COMPOSITION DE PLUSIEURS FORCES ATANT MÊME POIHT

D'APPLICATION. — La règle donnée pour composer deux forces nous fait voir qu*on peut composer un nombre quelconque de forces ayant même point d*applicalion.

Soit, en effet, F, F, F",...

plusieurs forces ayant toutes m(>me point d'application M. Menons par ce point H (tlg. 34) une droite MA, représentant la première force F; par son exlré-

peut, eo toas cas, considérer comme un poinl malériel la petite portion de matière qui est le point d'application de ces forces, ce point matériel ôUnt par d'autres forces maintenu au repos par rapport aux autres points du solide : le tht>orënic subsiste donc encore dans ce cas.

La règle du parallélogramme pour composer deux forces, ayant même point d'application, est dune tout à fait générale.

(1) l\ est clair que les mêmes relations sont applicables dans le cas de la composition des vitesses ou des accélérations.

mité A menons une droite AB, éprale et parallèle à la droite représentative de la seconde force F' et de même sens qu'elle ; par son extrémité B, menons une droite BG égale et parallèle à la droite qui représente la troisième force F", et ainsi de suite. Soit D Textrémité de la droite, qui représente ninsi la grandeur et la direction de la dernière des forces qu'on a à composer : la droite MD, qui Joint Texlrémité D de la ligne polygonale ainsi formée au point d'application M, représente en grandeur et en direction la résultante de toutes les forces. Telle est la règle du polygone des forces.

Pour démontrer cette règle, joignons MB, MC, etc. D'après ce que nous avons vu à la fin du paragraphe précédent, MB représcnîe la résultante R de F et de F' et, par conséquent, peut remplacer l'ensemble de ces deux forces; de même MC, représentant la résultante R' de R et de F", peut remplacer le système des trois premières forces F. F' et F", et ainsi de suite : MD représente, en grandeur et en direction, la résultante de toutes les forces.

Considérons le cas particulier de trois forces Aa*, \}\ \z (flg. 35) appliquées en un même point ; composons d*abord kz

et ky suivant la règle du parallélogramme, et soit AA leur résultante ; composons ensuite kb et Aa' suivant la règle du triangle pour avoir la résultante flnale Aa. Comme- on serait arrivé au même résultat en composant d'abord kx et Ax en une résultante kc et ensuite kc et A^', ou encore en composant d'abord Av et Aat en une résultante kd et ensuite Arf et Az, on voit, d'après la figure qu'il faut faire pour obtenir par ces trois

FiG. 35.

manières la rt^stilUnlG Aa des trois forces, que celle-ci est la liia^Dnle rlu [larallélipipède Axdybzcit ayaiilpour côtés adjacents Il's trois forclos composâmes A.i-, A rel Az.

19. DËCDHPOSITtOH D'UNE FORCE. — On peut remplacer une force R p^ii- un système de deux forces F et F', ayant même point d'applicatioQ que R el formant les deux côtés d'un parallélogramme dont R est la diagonale ; le système des forces F et F" produira lo même effet rgue la force H, puisque R est la résultanie des forces F el F'. On voit par là qu'on peul, d'une infinilé lie manières, décomposi^r une force en deux composantes.

On peul se fixer à l'avance la direction des deux composantes ; ailorâ la grandeur de celles-ci se délermine par la construction «JH parallélourammo dont R est la diagonale et dont les côtés adjacenlsont les directions donntSes.

On peul se fixer les grandeurs F et F' des composantes; on ^ alors à construire un triangle MAC dont R, F et F' -sont les Crois cotés (flg. 33); MA et AC sont les directions des deux <^^ompo gantes.

Enfin, on peut se donner à l'avance la grandeur et la direction d 'uae (les composantes F. Il suflit d'achever la construction du Cr-ioiigle MAC, dont deux côtés, MG et MA, sont donnés pour *»"^*oir, par le troisième côté AG, la deuxième composante en granct *Tur et en direction.

Ohaque compos.inle po'ivant se décomposer à son tour, il y a '■««* infinité de façons de décomposer une force en plusieurs Co m posantes .

I 20 CONDITIONS D'ËQUILIBRC DE PLUSIEURS FORCES AYANT MÈNE ^OiiïT D'APPLICATION. — Pour que plusieurs forces, iiyaut même point d'application, se fiissenl équililire, il faut el il suIUt évidemment que leur résultante soit nulle.

Si nous nous reportons à la ligure Si du g 18, il faul que l exLrémilé D de la dernière force coïncifie avec le commencement M de la première; c'est-k-dire que la ligne polyj^onale *^nstruiie en disposant bout à bout les droites représentant les toTces en grandeur et en direction soit fermée.

Quand les forces sont au nombre de deux seulement, il résulte

de là qu'elles ne peuvent se faire équilibre que si elles ont même direction, sont de sens inverse et égales entre elles. Quand elles sont en plus grand nombre, il faut et il suffit que Tune d'elles soit égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres (*).

