CHAPITRE III RÉFRACTION
1. TRANSHISSIOll DE LA LUMIÈRE PâR DIFFUSIOR ET PU -»■ nUCnOH. — Quand ud rayon lumineux tombe à la surraca (K- '"'i corps lransE-^3*' i-ent, ilyalei^ JM souvent pass^ 8* de la lumière ■ travers ce cor^^**- Si la surface "* séparation ^^* mate, le lunûfc' ** est diffusée da.-** toutes les dire ^*^ lions à trave^ -^ celui-ci; mais la surface e-*"^ polie, la lumiè^^ traverse lecori^^ transparent soi^^ forme d'un rayoi^^ IS'(fig. 86) doD^ la position es -^ déterminée par la direction du rayon incident SI et par celle d^^ la surface XX'. Ce rayon n'est pas, en général, dans le prolon^ — ' gement du rayon incident : l'enâcmble SIR des deux i ^
forme une ligne brisée, de là le nom de réfraction donna i
Fie. se.
lîEFRACTiUN
phénomène (de refrïngere, briser) et le nom de rayon réfracté dooné au rayon IS' qui se propage dans le second milieu. On appelle angle de réfraclion l'angle ë'IN' que forme le layon rérraclé IS' avec la normale IN' à la surface menée par le point «l'incidence 1.
Du reste, le phénomène de réllexion accompagne loujours le phénomène de réfraction ; une portion de la lumière incidente ee Ipouvo sur le rayon roUeclii, l'autre sur le rayon lélracté.
Nous nous occuperons soidnineut ici de la direction du rayon téfracté.
2. LOIS GÉOMËTRIQUES DE LA RÉFRACTION. — Les lois géométriques de la rétraction onl été données par Descarles |<); en voici l'énoncé :
1* -L^ rayon réfracté est dans le plan d'incidence, les rayons iBcidents et réfractés étant de pari et tî autre de la normale.
Ou voit que le plan d'incidence conlioiit les trais rayons incl- ''pnl, réfléchi et réfracté.
^ Quel que soil fiingle d'incidence , il existe un rapport toastaat entre le sinus de cet angle et le sinus de l'angle de '^^raclioa.
^^ rapport constant a reçu le nom d'indice de rvfraclion du 'ÊcoQti milieu transparent par rapport au premier milieu tra- Qrsé par la lumière. Ainsi, quand la lumière ]iasse de l'air "^ l'eau, le rapport constant qui existe entre le sinus de ^"8l<5 d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction est égal
ippelant j et r les angles d'incidence et de réfraction et n *ce de réfraction, cette loi 6'écrit :
sin 1 tiio r
t^ni DcBcarlas est ni i La Haye, t
Discussion. — Quand Tangle d*incideace est faible Tangle de réfraction est faible aussi, d*après la loi précédente; il en] que le rapport des sinus difTère très peu du rapport des eux-mêmes ; de là cette loi énoncée par Kepler avant Descarfc. et qui n*est rigoureuse que pour des angles infiniment petits •
Quand l'angle d'Incidence est faible, il existe un rapfm^^jrt constant entre t angle d'incidence et l'angle de réfraction,
D*après la loi de Descartes, on voit que Tangle de réfrac t.ioQ augmente toujours avec l'angle d'incidence.
Quand Tangle d'incidence est nul, l'angle do réfraction est nul aussi : un rayon incident normal a la surface de séparation d es deux milieux traverse colle-ci sans subir de déviation; c*est le seul cas où il en soit ainsi.
Les deux angles d'incidence et de réfraction croissent doac
ensemble à partir de la valeur zéro. Si Tindice de réfraction ^st
supérieur à Tunité (n>l), Tangle de réfraction croît moins vite
que l'angle d'incidence : le rayon se rapproche de la normale ^o
traversant la surface de séparation des deux milieux. Ainsi qu^Kid
un rayon lumineux passe de l'air dans Teau, l'indice de réfr^c-
tion étant ici égal à -, le rayon se rapproche de la normalo «n
se réfractant.
