V.= V,Xr
Cette relation subsistant, quelque petit que soit le temps A/, asi ' encore exacte à la limite quand, ce temp» devenant nul,
CINÉMATIQUE 18
V^ devient la vitesse v du point B et V^ la vitesse m du point A, c'est-à-dire la vitesse angulaire. On a donc :
r = wr
On obtient la vitesse dan point en multipliant la vitesse an-gulaire par la distance de ce point à F axe.
La vitesse angulaire est fournie par la relation co==-, quand on
connait r et r. Cette relation fait voir que le nombre qui représente une vitesse angulaire déterminée est indépendant du choix de l'unité de longueur. Si, en effet, nous choisissons dans un second cas une unité de longueur n fois plus grande que celle adoptée dans un premier cas, les nombres qui expriment V et r dans le second cas sont la fraction - des nombres
qui exprimaient ces mêmes grandeurs dans le premier : le rapport de ces nombres conserve la même valeur.
Si le mouvement de Tun des points B du système est uniforme, le mouvement de chaque point est uniforme, puisque la vitesse V du point B étant constante, il en est de même de la vitesse angulaire co : le mouvement de rotation est uniforme. Dans ce cas, la vitesse angulaire représente Tangle dont tourne le système pendant l'unité de temps. Si nous désignons par T la durée d'une révolution complète, tout point situé à Tunité de distance de Taxe décrit pendant ce temps une circonférence de rayon unité ; on a donc, pour la vitesse constante de ce point, c* est-à-dire pour la vitesse angulaire to, la relation :
Ainsi, la Terre fait un tour complet sur elle-même en 28,879 42 heures solaires moyennes ou 85 966 secondes. En prenant la seconde comme unité de temps, sa vitesse angulaire m est donnée par
II. MOUTEMEMT RELATIF. — Le mouvement relatif d'un corps est le mouvement de ce corps par rapport à des points animés d*un mouvement d'ensemble, quelconque du reste.
Ainsi y un homme se promène sur le pont d'un bateau eo marche ; il est animé, par rapport au bateau, d'un mouvement relatif dont la trajectoire et la vitesse peuvent être complètement difîérentes de celles du mouvement de cet homme par rapiKNTt aiL\ rives du tieuve sur lequel s'avance le bateau.
Le mouvement absolu serait le mouvement par rapport à des points de repère absolument fixes. Or, de pareils points de repère nous font défaut : nous ne constatons dans la nature que des mouvements relatifs. Le plus habituellement, nous rapportons le mouvement des mobiles aux objets fixés à la surface du sol; mais ces objets ne sont pas fixes; ils sont animés d*un mouvement de rotation autour de Taxe de la Terre, ainsi que du mouvement de rotation de la Terre autour «lu Soleil. Les astronomes rapportent le mouvement des planètes, des comètes, etc., aux étoiles dites âjes^ noais rien ne nous prouve que ces étoiles, qui nous semblent en Bepos «ou à peu prèsr les unes par rapport aux autres, ne sont |»as animées d'un mouvement d'ensemble à travers l'espace, impossible à constater, puis^^ue les points de repère nous font défaut.
tt. C0HPOSITIO9 tES MOUflMMTS. — COHPQSmra US TRESSES.
— Supposons qu*un point mobile M soit animé d'un mouvement relatif par rapport à un système A de points animés eux-mêmes d*un mouvement d'ensemble par rapport à un système B d'autres points; nous appellerons moaremeat (feairaîneiuent le mouvement du système A dans le système B.
Soit XY ifi^. 8 U position ilans le système B de la tra^jecloire du mouvement relatif de M dans le système A au temps t ; et soit X Y la nouvelle position que prendra dans le système B cette trajectoire au temps f . IX^gnons par 0 le point de la trajectoire XY où se trouve le mobile M au temps t et par O, le point de cette trajectoire où le mobile M s«» trouvera au temps f. La trajectoire «rtant transportée» par le moavemement d'entraînement, dans la position XY au temps f, les deux points O et 0| prendront alors dans le système B les positions 0 et O |,
CINÉMATIQUE
ce qui fait que le mobile M, qui, dans le système B, occupe au
temps t la position 0, occupera au temps t! la position O'i : le
mobile M décrit dans
ce système une cer- U.
taine trajectoire UV
qui passe par les
points 0 et O'i.
