partie soulevée au-dessus de X'X est négative, puisqu'elle est
moindre que sur X'X où elle est nulle; c'est à dire que dans
cette partie le liquide est dans un élat de tension, ses particules
tenciant à se rapprocher et non à s'écarter comme dans les cir-
coi3.stances les plus ordinaires (^).
P^ous allons faire plusieurs applications de cette formule importan te, qui représente Téquation de la surface libre du liquîcie.
« a. FORME DE LA SURFACE LIBRE D'UN LIQUIDE QUI BAIGNE UNE PA^^OI PLANE. — Commençons par le cas simple où la paroi est plane et éloignée de toute autre paroi.
HIn vertu des lois de l'hydrostatique, la surface libre du liquide loin de la paroi est un plan horizontal; mais dans le voisinage de celle-ci la surface se recourbe pour la joindre sous Tan^lede raccordement a. Du reste, comme la paroi est plane, cette surface courbe est cylindrique et ses génératrices sont horizontales. L^n des rayons de courbure étant infini, la formule (2) du paragraphe précédent se réduit à
c^ le rayon de courbure R est celui de la ligne d'intersection de co cylindre et d'un plan perpendiculaire aux génératrices.
W II est clair que dans ce que nous venons de dire, nous ne tenons pas ^Qpte du terme constant K de Laplace (voir page 174, note 1). Nous le répétons, rinfluence de ce terme ne se faisant sentir sur aucun phénco^^nc, nous le négligerons toujours.
Choisissons l'un de ces plans pour plan de ûgure ; Boil PQ (Rg. 22) la section de la paroi ; soit X'OX la trace du plan horizontal formant la surface libre du liquide loin de la paroi. Prenons cette droite OX comme axe des abscisses et prenons un axe des ordonnées OY perpendiculaire à X'OX ; l'égalité (1) représente l'équation de la section de la surface libre.
Le rayon de courbure R est variable avec x; en désignant par y' et y" la dérivée première et la dérivée seconde de y par rapport à x, on a, comme on le sait, la relation
el, en remplaçant cette valeur dans (1), il vient
A et D étant des constantes. Telle est l'équation différentielle de la courbe. Pour la mettre sous forme finie, multiplions les deux
CAPIIJARITÉ 191
membres par 2;^ et égalons les fonctions primitives de ces deux membres, il vient, en désignant par G une constante :
Menons la tangente MT à la courbe en un point M ; soil ç l'angle que forme cette tangente avec la direction positive de OX. On
sait qu'on a tango =y' d*où: cos9 = — — . En subsli-
tuant dans la formule, il vient :
2A (^> y^ = C-\-^ cos 9
• Cetle forme va nous être commode pour introduire Tangie de raccordement. Déterminons d'abord la valeur de G ; pour cela cousidérons le point M assez loin de la paroi pour se trouver dans la région plane de la surface de séparation; on a alors y=:0 et cosçp = — 1 ; d'où :
0 = C-^ ou 0==^
en remplaçant G par sa valeur dans (5), il vient :
(6) yi = (l+C08(p)
Appliquons maintenant cette formule générale pour avoir Tordonnée e du point L où la surface liquide touche la paroi. Si nous appelons p l'angle PKX que forme la paroi avec un plan horizontal et a la valeur de Tangle de raccordement PLS (LS étant la tengente à la courbe en L), on a, dans ce cas, pour la Taleur particulière LSX de l'angle 9 :
9 = p -|- 7c — a et, par conséquent : cos 9 = — cos (p — a)
192 SUPPLÉMENT AU LIVRE lil
d'où :
(!) .• = ^[l-co8(p-.)]
oa encore :
Vt['-'»'^<p-'']
Le signe -\- convient si, comme noue l'avons supposé, L
cavité de la surface est tournée vers le haut, c'esl-Â-dira
on a ? ■< «.
P convexité avs
'ijftX tournée vert l
t'fkA / c'est-à-dire si
"x-^m^^^^^^^^^^^m^ (flg. 23). nou
miner quelqui particuliers où celle foiTOule s'applique, pour arriver aux ■ cations expérimentales.
1" La paroi est verticale. — Dans ce cas ? ^= -3 e' 1:
mule (8) donne :
tV¥(
Le signe -f- devant se prendre si a > - le si^e — di
cas où a < I (Qg. 24).
Si le liquide mouille parraitement la paroi, il s'étend jm
bint de la lame ; mais la tangente à la courbe qui forme la
surfoce libre du liquide devient verticale pour une hauteur
finie que nous obtiendrons en
EaisaDl z^n daas la formule • «t
ciilessus (Rg. 25) ; ^
Au-dessus (iu point L tl'oidonnée ft le liquide forme contre la paroi solide une couche ntrèmemeat mince, d'épais- «or UDifonne. En appelant / Il largeur de la lame liana le (eus horizonlal, la tension su- ru,. «.
pnflcielle de cette lame liquide
nrticsie est AI; elle fait équilibre au poids du liquide LKR fonlevé BU-deasuB de KX. Tel est le cas de l'eau et d'une lame de verre.
(Ij CtlcDloDt la poidi du liquide soulevé au-desBUS de KX. Soit l la larpv di U lime comptée parailèlemeDl aux gia^ratricei de la surface cfliD- 'ri^e; OD ■ pour es poids P :
Lt poidi du liquide souIcTé est «gai i la Icdsîod auperOcielle AI. Ce a'tii M qa'aat TirificatiOD de l'exactitude de DOa calculs, puisque ce rjtnltal <Uit *»W«Bt a priori eoimne nona le moutroDS dau le leiia.
194 aL'PPLKMENT AU LIVRE IH
i* La PAROI KST HORIZONTALE. — Si la paroi est h a ^^0 ou p=^^', nous examinerons seulement o (11^. ^6), pour lequel la formule (8) devient :
Si le rayo
Siijiposons goutte de men sur un plan ho verve; celt« plane, exceptf hords, et la cii du pourtour d< ayant un rayon vis-à-vis du i%y bure d'une sec cale du bord, o filiger l'inverBt rayon de cour \is dp l'invers eu qui revient le pourtour df cylindrique. I (11) s'applique (lig. 26), et
'"=■ *"■ formule — e,
l'épaisseur de
la goutte n'est pas très grand, s'il et par exemple i
,1) DuAiHs, Aua. de Pbya. et de Càim. 3< <«rie, 1. LI (tK
13 APPLICATION DES FORMULES PRÉCÉDENTES A LA MESURE DE L'AHGLE DE RACCORDEMENT ET DE LA VALEUR DE LA TENSION SU- PERFICIELLE DU MERCURE. — En mesurant la dépression — fi que subit le mercure au contact d'une lame de verre verticale (fl^. 24), et en mesurant l'épaisseur — e^ d'une large goutte do mercure placée sur une plaque de verre horizontale (flg. 26), les formules (9) et (11) du paragraphe précédent permettent de calculer la valeur de Tangle de raccordement a et la valeur de la tension superficielle A.
On a, en effet :
e^* = ^ ( 1 + cos a
Voici les résultats qui ont été obtenus pour le mercure et le verre (*), d'après les observations de
Gay-Lussac Danger M. Ed. Desains
11 n'est pas surprenant de ne pas trouver un parfait accord entre les nombres déduits des observations de ces trois expérimentaleurs. Comme nous l'avons déjà dit, la moindre allération superficielle du mercure peut modifier la valeur de A et de 1. En oulre, la nature du verre et surtout le plus ou moins de netteté de sa surface influent sur la valeur de a.