Dans ce cas, l'angle d'incidence f peut croître jusqu'à un ac^^^^
droit sans que la formule (1) cesse de donner une valeur ré^^^
pour l'angle de réfraction. Pour l'incidence rasante ft= *«)»
l'angle de réfraction prend la plus grande valeur / qu'il jp^**^ atteindre; d'après la formule (1), cette valeur est fournie p^*" * relation :
(2) -r— : = n OU sin / = -
sm/ n
Si l'indice de réfraction est plus petit que l'unité (n ^^ '' l'angle de réfraction ci*oit plus vite que l'angle d'incidence -^ rayon lumineux s'écarte de la normale eu traversant la suri
) séparation des deux milieux. Ainsi, quund un rayon lumiii Fpa&se de l'eau dans l'air, l'indicQ de rêrractioii étant ici i
, le rayon s'écarte i:
I normale en se réfractant.
Dans ce cas, l'angle d'incidence t né peut pas croître jusqu'à un augle droit sans que la formule (1) cesa-e du donner pour r une valour réelle. En effet, pour une valeur ( de l'angle d'incidence telle que son sinus soit égal à l'indice de réfraction (sin I = n),
OQ voit que l'angle de réfraction est égal à ^ ; c'est-à-dire que,
pour la valeur l de l'angle d'incidence le rayon réfracté fait un angle droil avec ta normale, est tangent à la surface de séparation. U est clair que l'angle de réfractiou ne peut pas prendre une valeur plus grande, et tu formule (1) nous montre, du reste, que pour les valeurs de i supérieures à l, l'angle r devient imaginaire, puisque son sinus est plus grendque l'unité. Aussiappellel-on cette valeur / de l'angle d'incidence tangie limile.
RBM.BXI0N TOTALE. — Quel est donc le phénomène qui se proouil c|tiBnd l'angle d'incidence devient supérieur à l'angle limite ?
l'expérience prouve que, dans ce cas, loule la lumière incidente se trouve rétléchie à la surface de séparaliou des deux "^"'«ux. Ainsi, quand un rayon lumineux, qui a traversé l'eau, raocontre la surface de ce liquide en faisant avec la normale "" *Ugle supérieur à l'angle limite, égal ici à 48° 35', la lumière ",* pénètre pas dans l'air, elle est entièrement réfléchie à linté- "eur de l'eau. Ce phénomène a reçu le nom de réOexian totale.
"U reste, ce n'est pas brusquement que lu réflexion totale ***■ acquise. Quand l'angle d'incidence est inférieur à l'angle 'itiite, il y a, outre le rayon réfracté, un rayon réfléchi sur HUel se trouve une portion de la lumière incidente. Ce rayon ' '^lii a une inloosité relative assez faible, tant que l'angle
.'"cidenct
t loin de la valeur limite ; mais dans le voisinage
Celle valeur, son intensité croit rapitlemenl pour devenir °^e à celle du rayon incident à l'angle limite.
*■ CoBSTRDCTION GÉÛMÉTRIUDE.— Supposons qu'on donne lasur TodE II 30
face de séparation de deux milieux traRsparents, XX'(Qg. 37 ou 3B^ l'indice de réfraction n, et la position SI du rayon incident. II ^ssi facile d'obtei» mr, par une const r«>clion géométanque, basée sur h loi de Descartt?*, la position du rayon réfractt'-
Menons la normale NIN' au point d'incidenoe I et prenons comme plan de figure le plan d'incidence SI?*»'.
ce plan conUe«l le rayon réfracta-
*"'■ "■ position, traçff *"
de 1 pour ceiït«~*i ■deux circonférences CC et C'C ayant des rayons respectiveim proportionnels à l'indice de réfraction donné n, et à l'unité. Jongeons le rayon incident SI jusqu'à sa ronconti'e en A avec ' ■circonférence CC ; menons par A la tangente AT à cette circ*^**' férence jusqu'à sa rencontre en T avec le plan tangent IT m^ ** en I à la surface de séparation XIX'; par le point T menons '' tangente TA' à la deuxième circonférence CC; enfin, joignoift^__'' point de contact A' de cette tangente au point I: la ligne drO*^ lA' est la position du rayon réfracté.
