe le nom de parabole de sûreté.

deur de la force et de la nature du mobile. Au bout du temps A^ le mobile aura donc acquis par rapport au système A une vitesse relative CK, dans la direction de la force CL, et égale à yM. La vitesse absolue du mobile au temps t-^^t s'obtiendra, par conséquent, en composant suivant la règle du parallélogramme, la vitesse absolue CH acquise au temps / avec la vitesse relative CK.

On voit par là que la variation de vitesse du mobile pendant le temps A/ est précisément CK. Par conséquent, la direction de raccélération moyenne pendant le temps At est la direction CK de

la force CL, et la valeur de Taccélération moyenne est - — ou y-

Ceci, subsistant quelque petit que soit Tintervalle de temps considéré A^ reste encore vrai quand cet intervalle devient nul. L'accélérjlion moyenne devenant alors Taccélération totale, celle-ci possède la direction et le sens de la force qui agit sur le mobile, et sa valeur est y.

Faisons remarquer, enfin, que nous n'avons supposé la force F constante en grandeur et en direction que pendant le temps A(, et, comme ce temps peut être nul sans que ce que nous venons d'établir cesse d'être exact, l'accélération produite est la même, que la force F soit constante ou variable en grandeur ou en direction.

12. TROISIÉMB PRINCIPE. — L'effet produit par une force agis- Mnt sur un point matériel est indépendant de f effet des autres forces agissant sur ce point.

Cet énoncé, comme celui du principe précédent, a besoin d'une explication pour être bien compris.

Supposons qu'un point matériel M soit soumis à l'action de plusieurs forces et que, sous l'influence de celles-ci, il soit animé d'un certain mouvement. Imaginons un système A de points animés de vitesses constamment égales en grandeur el en direction à celle du point M (qui peut varier en grandeur 6l en direction, bien entendu). Le système A est animé d'un mouvement de translation, et lo pointMestau repos dans ce système, faisons agir maintenant sur M, et sur lui seulement, une nouvelle force F. Le principe dit que le mouvement que prend le

point M dans le système A, sous l'influence de la nouvelle lorce F y est absolument indépendant du mouvement de ce s^'slènie^ par consé(iuent, de lelTet des autres forces a^jrissant sur le point M. En particulier, le mouvement que prend M dans le système A est le même que si aucune autre force n^a^^issait sur M, celui-ci étant primitivenieni immobile, et tous les points du système A restant nu repos.

Sans être impossible, la démonstration expérimentale directe de ce princi[)e se heurterait à de très grandes difiicultés; aussi n'a-t-elle jamais été faite. On admet le principe parce que ses conséquences sont vérillées par rexpériciice.

13. PROPORTIONNALITÉ DES FORGES AUX ACCÉLÉRATIONS. — Nous avons vu qu'une force en a^^issant sur un mobile lui communique unecertainenccéléiation. La valeur de cette aciélération dépend de la valeur de la force; or, le troisième principe de la Dynamique permet de démontrer que, si plusieui*s forces a^rissent successivement sur un même point maléricl, elles produisent des accélérations dont les valeurs y, y', y".., sont proportionnelles à celles des forces F,F',F"...; c'est-à-dire qu'on a:

Pour démontrer ce théorème, supposons qu'un point matériel M fasse partie d'un système de points A au repos. Faisons agir sur M, et sur lui seulement, une force 9 constante en grandeur et en direction. Le point M prendra dans le système A un mouvement uniformément accéléré; soit a Taccéléralion de ce mouvement. Supposons un second système B de points possédant à chaipie instant des vitesses égales et parallèles à celle de M, c'est-à-dire animés par rapport au premier système d'un mouvement uniformément accéléré avec une accélération a. Le point matériel M, soumis à la force cp, sera aun^pos dnns ce nouveau système B. Faisons agir maintenant sur ce point M une seconde force ayant inéme valeur 9, même direction et même sens que la première; le troisième principe nous dit que

M prendra dans le système B exactement le même mouvement que celui qu'il possédait dans le système A quand une seule force 9 agissait sur lui. C'est-à-dire que M prendra, par rapport au deuxième système de points, un mouvement rectiligne uniformément accéléré dont Taccélération est encore a. Le mobile M sur lequel agit maintenant une force 2^ est donc animé, par rapportau premier système A, d*un mouvement rectiligne uniformément accéléré ayant une accélération a -|-* ou 2a. Continuons encore le même raisonnement; supposons un troisième système G de points ayant constamment des vitesses égales et parallèles à celles du point M soumis à la force 2^, c'est-à-dire possédant Taccélération 2ï, par rapport au premier système A : le corps M est en repos dans ce troisième système. Faisons agir maintenant sur M une troisième force de môme valeur ç de même direction et de même sens que les précédentes. Le mouvement que M prendra dans ce troisième système C sera exactement le même, d*après le troisième principe, que celui qu'il possédait dans le premier système, quand il était soumis à une seule force de valeur 9 ; cVsl-à-dire qu'il prendra un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec la même accélération a. Le mobile M soumis à la force dçp aura donc un mouvement rectiligne uniformément accéléré avec une accélération 2ï-J~* ou 3x par rapport au premier système A; et ainsi de suite. On voit, en poursuivant ce raisonnement, que, si Ton applique au point mobile M une force de valeurnç, Taccélération deviendra 11%.

Supposons maintenant que le point matériel M soit soumis successivement à Taction de deux forces F et F' constantes en grandeur et en direction dont les valeurs soient recpectivement «9 et n'9; les accélérations y et 7' des deux mouvements seront respectivement égales à na et n'a. On a donc :

d*où.

F — rtf^

y — fia

et, par conséquent :

La démonstration que nous venons de donner suppose qu'entre les valeurs F et F des deux forces, il existe une commune mesure; comme cette démonstration subsiste, quelque petite que soit cette commune mesure, il faut en conclure que le résultat est encore vrai quand les deux forces F el F' sont incommensurables (*).

(1) Soienl F et F' deux forces incommensurables, y et y' les accélérations qu'elles produisent en agissant sur un même mobile. Divisons la valeur F de la première force en n parties égales à 9. Soit n' le plus grand nombre entier contenu dans le quotient de F' par 9 ; on a alors :

F = «9 «'9<F'<(ii'+l)9

soit a raccélcralion produite par la force 9 agissant sur le mobile considéré ; on a :

V = nx n'a<-r'< (n'+l) a

écrivons ces égalités ainsi

iF = ii9 i ii'9< F' <(!!'+ 1)9

/ y = nz i (n'+l)a>-r'>n'a

on en tire, en divisant membre à membre :

en remplaçant dans la double inégalilé - par - , et, en remarquant que

= 1 - -TTT «l -T^ = 1 + -, , il vient:

«'-f-t it'-i-l n ' n'

Cette double inégalité subsiste, quelque petite que soit la force 9 et, par conséquent, quelque grands que soient les nombres » et n' ; elle aubtiate

Nous avons démontré le théorème dans le cas de forces constantes en grandeur et en direction agissant sur un point matériel primitivement au repos. Mais nous avons vu (§ 11) que raccéiération produite par une force agissant sur un point matériel déterminé est la même, que le point soit primitivement au repos ou qu'il soit animé d'une vitesse quelconque, que la force conserve la grandeur et la direction qu'elle possède au moment considéré ou qu'elle soit variable. Le théorème de la proportionnalité des forces aux accélérations est donc tout à fait général et s'applique aussi bien dans le cas de forces variables que dans celui de forces constantes.

Nous verrons plus loin (T. !•', L. II, Chap. II, § 6, p. 76,) comment à l'aide de la machine d'Atwood ou peut vérifier directement cette conséquence immédiate du troisième principe ; or, ici la vérification expérimentale est indispensable, puisque celle du principe lui-même n'a pas été faite.

14. REMARQUE SUR LES LOIS PRËGËDENTES. — Dans l'exposé (les trois premiers principes, nous avons toujours envisagé , pour plus de simplicité, un corps de dimensions négligeables, lin point matériel. Ces trois principes sont encore applicables dans le cas d'un corps de dimensions quelconques, pourvu que son mouvement reste toujours un mouvement de translation; c'est-à-dire que les vitesses et, par conséquent, les accélérations de ses divers points soient toujours les mômes à un même moment (^). Sous cette réserve, toutes les consé(|uences que nous avons déduites de ces principes sont applicables à un corps de dimensions quelconques, la trajectoire, la vitesse et l'accélération

donc encore quand n' tend vers nnÛni. Or, les deux quantités entre lesquelles

-7 se trouve constamment compris tendant alors toutes les deux vers la

F mcme limite — » il faut qu'on ait

(1) Nous verrons plus loin (J 41) les conditions que doivent réaliser les forces appliquées à un corps pour qu'il en soit ainsi.

du mobile étant la trajectoire, la vitesse et Taccélération d'un de ses points. Il n'y a qu*à jeter un coup d'œil sur les raisonnements des paragraphes précédents pour s'en convaincre.

Dans ce qui va suivre, toutes les fois que nous parlerons de trajectoire, de vitesse ou d'accélération d'un corps, il sera entendu que le corps est de dimensions négligeables ou qu'il est animé d'un mouvement de translation. Sans cela, il est évident que ces expressions n'ont aucun sens précis.

15. MASSE. — Nous venons de voir qu'il existe un rapport constant entre les valeurs F,F',F,"..., des forces qui agisseni successivement sur un même corps et les valeurs y, y,' y"..., des accélérations qu'elles produisent. Désignons par m sa valeur :

Ce rapport m de la force à l'accélération qu'elle produit dépend essentiellement du mobile sur lequel agit U force et, pouvant différer d'un mobile à un autre, il caractérise celui-ci au point de vue mécanique; on lui a donné le nom de masse du corps. D'après sa définition même, la masse d'un corps est une quantité absolument invariable quelles que soient les circonstances où le corps se trouve placé. La masse ne peut varier que si le corps perd ou gagne de la matière, c'est-à-dire ne reste plus le même.

Quoiqu'une définition n'ait pas besoin de justification, comme le mot masse est employé dans le langage ordinaire, il est bon de montrer que la déOnition précise que nous lui donnons ici concorde bien avec le sens un peu vague qu'on y attache habituellement : c'est ce (|ui résulte de la propriété que nous allons établir.

Supposons un corps de massj M, primitivement au repos, et divisé en n parties de même masse m. Appliquons à ^chacune d'elles, suivant la même direction, dans le même sens, une même force /'constante en grandeur et en direction. Comme toutes les parties du corps ont même masse, elles prendront, d'après la relation (1), la même accélération y, et, par consé-

quent, le môme mouvement. Or, la force totale agicsant sur le corps tout entier est nf. On a donc, d'après la définition de la masse :

(2) M = -=n-^=nm

Par conséquent, la masse dun corps est égale à la somme des masses des parties qui le composent.

En particulier, quand un corps homogène contient nfois plus de matière qu'un autre de même nature, sa ma^se est n fois plus grande. En d'autres termes : pour des corps homogènes de même nature^ la masse est proportionnelle à tn quantité de maticre qu'ils contiennent. Ce qui concorde bien avec le sens voilgaire du mot masse.

Si F est la valeur de la force qui agit sur un corps de masse m, et Y Taccëlération du mouvement qui en résulte, on a, par définition :

T d'où :

(3) F = my

Une force est égale au produit ne la masse du corps sur lequel elle agit, par T accélération qu*elle produit.

Supposons qu'une force de valeur F, agisse successivement sur deux corps de masses différentes m et m' ; les accélérations Y et v' des mouvements correspondants n*orit pas la même valeur et, d*après (3), on a :

F == wiY = wi'y' d'où :

Y m Les accé érations produites par une même force agissant

60 œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER

sur deux corps diûcreais sont en raisoa inverse ae leurs nuÊSses.

Ainsi y supposons qu*ua petit grain de plomb et une balle de plomb soient, pendant un même temps très court, soumis à faction d'une même force constante, par exemple, à l'action d*un ressort qui se détend, mais dnns une très petite portion de la détente, pour que la force soit constante. Ces deux corps prendront un mouvement uniform? dès que la force aura cessé d*agir. Or, les vitesses des deux mouvements doivent être très différentes : celle de la balle de plomb doit être bien plus petite que celle du grain de plomb, puisque ces vitesses sont celles du mouvement varié au moment où la force a cessé d'agir, et que. si nous prenons le temps pendant lequel la force a agi comme unité de temps, ces vitesses, acquises dans l'unité de temps, sont précisément les accélérations. L'expérience confirme pleinement cette déduction en montrant que la vitesse acquise est bien moindre pour la balle de plomb, qui a une grande masse, que pour le grain de plomb, qui en a une petite.

16. EiSULTANTE DE PLUSIEURS FORCES. — On appelle résultante de deux ou de plusieurs forces, une force unique qui, a elle seule, produirait le même effet que l'ensemble des autres forces, appelées composantes. Déterminer l<i résultante de plusieurs forces s'appelle composer ces forces.

L'eflet de plusieurs forces appliquées à un même corps ne peut pas toujours être produit par une force unique ; nous allons examiner quelles sont les conditions nécessaires pour que plusieurs forces aient une résultante et chercher quelle est la valeur et la direction de celle-ci.

17. GOMPOSmOH DE DEUX FORGES ATAIIT MÊME POIHT D'APPU- CATIOH. — Quand deux forces ont même point d'application, elles peuvent être remplacées par une résultante. Celle-ci s'obtient en composant les deux forces suivant la règle du parallélogramme, comme deux vitesses :

On construit sur les deux forces représentées graphiquement

par MA et MB (fig. 31), un parallélogramme MACB. La dia-

^€>nale MG de ce parallélogramme

r'^jsrésente ea grandeur et en direcl£€>n la résultante des deux forces tf ^ et MB.

Celte règle résulte de celle qui a éi^ donnée pour la composition des ao:43élérationb et de Tapplication du lr*oisième principe de la Dynamique 0).

Cn peut, du reste, comme dans le c^s de la composition des vitesses, si jTHiplifier un peu la construction graphique nécessaire pour ob-

< 1) Pour démontrer ce Ihéorème, supposons qu'un point matériel M, de

s, fasse partie d'un système P de points animés d'un mouvement de

Kjslalion quelconque. Faisons agir sur M une force F que nous supposons

slante en grandeur et en direction. Ce point matériel prend, par rap-

t un système P, un mouvement relatif rectitigne , dans la direction de F

uniformément accéléré sans vitesse ioiliale.

ccélération f de ce mouvement est donnée par

F T == — ; représentons-la par Ma (flg. 32). Suppo-

*c^Kfe8 maintenant un second système Q de points '■^iinés de vitesses constamment égales et parailffl«^s à celle de M soumis à l'action de F; si M ^^^tait pas soumis à une nouvelle force, il resterait, au repos dans ce système. Mais si, au mo- °^^nt m£me où F a commencé d'agir, une seconde forcée F', constante en grandeur et en direction, *^it aus^i sur M, cette force communique à ce point par rapport au système Q un mouvement '^l-aiif, qui est recliligne suivant la direction de ^' et uniformément accéléré. L'accélération 7' 'de

F' mouvement est donnée par ^' = — ; rcpréscn-

in

^ns-It par Mb.

Dès lors, d'après ce que nous avons vu (CinéfAatiqae, { 16} sur la composition des accélérations de deux mouvements uniformément accélérés sans vitesses initiales, le ntouvement de M dans le système P est aussi un mouvement recliligne unifonoément accéléré sans vitesse initiale et ayant pour accélération en gran-

Fie. 39.

tenir la résultante : par rextrémité A de la droite MA (fig. 33 ►

représentant la force F, menons une droite AG, égale et parallèle a l'autre force F\ représentée par MB, et joignons MC.

Cette droite est évidemment la diagonale du parallélogramme MACB construit sur les deux forces, et, par conséquent, représente la résultante do ces forces.

FiO. 33.

Heur et eo direction la diagonale Me du paralle'lo gramme Macb construit sur Ma et Mb. On voit, par là, qu'une force unique H dirigée suivant cette diagonale et ayant pour valeur m X Me produirait exactement le même effet. Telle est donc la résultante des deux forces F et F'. Pour obtenir cette résultante, portons dans la direction M» une longueur MA égaie à m X Ma, dans la direction Mh une longueur MB égale à m XMBel dan< la direction Me une longueur MC égale m X Me. Les droites MA. MB, MC représentent graphiquement les deux composantes F et F' et leur résultante R. Joignons les points A et C ainsi que les points C el B. Len triangles Mac et MAC sont semblables comme ayant mémo angle compris ontre cùléi^