Si nous menons les droites OOi, Ofi\, O'iO'. 00, nous formons un quadrilatère qui, dans le cas d'un mouvement d'entraînement quelconque, ne présente d'autres purticularités que d'avoir los côtés opposés
00| et O'O'i égaux entre eux, puisque ces côtés représentent (es deux positions d'une même droite à deux époques différentes.
Mais, dans le cas particulier où le mouvement d'en- X', trainement est un mouvement de translation, chaque droite du système A se déplaçant parallèlement à elle-même, les côtés opposés 00| etO'O'^ du quadrilatère 00|0'iO', non seulement sont égaux entre eux, mais, en outre, sont parallèles; dans ce cas, ce quadrilatère est un parallélogramme (fig. 9).
Ainsi, quand le mouvement d*entrainement est de translation, on obtient la position qu'aura le point mobile dans le système B au temps en construisant un parallélogramme ayant pour sommet 0 la
position du mobile au temps t et, pour côtés adjacents i"" la corde OOi de Tare décrit pendant le temps t — t dans le mouvement relatif du mobile, 2* la corde 00' de Tare décrit pendant le même temps par un point du système A dans le mouvement d*entrainemcnt : le sommet 0'| oppose à 0 est la position qu*aura le mobile dans le système B au temps t'. Par conséquent, la diagonale 00' I de ce parallélogramme est la corde de l'arc décrit
par le point M pendant le temps /' — t
M a dons le système B. Appliquer cette
Vv \ règle s'appelle composer les deux
\ X. \ mouvements.
\ ^v \ Quelle est la vitesse du mobile M
\ ^\/\ par rapport au système B?
^ -^*^ Quel que soit le nwuveniPnt den-
^ traîaementj cette vitesse est repré-
senlée (en valeur, direction et sens) par la diagonale Me du parallélogramme ayant pour côtés adjacents la vitesse relative MA de M dans le système A et la vitesse Ma, par rapport au s^^tcme B, du point du système A coïncidant avec M (fig. 10) (•). Appliquer cotte règle, s'appelle composer les deux vitesses
(1) Voici la démonstration de ce théorème important.
Soit O le point du système A où le mobile M se trouve au temps l (flg. il),
et soit 0« le point du système A oii M se trouvera au temps l-f-A/, 0 et 0«
représentant aussi sur la figure les positions de ces deux points dans le
système B au temps I. 00, est la direction de la vitesse moyenne relative
00, du point M dans le système A pendant le temps àt et -— - est la valeur de
cette vitesse moyenne; représentons-la par la ligne OO4K4, dont la longueur 0K| contient autant de millimètres qu'il y a d'unités dans la valeur
---^ de la vitesse moyenne [ OK4 = — -^ ] . Soient maintenant 0' et 0\ les
Al y A» y
positions dans le système B des points 0 et 0, du système A, au temps
14- A/, ce qui fait que 0'« est précisément la position du mobile M dans le
système B au temps 14- A/;00' est la direction de la vitesse moyenne de O
00' dans le système B pendant le temps Al, et >--- est la valeur de celte vitesse
Al
CINÉMATIQUE
Ma et Mib, qui sont appelées vitesses composantes] la vitesse Me (résultat de Topération) s'appelle vitesse résultante.
Par exemple, un Irain de chemin de fer est animé, à un moment donné, d*une vitesse horizontale dirigée du Sud au Nord, de 5 mètres par seconde; au même moment une bille tombant dans un wagon, a, par rapport au train, une vitesse relative parallèle aux parois verticales du wagon de 3 mètres par
moycnae; représentons-la parOO'K' (0K' = — -). Enfln, 00', est la direc-
tion de la vitesse moyenne du mobile M dans le système D et
00', Al
valeur de cette vitesse moyenne ; rcprcsenlons-la par 00'|K',[ 0K'( = ^
est la 00'/
On voit que les trois longueurs 0K|, OK'i et OK' sont respectivement proportionnelles aux troif^
il K
longueurs 00„ 00'. et 00'.