Si. FROJBCnOH D'UNE FORCE SUR UH PLAH. — Si des deux extrémités A et fi de la droite représentative d'une force (flg. 37), on abaisse des perpendiculaires AA' et aà sur un plan F, la force qui est représentée par la droite A' fi', et qui a pour point d'application la projection A' du point d'application A de la force Afi, est appelée ia projection de la force \a sur le plan F (plan de projection) \ \a est appelée la force projetante.

(1) Considérons, en particulier, le cas de trois forces MA, MB, MC flg. 96). Pour que Téquilibre existe il faut et il suffit que l'une, MC. soit

égale et diamétralement opposée à la diagonale du parallélogramme MBDA ayant les deux autres forces comme côtés. Les trois forces doivent donc être dans un même plan ; en outre on doit avoir MC = MD et, pour les angles : CMB = 180*— DMB; FiG. 36. d'où, par conséquent :

CMA=180»— MDB Or, le triangle MBD donne la relation :

BD MB MD

sinBMD siuMDB sinMBD

et comme, outre les relations indiquées plus haut, on a: MBD=: ISO* — AMB, il vient, en remplaçant :

MA MB MC

sinBMC sinCMA sinAMB

Il faut ainsi, pour l'équilibre, que la valeur de chaque force soit proportionnelle au sinus de l'angle formé par les deux autres forces.

Fie. 37.

Menons dans le plan projetant AaX'a' une parallèle ÂZ au plan P et, par conséquent à A' a' ; soit a^ le point où elle coupe aa\ Désignons par a la valeur de Tangle aigu que forme Aa avec AZ ; c'est, par défînilion, Tangle de la force Aa avec le plan P.

Dans le triangle aAa|, on a : Aa| = Aa cos a. Or, Aaj est égal à A'a\ puisque le quadrilatère Aa^a!\' ayant ses côtés ppposés parallèles est un parallélogramme ; on a donc, en appelant F et P les valeurs de la force Aa et de sa projection A'a', la ^ relation :

F'=Fcosa

On voit, par là, que des forces parallèles entre elles ont des projections qui sont parallèles entre elles, cl dont les valeurs sont respectivement proportionnelles à celles des forces projetantes: deux forces égales et parallèles ont dos projections égales et parallèles.

Si Ton décompose la force Aa en une force perpendiculaire au plan P et en une force parallèle a ce plan, le triangle de décomposition est précisément le triangle Aaa| : la composante \a^ parallèle au plan a même direction, même sons et même valeur que la projection A' a' de Aa.

On démontre aisément que la projection de la résiiUânte de doux forces ayant même point d'application est la résultante de la projection des deux forces (fig. 38) (*).

Les projections des quatre côtéâ d*UQ parallélogramme Mac/) (fig. 38) sur un plan P forme un quadrilatère M'a'c'b' qui, ayant deux côtes opposés MV et b'c' égaux et parallèles est un parallélogramme.

Par conséquent, la résultante Me do deux forces Ma et Mb a pour projection la résultante M'e' des projections M'a' et M'b' des forces Ma et Ub,

Ce théorème est souvent utile ; il s*étend immédiatement à la composition d*un nombre quelconque de forcer ayant même

point d'application : la projection de la résulianla est la résultante de la projection des forces.

22. PROJECnOH DUKE FORCE SUR UM AXE. — Si d. s deux extrémités A et a de la droite représentative d'une force (tig. 89). on abaisse des perpendiculaires AA' et aa' sur la droite XX', la force qui est représentée par la droite A'cV et qui a pour point d'application la projection A' du point d'application A de la force A/i, est appelée la projec-

lie.

Kic. 39.

lion de la force Aa sur Taxe XX' [axe de projection) ; Aa est appelée la force projetante.

En considérant comme une quantité positive la projection de

ia force quand, en allant de sou point d'application A' vers sou

extrémité a\ on marche dans le sens de X' vers X, on doit

considérer comme négative la projection de la force quand, en

allant de son point d'application vers son extrémité, on marclH*

cians le sens inverse (de X vers X). Ainsi, sur la fi.ijfure 39, la

pi-ojection A'a' de Afl est positive, et la projection B'b' de BAest

n€?galive. Le sens XX de Taxe de projection est appelé alors

lo sens positif ei le sens XX le sens négatif ,

Soit X l'angle que forme la force avec une parallèle AZ (on BU) à Taxe XX, menée par le point d'application dans le sens positif X'X; cet angle est, par définition, Tangle de la force et de Taxe de projection.

Menons, par la ligne projetante aa' de l'extrémité a de la force, un plan perpendiculaire à Taxo X'X ; ce plan coupe en un point ,7| la droite AZ.Dans le trianc>leflAfli, on a: Aa^^=Aacoi%\ mais An, est égal à A'a', car la ligure Aa,a'A' est un parallélogi'ainme comme ayant ses côtés opposés parallèles; on voit donc qu'en appelant F et F les valeurs de la force Aâ et de sa projection AV, on a :

<i) F =Fcosa

Si l'angle % est aigu, l'égalité (1) nous montre que F est

positif; nous voyons bien, en effet, que dans ce cas la projection est positive d'après la convention faite ci-dessus. Si l'angle a est obtus, la formule (l).nous indi(|ue que F est négatif; ce qui

est encore conforme à la conventit)n faite plus haut Il résulte de l'égalité (1) que des forces parallèles entre elles

ont sur un même axe des projections proportionnelles à ces

forces; des forces égales et parallèles ont des projections égales.

