GIH = HIP ^ PIG = I — PIG

PIG = PIN, — GIN| = a — I

en désignant par a Tangle du prisme égal à Tangle PIN| des nor- — **< maies à ses faces.

On tire de là :

(1) GIH = /— (a — /) = 2i — a

On voit (fue si Tangle a du prisme est inférieur à 21, les deus^ cônes ont une partie commune : un certain nombre de rayons? entrant par la face AB peuvent sortir par la face AB'. Mais, si <r^ est supérieur à 21, les cônes n*ont plus de parties communes: ^ aucun des rayons entrant par la face AB ne peut sortir par 1»* 1 face AB'; ils subissent tous sur cette face la réflexion totale ei ^ sortent, le plus souvent, par la base du prisme.

Ainsi, pour le verre placé au milieu de Tair, Tangle limite est <£> égal environ à 42* ; dès que l'angle d'un prisme de verre est su — périeur à Si"", le passage d'un rayon lumineux à travers les deux^ faces de ce prisme est impossible.

Considérons maintenant le cas où a est inférieur à il ; menooi le rayon extérieur Kl, ({ui donne naissance au rayon intérieur II tombant sous Tangle limite sur la face AB'. Tous les rayon; incidents passant par I et compris dans Tangle BIK, «p

réiyactioo Beront compris dans l'angle GIH et, par consëqiienr, pousnront sortir par la Tace AB". Tous les rayons tombant en I ot compris dans l'angle KlA, après réfraction seront compris tlan^ l'angle HIG, et, par conséquent, subiront la réflexion totale sur la face AK, s'ils rencontrent cette face.

C^tierchons la valeur f de l'angle BIK. On a : cos 9 = sin KIN = n sin HIN,

HIN, = N(1P — HIP = a - i ^^> en remplaçant , on obtient :

(2) cos 9 = n sin (a — l)

Celle relation est exacte, du reste, comme on peut 8*en rer, que Kl soit situé dans Fangle BIN ou dans l'angle NL4 Discutons cette formule.

Pour un prisme d*angle nul (a=0), c^est-è-dire pour une Urne de verre à faces parallèles, on a : cos f = — n8inl = — i; d*où 7 := ir : tous les rayons tombant en I traversent les deux faces du prisme.

Mais dès qu*on a affaire à un véritable prisme^ a n'étail pu nul, 7 est inférieur à tc, et il existe touyours oa que les rayons compris dans cet angle ne peuvent les deux faces du prisme ; cet angle KIA, du reêîe^ tant plue petit que Fangle du prisme est plus aigu.

Pour a = I, on a cos 9 = 0, d*où f = ^ ^ Fangle BItt a

tient tous les rayons qui peuvent traverser lès^drax HMèi prisme. •- • il< «i lUf

Pour a <C I Tangle 7 est obtus ; pour a>l l'angle f ail aifio et d'autant plus petit que a est plus grand. EiA%, «punienfc^Mt cos 7=0 d'où ^ == 1 : pour cette valeur de a et- poiutdes ^eur^ plus grandes, comme nous le savons d^'à, audua^MyoB ae p^^ traverser les deux faces du prisme. rti^^un i;

Faisons remarquer, pour terminer cette discussion, que quelque petit que soit l'angle 9, il y a toujours un rayon traver&fli^ les doux faces du prisme qui donne une déviation -miaÉna. ^

effet, le rayon intérieur IF, qui correspond à la déviation t^' nima, étant perpendiculaire à la bissectrice AC de l'angle BA^^* est bissecteur de l*angle PINj, dont les côtés sont respectivement perpendiculaires à ceux de l'angle BAB'. Or, les sngl^ PIG et N|IH étant égaux entre eux, comme égaux tous les à0^ à a — /, il en résulte que le rayon II' est aussi bissecteur de I^bogle GIH. Puisqu*il est toujours contenu dans cet angle, le ray^'' donnant le minimum de déviation traverse les deux faces du prisme, tant que a est inférieur à 21.

