ASCENSION OU DÉPRESSION D'UN LIQUIDE ENTRE DEUX LAMES

— Nous venons de voir que dans le voisinage d'une lame plane, et jusqu'à une certaine distance que nous désignerons par a, la >urface libre d'un liquide n'était plus un plan horizontal. Si deux

'li Desains, loc. eit.

lames parallèles plongent dans le liquide d'une cuve et une distance inférieure à ia, la surface libre du liquid nulle part entre les lames un plan horizontal. Quand l'ai raccordement est obtus, c'est-à-dire quand le liquide se le long des lames, comme dans le ces de l'eau et du v< surface libre tourne sa concavité vers l'air (flg. 27); qtu

contraire, l'angle de raccordement est aigu, quand le s'abaisse le long de la lame, comme dans le cas du mer du verre, la surface libre tourne fa convexité vers l'air (Il Du reste, la surface libre est évidemment un cyliodn ses génératrices horizontales et parallèles aux lames. I rayons de courbure est inllni, l'autru R est le rayon de ce de In section droite de ce cylindre. La varialion p de li élastique en traversant la surface courbe e^l donc encore par :

et l'équation de la surface par

£>aiis le deuxième cae, celui do la fig. 28, R, p et y sont né- Ka tîTs : le liquide s'abaisse entre les lames au-dessous de X'OX. Si les louies sont très lapprochées, le rayon R est Ij-ès petit. En effet, les Inngenles AO et BO (n^ 29] aux points A et B où la BUi-face ACB touclie la lame foui toujours entre elles le même on- (çl« AOB, double do l'angle do raccorriemeut ou de son supplément, *1"p1 que soit l'écartument des laities; la courbure de la surface ACB ^*ï donc d'autant plus forte que '^s points de contact A et B sont PÏUs rapprochés (elle est plus forte ''"'■*''■

pour ACB' que pour ACB sur la

'RTJre), c'est-à-dire que le rayon de courbure est d'autant plus Petit que la distance des lames est moindre.

Or, quand R est petit, y est grand, et la variation de y pour ^s divers points de la surface étant une faible fraction de sa va- "^Ur, les variations de R ne août aussi qu'une faible fraction de

donc coQsidérer R

aleur. Si les lames sont très rapprochées, nous pou lomme conslanl pour tous les poin la surface libre, c'est-à-dire considé surface comme une portion de c)'lin> base circulaire. Il est facile alors de ver une relation enlre le rayon de i bure R, la disinnce d des lames et Vde raccordement «. Menons aux poin raccoi'dcment A et B (flg. 30) les tang AO et BO à l'arc du cercle ; inenoi centre C de ce cercle les rayons CA i de longueur R; enfin, menons la cord de longueur d. On a :

d^iRcosCAB

Et comme BA et CA sont respei ment perpendiculaires à la paroi PQ Iii tangente AO, on a :

gcosa d

Cette relation est générale, que le ménisijue soit conca convexe; dans ce dernier cas, R est négatif et cosx poeît qui donne bien encore une valeur positive pour d.

En remplaçant dans' la formule (1), il vient :

3A cos 1 DcT"

On peut arriver plus directement à établir cette'fonn même à litablir une formule tout à fait rigoureuse. Considé par exemple, le cas où le liquide s'élève entre des lames j

GAPIFJARITE

lèles verticales. La pression sur la partie MN du plan horizontal XX' (fig. 31), comprise entre les lames, est la même que si cette partie MN formait la surface libredu liquide, lacoionne ABMN n'existant pas. Il faut donc que le poids de cette colonne soit équilibre par les forces capillaires. Or, le poirls de la colonne ABMN est égal à ^t ItlD -f- p, en désirant par / la loni?xieur <le la ligne horizontale suivant iac|uelle le licjuide to lâche chaque lame,

pa.r y^ la hauteur au-dessus de X'X du point C le plus bas du

"Ménisque et par p le poids du ménisque lui-même, c'est-à-dire

*^^ tout le litiuide qui se trouve au-dessus du plan horizontal

f^GQ tangent à la base du ménisque. D'autre part, nous pou-

^'Ons considérer les forces capillaires comme provenant de l'ac-

lion attractive produite par la ligne liquide de la surface libre

^^i est adhérente à la paroi en A ou en B sur une ligne liquide

Parallèle et infiniment voisine située aussi sur la surface libre.

^^tre ces deux lignes s'exerce une tension superficielle égale

^ ^i ; cette force AF (ou BF') fait avec la verticale AR un angle

^^^i au supplément de l'angle de raccordement a. Les compo-

^^'^tes verticales des deux forces AF et BF' sont donc égales

^^^ao-xine à — A7cosa, et, comme la somme de ces deux com-

'^^'ï^tntes doit faire équilibre au poids de la colonne soulevée,

FiG. 31.

OiU :

— 2A/ cos a = y,WD + p

yi = —

2Acosx Dd

Hdl

SUPPLEMENT AU l-IVRE III

Èà

Des considéra lions analogues conduiraient encore à la formule (4), dans le cas de la dépression du liquide entre les lames; dans ce CHS, p est une quantité négative dont la valeur absolue est le poids du volume de liquide qui remplirait l'espace PGAQCB (flfr. 32) compris entre le ménisque, le plan tangent au sommet de celui-ci el les parois.

Si, dans cette formule rit;oureu5e, on considère comme négligeable le poids f du ménisque, on retombe sur la formule (3).

''" ^ Ou voit que, si, dans la formule (8

l'angle de raccordement « est oblus

y est positif: il y a ascension du liquide eniro les l«mes; b

V. est aigu, y est négaltf : il y a dépression du liquide entre lei

lames.

La formule (S montre que la quan tité y dont s*élève o* s'abaisse un inèini liquide entre deu:

lames parallèles d même nature (pou que I soit le même' rerie en raison in verse de la distane des lames, dès qu celles-ci sont sufB samment rappro cliées pour que I formule (3) soit •[ plicable(fig.S3)

licalps, mais doq parallètei, qu'elles ticalc D jcessaiivmeiit , el qu'elles tassent (Bg. Si). Soll POR (Og. 3&] la acctlon de

(ItSuppoaons qae Ii

deux lames BoieDl Te

euivanl une droite, ve

elles un 1res petit Ukgie

ngle par le plan

Dons le cas où le liquide mouille les lames, la formule (3) devient :

est égal à X et

qui rarme la Burface libre du liquide dans la cuve loin des lamca. Menons la bi«»eciriee OX de cet angle; en un point M de cette bissectrice, ailué à une

c OM =

•ommel 0 Je l'angle, meDons ane perpendiculaire AB à la bis- »e«triee : appelons i i« langueur de cetle

On a la relation :

Or, on peut admet' Ire , «ans grsDds er- — ^^ «sur. quen chaque ^.^^ ^.

point M la hauteur y du liquide contenu

enlrp les lamea cal la mCme que la hauteur du niEni<

lame» parallèles situfes k II

■nême distance AB = d; celle

t>auteur étant donnée par la

(ariiiiile|3),ai nous rem plaçons

<Uns celle-ci à par la valeur

liquide entre deux

s de t

Celle formule repréaente l'cqualion de l'intersection de la aurhce libre du liqBide «oateon entre les lames par le plan bissecteur du dièdro formé par

15. ASCENSION OU DÉPRESSION DES LIQUIDES DANS LES TUB CAPILLAIRES. — Pour la mc^me raison que dans le cas de lames, la surface terminale d'un liquide dans un tube d faible diamètre doit être courbe, excepté pour le cas tout particulier où l'angle de raccordement serait droit. Si Tangle d* raccordement est obtus, le ménisque est concave, s'il est ai le ménisque est convexe. Dans le premier cas, le liquide do s'élever dans le tube à une certaine hauteur au-dessus niveau XK' (Hg, 36) de la cuve où est plongée son extrémi

FiG. 36.

inférieure ; dans le second cas, il doit s'abaisser (fig. 37). Soil comme plus haut, y la distance au plan X'X d*un point de l. surface libre; l'équation de cette surface (form. 2 g 11) est :

Cette égalité montre que la hauteur y du liquide ne dépend

ces lames, en prenoQl pour axe des abscisses la ligne OX, et pour ax^ de» ordonnées la ligne d'inlerseclion OV des deux lames verticales. On reconnaît ré(iuation d'une hyperbole cquilatère ayant pour asymplotes les wjLf-^ de coordonnées OX et OV. Tel est en effet, le résultat que donne l*ezpérienre fip. M .

CAPILLARITE 203

des propriétés du tube à l'endroit où s'arrf-te le liquide; , la valeur de l'angle de raccordement ne dépendant que de ■tatnre du tube à In 'ace terminale , K el ne dépendent que de lature, de la forme et

dimensions du tube endroit où s'arrête le ide et non ailleurs.

>t ainsi, en particulier,

y est indépendant de orme du tube au-des-

ou au-dessous de Ten-

it où s'arrête le liqui-

- dans un tube é\i

dans un tube cylindri-

• ayant mêmes diamè- Fie. st.

s à l'endroit où s'arrêle

liquide, celui-ci s'élève aussi liaut (flg. 38).

îi le tube est un cylindre à section circulaire , ce qui esl

Mme la plus commune, la surface terminale e&t de révolu- ■ Autour de l'axe du cylindre, el le point du ménisque si-

tué sur l'axe a ses deux rayons de courbures principaux égaui entre eux; soit R| leur valeur, et yi, l'ordonaé de ce poiat

Pour leB auLres points, les deux rayons de courbures dilTèr» ^ entre eux; mais, si le diamètre du tube est suflisamment pelil,. élant petit aussi, y est graml, et les variations de 1/ pour lesdivc^ points du ménisque sont une très faible fractlou de sa valeL.a.,

il en résulte que la variation de la courbure moyenne

est une faible fraction de sa valeur,

On peut alors négliger cette variation, c'est-à-dire cnnsidtîi-er ce ménisque comme une portion dt sphère, qui est la s(?u((> surracG de révolution rericontriiut l'nxo ayant partout la iiiôina courbure moyenne; en appelant alors H| le rayon de celte s|ilièrc: la forniule (1) donne la hauteur à laquelle le liquide s'élève ou dont il s'abaisse, suivant que R, est positif (ménisque concave) ou négatif (ménisque convexe).

Remplai^fins lu rayon de courbure de cetlo sphère par s» valeur en Ibnclion de l'angle de raccordement a et du diauièl»^ ' du tube. Le raisonnement l'ait dans le cas des lames g H dons conduit évidemment à la même valeur do H,