On voit aussi que des forces parallèles et de sens opposé ont

des projections de signes contraires.

Kn désignant par F , F , F la \aleur des projections d'une

lorce Aa de valeur F sur trois axes de coordonnées rectangulaires-quelconques OX, OY, OZ, et en désignant par a, p, y les

angles que forme la force avec la direction positive des axes de coordonnées, on a, d*après la formule (1) :

F =Fcosa F =Fcosô F =Fcosy

et, en vertu de la relation connue : cos* a -f- cos* p -j- oos * y = 1 , on en tire :

La relation (3) fournit la valeur F delà force quand on connaîi la valeur dn ses trois projections et les formules (â),a en donnant les angles a, ^, r quand la valeur F est connue, font connaitre la direction de la force.

Si Ton décompose la force \a (flg. 39) en une force parallèle à X'X, et en une force située dans un plan aa'ai perpendiculaire à cet axe aA^i étant le triangle de décomposition, la composante Aai, parallèle à Taxe, a non seulement la même direction et le

. même sens que la 2 projection A'a' de la

force sur l'axe, mais aussi la même valeur.

Menons par le point d'application A d'une force \a (flg. 40) trois axes rectangulaires entre eux AX, AY, AZ. Projetons sur ces trois axes la force Aa ; le parallélipipède rectangle construit sur ces trois projections Ax, A/, \z ayant \a pour diagonale, on voit que ces trois projections sont trois forces qui ont pour résultante Aa; ce sont donc les composantes de cette force, dirigées suivant les trois axes.

FiG. 40.

23. MOUVBMEHT D'UN POINT MATÉRIEL DANS L'ESPACE. ^ Supposons que la force F agisse seule sur un point matériel de masse m ; projetons ceito force sur un axe X'X quelconque, et soit F la

valeur de la projection donnée par la relation (1) du g 22. Divisons les deux membres de cette relation par la masse m du point matériel, il vient :

F F ii\ — = — COSa

\^' mm

F^ Or, — est la valeur de Taccéléralion G , que produirait la

projection F de la force F, sur un point matériel de masse m, et

— est l'accélération G du point matériel considéré, on a donc :

(2) — =G =Gcosa

Mais nous avons vu (Cinématique g 17) queGcosa est la valeur x"^ de l'accélération de la projection du mobile sur

Taxe X'X , on a donc :

De là ce théorème fort important :

Vaccélération x'^ de la projection A! dun point matériel

mobile A sur un axe quelconque est égale à PaccélératioD G que produirait la projection F de la force F appliquée

au point matériel A, en agissant sur un point matériel de même masse.

L'énoncé de ce théorème peut se traduire par la formule suivante, très souvent employée, et qu'on déduit directement des relations (1), (2) et (3) :

(4) maf[=¥ =Fcosx

Imaginons un point malôriel B, de môme masse m que le point matériel A, qui à un certain moment serait placé sur un axe X'X à l'endroit où se trouve la projection sur cet axe du point mobile A, qui posséderait à un certain moment une vitesse égale à la projection de la vitesse de A sur Taxe X'X, enfin qui serait soumis a rne force constamment égale à la projection F sur X'X de la force F, qui agit sur A, que cette force F

soit constante ou variable. Ce point B décrirait la ligne X'X, et il est facile de voir qu'à chaque instant ce mobile H aurait même position que la projection A' du point A sur Taxe X'X.

Désignons en effet par e la distance de B à Torigine du mouvement au bout du temps / et, par conséquent, par e^etpar^j sa

vitesse et son accélération au temps /. En vertu du théorème précédent, l'accélération ^' de ce

point B est la même que l'accélération af' de la projection A' du

point mobile A sur l'axe :

e" — af' = 0 t t

on déduit de là, en égalant les fonctions primitives des deux membres :

à chaque instant, les vitesses e' et x' des mobiles B et A' ne

peuvent différer que par une quantité constante C; mais celte constante C est nulle, puisque à un certain moment leur vitesse ne diffère pas, par hypothèse.

On a donc :

On déduit de là, en égalant les fonctions primitives des deux membres :

à chaque instant, les distances eei i;des deux mobiles B et A' à Torigine, ne peuvent différer que par une quantité conslaate G ; mais cette constante G est nulle, puisqu'à un certain moment les deux mobiles B et A' ont même position, par hypothèse. On voit donc que le mobile B occupe constamment la position de la projection A' du point A sur Taxe.

Cette remarque permet de ramener le problème du mouvement dans Tespace d'un point matériel A, soumis à Taction d'une force F connue à chaque instant en grandeur et en direction au problème plus simple du mouvement suivant une ligne droite d'un mobile soumis à une force dirigée suivant cette ligne.