10. RÉFRACTION A TRAVERS UNE SURFACE SPHËRIQUE. — Pour arriver à établir les propriétés des lentilles sphériques, qui jouent un grand rôle dans la construction des instrumeot^ d*optique, commençons par étudier la réfraction de la lumière i

RÉFRACTION 8îl

vers la surruce de sépamiion sphérique de deux milieux d'ineg absolus difTérents n, et n,.

)oit A, {Rg, 47) un point lumineux placé dans le milieu d'indice et soit 0 le centre de la sphère à laquelle appartient ta sur-

de séparation PQ des deux milieux. Joignons le point A| au it O ; comme dans le cas de la réflexion à la surface d'un air Bphérique, nous appellerons axe du point A, la droite tu ; le rayon se dirigeant suivant cet axe traverse la surface

sans être dévié, puisqu'il tombe normalement à celle surface LÙdérons maintenant un autre rayon A,I issu de A, renconit en l la surface FQ. Prenons comme plan de fleure le plan |I, qui est le plan d'incidence de A|I, puisque OIN, rayon de phère PQ, est la normale à la surface au point I. Lo rayon «cté IR est dans ce plan; dans le cas de la ligure où la conilé de PQ est louméo vers A,, et oii l'on a supposé n4>n, le an réfracté IR ne rencontre pas l'axe ; mais son prolouleot coupe celui-ci en un certain point A,, •omme pour la réflexion à la surface des miroirs sphériques, salions montrer que le point A, est un point fixe, indépendant l'angle 1A,M que fait le rayon avec i'axe, pourvu que l'arc soit vu du centre de courbure 0 sous un angle assez petit

pour qu'on puisse négliger son caiTé devant l'unité ; désigne par (0 la valeur de cet angle MOI.

Pour faire cette démonstration, remarquons que l'angle A| est l'angle d'incidence, et que Tangle A^IO, opposé à Tangle réfraction RIN est égal à celui-ci; on a donc :

sin A|IO n^

sinA^lO Ui

D'autre part, les deux triangles AJO et A^IO ont des aires

pectivement égales à - A|I X OIsin AJO et— AjIXOI sin.

et^ comme les aires de ces triangles sont proportionnelh leurs bases A|0 et A^O, puisqu'ils ont même hauteur, on relation :

1 A J X 01 X sin A,IO

(2) - = 2ÛL

i AJ X 0' X sin AjIO ^*

«ri

ou, en simpIiPiant et en remplaçant le rapport des sinus p^ valeur fournie par la relation (1) :

(S\ àA "* — ^»Q

^ ' Ajl n, A^O

Or, on a dans le triangle AJO :

(4) A,l' ^ A,0' + ÔP + 2 AjO X 01 C08 «

comme cos a> ne diffère de l'unité que d*une quantité [2 sin*

de l'ordre de grandeur de co*, en négligeant cette quanlilè devant Tunité le second membre de la relation (4) devient :

Âfi^ + ôP + 2 A4O X 01 = (A^o + oi)« = 7i:;5i*

puiscfue 01 =» OM.

REFRACTION 328

degré d'approximation indiqué ci-dessus nous pouvons remplacer dans (3) Â,I par AiM et, pour la même raison nous pouvons remplacer A^I par A^M ; il vient alors :

A, M n^ AjO

F)ésignons maintenant, comme pour les miroirs, par pi, p^ et R les longueurs A|M, A^M et OM; la relation (5) devient :

(6) pt.n,^p, -R

Pi ^h Pâ — H

d'après cette relation, on voit que, la quantité p^ ne dépendant pA3 de la direction du rayon A^\, le point A^ est ùxe : après teur réfraction, tous les rayons issus de A| et qui sont voisins de i*axe A|OM semblent venir du point A^. Ce point est une uïia^e virtuelle de A|.

