ITO

V augmentât ion de force élastique en passant du côté coavei au côté concave de la surface de séparation dun liquide et tTi autre fluide est égale au produit de la valeur de la leask superùcielh par la courbure moyenne de le surface au poL considéré.

Nous appellerons, poar abréger, pression capillaire c accroissement de force élastique p.

La formule (1) a été donnée pour la première fois par Laplac vers 1806 et porte soii nom {').

8. EXPÉRIENCES DE PLATEAU. — Nous avons déjà parlé d« expériences de Plateau qui consistent à mettre une masse d'hni i:a suspension dans un mélange d'eau et d'alcool de mftn densité.

Nous avons déjà dit que, si la masse d'huile est abandonnée olle-mâme, elle prend la forme d'une sphère, ligure de surfit minimum pour un même volume.

Mais, en forçant la surface de la masse d'huile à passer pi certaines lignes, on peut obtenir d'autres ligures. Far exempli on peut saisir une sphère d'hulî avec un anneau en fil mélalliqui qui y adhère; à l'aide d'une petil seringue en verre, on enlève ni certaine quantité d'huile et l'on ot tient une lentille (lig. 17).

Quelle que soit la forme de

- -^ masse d'huile, appelons P la fore ~^S élastique de l'eau alcoolisée pn

= — ^;=- ij'mi point M de la surface de sépar

''"'■ '"■ tion. cl P -|- p la force élastique i

l'huile près de ce même point I Si nous considérons un autre point N de la surface situé à tu distance verticale z de M, près de ce point, la force éU tique est pour l'eau alcoolisée P-|-3d et pour l'huile P-|-p-|-) en désignant par tt le poids spécifique absolu de l'eau alcoolïai et de l'huile de même densité. On voit qu'en U comme en I

(1) LAFLâcc. SapplimtBt de U Mitaoique eiteale.

comme, par conséquent, en tout autre point de la surface de séparation , l'augmentation de force élastique en passant de Feau alcoolisée à Thuile est égale à une même quantité p. Dès

lors, en vertu de la formule de Laplace p = A(— -|-~|,petA

étant constants pour tous les points de la surface de la masse

d'huile, la courbure moyenne tt + "57 ^^^^ ^^^® constante

aussi. La surface appartient donc à la classe des surfaces à courbure moyenne constante; outre la sphère, il existe beaucoup d^autres surfaces satisfaisant à cette condition, le cylindre droit à base circulaire, le caténoïde (*), etc.

Les expériences de Plateau justiflent pleinement cette consëc{uence de la formule de Laplace.

Une des plus remarquables est la suivante (*). On dispose au fond do la cuve contenant Teau alcoolisée un anneau métallique porte par un trépied. Un second anneau de même diamètre est placé au-dessus. Avec une pipette, oa mieux avec une petite seringue, on introduit entre les deux anneaux une certaine quantité d'huile qui y adhère; en ajoutant de l huile ou en en retirant on arrive à obtenir un cylindre droit entre lés deux anneaux (3). Ce cylindre est alors terminé en haut et en bas par deux calottes sphériques de même rayon R (fig. 18). Si nous désignons par Ft' le rayon de courbure du cercle de base du cylindre, c'est un des rayons pnncipaux; Tautre étant inflni, la courbure moyenne

en ehaque point du cylindre est tt-,- En chaque point des calottes

It) Le CaUnofde est une surface de révolution donl la section méridienne

*»l une cbêinette

(^ Plateau, Mémoires c/e l'Académie de Bruxelles, t. XXXL ^ Ann, de ^f^Ts. et Chim. 9' Série l. LUI p. 20 (1858).

(^ Fonr que réquilibre de ce cylindre soil stable, il faut que le rapport à^ la hauteur du cylindre h son diamètre ne dépasse pas le nombre iz. Au ^^ l'équilibre est instable, et on ne peut obtenir le cylindre.

lis

sphériqiies la courbure moyenne est -^ -f îT ^ r- Comin

cetlecourbure iloU 6tre la même en tons les points <te lasurfac (le l'huile, on doit avoir :

c'est ce que l'expérience vérifie.