Menons, en effet, trois axes de coordonnées rectangulaires OX, OY, OZ, et considérons trois points matériels B, C, D ayant même masse que le point matériel A, situés respeciivement sur les axes OX, OY, OZ, occupant à un certain moment la i)Osition de la projection de A sur ces axes, étant animes à ce moment de vitesses égales aux projections de la vitesse de A sur ces axes, et enfm étant soumis à chaque instant à une force égale à la projection de la force F sur Taxe correspondant. Ces trois points, occupant constamment les positions des projections de A sur les trois axes, ont pour distance x, y eizk Torigine 0, précisément les coordonné.'S du point mobile A.

On voit donc que, si le mouvement de ces trois points B, C, D sur leur trajectoire rectiligne est connu, on connaît par là même le mouvement du point A dans l'espace (*).

(1) En désignant par j:"^ y", z" les dérivées secondes par rapport au temps

des coordonnéos x, y, z du point mobile, c*esl-è-dire les accélérations des projections du point sur les trois axes de coorclonnées, on a, d'après la wUlion (\) :

il) nud' = F mw", = F mz!' = F

eo appelant F , F , F les projeclions sur les trois axes de la force F qui

'fit sur le point matériel. Ces trois quantités sont des fonctions du temps

lue oous supposons connues; en désignant par H , H , II leurs fonctions

74 œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER

24. FORGE TAN6ENTIELLE. — FORGE CENTRIPÈTE. — ConsidéroDS un point matériel qui, sous l'influence d'une force quelconque

(flg. 41}, décrit une certaine twgectoire. Soit A la position du mobile à un certain moment, et kg la ligne représentative de la force. L'accélération produite par cette force sur le point matériel, étant dans le plan osculateur à la courbe, on voit que la force est située dans ce plan. Ce plan passant, en outre, par la tangente AT à la courbe en A, qui est la direction de la vitesse, il en résulte que :

Le plan osculateur de la trajectoire en chaque point est

primitives on a, en égalant les fonctions primitives des deux membres des égalités (1) :

(2) mx' =:H my'=H m*' =H

Or, on connaît à un moment donné la vitesse du point matériel, sans cels son mouvement ne serait pas complètement déterminé. Pour obtenir la valeur de la constante arbitraire qui entre dans chacune des fonctions da temps H , H et H , il sufQt d'écrire qu'au moment donné les vîtasses

af ^ y\ z' des trois projections sont respectivement égales aux projecUons

connues de la vitesse du mobile sur chacun des axes. En désignant maintenant par L , L , L les fonctions primitives des

fonctions connues H , H , H , il vient, en égalant les fonctions primilîTes

des deux membres des relations (2) :

(S) mx = L my = L mz=L

Or, on connaît à un moment donné la position da point mobile, car, sans

cela le mouvement ne serait pas complètement déterminé. Pour obtenir Is

valeur de la constante arbitraire qui entre dans chacune des fonctions L , L

et L , il suffît d'écrire qu'au moment donné les quantités x, y, z sont las

coordonnées du point mobile.

Les relations (8) donnent alors à chaque instant la position da mobile.

déterminé par la direction de la vitesse du mobile en ce point et par la direction de la forcç.

On appelle force tangentielle la projection Pan de la force Ajrsurla tangente AT à la trajectoire, et force centripète la projection \n de la force Agr, sur la normale principale AN. La fi^^re plane kmgn étant un rectangle dont A^ est la diagonale, la force totale est la résultante de la force tangentielle et de la force centripète; par conséquent, l'ensemble de la force tangentielle et de la force centripète peut remplacer la force totale A^ ou l'ensemble dos forces agissant sur le mobile dont la force totale est la résultante.

En désignant par F, F et F les valeurs respectives de la force

totale, de la force tangentielle et de la force centripète, et en appelant a l'angle grAT que fait la direction de la force kg avec la tangente AT à la courbe, on a :

F =Fcosa

F =Fsina

En divisant par la masse m du mobile les deux membres de ces égalités , et en appelant G , T et C les accélérations totales, tangenlielles et centripètes, on a :

~ = — cos a = G cos a = T m m

— = — sin a = G sin a = G

fti YH

Conformément à ce que nous avons établi d'une façon générale au § 23, on voit que la force tangentielle ou la force centripète, en agissant isolément sur le mobile, lui communiquerait l'accélération tangentielle ou l'accélération centripète,

Nous avons vu (Cinématique § 15) qu'en appelant v la vitesse du mobile, x/^ sa dérivée par rapport au temps et R le rayon

de courbure de la trajectoire au point où se trouve le mobile, on a :

Les égalités (2) fournissent donc les relations :

F = mv'

Toutes les fois qu'un mouvement est rectiligne, R étant infini, la force centripète est nulle ; la force totale qui agit sur le point matériel, se réduisant à la force langentielle, est dirigée suivant la ligne droite que parcourt ce point et sa valeur estmrj.

Réciproquement, si la force centripète est nulle sans que la vitesse soit nulle, le rayon de courbure R de la trajecloire est infini au point où se trouve le mobile : la trajecloire présente un point d'inflexion à cet endroit. Si la force centripète est constamment nulle, la trsgectoire est rectiligne.