^^ous pouvons mettre la relation (G) sous la forme suivante qui <îst plus symétrique ;

^ ^ Pi Pi"" H

^ri considérant, comme nous l'avons fait pour les miroii*s spht^riques, les différents cas qui peuvent se présenter suivant ■* l>osition du point A, et suivant que la surface de séparation tounnf sa convexité ou sa concavité du côté de la lumière incidente, nous établirions pour cha(|ue cas, par des raisonnements ^^^miés sur le précédent, une relation analogue a celle donnée P^*' la formule 7 : le point lumineux réel ou virtuel donne toujourB naissance à une image soit réelle soit virtuelle.

Si nous convenons de désigner toujours par pi la distance du

point-objet à la surface de séparation et par p^, celle du point-

iTna^eet «le regarder ces quantités comme positives, quand le point

correspondant est en avant de la surface de séparation, par rap-

V*ort à la marche des rayons incidents, et comme négatives dans

^^ cas contraire, si nous convenons, en outre, de regarder R comme

une quantité positive si le centre de courbure est du côt^ où arrive la lumière et comme une quantité négative dans le c^s inverse, nous trouverions que la formule (7) est applicable à t€>u8 les cas : cette formule est générale.

il. L'IMAGE EST SEMBLABLE A L'OBJET. — Dans le cas de ^^

réfraction à travers une surface sphérique, comme pour la flexion ù la surface d'un miroir sphériquc, les images des div^ points d'un plan, s'écartanl peu d'un axo perpendiculaire à plan, sont situées dans un i)lan parallèle ; en outre, ces poin^ ^^ forment une iina^o semblable à lobjet et semblablement plac^ Ces deux propriétés se démontrent exactement comme dai le cas des miroirs (voir Chap. Il, § 8, 2*» et 3®).

'ji.»

12. RÉFRACTION A TRAVERS PLUSIEURS SURFACES SPHÉRIQUl CENTRÉES. — Supposons plusieurs milieux transparents séj par des surfaces spbériques ayant leurs centres sur une droite ; nous dirons que ces surfaces forment un système dioi trique centré et nous appellerons axe principal de ce systèm^^-^ la droite qui joint tous les centres de courbure.

On donne le nom de section principale à tout plan passacr^^ *^ par l'axe principal ; un pareil plan coupe chacune des surface-^^^ sphériqucs suivant un arc de grand cercle. Il est clair, d'aprè^ïS^ la première loi de la réfraction, ou, plus simplement, par raiso: ^^ de symétrie, qu'un rayon silué dans une section principale resl» '^^ toujours dans cette section quel que soit le nombre des réfrac-^*^ tiens qu'il éprouve.

Un objet plan A, réel ou virtuel, perpendiculaire, ouàpeu^ près, à l'axe principal et dont les divers points 8*écartent pei^-^ (le cet axe, fournit, après réfraction des rayons lumineux a tra- ^^"^ vers la première surface sphérique, une image A^ dans un plan parallèle à Aj. Cette image fonctionne comme un objet réel ou virtuel par rapport à la seconde surface réfringente qui en donne une image A3 parallèle et semblable à A^ et, par conséquent, a A( ; et ainsi de suite : cbaque image fonctionnant comme objet par rapport à la surface spbérique suivante, tout le système donne de A| une image réelle ou virtuelle semblable à cet otyet et située dans un plan parallèle.

HÉKItACTION

3âb

Il n'en serait plus de même, Boit si les diverses surfaces sphéi'iques avaient leurs centres trop loin d'une même droite, soit si les surfaces éinnt centrées, l'objet plan n'était pas à peu près perpendiculaire à l'axe principal, ou s'écartait trop de cet axe. Alors, en effet, nous ne pourrions plus dire que l'image d'un objet plan esL dans un plan parallèle, ni même que l'image d'un point est un point.

Alalgré cette restriction, la propriété que nous venons d'établir a une grande importance, car beaucoup d'inslnimenls d'optique forment un système dioplrique centré.

