VALEUR DE LA VITESSE DANS UN MOUVEMENT VARIÉ. — Dans

un mouvement uniforme, le rapport entre la longueur de Tespaca parcouru au temps employé à le parcourir est une quantité constante qui est la valeur de la vitesse. Dans un mouvement varié, ce rapport n*est plus constant et dépend du temps considéré ; il ne peut donc représenter la valeur de la vitesse a un instant donné. Pourtant nous concevons qu'à chaque moment le mouvement varié peut être plus ou moins rapide: il convient donc de chercher une définition précise de la valeur de la vitesse, définition générale qui comprenne, comme cas particulier, celle donnée pour le mouvement uniforme. Nous allons procéder pour y arriver, comme nous Tavons fait pour arriver à une définition générale de la direction de la vitesse.

Soit un mobile possédant un mouvement varié suivant une trajectoire quelconque (fig. 2). Appelons At le temps employé par ce mobile pour décrire un arc ÂB, et s la longueur de la corde AB de cet arc. On appelle valeur de la vitesse moyenne

ou simplement vitesse mo}vnney la valeui' du rapport -- ; en

désignant par Vm la vitesse moyenue, on a donc :

Cette vitesse moyenne est la vitesse d'un mobile, animé d'un mouvement uniforme, qui parcourerait la corde AB dans le temps que le mobile animé du mouvement varié met à parcourir Tare AB.

La vitesse moyenne dépend à la fois de la position des points A et B. Si, au lieu de considérer la vitesse moyenne dans la portion AB de la trajectoire, on la considère dans les portions de plus en plus courtes AB', AB"..., sa valeur varie un peu; et, si la longueur de ces arcs tend vers zéro, la seconde extrémité se rapprochant indéfiniment du point A, la vitesse moyenne tend vers une valeur limite, bien définie, qui ne dépend plus que

de la position du point A et de la nature du mouvement. On est amené par là à la définition suivante :

La valeur de la vitesse d'un mobile au point A de sa trajectoire est la limite de la valeur de la vitesse moyenne dans une portion AB de la trajectoire, quand cette portion AB devient de plus en plus courte, le point B tendant vers le point A.

Au lieu de prendre comme définition de la valeur de la vitesse c la limite du rapport de la longueur de la corde au temps employé pour parcourir Tare, quand celui-ci devient de plus en plus petit », il revient au même de définir la valeur do la vitesse comme, c la limite du rapport de la longueur de Farc au temps employé pour parcourir cet arc, (juand celui-ci devient de plus en plus petit >. Désignons, en efTet, par le la longueur d'un arc dont la corde a une longueur c, et soit A( le temps employé pour parcourir cet arc; la première définition de la vitesse donne :

i; = lim. -— ou t; = lim. --• — - = lim. — -X "lïi. -7-: A/ Ad A( le ^ It

Or, la limite du rapport — de la longueur d'une corde à la

le

longueur de Tare est l'unité, quand l'arc tend vers zéro. On

a donc :

le

i;=lim.— -

ce qui est la seconde définition donnée.

En considérant l'espace parcouru e comme une fonction du

temps t, on voit que la longueur le de l'arc AB est Taccroisse-

ment de la fonction e quand la variable t croît de la valeur Al.

le La limite du rapport --, quand le et It tendent vers zéro, est donc

Al

la dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps. En désignant par ^ cette dérivée et par v la vitesse, on a donc :

(2) r = lim.- = i?;

CINEMATIQUE 7

La valeur de la vitesse est la dérivée de l'espace par rapport au temps; ce n*est encore qu'une autre manière d'énoncer la définition donnée plus haut.

Pour bien faire comprendre la définition de la vitesse moyenne et de la vitesse vraie, donnons un exemple. Supposons que dans un mouvement recliligne la relation qui existe entre Tespace parcouru et le temps soit la suivante :

(3) e=at + bt^

a eib étant deux constantes.

Cherchons la valeur, au bout du temps t, de la vitesse moyenne pendant le temps A(. Le mouvement étant rectiligne, la corde se confond avec Tare (A^=e); aussi convient-il d'abord de chercher la longueur A^ parcourue pendant ce temps A(. Or, l'espace parcouru depuis l'origine étant e -{- ^e pendant le temps t i- Itf on a, d'après la formule générale (3) :

d'où, en retranchant membre à membre (3) de (4), il vient: (5) ^e=a^t+b[(t-{-^t)^-'fi] = alt + b\2t^t-\-(^t)^'j

Formons maintenant le rapport — pour avoir la valeur de la

At

vitesse moyenne Vm :

(6) v« = ~ = a + ft (2( + M)

Comme on le voit, la valeur de cette vitesse moyenne dépend du temps M pendant lequel on la considère.

En faisant tendre le temps A/ et, par conséquent, l'arc Ad vers zëro, la valeur de Vm devient la valeur de la vitesse v au bout du temps t; on obtient ainsi la relation:

(7) v = a + 2bt

Par ce calcul nous avons, en réalité, déterminé la dérivée de e par rapport à i\ les règles connues de la dérivation nous auraient permis d'avoir immédiatement cette relation :

Telle est la formule générale qui représente la vitesse dans un mouvement pour lequel les espaces parcourus sont représentés par la fornmle (3). Nous nous servirons plus loin de ce résultat important.

Pour indiquer les unités qui servent dans Tévaluation de la vitesse, on dit, par exemple, qu'un corps est animé d'une vitesse de SO mètres par seconde. Si le mouvement est uniforme, cela signifle qu'il s'avance de 30 mètres dans chaque seconde sur sa trajectoire; mais, si lo mouvement est varié, cela no veut plus dire qu'il s'avance do 30 mètres par seconde, mais bien qu'au moment considéré il possède une vitesse numériquement égale à celle d'un mobile animé d'un mouvement uniforme qui s'avancerait de 30 mètres par seconde ; ou encore, ce qui revient au même, que la vitesse de ce mobile est 30, en mesurant les espaces en mètres et les temps en secondes.