En effet, les deux triangles rectangles ATI et ATI founiis»^^** les relations
lA' = IT 6in ITA'
lA = IT sin ITA
■et en divisant membre à membre
lA'sinlTAlA ~ sin ITA
: n par construction, et, d'autre part, les angles
BODt respectivement égaux aux angles SIN et A'IN' t leurs câtés perpendiculaires ; on a donc :
siaSIN sinA'IN'""
[ étant l'ange d'incidence, l'angle A'I'N est l'angle
) de réfraction est plus grand que runité,la circonféd'un rayon plus grand que C'C'(t)g. 37); le point T, qui extérieur à CC, csL a fortiori extérieur â C'C et l'on
s par
Tracpetit > la bCC ayon
l que K«. DM
conn'est
I si le point T n'est pas â l'intérieur de C'C'.'Oa voit r la ligure 38, que si le point T est sur la circonféle rayon réfraclé est rasant, le rayon incident Aiit nale l'angle limite. Si l'angle d'incidence diminue k tte position, lo point T tombe en dehors de CC, la est possible, il y a un rayon rérracté ; si, au con- ■Ur de cette position, l'angle d'incidence augmente, ombe à l'intérieur de la circonférence CC, la coq-
ri EFn ACTION
plaçant convenablement. Puisque le centre de cet écran se meut dans le plaa d'incidence, le rayon formant l'axe du faisceau réfracté se trouve dans ce pian, ce qui esl la démonstration do la première loi.
t^ ligne G" — 180* élant normale â la surface du liquide, la '^cjure de la position des alidades donne alors immédiatement *'«ngle d'incidence et l'angle de réfraction. En prenant les sinu» "^ ces angles et leur rapport, on constate que ce rapport reste
lo même quelle que soit la valeur de Tangle d'incidence; ce (| est la démonstration de la deuxième loi (').
Si Ton opère comme nous venons de l'indiquer, les rayoK^^s lumineux passent de l'air dans i*eau, et, en traversant la surfas-r^e de séparation, les rayons se rapprochent de la normale. Si rc^f^ dispose Talidade A comme le représente la figure 40, on peut fni. passer les rayons lumineux de Teau dans Tair. On constate alo
(2) Pour trouver le rapport des sinus des angles d*incidence et de rëfractlii^ on peut se dispenser d'avoir recours à une table de sinus, grâce à la dis sitlon suivante: une règle graduée horizontale HR' (fig. ^) pitutêtre dép! parallèlement à elle-inuine, le zéro K de sa graduation restant toujours ^ la ligne verticale VOV passant par le centre O du cercle gradué. Pour o tenir une quantité proportionnelle au sinus de l'angle d'incidence, on soulc ^^'«: la règle jusqu'à ce que son bord supérieur rencontre Textrémité A' de V^ Mi— dade AA' en le pl»;ant dans la position A'K'. La ligne médiane A'O de ce ^t« alidade^ le l>ord supérieur K'A' delà règle et la verticale OK' forment al«= un triangle rectangle dans lequel un a :
K'A' = OA' sin i
en désignant par i l'angle d'incidence qui est égal à l'angle K'OA', cok^ opposé par le sommet.
Après avoir lu la longueur K'A', on déplace la règle horizontale RR' ^ qu'à ce que son bord supérieur rencontre l'exlrémité de Talidade I> ^^* correspond au rayon réfracte. Le triangle OKD donne alors la relaiioa -
KD = OD sin r
on appelant r l'angle de réfraction KOD. En divisant Biembre à ces doux égalités, il vient :
K'A' OA' sin /
KD OD sin r
Or, la longueur des deux alidades étant la même, d'après la coastr
OA' de l'instrument, on a: prrr= 1» et l'égalité ci-dessus devient:
K'A^ sin / KD sinr
le rapport des deux sinus est égal au rapport des deux loofuciurs K'A' et KD.
9 l'alidade D, étant disposée pour recevoir le faisceau réfracter plus écartée de la normale que l'nlidade A.
V. vec cette disposition, l'on trouve aisément la position du fais- >u incident qui donne un faisceau réfracté rasant, c'est-à-dirtt
correspond à l'angle limite. Pour une incidence plus grande, '' « réflexion totale, on ne trouve plus de rayon réfracté; >s , en disposant l'alidade D symétriquement par rapport à â<lade A, on reçoit le faisceau réfléchi qui présenterait la >ne intensité que te faisceau incident, s'il n'y avait pas une ^le perte de lumière due à l'absorption et aux réflexions qui l>roduiEent aux surfaces de séparation de l'air et du verre, et
verre et de l'eau.
^^et appareil ne permet d'établir que d'une façon un peu grosse les lois de la réfraclion. En traitant des mesures optiqueii ^ap. \'III) nous ferons une vériflcation très précise de ces lois. Us allons voir, du reste, que les nombreuses conséquences *OD peut déduire des lois de la réfraction sont toujours en <^ait accord avec le résultat des expériences.
B. LOI DES INDICES DE RtFIUCTlOH. — L'appareil précédent Unet d'obtenir l'indice de réfraction d'un liquide par rapport l'air, comme nous venons de le montrer. On conçoit, du reslc,
qu'en remplaçant le demi-cylindre de liquide par un dei cylindre de verre ou de toute autre substance solide, on puii déterminer Tindice de réfraction du verre ou de celte auti__ substance par rapport à l'air. On conçoit aussi qu*on puisse, noyant un demi-cylindre d'une substance dans un cylindre coi centrique d*une autre substance transparente, prendre Tindice réfraction de la première par rapport à la seconde. En réalil ce n'est pas ainsi qu'on a opéré pour mesurer les indices réfraction; nous verrons, en eflet, plus loin, d'autres métliodft plus commodes et, en général, plus précises pour obtenir ce I grandeur. Mais il est utile de donner tout de suite quelqim résultats importants qu'on peut déduire de la mesure des indic^^s de réfraction, avant de décrire ces méthodes qui trouveront mieux leur plqpe plus loin.
Quand un rayon lumineux passe, sous une incidence obliqimo, du vide à une autre substance solide, liquide ou gazeuse, le rayon se rapproche toujours de la normale; autrement dit, l'indice rf© réfraction est plus grand que Tunité. On appelle indice de rétn^^^> lion absolu d'une substance l'indice de réfraction dans le passa S^ de la lumière du vide à cette substance.
Cet indice de réfraction absolu, toujours supérieur à l'unité^ ^^ est très voisin pour les gaz : ainsi, l'indice absolu de l'air ^^<^c à 0* sous la press on de 76 cent, de mercure est égal à 1,000±^^ -^« Pour les liquides et les solides il est plus considérable : aii Tindice absolu de Teau est égal à 1,33 et celui du quartz à 1, Un corps est dit plus réfringent qu'un autre quand son ind. m ^^ absolu est plus considérable.
En divisant l'indice de réfraction absolu b d'une substance B y^ ^
l'indice absolu a de la substance A, le quotient — est l'indice ^^
réfraction n dans le passage de la lumière de la substance A ^m ^ substance B (i) :
(t) Nous avons appelé n Tindlce de réfraction de A par rapport i ^# on lui donne quelquefois, pour mieux le dislinfuer de rindioe de rAAraeAlo^ absolu, le nom d'indice de réfraction relatif de A par rapport à B.
iCy en appelant a et p les angles d*incidence et de ins le passage de la lumière de A à B :
sina b
sin p a
a sin a = 6 sin p
le réfraction absolu de Tair a étant très voisin de it, d'après cette loi, que Tindice de réfraction n d*une )lide ou liquide par rapporta Tair est très voisin de 3 réfraction absolu b.
rer de cette loi une conséquence qui est, en quelque éralisation de la loi elle-même. Soient n etn' les in- *8ction de deux substances B et B' par rapport à une ince A; désignons par b, b' et a les indices do réfrac- ; des trois substances B, B' et A; la relation (1)
n =- et n = —
nombre à membre ces deux relations, on obtient :
e(l) nous montre que p est Tindice de réfraction N Dce B par rapport h la substance B'; on a donc :
I f indice do réfraction d'une substance B par rap^ ibstance B' en divisant f indice de réfraction de B i une substance quelconque k par T indice deréfrac* r rapport à cette même substance A.