Menons les droites OiO',, 0.0', K.K', et K'.K'; les triangles 00,0', et OK«K', sontsemUables, comme ayant même anglu compris entre côtés respectivement proportionnels ; il en résulte que K|K'i est parallèle à 0,0'i ; pour la même raison K'.K' est parallèle à 0'|0'.
Faisons tendre maintenant le temps A/ vers zéro; OK, tend vert} la vitesse relative da mobile dans le système A, OK' vers la vitesse dans le système D du point de A où se trouve lu mobile M au temps f, et enfln OK', vers
la vitesse du mobile dans le système D. Or, à la limite, les directions des lignes 0,0,' et OO'K' se confondent, comme déplacements dans le système B de deux points du système A de plus en plus voisins; il en résulte que K«K', constamment parallèle à 0,0', devient parallèle à OK' ; en outre, les lignes 00, et O'O', se confondent aussi, puisque O'O', et 00, sont les positions d'une même droite au temps t-\-\t cl au temps /; il en résulte que K'K', constamment parallèle à O'O',, devient parallèle à OK,: le quadrilatère OK,K',K' se transforme ainsi en un parallélogramme. C.Q.F.L)
18 œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER
seconde. Pour avoir la vitesse de la bille par rapport au sol, me-, nous horizontalement et du Sud au Nord, une ligne Mi {(ig. 12)
égale à 5 centimètres (en
M ^ j prenant le centimètre
; pour représenter Tunilé
I de vitesse). Cette droite
Mi représente en grandeur et en direction la j vitesse du train ; menons
r une seconde droite M/?
verticale dirigée de haut
^ en bas et égale a 8 ceu- ^^^' **• timètrcs; elle représente
la vitesse relative de la bille par rapport au train. La diagonale Me du parallélogramme (ici rectangle) lHacb représente, en grandeur et en direction, la vitesse de la bille par rapport au sol. On voit, par la construction graphique, que cette vitesse est contenue dans le plan vertical dirigé du Sud au Nord, qu'elle est inclinée au-dessous de l'horizon d'un anglei.VIc égal à 30'5T40" et qu'elle a une valeur égale à 5"*,83i par seconde (V).
11 est évident (|ue cette règle suffit, quel que soit le nombre des vitesses que l'on ait à composer; car, si Il»s points du système 13, dans le({uel Mr représente la vitesse de M , sont animés d'une vitesse M(/ (fig. 13) par rapport aux points d'un troisième système D, on obtiendra la vitesse de M dans ce système en composant, suivant la règle du parallélogramme, Me et Me/; la vitesse résultante sera Me; et ainsi de suite, dans le cas déplus de trois systèmes.
La règle que nous venons de donner pour composer plusieurs vitesses revient évidemment à mener par Textrémité a de l'une
(1) Pour fhirc le calcul, remarquons quo l'angtc «M/; étant droit Je paraU ^loçrammc ot>l ici un reclangle, comuid /;f*=:M« = i) et que M/) = 5, on
a laog^Mc = — ■ = - : d'où : b\\r = ^ :>7' 40'. D'un autre côte,
Mc=V/mI»« ^/)c* =v/ô« -t-3« = :».83I
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des vitesses Ma une droite ac égale et parrallèle à la seconde vitesse Wj, par Textrémité c de cette droite, une droite ce égale
FiG. 13.
et parallèle à la troisième vitesse, et ainsi do suite, s'il y a plus de trois vitesses. La droite qu'on obtient en joignant rexlrémité du dernier côté de cette ligne polyfronale. au commencement II du premier, représente la vitesse résultanie (Me est la résultante des deux premières vitesses, Me la résultante des trois premières, etc. . .). Cette règle est connue sous le nom de polygone des vitesses.
Dans le cas où toutes les vitesses a composer ont hième direction, la règle précédente montre que la résultante possède aussi cette direction et est égale à la somme al^^^éhrique des vitesses composantes, en considérant comme positives les vitesses d'un certain sens et comme négatives celles de «sens inverse.
Si les deux mouvements que Ton compose sont rectilignes et uniformes, les vitesses composantes étant Tune et Tautrj constantes en grandeur et en direction, il en est de même de leur résultante : le mouvement résultant est rectiligne et uniforme.