Dans ce qui suivra, toutes les fois que le contraire ne sera pas expressément indiqué nous supposerons l'objet placé dans des conditions telles que le système dioptrique centré en donne une image semblable et parallèle.

En vertu de la réciprocité de la marche des rayons lumineux, si un objet B a même forme et même position que l'image A donnée par un sjrslème dioptrique d'un objet A, l'imaf^e B' de B, doiknée par le «yslème, à même foï^ne et même Position que A.

D^ux plans A et A dont l'un est l'image rie l'aul'® sont appelés jiBns conjugués;

•^«x points dont

l'un est l'image

^ l'autre sont

•PPelëa foyers Fio. ul

Si des rayons, tels que SI (llg. AS), tombent sur un système oioplnque centré parallèlement à l'axe principal XY, ils peuvent ^^ considérés comme venant d'un point situé Â l'infini sur cet *^Bi après avoir traversé le système, tous ces rayons vont se

aae livhe v. — cuaimtre m

uouper, soit réellement (lig. ÂH, n"!), soit parleur prolonge (n" 3) en un même point F ima^e réelle ou virtuelle du poi l'iaflni et appelé foyer principal du système. Quand le foyi l'éel, le système est dit convergent, quand le foyer est v le système est dit divergent, puisque dans le premier d rayons qui tombent parallèlement à l'axe, après rérractioD vergent vers lui (n> 1) tandis qu'ils divergent dans le a cas (a' 2).

Réciproquement, un foyer principal étant le foyer cou, (l'un point à l'infini situé sur l'axe principal, tout rayon tf ST (n° 1) qui tombo sur un système convergent en passan le foyer principal, sort du système parallèlement à l'axe pi pal ; tout rayon tel que S'I' (n° â) qui tombe sur un syi divergent en se dirigeant vers le foyer principal F sort du tème para ment à l'axe cîpa).

Du reste,

(entendu, c<

In lumière

pénétrer ie

système su

deux sens i

S(js, il y a

foyers pi

paux ; ils

vent être

tous les

(ex. : lenliUi

vergente) ,

luels tous

*'"■ "■ deux (ex. ;

tille divers

ou enfin l'un réel et l'autre virtuel, le système étant coave

d'un côté et divergent de l'autre (ex. : oculaire d'Hu;^

Clinp. Vil, g 12).

Le sens suivant lequel la lumière tombe sur le système déterminé, convenons d'appeler touj ours /iremiier foyer prii

REFRACTION 327

i des deux foyers F| (flg. 49) où doit être placé un point obj ^t pour que son image se forme à Tinfini et, par conséquent, d^t^jrième foyer principal, celui Fj où se forme Timage d*uri point situé à Tinflui sur l'axe principal. Pour un système conversent des deux côtés (fig. 49, n® 1) le premier foyer principal F^ ^st en avant du système par rapport à la marche des rayons lunnineux et le deuxième Fj en arrière. C'est l'inverse pour un système divergent des deux côtés (n* 2) : le premier foyer princi- I>3l F| est en arrière de la première face du système, le deuxième ^oyer Fj en avant de la dernière face du système, puisque le point-objet placé en F| dont l'image est à l'infini est virtuel, et l'image du point de rinfmi placée en F^ est virtuelle aussi. On appelle plan focal un plan perpendiculaire à Taxe principal

passant par l'un des deux foyers principaux. Un objet plan perpendiculaire à Taxe et placé assez loin pour pouvoir être considéré comme à l'infini donne son image dans le deuxième plein focal. Réciproquement, un objet placé dans le premier pl«n focal donne son image à l'infini ; par conséquent, les rayons

is par un point du premier plan focal sortent du système iUèlement entre eux.

vant de continuer Texposé des propriétés générales des Systèmes dioptnques centrés, nous allons, pour plus de clarté, ^••^iclier d'abord le cas particulier très important où le système i*éduit à une seule lentille sphérique. Nous ferons, -du reste, étude de façon que les propriétés établies plus loin pour un me centré quelconque se présenteront comme une généraliion des propriétés des lentilles.