806 LIVRE V. — CHAPITRE IIÏ
La relation (1) nous montre encore que Tindice de ré tion -T d'une substance A par rapport à une autre substance
est rinverse de l'indice de réfraction— de B par rapport ^ ^
11 résulte de là que dans le cas de la rëfractiony comme dans celui de la réflexion, la marche des rayons lumineux est réci* proque : si (flg. 36) un rayon lumineux SI se réfracte suivant tS', réciproquement, quand un rayon lumineux se dirige suivant S'J^ il se réfracte suivant IS. Soient, en effet, a l'angle d'incideaoe SIN et p l'angle du réfraction S'IN' ; on a, en désignant para el b les indices de réfraction absolus du milieu A et du milieu B:
sin a * b
sin p a
Supposons maintenant que la lumière incidente suive la diree* tion SI, et donne un rayon réfracté faisant un angle a avec ta normale ; on a :
sin p a
sin a' b
De ces deux relations, on tire sin a' = sin a, d'où a = a', puisfl*^® les angles a et a sont moindres qu'un angle droit : le ray^ réfracté dans le second cas prend la direction IS du rayon '\^^^' dent du premier cas.
H est inutile d'insister sur la manière dont on peut véri»»^ directement cette réciprocité de la marche des rayons lumin^ , à l'aide de l'appareil qui nous a servi à établir les lois de ta ^^ fraction.
6. RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE A TRAVERS UNE SÉRIE DE ^ LIEUX SÉPARÉS PAR DES PLANS PARALLÈLES. — Supposons (p^^ rayon lumineux traverse une série de milieux ti'anspar^^'^ A, B, C, D,.. . (flg. 41), d'indices absolus a, b, c, d,... doot J^ surfaces de séparation sont des plans parallèles. j
nEFRACTION
L.CE normales H, I, N,, M, I, Pf,, H3I3N3,... aux divers points d'incidence I|, I„l3... étant des droites parallèles, les diverses parliesa,,!,!,,!,!^,..
<lu rayon lumineux sont dans un même pittn. En outre, les ■ng-lesque forme dans un même milieu un rayon avec la normaie i son point d'entrée et avec la normale à son point de f^ortie ont la même vnleur, comme angles al ternes-inlernes (N, I, I, = I, I, M„ ^'« l,l3=!,lsM3,ete.).
Désignons par a, p, y, ^r «,... la vnleur de *.•&-* angles. La loi de I« réfraction donne la 'e-lailion (gS.form.ï):
= A ain ^ ^ c sin Y = (f sia i =: e ain « = . . .
On voit par là que si ileux des milieux traversée ont même ***<lice, les portions du rayon lumineux qui traversent ces deux "Milieux sont parallèles entre elles; car, si l'on a par exemple " = f , la relation ci-dessus donne 1^1.
En particulier, si la lumière traverse une lame transparent» à wces planes et parallèles bni^rnéc jmr l'air des deux côtôs, la ï*Ortion du rayon qui entre diuis la Inine et celle qui en sort ^c>nt parallèles (Og. 42). En traversant la lame, le rayon est di*placé parallèlement à lui-môme d'uno quantité inférieure à
908 LIVRE V. — CHAPITRE iri '
répatssetir de la latne, d'autant plus grande que l'iiicidei plus oblique et nulle pour l'incidenca normale.
On observe facilement i noménc en plaçant entre u linéaire et l'œil une lame d épaisse â races planes et lèles, de fa^-on à voir une ; de l'objçt à travers la li l'autre directement. Eadîf celle-ci normalement aux venant de l'objel, la partit travers la lame est dans I longement <te celle qui < direclement; mais en incli lame sur In direclion des i t en la laissant parallèle à l'objet linéaire, la partie travers la bine n'est plus prolongement de In parti dircclemcul.
T. PRISME. — On dusigt le nom de priswi', en 0] un milieu transparent lim deux plans qui se coupe appelle iirtlc et angle du | l'aréle et l'angle du dièitre par len deux faces.
En }<).'ni''ral, un prisme
mik' par une troisième faci
pnralU'Ic à l'an'-te, désigne
le nom do hase et pnr de
très plans pcrpendiculai
l'arétc (llg. 43). Dans ce i
Fie. «3. corps transparent offecte U
géométrique d'un prisme
section trinngulaire, d'où lo nom donné à cette pièce d'O]
mais, le plus souvent, on n'utilise que la réfraction A I
deux des faces du prisme, d'où la définition donnée plu
ft— z— P^H
Le prisme est employé pour dévier les rayons lumineux de leur marche. Nous allons voir comment se produit cette déviation, et nous allons en déterminer la valeur en nous bornant au cas sinnple où lo rayon incident SI se trouve dans un plan perpeodioulaire à Tarète {section principale) .
Prenons cetle section principale comme plan de figure ; soient AB et AB' {ï\g. 44) la trace des deux faces du prisme. On voit immédiatement qu'il résulte de la première loi de la réfraction que le rayon réfracté à la première face II' et le rayon émergent rS' se Souvent dans la section principale.
D&O.S la figure 44, on a supposé que la substance qui forme le prisme est plus réfringente que le milieu extérieiu*, et Ton voit que le rayon est dévié vers la baso du prisme. Nous montrerons plus loin qu'il en est toujours ainsi dans ce cas.
Eft vertu de la réciprocité de la marche des rayons lumineux» un rayon qui tomberait sur la face AB' suivant ST se réfracterail suivant l'IetlS.
Menons en 1 et en 1' les normales NIO et NTO aux faces AB et AB' ; désignons par i et i' les angles extérieurs SIN et S TN', par r et r' les angles intérieurs OU' et Ol'I. Nous considérerons la quantité i ou la quantité i' comme positive si le rayon SI ou S'I' est au-dessous de la normale correspondante NI ou NT (en supposant l'arête du prisme eu haut, la base en bas) et comme '^galive si le rayon est au-dessus de la normale ; au contraire, ^ons considérerons la quantité r ou la (|uanlité r' comme positive 8» le rayon intérieur I i' est au-dessus de la normale 10 ou l'O, ^niine négative dans le cas inverse ; de cette façon, i et r ou bien î' et r' sont positifs ou négatifs en même temps.
^8 déllnitions données, la loi de Descartes fournit les relations ^wivantes :
(^) sin i = n sin r
(*) sin f =: n sin y'
^^ désignant par n Tindice de réfraction de la substance qui wnne le prisme par rapport au milieu qui l'entoure, l'air dans le *^ Ordinaire .
Comme le quadrilatère OIAI' a les angles opposés OIA et Of droils, les angles lAI' et 101' sont supplémentaireB ; il en résufb <]ue l'angle KOI', extérieur au quadrilatère, est égal Ji l'angle rfg prisme lAI'. .Or, le triangle OU' fournit la relation:
on -f-oi'i=Kor
ou, en désignant par a la valeur de l'angle du prisme
angles mmS-
l'angle du prisme est égal à la somme des angi
Prolongeons les rayons extérieurs SI et ST ; soit D le ptW lie rencontre de ces prolongements IDL et l'D ; l'angle LD6' ^ forme le rayon incident SI avec le .rayon emnri^eant ST ti appelé la dèviatiau : c'est l'angle dont tourne lo i-ayon ImniDOU en traversant te prisme. Représentons par d &a viileur; ciHUiMrons cette quantité comme positive si, comme dans le lasdt la figure, le rayon en traversant le prisme est rejeté vers la ta» de celui-ci, et comme négative dans le cas inverse. Le triangle DU' fournit la relation :
LDI' = DU' + Dl'l
DU = DIO — 110 = i — r
D'où:
Dl'l = DIO — irO = (' — !'
REFRACTION SH
«m vertu de ta relation (3) 4) (I = i + (' — a
1 est aisé de voir que, quels ([ue soient les'signes de t, i', r et es formules (1), (2), (3) et (4) sont générales ; nous les appelons les formules du prisme.
3ans le cas où l'angle a du prisme est petit et où le rayon obe sur le prisme dans le voisinage de la normale, tes angles r, r* et l sont tous petits, d'après les Tormules précédentes. 8 Tonnutes (1) et (2) peuvent alors être remplacées par t = ne f = ni'. On en tire :
i + i' = n(r + r') = Hfl
pour la déviation d, d'après (4) :
La déviation est, dans ce cas, indépendante de la valeur du Lit ongle d'incidence i.
8. DISCUSSION DES FORMULES DU PRISME. — MINIMUM DR DÉVIATION. — Dans les formules (1), (2), (3) et (4) du paragraphe précédent nous pouvons considérer les angles r, r' i et d comme des fonctions de l'angle d'incidence t.
L*angle d*émergence ï varie toujours en sens inverse de l'angle d'incidence i. En effet, quand t augmente, r augmente ausai d'après la relation (1) ; par conséquent, d'après la relation (3), r' diminue et, d'après (2), i diminue aussi.
Puisque t' diminue quand i augmente et vice versâj on D« voit pas immédiatement comment varie la déviation d qui e^t égale k i -\-i' — a, mais les considérations suivantes vont noti^ le montrer.
Remarquons d'abord qu*en prenant comme valeur de l'ange 1^ d'incidence, dans un second cas, la valeur de l'angle d'émei gence dans le premier, l'angle d'émergence du second devient égal à Tangle d'incidence du premier, d'après la symi trie des formules (i), (S) et (3); du reste, la formule (4) mont que la déviation est la môme dans les deux cas. Rien que fait, joint à celui ({ue t et ï varient en sens inverse, suflit. montrer que la déviation doit passer par un maximum ou par minimum, pour une valeur I de Tangle d'incidence telle qu»»^ les angles d'émergence et d'incidence soient égaux, puisqu'^ chaque valeur de l'angle d'incidence inférieure à 1 corresponc^^ une autre valeur de l'angle d'incidence (égale à i) supérieure à. pour laquelle la déviation est la même. Comme pour la valeus-^- I de l'angle d'incidence les angles intérieurs sont égaux enlr^^^ eux, le triangle AU' (flg. 45) est isocèle et le rayou intérieur ItM est perpendiculaire au plan bissecteur AC de Tangle du prisme (\^ K. ^
(1) L'existence d'un maximum ou d'un minimum de déviation peut Hm. démontrée do la fa(;on la plus ncllc, en appliquant les règles connues poir < la recherche des maximu.
Cherchons la dérivée de d par rapport à t. En représentant par (ifji c«
dérivée et par ((')i'^ dérivée do i" par rapport ù t, on a d'après b relit 4 du paragraphe 7 :
Bavoir si, pour celle valeur I de l'angle d'incideDce , m passe par un maximum ou par un miaimum, La nérale.
on ar'
aisùrésulerchant si la ilûviation t|ui correspond au cas du maxi-
l les dûrivt^M des dciin membres dos égatitôs (1), {i) el (3) du pa- «côdent, il vient :
minant lai dcfivécH (/')( [rfi el (r')î «i
e ces qualn JqnatloDi,
coa t coa i
314 LIVRE V. — CHAPITUE III
mum ou du minimum est plus grande ou plus petite cjut^un déviation correspondant à une autre incidence.
Choisissons pour celle-ci, Tincidence normale à la premier face t = 0; pour cette valeur on a, d'après les formules d prisme :
r = 0, y* = a et d = i' — a d*où : f z= a-{- ri
Telle cet la condilion pour que d passe par une valeur maxima ou m Dima. En remplaçant cos r par
cos* £
Cl de même, en remplaçant cos r' par - i / »* — l + cos*t*', il viexmt po»
réqualion do condition :
y cos* i ' y cos» i ^
d'où, en élevant au carre et réduisant : (7) cos*t = cos*i'
De là les solutions cos i = ± cos i'. La solution cos i = —t{ doit Otrc rejclce, puisque, i' et i étant compris entre — -^ et +";j»^*' sinus est posilif; rcslc la solution :
(8) cos i =. cos i' d'oii : » =- ±1 i
Or, la solution i =r — i' doit Otre aussi rejetée car, en vertu dcsfo du prisme (1) et (2), elle entraînerait r = — r' d'où r -{- r' = 0 et sait que r -j- r' =: a.
Il ne reste donc que la solution i = i', qui entraîne r = r' = -,
sin i = sin i' = n sin- ; la valeur do i qui satisfait à cette dernière
tion est la seule pour laquelle la déviation passe par un minimum o" maximum.
ei« par conséquent :
(6) sin (a-\-d) = n sin a
D*autre part, soit D la valeur de la déviation maxima ou niinima qui a lieu pour Tincideoce I ; en appelant R la valeur correspondante de rangle intérieur, on a :
2R = a et D = 21 — a d'où : 1 = ^4—
et, par conséquent :
(7) sin —^ = n sin -
' Kn égalant les valeurs de n tirées des relations (6) et (7), il vient :
.a4-D .a + rf a 4- d
sm — - — . / , i s>" — ; — cos — r — 2 sin{a-|-rf) 2 2
. a sma . a a
sin - sni - cos -
d*où
sin
cos —
sin
cos
Remarquons maintenent que Tangle a -{- d étant égal à ï est inférieur à 90*» ; on a donc a fortiori "T < 90* en valeur ab-
wlue. De même, comme -^ — =1, cet angle a une va-
leur absolue inférieure à 90"^. Enfin comme a est plus pelit
180*, - est aussi toujours plus pelit que 90*.
Distinguons maintenant deux cas.
1** n> 1. — Dans ce cas, qui est le cas habituel, la d tion d correspondant a Tincidence normale est positive ; donc :
a-\- d , , cos — ' —
^> d'où ^<1
cos -
et, par conséquent, d'après (8) :
. a+D ^ . fl + d
sm -^— < sm — 4— ■
ou
— ^- — < — - — ou encore D < d
La déviatoin D, étant plus petite que la déviation corre^P^' dant à Tincidence normale, est un minimum.
Du reste, comme on a D = 2 U — R) et que, dans \0 ^^ de n> 1, Tan^^le I est plus grand que Tangle R, la dévia*'^ minima est positive ; par conséquent, les déviations donn^^ par un prisme plus réfringent que le milieu ambiant sont toO' Jours positives,
2? n <,{. — Ce serait le cas, par exemple, d'un prisme d^sir plongé dans Teau.
Or, dans ce cas, la déviation d correspondant à Tmcideo^^ normale étant négative, on a :
REFRACTION SU
, comme — — = - est positif et plus petit que 90*, il en
ulte que l'on a :
a + rf cos
cos-
cl'o Cl, d'après (8 :
sin
— 4 — > sin — -— ou D>d
s déviation D, étant plus grande que la déviation correspon-
% à l'incidence normale, est un maximum.
u reste, comme on a D = 2 (1 — H) et que dans le cas de
1, l'angle I est plus polit que Tangle R, la déviation maxima
st négative; par conséquent les déviations données par un
^we moins réfringent que le milieu ambiant sont toujours
^^^^ clives.
« CONDITIONS D'ÉMERGENCE. — Quand la substance qui forme
^ prisme est plus réfringente que le milieu ambiant, comme
t le cas habituel, un rayon qui a pénétré par la première
peut tomber sur la seconde sous un angle supérieur à
^'igle limite, subir la réflexion totale, et, par conséquent, ne
I^^ sortir par celte face. Examinons les conditions que doit rem-
P*i»* le rayon pour sortir par la seconde face du prisme.
Menons par un point I de la face AB (flg. 46) la normale N1N| '^ Celte face, et décrivons un cône de révolution ayant I pour ^^nimet, NIN| pour axe et G1N|, égal à Tangle limite /, pour •**Rle générateur. Tous les rayons qui entrent dans le prisme i^i* le point 1 sont contenus h Tintérieur de ce cône après la pre- '^^^«•re réfraction.
Abaissons, maintenant, du point 1 la perpendiculaire IP sur la •^^onde face AB', et décrivons un autre cône de révolution •yanti pour sommet, IP pour axe et HIP, égal encore à Tangle
limite I, pour angle générateur. Tous les rayons passant par l point I et qui iombent sur la face AB' sous un angle moindr^^ (]ue Tangle limite sont compris à Tintérieur de ce cône.
11 résulte de là que les rayons lumineux qui pénètrent dan^^ le prisme par le point 1 et qui peuvent sortir par la face AB' sont^ à rintérieur du prisme, contenus dans la partie commune deux cônes que nous venons de considérer.
En particulier, ceux de ces rayons qui sont compris dans la section principale passant par 1, sont contenus dans Tangle GIH. « Or, on a :