Toutes les fois qu*un, mouvement est uniforme, la force tangentielle est nulle, puisque r^ = 0 : la force totale qui agit sur

le point matériel, se réduisant à la force centripète, a pour valeur -rj- et sa direction est celle de la normale principale.

Réciproquement, si la force tangentielle est nulle, la dérivée v'^ de la vitesse étant nulle, la vitesse v est constante, le mouvement est uniforme.

Par exemple, supposons qu*un corps soit attaché à une corde dont Taiitre extrémité soit fixée à un point 0, que ce corps décrive un cercle ayant ce point 0 pour centre, et qu'il ne soit soumis à aucune force autre (jue la tension de la corde : son mouvement doit être uniforme, puisque la force qui agit sur lui se

rfdiiil constamment à la forcu cctitripète. Du reste, la vitesse du mobile et sa distance au centre One vnriant pas, la tension de la ronle, qui esi la Torce centripète, est constanto.

25. FORCE CEHTRirUGE. — Pour qu'un point matériel reste au repos par rapport à un systéri:e animé d'un mouvement de translation reclilî^ne et uniforme, il faut évidemment que toutes les iox~ces i|ui Agissent surcepointsefasseat (équilibre, puisipie, sans c^la, sou mouvement ne pourrait être rec£ilj};ne et uniforme.

JMais, pour (pi'un point matériel reste aurt-pos par rapport à u» système animé d'iui mouvement d'ensemble qui n'est pas r^c^tiligne et uniforme, il faut que la r^sullanlo des forces ngissarat sur ce point ne soit pas nulle, et qu'elle soil telle qu'elle coramunîque au point matériel une accélération précisément égale er» grandeur et on direction à cell'e du point du système qui coïnoide avec lui. Kn appelant 3 celle accél^rfltion et m la masse du point matériel, la résultante des forces agissant sur lui doit être ég-a le à mg.

EZn particulier, considérons le cas d'un système animé d'un ouvement de rotation uniforme autour d'un axe, comme la Terre Cen négligeant son mouvement autour du Soleil) .

Soieul w la vitesse angulaire constante du système, R la distnnce à l'axo de rotation du point matériel considéré M et ii = toR la vitesse du point A du système tournant qui coïitcide avec lui . L'accéléralion du point A se réduisant à l'accélération centrî-

peto dont la valeur est -— - ou io*R et qui est dirigée vers le

centre 0 du cercle décrit par ce point, il faut, pour que le point mat^ritil mobile M reste au repos par rapport au sysième tournant, que la résultante des forces agissant sur lui se rtSduise à

cette résultante soit dirigéeconslammentversle point 0 et possède

"lie Valeur constante égale à -j~ ou mw'R .

^n voit que, si l'on ajoutait aux forces agissant sur un point matériel au repos par rapport à un système tournant d'un mou-

de courbure de la trajectoire au point où se trouve le mobile, on a :

Les égalités (2) fournissent donc les relations :

F = mv\

Toutes les fois (junn mouvement est rectiligne, R tétant infini, la force centripète est nulle ; la force totale qui agit sur le point matériel, se réduisant à la force langentielle, est dirigée suivant la ligne droite que parcourt ce point et sa valeur est mv'^ .

Réciproquement, si la force centripète est nulle sans (|uc la vitesse soit nulle, le rayon de courbure R de la trajectoire est infini au point où se trouve le mobile : la trajectoire présente un point d*inflexion à cet endroit. Si la force centripète est constamment nulle, la trajectoire est rectiligne.

Toutes les fois ([u'un. mouvement est uniforme, la force tangenlioUe est nulle, puisque r^ =: 0 : la force totale qui agit sur

le point matériel, se réduisant à la force centripète, a pour valeur -rr- et sa direction est celle de la normale principale.

Réciproquement, si la force langentielle est nulle, la dérivée v'^ de la vitesse étant nulle, la vitesse v est constante, le mouvement est uniforme.

Par exemple, supj)osons (ju'un corps soit attaché à une corde dont l'autre extrémité soit fixée à un point 0, que ce corps décrive un cercle ayant ce point 0 pour centre, et (|u*il ne soit soumis ù aucune force autre (|ue la tension de la corde : son mouvement doit être uniforme, puisque la force qui agit sur lui se

réduit constamment à la force centripète. Du reste, la vitesse du mobile et sa distance au centre 0 ne variant pas, la tension de la corde, qui est la force centripète, est constante.

25. FORGE CENTRIFUGE. — Pour qu*un point matériel reste au repos par rapport à un systèiue animé d'un mouvement de translation rectilif^ne et uniforme, il faut évidemment que toutes les forces qui agissent sur ce point se fassent équilibre, puisque, sans cela, son mouvement ne pourrait être recti ligne et uniforme.

Mais, pour qu'un point matériel reste au repos par rapport à un système animé d'un mouvement d'ensemble qui n^est pas recliligne et uniforme, il faut que la résultante des forces agissant sur ce point ne soit pns nulle, et qu elle soit telle qu'elle communique au point matériel une accélération précisément égale en grandeur et en direction à celle du point du système qui coïncide avec lui. En appelant g cette accélération et m la masse du point matériel, la résultante des forces agissant sur lui doit être ég^ale à mg.

En particulier, considérans le cas d'un système animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe, comme la Terre (en négligeant son mouvement autour du Soleil) .

Soient m la vitesse angulaire constante du système, R la distance à l'axe de rotation du point matériel considéré M et v = (oR la vitesse du point A du système tournant qui coïncide avec lui. L'accélération du point A se réduisant à l'accélération centri-

pèle dont la valeur est -5- ou od^R et qui est dirigée vers le

centre 0 du cercle décrit par ce point, il faut, pour que le point matériel mobile M reste au repos par rapport au système tournant, que la résultante des forces agissant sur lui se réduise à

une force centripèto donnant l'accélération -^ , c'est7à-dire que

cette résultante soit dirigéeconstammentverslepointOet possède

une valeur constante égale à -^- ou mo>*R.

On voit que, si Ton ajoutait aux forces agissant sur un point matériel au repos par rapport à un système tournant d'un mou-

78 œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER

veinent uniforme une force égale et directement opposée à la force centripète, toutes les forces agissant sur le corps se feraient équilibre : celte force égale et contraire à la force cen-

tripète, par conséquent, de valeur— ou m (o^R et dirigée suivant

le rayon, mais agissant dans le sens qui écarterait le mobile du centre, s^appelle la force centrifuge i^).

Ainsi la force centrifuge est une force active qui, ajoutée aux forces réelles agissant sur un corps au repos par rapport à un système tournant permet d*exprimer que toutes les forces se font équilibre ; c'est un artifice destiné à ramener le problème de l'équilibre relatif par rapport à un système tournant au problème de réquilibre par rapport à un système au repos (*).

(1) Dans le cas où le point matériel possède unmouvemenl relatif par rapport au système tournant, au lieu d'être au repos relatif, comme nous Tavons supposé, on commettrait une erreur en croyant qu'il suffit de composer avec les forces réelles agissant sur le point matériel la force centrifuge pour avoir la force qui produirait, par rapport au système on repos, le même mouvement relatif. Pour avoir cette dernière force, il faut composer avec les forces réelles, non seulement la force centrifuge, mais encore une autre force fictive, appelée force centrifuge composée, qui dépend de la vitesse angulaire de rotation du système et aussi de la vitesse relative du point matériel par rapport au système tournant ; cette force centrifuge composée devient nulle, comme cela doit Olre évidemment, quand Tune ou Tautre de ces vitesses devient nulle.

(2) Reprenons Texemple d'un corps attaché à l'extrémité d'une corde, dont l'autre extrémité est fixée à un point 0, et tournant en cercle sous l'influenoe d'une seule force, la tension de la corde qui, en agissant sur le mobile, fait office de force centripète. La tension de la corde agit aussi sur le point 0 et tire ce point dans le sens de la corde tondue; or, cette réaction de la force centripète a été appelée souvent force cenlritugc. En vertu de l'égalité de l'action et de la réaction, cette force, en effet, est égale en grandeur, en direction et en sens à ce que nous avons appelé plus haut « la force centrifuge »; mais c'est une force réelle et qui n'est pas appliquée au mobile mais bien au point 0. Elle est donc bien distincte de la force fictive appliquée au mobile, désignée dans le texte sous le nom de « force centrifuge ».

Nous en dirons autant à propos d'un mobile qui roule à l'intérieur d*im corps creux, par exemple d'une bille qui roule à l'intérieur d'un cerceau: la force centripète du mouvement circulaire de la bille est ici la presaioo qu'exerce le bord intérieur du cerceau sur le mobile qui tend toujours à se mouvoir en ligne droite. A son tour la bille exerce sur le cerceau un

Un exemple fera bien compreadre celle nolion importanle. CoDsidérons un corps pesanl suspendu à Tune des exlrémilés d*QQ ressort Axé à son aulre extrémité ; supposons en oulre, pour plus de simplicité, que ce corps soit placé à TÉqualeur et négligeons la rotation de la Terre autour du Soleil et Taction attractive qu'exerce cet astre sur les corps qui sont placés à la surface de kTerre. Dans ce cas, deux forces réelles seulement agissent sur le corps : i"" Tattraction terrestre dirigée vers le centre de la Terre, 2** la tension du ressort. Cherchons ce que doit être cette dernière force pour que le corps soit au repos par rapport à la Terre qui tourne autour de son axe. Four cela ajoutons a ces deux forces réelles la force centrifuge, et déterminons la tension du

effort qui est la réaction de la force centripète etaaquel on donne quelquefois le nom de « force centrifuge » parce qu'elle a même grandeur, même direc- UoD et même sens que celte dernière ; elle en est pourtant bien distincte, puisque c'est une force réelle appliquée au cerceau.

Il est regrettable qu'on donne ainsi un même n'om à deux grandeurs si difEérentes au fond, si semblables à un examen superûclel ; cela tend à perpétuer une confusion fâcheuse.

n arrive parfois qu'un corps solide animé d'une grande vitesse de rotation aotour d'un axe vient à éclater ; cet accident se produit malheureusement trop souvent pour les volants des moteurs à vapeur. 11 est d'usage de dire que « le volant à éclaté par la torce centrifuge ». Si l'on veut que cette locatioD soit correcte, il faut évidemment entendre ici par « force centrifuge » la réaction de la force centripète. Au fond, voici ce qui se produit dans ce pMoomène.

Ba négligeant la pesanteur, chaque partie du volant en mouvement est •ouoiise à deux forces réelles qui sont lo la tension qu'exerce la partie voisine située du côté de Taxe, ^ la tension qu'exerce la partie voisine située du c6lé de la circonférence. Ces deux tensions, agissant en sens inverse sur la partie considérée, ont pour résultante leur différence, et c'est celle-ci qui est la force centripète. On voit, par là, que la tension tournée du côté de raze doit être la plus grande des deux. Or, la force centripète, pour une ptrtie déterminée du volant, croît comme le carré de la vitesse angulaire ; U Ciat donc que les tensions en chaque point croissent suivant celte proportion poar qu'il en soit de même de leur différence.

Or, quand la tension des rayons du volant devient très grande, la Balte d'élasticité du métal peut être dépassée et il y a rupture. Dès que edle-ci s'est produite, toute tension cessant immédiatement, c'est-à-dire, toujonra en négligeant la pesanteur, toute force cessant d'agir, chaque ■orœau est lancé tangentiellement au cercle qu'il décrivait, comme le veut It principe de l'inertie.

ressort parla condilionque ces trois forces se fassent équilibre. Or, dans le cas où le corps est placé à l'Equateur, la force centrifuge toujours perpendiculaire à Taxe de rotation, est directement opposée à Tatlraction terrestre ; la condition pour que les trois forces se fassent équilibre est donc que la tension du ressort soit égale et directement opposée à la différence entre l'attraction terrestre et la force centrifuge; cette tension doit donc être dirigée aussi suivant le rayon équatorial et sa valeur doit être égale à A — mw^H, en appelant A la valeur de Tattraclion terrestre, m la masse du corps, 0» la vitesse angulaire du mouvement de rotation de la Terre autour de son axe et R le rayon terrestre équatorial.

Nous voyons, par cet exemple, que ce qu'on appelle le poids d*un corps n*est qud la résultante de l'attraction terrestre et de la force centrifuge. (Voir L. li, Chap. III g 13) (•).

(1) A l'Equateur le rayon terrestre R est égal à C,37dXlCr cenUmètres; comme la vitesse angulaire ta du mouvement de rotation de la terre est, en preuant la seconde pour unité de temps, égale à 7,309X10"^ (CinémaUquc {101, on a pour la force centrifuge agissant snr l'unité de mosse

(7,309X10-VX6,878Xi0'= 8,407.

Or, à l'Equateur, le poid.^ de Tunité de masse (valeur de Tintensité de la pesanteur), avec les mêmes unités de longueur et de temps, est représenté par le nombre 978,iaS (L. II, Chap. 111, { 13 . On voit que la force centrifuge n'est qu'une bien faible firaction de l'attraction terrestre, dont la valeur est 978,103 -f 3,407 = 981,510 pour l'unité de maMe placée à l'Equateur.

Nous n'avons que bien peu de chose à changer à ces conclusions si maintenant nous tenons compte à la fois do la rotation de la Terre autour du Soleil et de Tattraction qu'exerce cet astre sur un corps M placé à la surface de notre Globe. Pour trouver la condition d'équilibre relatif par rapport à la Terre de ce corps M qui participe à son double mouvement, il faut bien ajouter aux forces réelles la force centrifuge C du mouvement de rotation autour du Soleil, laquelle n'est pas négligeable ; mais, comme parmi les forces réelles agissant sur le corps M se trouve l'aUraciion S qu'exerce le Soleil sur ce corps, et que les forces C et S sont constamment à très peu près égales et directement opposées, c'est comme si ni rane ni l'autre n'existaient, n

Puisque chaque pointée la Terre possède, grâce à la rotation autour de son axe, une vitesse relative par rapport à un système animé du même mouvement de rotation autour du Soleil que le centre de la Terre, il faut

26. DÉPLiCEMEMT D'UNE FORCE SUIVANT SA DIRECTION. — Quand une force est appliquée en un point dun corps solide (*), on peut, sans changer son eiïet^ transporter son point dappUcation en un point quelconque de sa direction.

Cest-à-dîre que, si l*on remplace une force OA (lîg. 42) par une force O'B, égale en grandeur, en direction et en sens, et appliquée en un point du corps 0', situé sur la direction de OA, cette force produira exactement le même effet que OA.

Pour le voir, appliquons en 0' deux forces O'B et ÔC de sens contraires, égales toutes deux à OA et de même direction Ces deux forces O'B et OC se détruisent mutuellement, et leur ensemble n*a aucim effet sur le corps. Mais Tonsemble des deux forces OA et O'C qui ngissent toutes les deux en sens contraire suivant la direction 00' de leurs points d'application, et qui sont égales entre elles, n'a évidemment aucun effet sur un corps solide, dont les points 0 et 0' ne peuvenJL s'écarter l'un de l'autre. Nous pouvons donc, sans changer Teffet sur le corps, supprimer les deux forces OA et OC. Il ne reste plus alors que la force O'B. On voit ainsi que cette dernière force produit le même effet que OA.

Nous n'avons pas besoin d'insister sur l'importance de ce théorème constamment appliqué en mécanique (^) .

tenir compte aussi de la force contrifugo composée ; or, on trouve que

celle-ci a une direction presque perpendiculaire à l'axe de la Terre, que sa

eomposante perpendiculaire à Taxe s'ajoute numériquement à la force ccn-

trifage due à la rotation de notre Globe autour de son axe, el que la valeur

de ceUe composante n'atteint que — - de la valeur de celle dernière force.

zUO

(1) Nous entendons dans tout ce chapitre par corps solide, un corps qui oe peut pas se déformer sous Tinnuence des forces qui lui sont oppliquées.

(2j Pour foire de ce théorème une application, qui nous sera utile plus

œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER

27. COMPOSITION DE DEUX FORCES PARALLÈLES. — Quand deux forces appliquées en deux points différents d'un même corps solide sont parallèles, elles admettent, en général, une résultante. Nous allons indiquer la régie qui permet de trouver cette résultante.

Il y a deux cas à considérer : — 1« celui où les deux forces sont de môme sens ; — 2® celui où elles sont de sens contraires.

loin» au chapitre de la Capillarité, considérons un corps solide inflnimenl plat ayant la forme d'un triangle ADC (flg. 43), mobile dans son plan et

soumis à troi» forces K, F', F" respectivement perpendiculaires nux milieux a, b. c de chacun dos côtés. Cherchons Iom conditions auxquelles doivent satisfaire ces forces pour se faire éi|uilibro.

On sait que les directions de ces trois forces se rencontrent en un même point O. Nous pouvons, en vertu du théorème précédent, remplacer chacune des forces données par uoe force égale de même direction et de mtoe sens appliquée au point 0, sans que reflet sur It corps soit modiflé.

Les trois forces étant alors appliquées en un môme point 0, il faut, pour qu^elies se fa»scot équilibre, qu'elles satisfassent à la relation (voir la note du ]| 20) :

sin bOc sin cOa rfin aOh

Or, on a, d'autre part, la relation connue :

sin BAC sinCUA sinACU

et, comme les angles bOc^ cO^, aOb sont respectivement su ppU- me nia ires des angles BAC. CDA, ACD, et, |>ar conséquent, ont mC-uie sinus, il viout» eu divisant membre à membre les relations (1) et (â) :

Pour que les forces su fassent équilibre il (hut qu'elles soient respectl* vemeni proportionnelles aux cotés auxquels elles sont appliquées.

!•' CAS. — Quand deux forces ka et Bb (flg. 4A) parallèles et de même sens sont appliquées en deux points A et B dun même corps solide, leur résultante est une

force Ce parallèle aux composantes,

égale à leur somme et appliquée en

un point C situé sur la droite AB,

en ire les points A et B, et parta-

gennt cette droite en deux segments

AC et BC inversement proportion^

nels aux valeurs des forces adjacentes

ka et Bb (*).

FiG. U.

(1) Voici .kl démonstration de ce théorème.

Appliquons en A et en B deux forces AK

et BL (flg. 45) égales entre elles, suivant la direction AB et de sens contraires; ces deux forces se détruisant mutuellement, rien n'est changé. Composons AK et Aa ainsi que BL

^i B/> suivant la règle du par

M^lclogramroe ; nous pouvons L^ q Ki

'^mplacer les deux forces AK

^< Aa par leur résultante AR ci les deux forces BL et Bb par leur résultante BS. Ces deux résultantes sont dans le même plan, mais n'étant pas parallèles, leurs directions se rencontrent en un point 0.

Transportons-les* toutes les àeux en 0; c'est-à-dire rem- P^^çons AR par la force égale ^^1 ei BS par la force égale

^1 ; rien n'est encore changé

Poor l'effet des forces, ^composonsmaintenant 0R|

^^ One force OK, pnrallèle à AK

(t en Une force 0A| parallèle à

A«;lo parallélogramme de dé-

^•«posiiion 0««R,K, ayant

mtoio diagonale en grandeur

el en direction que le parallé-

^faîtime AaRK et ayant ses

^^s Parallèles à ceux de ce

dernier parallélogramme lui est égal; on a donc : OK«=AK et OA( = Aa. ^^^mposons de même OSi en une composante OL, parallèle à BL et

FlG. 43.

84 œMPLEMENT AU LIVRE PREMIER

Ainsi, si F et F sont les valeurs des composantes Aa et Bb et R celle de la résultante ou a :