^3. LENTILLES SPHËRIQUES. — DÉFINITIONS. — On désigne, en ^Ptitjue, sous le nom de lentille sphérique ou simplement de ^^^ tulle, un milieu transparent limité par deux surfaces sphé- "^qtaes.

l-^ ligne qui joint les centres dos sphères dont font partie les

^®^3c faces de la lentille est Taxe principal de ce système centré.

VJne face de la lentille est dite convexe ou concave, suivant

^^*elle tourne vers l'extérieur sa convexité ou sa concavité. Une

^^Ge plane, qui peut être considérée comme une face sphérique

de rayon infini, forme la transîtjon entre une face concave si on

face convexe.

D'après cela, on peut distinguer six formes principales d-

lentilles, dont le

coupes, par uii<

section principale

B0n[ repréeenlée

par la flgure 50

1° lentille bieor.

vezeA; 2*leati]l

plan-coarexe U

>''>U' vi. 30 lentille ooaean

convexe C (la Gk

concave a ua raj-on plus grand que la face convexe); 4*lec

tille coitvexo- concave D (la fnce convexe a un rayon plu

grand ({ue la l'ace concave) (<); 5* lentille pian-eoneave E

6" lentille biconcave F. Les trois premières formes BOot plu

épaisses sur l'axe principal XX' que bur les bords; iM tro

dernières sont, nu contraire, plus épaisses vers les bords qu

sur l'axe.

Supposons, ce qui est le cas habituel, que la substance q* forme la lentille soit plus réfringente que le milieu ambiant, « considérons un rayon pitrallèle à l'axe principal qui tombe sa l'une de ces lentilles ; nous savons qu'après réfraction, le rafc reste dans la inùme section principale; prenons celle-ci poa plan de la figure 51. Menons aux points I et 1' où le rayon rec contre la premiùre el la <leu\ièine face, les jilnns tangents à cm faces; pour ce rayon, la réfruction -s'opère à travers lalentil comme si celle-ci était remplacée par un prisnio de même 8ub= tance ayant ces plans tnngcuts pour face. Or, si la lentille eplus épaisse nu milieu i{ue sur les bords (A, U, C flg. 50, llg. 51), ce prisme tourtic sa base du coté de l'axe : le rayon lieil lois réfracté est dévié vers l'axe et le coupe. Si, au contraire, I lentille est moins épaisse au milieu ijue sur les bords (D, E,

(I) On désigne habituellement la lonlîUe conravO' ton vexe soui la m |iliiB simple de ménisque coarergtal el la lentille c«avexo-GOiicavc m la uom de niéoi$que dirtrgtut.

hefuaction .-lâ»

'. 50, F Hg. 51), le prisme a sa base tournée en sens inverse r rayon denx fois réfracté s'écarte de l'axa, son pi-olongeinuiil lo icODtre. Les lentilles des trois premières Tormes A, B, C font

^ converger vers l'axe principal des rayons qui arrivent parul- 'Qment û cet axe; aussi lesa|ipelle-t-o[i k'iiLiiles convergentes '. * deux foyers sont réels. Los lentilles des trois ilernicres foirnes 1 E, F font diverger les rayons qui tombent parallèlement i'i **t principal, on les appelle lentilles divcrgenlea : les deux 'yefssont virtuels {').

I')C< qae nous vanoni de dire peut pourlanl s» iro jvi ^•M lMlill« doDl >■■ rac«a aonl 1res eurléei l'une

;r en défïul <ttn* le cin de l'aulre. SuppoMDi

SaO l.IVltli V. — CHAPITRE 111

Nous allons voir ([u'en ne considérant que des rayons incideal^ s'écartant peu les uns des autres, les propriëlée sont les mé(a£! pour les trois formes des lentilles convergentes, d'une part, < pour les trois formes des lentilles divergentes, d'une autre, *s qui rend très simple l'étude des leatilles.