En passant de l'eau dans l'huile il y a un accroissement de 2A force élastique affale à -p-.

Si, mainleiinnt on «iiléve, avec la seringue de verre, une certaine quantité d'huile, la surface comprise entre les anneaux se t-reuse. M. Plateau a dési^rné sous le nom iVumluIoïdo la flgiiro de révolution qui se trouve idors entre les anneaux ; sa courbure moyenne étant moindre ijue ci'llo du cylindre, les c.ilottOK eplicriques qui servent de base sont devenues moins convexes.

Eu enlevant une quantité d'huile convenable, on arrive à rendre

VAPILLARITE

cea balles complètemenl planeri; leur courbure moyenne étant nulle al<]rs, il en est de même île celle île la surface de révolulion coaiiprlse entre les anneaux. Celte forme limite de l'onduloide e^t le calénoide ijui a pour section méridienne une chaînette (.* ) . La force élastique est alors la même à l'intérieur et è Veiléfieur de la masse d'huile à un même niveau.

Si Ton continue à enlever de l'huite, lus bases sphériques deviennent concaves: leur courbui'e moyenne est négative. La em-face comprise entre les anneaux s'est creusée davantage, ellfl a une courbure moyenne négative et elle porte le nom de oodoulc, La force élastique devient moindre maintenant en passant de l'eau alcoolisée à l'huile.

Les lames de liquide, telles (|ue celle qui forme la paroi d'une t"'')e (l'eau de savon, présentent dsux faces parallèles trèsrap- {"vicliées ayant sensiblement môme com'bure. Aussi, en traver- ^nl la lame, on traverse deux surfaces libros tournant d'un ""■•me côté leur concavité et la variation de force élastique est Ib double de celle qu'on obtient en traversant l'une de ces surlàces.

Si une lame liquide sépare deux masses gazeuses, comme une bulle d'eau de savon qui contient de l'air il son intérieur, en traversant en un point quelconque In lame, il y a le même accroissumeiit de force dlastique ; par conséquent cette lame doit ITéseiiter en tous ses points la même courbure moyenne :

squa

Ctu doit donc obtenir avec ces lames les mêmes fi I huile en suspension dans l'eau alcoolisée.

^i la lame est fermée et n'est pas assujettie à toucher une p"foî solide, comme une bulle d'eau de snvon flottant dans l'air.

"1 L« réstisalion du calcnoide néceasila que la dialanc **QS n'eicêds pas les deux licrs de leur diamêlre. *" lieu d'eiiiever Je l'huile, ou [leuL p»ssBr du cjlindre a écarlanl les deux enacaux.

!82 SUPPLÉMENT AU LIVHE 111

elle doit affecter la forme d'une sphère, qui est la seule surfj fermée ayant partout la même courbure moyenne (*).

Mais, en soufflant une bulle dans des carcasses en fils métcM Mliques préalablement mouillés d*eau de savon, on peut obtex^^ir d'autre surfaces à courbures constantes; avec deux annei superposés, comme ceux qui ont servi pour Thuile placée Ai Veau alcoolisée, on peut réaliser les mêmes surfaces que d^ •ce cas (calotte sphérique, cylindre, onduloïde, etc), la prése; •des arêtes métalliques permettant le raccord de surfaces di: rentes de même courbure.

Dans les figures laminaires dont nous avons parlé plus hi et qu'on obtient en plongeant dans le liquide glycérique des «casses en fils métalliques, les deux faces de la lame baignées parTatmosphère. Puisqu'il n'y a pas de changement force élastique en traversant ces lames, leur courbure moya

<ioit être nulle ( p + ôt = ^ ) ^^ P^*^° satisfait à

•(1) La force élastiqae à l'iDlérieur d'une bulle d'eau (le savon de rayocm -flurpasse la force élastique extérieure de la quantité

En formant à l'extrémité d'une pipe une bulle d'eau de savon on paut ^ •nattant le tuyau en communication avec un petit manomètre à eau» mess^ rexccs de force élastique p. C'est ce qu'a fait d'abord M. Henry en ^ (communication à la Société Américaine ) et ensuite Plat<)au. La connaiss»^ de R et de p permet, d'après la formule ci-dessus, de calculer la valeur d^ tension superflcielle A. Plateau a trouvé ainsi pour le liquide glycérique 4ui servait à former ses bulles lemêmenombrc que par laméthode décritep loin et qui est fondée sur l'ascension du liquide dans un tube <ïapillaire.

Plateau a constate aussi un point fort intéressant, c'est que la valeur da

■ne change pas quand la bulle s'amincit, ce qui arrive quand on la con

sous cloche pendant longtemps ; elle est encore la mCme au moment où elle

va éclater. Or, le phénomène dss couleurs des lames minces fait voir que

•l'épaisseur de la bulle est alors environ de j7T[rr de millimètre. Comme le»

tensions superficielles de Tune et l'autre face ne varient pas, même pour cette épaisseur très faible, il faut en conclure que le rayon de la sphère d'activité

^sl inférieur à .- ^^^ de millimètre.

«te

condition ; dans les exemples cités plus haut où la carcasse est un tétraèdre régrulier ou un cube, les lames sont effectivement planes. Mais il y a des surfaces gauches qui jouissent aussi delà propriété d'avoir une courbure moyenne nulle en tous leurs points : Tune des courbures principales étant concave d*un côté, l'autre courbure principale concave de l'autre côté, et les deux rayons de courbure ayant la même valeur absolue.

M. Plateau a réalisé quelques-unes de ces surfaces laminaires, sont là autant de confirmations de l'exactitude de la formule Laplace.

9. ÉQUILIBRE DE TROIS FLUIDES AU CONTACT. — Supposons Cfu^une goutte d*eau soit déposée à la surface d'un bain de mercixre; le pourtour de la surface de contact de Teau et du mercure est une ligne commune aux trois fluides air, eau, mercure.

Quand trois fluides ont ainsi une ligne commune, les trois angles que forment entre elles les surfaces de séparation des fluides prises deux à deux sont déterminés, dans Tétat d'équili bre, par la valeur des trois tensions superflcielles.

Prenons comme plan de flgure un plan normal à la ligne commune OX aux trois fluides, soit 0 sa trace (flg. 19), et ^ soient OM, ON, OP les traces des surfaces de séparation des troisfluidesl,2. 3.

Une portion de longueur inftniment petite «, prise en 0 sur la ligne OX, est soumise i l'action des trois tensions *°' *^*

superficielles F|. F„ F;, situées dans le plan de figure et dont ^ valeurs sont respectivement cA|, cAj, et «As. Si ces trois forces, appliquées en 0, se font équilibre, on a, comme on le ^*it, la relation (Dynamique § 20, note i) :

sin NOP sin POM sin MON eA| cAj eA3

1^8 sinus des angles de deux surfaces de séparation sont pro-

poriionneh aux valeurs des tensions superûeieUeH cotrespoa^ dant i la troisième surface, dans léiat d équilibre.

On peut obtenir, par conséquent, la valeur de ces angles construisant un triangle dont les trois côtés ont des longui proportionnelles aux valeurs des trois tensions superficielles A A, et A3. Pour que la construction de ce triangle soit possibli c'est-à-dire pour que l'équilibre soit possible, il faut qu'aucui des trois tensions superficielles ne soit supérieure à la des deux autres. '

Par exemple, dans le cas de Tair, de Thuile d'olive et de l'eai on a : A4 = 86,9 (air et huile); Aj = 81 (air et eau); A3=20,l (eau et huile). Comme on a A, >> Ai-f-Aj, l'équilibre est im] sible; aussi, quand on vient à déposer une goutte d*huile à surface de l'eau, celle-ci ne peut rester en équilibre et elle sV indéfiniment sur la surface de Teau (*).

10. ANGLE DE RACCORDEMENT. — Au contact d'un fluide et d' solide, il existe une tension superficielle comme au contact d*u^

fluide et d'un liquide, pour 1 mêmes raisons.

Considérons un solide 1 (fig*' 20), baigné par un liquide 2 el par un nuire fluide 3. Soit O la trace sur un plan normal de It ligne OX commune aux trois corps; soit NOP la trace de la surface solide et OM celle de k surface de séparation des deux fluides. Il existe aux trois sur* faces de séparationiOM, ON, OP, trois tensions superficielles; dé* F»o. iO. signons par A|, A^, A3 leurs va-

leurs respectives..

Ici le corps i étant solide et ne pouvant se déformer, comme

(1) Si a surface de l'eau est large et la goutte d'huile petite, celle-ci peut cesser de s'étaler avant d'avoir alleinl les bords du vase. On conçoit, en effet, que la goutte puisse devenir assez mince pour que son épaisseur soit ooniptt»

dans le cas précédent, les troi» lonsions superRoielles peuvent avoir une résultanle normale à la paroi solide NP; celle résultante est, dans l'état d'équilibre, détruite par l'adhérence du fluide au solide et par la résistance qu'oppose le solide à la déroroiation. Mais ces tensions su perlici elles ae peuvent avoir de résultante parallèle ou oblique à NP dans l'état d'équilibre, puis- I que rien ne s'opposerait au grlissemenl des particules lluides delà iigne OXsur la paroi solide. Il faut donc que la somme de leurs projet-lions sur NP soit nulle.

■ On appelle siiffle de raccordemoiit l'angle MON que fait avec la surface solide ON la surface de séparation OM des deux fluides. En désignant par u sa valeur, ou a donc la cundilion :

A, cos a + A, — Aj = 0

Si I*oaa '>~^-t — ■' > — ' l'équilibre est possible, car l'angle tt est réel. Si, au contraire, la valeur absolue de la diffé- 'WCQ ^j — Aj (isl supérieure A A,, l'équilibre est impossible; dans <^ ra:s, la ligne OX qui termine la surface OM glisse sur le solide jusqu'à son extrémité et la surface de séparation des deux iluirle s devient tangente à In surface solide. Si le fluide 3 est de l'air ftle fïuide 2 un liquide, c'est le liquide qui couvre toute la surfew ^t l'on dit alors qu'il mouille parfaitemeiil le solide. Tel est l« 6»s, par exemple, de l'eau et du verre. Une goutte placée

TlH*^Q njort de II «phèr» d'aclivilt ol jiour que les loia prvcédenlua *e l/oin^tt-t en dihut. Quand l'huila cesse de s'étaler, comme bUc donne paiiMtie« au phânuuiene de colonlion due lames niioDes, aa couleur persil, »iaaiqHï nons le verronsen optique, d'oblenir son épaisseur el, par fon- ^^cm, d'ublGDÏr une grandeur de mfmc ordre que le rayon de la sphère ••aeUviii. On trouve ainsi i^ue ce rnyon est de rardro de» dix-tniUièiUFS île ^lliaêtra, camine dans l'expérience do l'Uleau rapportée plus h»ul.

sur du verre parfaitetnent propre s'y étale indéfinimeat : l'eau mouille parfaitement le verre.

Il n*en est plus ainsi pour le mercure et le verre, il y a dans C0 cas un angle de raccordement égal à 40* environ pour Tétai d'équilibre; aussi, une goutte de mercure déposée à la surface du verre ne s'étale pas, prend une forme presque sphérique si elle est petite, aplatie si elle est plus grosse, mais, dans tous les cas, la surface du mercure et celle du verre se raccordent sous Tangii de 40\

La valeur de Tangle de raccordement ne dépend, d'après formule (i), que des trois substances en présence.

On ne peut songer à vérifler expérimentalement l'exactituL^^cie de cette formule, car si Ton peut obtenir directement A|, on -ne saurait obtenir directement ni A^ni A3 ni leur différence A3 — ^^• Mais, au moyen de la formule (1) et de la valeur de Tangle ^c raccordement qui peut être mesuré, comme nous le verrou» t<^ à rheure, on peut en déduire A3 — Aj.

Du reste, la valeur des tensions superficielles A|, A^, A^* ^^ dépendant que de la nature des surfaces en contact et non d^ ^* nature des parties profondes, on conçoit que la moindre altéra, t-*^** chimique des surfaces puisse complètement modifier ces val^*-*** et, par conséquent, la valeur de l'angle de raccordement, t^^ exemple, si la surface du verre est recouverte d*une coucha ^^ matière grasse, même tout à fait invisible, comme cela a toiu< lieu si l!on n'a pas pris soin de nettoyer parfaitement le \e Teau ne mouille plus la surface graissée et une gouttelette dt^ .. liquide peut être déposée sans s'étaler. Si le mercure est ox ^ *" à sa surface il mouille le verre.

il. ÉQUATION DE LA SURFACE LIBRE D'UN UQUIDE. — Il est C

que l'influence de la tension superficielle ne peut en rien fau la loi trouvée en hydrostatique, que tous les points dun p horizontal placés dans un même fluide en équilibre et l qu'on puisse passer d'un point à Fautre sans sortir du flu^^ ont même force élastique (même pression par unité de suria et, plus généralement, que deux points situés dans Je m fluide de poids spécifique absolu d à une distance verticale présentent une difTéreuce de force élastique hi^ au moius»

aiAcun des deux points n'est situé assez près de la surface libre dvx liquide pour que ta distance à cette surface soit moiadre 4ma« la rayon de la sphère d'activité.

Il n'y a qu'à reprendre les raisonnements faits pour démontrer ce théoriVine fondamental pour voir qu'ils ne sont en lien naodiflés par l'existence de la tension superficielle.

Ce point établi, supposons que, par une cause quelconque, une portion de la surface libre d'un liquide soit courbe (fl^. 21}, tandis (pji*il existe une portion plane et horizontale de la surface du même liquide; nous allons établir une relation entre la courbure en H et la diRtance y d'un point M de In surface libre au plan horizontal \'X auquel appartient la portion plane UX de la surface libre.

Soit P la force élastique de l'atmosphère qui surmonte le liquide. Comme en traversant la surface de séparation plane de (■eux fluides, il n'y a aucun changement brusque dans la valeur "® 'n force élastique, P représente la force élastique de tous les Points du liquide voisins de la surface UX et, par conséquent, P '^prësente la force élastique en tous les points de la portion du plaa horizontal X'X située dans le liquide. Supposons, pour ^Xer les idées, qu'en M la surface courbe tourne sa concavité du i^té de l'atmosphère ; on passant de l'atmosphère dans le liquide

en M, la force élastique éprouve une brusque diminution p el devient P — p. En un poinl m situé sur la verticale passant psr M et (tans le plan X'OX la force élastique est, par conséquent, P — p-)"!ï'^i ^f^ ''^^'8"*i'' Pf" ^ '® poids spécillque ahsolu »lu liquide. Or on m la force élaslique est égale à P, ou a donc la relation :

Cette formule est générale, comme on peut le voir sans peine , elle s'applique que la surface libre tourne sa convexité vers l'extérieur ou sa concavité, à condition de considérer p comme positif, si, la surface libre tournant sa concavité vers l'atmosphère, il y a diminution de force élastique en passant dans le liquide, et de considérer p comme négatif si la surface tournant vers l'atmosphère sa convexité, il y a accroissement de force élastique en passant dans le liquide. Dans le premier cas, y est positif, la surface courbe s'élève au-dessus de X'X.; dans le second cas, y est négatif, la surface courbe s'abaisse au-dessous de X'X.

Du reste, rappelons-nous qu'en appelant R et R' les rayons de courbure principaux en M la formule de Laplace donne :

Avec les conventions de signe que nous venons de faire il faut considérer R et R' comme positifs, s'ils appartiennent à ilue courbes tournant leur concavité vers l'atmosphère, et comme négatifs dans le cas contraire.

CAPILLARITE 189

Faisons remarquer, enfin, que y ne dépend pas de la force

élastique de l'atmosphère. Quand, au lieu d*air, le vide existe

au— dessus du liquide, la valeur do la tension superficielle A est

pexM, changée et, par conséquent, y est à peu près le même. Dans

Je o^is où le vide suftnonte le liquide, la force élastique dans la