14. CENTRE OPnQOE. — POINTS NODAITX. — I) existe Sur l'cx principal de toute lentille un point désigné sous le Dom deoeuf^ optique, tel que tout rayon qui, à f intérieur de la leatiMà passe par ce point ou se dirige vers lui, sort de ceUe-cipart^ Ivlemeat à sa direction d entrée.

Nous nous bornerons, dans ce paragraphe, à établir cette pr^ priété dans le cas, qui est le plus fréquent, où les deux fa^^

en tttct, que la première face oolt convexe et la seconda plane. Il paat • Tjire alors que les rayons qui tombenl parallèle ment à l'axe coqpaal uul* ci en un point O aprrs avoir traversé la premiers Dice aauleaieal, poia aOM* en divergeant ensuite, à partir de ce point 0. Or, aprta avoir MvanC 1 seconde face plane, ces rayons divergent encore. Voilà un eseMpla «TMM Icnlille plus èpaÎBBc au milieu que aur les bords qui forme on «ralA^ divergent quand la lumière tombe lur la face bombée. Haia fkiaoM **■ marquer quf dus lentilles aussi épaisses sont bieo raremeal «nplojéta.

dola leatille sont baignées par le même milieu {l'air dans le»t circonstances ordinaires).

S«3ienl O et 0' les centres de courbure des deux faces PQ et P'Ci' de la lentille. Menons par 0 et par O' deux rayons OIK et ^''K' parallèles entre eux, juignons les points 1 et I' où ces "J'Ons rencootreat les surfaces spliériqucs correspondantes. Les droites 01 et O'I' sont dans une même section principale, prise pour plan de la ligure 52 et, par conséquent, la direction 'le la droite II', située dans ce plan, coupe l'axe en un certain point C; ce point est te centre optique.

E^n effet, menons le rayon SI, qui se réfracterait à travers la face PQ suivant II' et le rayon émergent l'S' correspondant au ï^yon intérieur II'; ces deux rayons SI et SI' sont dans le plan de la Bgure, et l'on a, en dé.si^nant par u l'indice de la sub- Bt*»r»c« qui forme la lentille par rapport au milieu exlcrieui- ;

sinSIO

sinKll'"

sJtiKTS'

sinuri

•«««inie Kir =0 ri, il eu résulte que les angles SIO et •''l'S' sont éijaux entre eux. Or, les côtés 10 et K'I' de ces an- It'^a sont parallèles, el, vu leurs directions, les autres côtés IS ^^ l'â' sont aussi parallèles, puisque les angles sont égaux. Ainsi, ™ ^Byon d'entrée SI est parallèle au rayon de sortie l'S'.

I>'nutre part, la position du point G est indépcuilanto de la ■^ "^©clion choisie pour les deux rayons 01 et 01', car les deux (•"iongles semblables QIC et O'I'C' fournissent la relation ;

O'CO'l' 0C~0I "

*Q désignant par R el R' les valeurs des rayons de courbure ûca faces : le point G, divisant la di-oitc 00' en deux segments Oc et O'C proportionnels à des quantités invariables R et R', eil un point llxe.

On voit qu'en faisant varier progressivement la direction des rajrons parotlèles 01 et OT, on obtiendra successivement tous

IJVIIK V. — CH.M'ITHE III

les rayons intérieurs 11' se dirigoant vers le poiot C; par cod^ «{uenl, la pro|>riélé i[iie nous venons d'établir restant vraie pv»; tous tes l'ayons intérieurs à la lentille igui se dirigent vers le poî, C celui-ci jouit (te la propriété indiquée plus haut pour le ceair, optique.

En désignant par — c et — c' les distances CM et CU'dD Mnire optique aux faces PMQ el P'M'Q' de la lentille et par ^ l'épûiâseur MM' de celle-ci, on a :

«I d'après la relidiou (I) :

d'où: