MOUTEMENT UNIFORMÉMENT VARIÉ. — Parmi les .mou v et
20 œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER
ments variés, en nombre inflni, ii en est un, le mouvemeat uni* formôment variée qui présente un intérêt spécial par sa simplicité et, surtout, parce que c'est le mouvement d'un corps qui tombe en chute libre en partant de l'état de repos.
DÉFINITION. — Le mouvement uniformément varié est celui dans lequel la valeur de la vitesse varie proportionnellement au temps.
Doux cas doivent être distingués :
1® — Cette variation de la vitesse peut être wïïq augmentation ; le mouvement est dit alors uniformément accéléré.
2® — Celte variation de la vitesse peut être une diminution ; le mouvement est dit alors uniformément retardé.
Soient a la vitesse d'un mouvement uniformément acctOcré à Torigme du temps et r sa vitesse nu bout du temps /, on a, d'après la délinilion même :
(1) V — a = Yi^ ou r = a4-Ti^
Yi étant une quantité constante, quiestFaugmentation de vitesse dans l'unité de temps.
Dans un mouvement uniformément regardé, si a est la vitesse à Torigine du temps et v la vitesse au bout du temps /, la dûfU nition donne la relation
(2) a — t; = Ya( ou r = a — y^/
Yj étant une constante qui est la diminution de vitesse dans Tunité de temps.
On peut comprendre les deux cas précédents dans une seule formule.
Y étant une constante positive si le mouvement est uniformément accéléré^ et une constante négative si le mouvement est uniformément retardé.
CINÉMATIQUE ' 21
Celle quantité constante y s'appelle VaccéléraliOD^ si le mouvement est rectiligne (*).
De la formule (3) on tire :
ii\ V'-a
ce qui montre qu'on obtient la valeur de raccélération en divî* sant l'accroissement (positif ou négatif) (v — a) de la vitesse, par le temps /, employé à l'obtenir.
Espace PAncouau. — Nous avons vu (page 7) qu'un mouvement dans lequel Tcspace parcouru est donné par la formule
(5) e = at-^ bfl a ses vitesses représentées par
ce mouvement est donc un mouvement uniformément varié dans Ic'iuel raccélération est égale à 2b.
Posons y^=2b; d'où : 6=5 y; les formules deviennent :
(« = at + 5Y'' {v = a + Y^
Ce sont là les deux formules fondamenlales du mouvement uniformément varié. La première fait connaître Tespacc parcouiu au bout du temps / ; la seconde, la vitesse acquise au bout de ce temps, quand la vitesse initiale a est connue ainsi que raccélération Y-
(Ij Nous verrons plus loin que, si la nouvement unifonnémenl varié est conrîligne, la quantité y doit porter le nom d*accélération tattgentieUe.
L*une de ces deux formules est une conséquence forcée de Taulre ; car, si plus haut nous avons déduit la seconde de la première, réciproquement on peut déduire la première de la seconde (*).
Discussion. — Supposons que dans un mouvement uniformément accéléré, la vitesse initiale a soit nulle, c'est-à-dire (|ue le temps soit compté à partir d*un moment où la vitesse du mobile est nulle. Dans ce cas, les formules générales (7) deviennent :
Ce qui montre :
1** Que les espaces sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir;
2* Que les vitesses sont proportionnelles aux temps employés à les obtenir.
(() La vitesse v étant la dérivée efg de Tespace par rapport au temps, on peut écrire la deuxième relation (7; sous la forme:
En égalant les onctions primitives des deux membres on a :
<î = <fa + fl'+ gY^
On voit qu'en taisant f = 0 dans cette formule, on a ^ = ^^ : U cônstirilo f^ représente, à l'origine du temps, la distance du mobile à Torigine du mouvement. Si, comme nous l'avons supposé plus lu ut, on prend pour origine des espaces parcourus le point où se trouve le mobile à l'origiDc du Icmps, on a ^^ ^ 0, vl la relation devient :
CINÉMATIQUE 28
Faisons t = l dans les formules (8), il vient e = -y et v = y
ce qui montre :
3* Que Tespace parcouru dans la première unité de temps est numériquement égal à la moitié de la vitesse acquise dans ce temps {accélération).
Quelle est, dans ce cas, la vitesse acquise par un mobile qui a parcouru un espace e?
Pour résoudre ce problème, on tire de la première des for-
mules (8) la valeur inconnue du temps : f = i/ — , et Ton porte cette valeur dans la formule qui donne la vitesse ; d'où :
v = y^^=\/2ye
Faisons une étude particulière du mouvement uniformément
relardé. Soit un mobile ^
primitivement en 0 {(i^. ^' 0 a X.
li) et alors animé d'une Fie. t4.
vitesse a, se dirigeant
suivant X'OX d'un mouvement uniformément retardé avec une
accélération négative — y (y' étant une quantité positive) les
formules (7) deviennent :
Tant que (a — Y'0^'®^^®P'"^6ri**^'^d que zéro, par conséquent tant que t reste plus petit que —, la vitesse est positive; c'est-à-dire que le mobile continue à s'avancer dans la direction X'OX. Pour
a — y'/ = 0 ou t = -„ la vitesse devient nulle: le mobile cesse
de s'avancer ; et, dès cjuc l devient plus grand que -7, le binôme
a — y'i devenant plus peiil que zéro, la vitesse est négative : le
mobile rétrograde et se dirige dans le sens XOX'. C'est donc
a pour la valeur / = — que le mobde est le plus loin de 0 dans le
sens OX. Pour trouver celle distance ma^ximum OA, il suffît de porter la valeur correspondante du temps — dans la première des
formules (10); il vient :
(il) e = ^^
A partir de ce moment, la vitessse reste négative et devient de plus en plus grande en valeur absolue, quand le temps augmente; c'est-à-dire que le mobile se dirige de plus en plus rapidement dans la direction XOX' (*).
Au bout de combien de temps le mobile repasse-t-il a fou point de départ 0?
Pour trouver ce temps, comme l'espace parcouru e est redevenu nul a ce moment, posons :
2(1 Deux valeurs de i satisfont cette équation: ti = 0 Qil^:^=^ — ;
la première solution correspond au moment du départ, la seconde au moment du retour en 0. On voit que le temps pour aller de O
en A et y revenir est le double du temps ( -] nécessaire pour
aller de 0 en A seulement.
(1) Si, à partir du moment où le mobile rélrograde, on compte les vitesses positivement dans le sens de son nouveau mouvement, le mobile doit être considéré comms animé d'un mouTement uniformément accéléré.
CINÉMATIQUE 25
Quelle est ia vitesse du mobile quand il repasse par son point de départ?
2a Pour trouver cotte vitesse, portons la valeur -7 du temps dans
la formule qui donne la vitesse; il vient :
ce qm montre que quand le mobile revient à son point de départ, la vitesse reprend la même valeur absolue. Enlin» si Ton dépasse le moment où le mobile est revenu en 0
(si / > -7), l'expression al — -T y/* devenant négative, les espaces
parcourus sont négatifs, c'est-à-dire qu'ils sont situés du côté OX'. A partir de ce moment, le mobile s'écarte de plus en plus de 0 (lu côlé de OX'.
14. ACCÉLÉRATION DANS UN MOUVEMENT QUELCONQUE. — Comme nous Tavons fait pour la vitesse, nous allons maintenant généraliser la notion d'accélération pour la rendre appli* cable à un mouvement quelconque.
Considérons un mouvement varié quelconque, que, pour plus (le généralité, nous supposerons curviligne. Soient Aa (fig. 15) la
vitesse, quand lo mobile est au point A, et Bb la vitesse quand il est en un autre point B; menons par le point A une droite Ai' (?galo et parallèle a Bb. Joignons ab' ; nous savons que cette (Iroite ab' représente en grandeur et en direction la vitesse qu'il faudrait composer avec la vitesse Aa, pour avoir, d'après 1& règle du polygone des vitesses, la vitesse AJ/ du mobile
en B. Nous appellerons la vitesse ah' la variation de vitesse du mobile pendant qu'il parcourt Tare AB.
Le rapport de la valeur numérique de la variation de vitesse ah' au temps A/ employé par le mobile pour parcourir IVirc AB est ce qu'on appelle la valeur de J* accélérât ion moyenne pendant l'arc AB, parce que, si le mouvement était rectiligne et uniformément varié, ce rapport serait la valeur même de l'accélération; en outre, on appelle direction de l'accélération moyenne la direction de la variation de vitesse ab'.
Si nous taisons tendre Tare AB vers zéro, le point B se rapprochant indéfiniment de A, et, par conséquent, si nous faisons tendre le temps Ai vers zéro, la direction de l'accélération moyenne tend vers une limite que l'on appelle la directim do laccélération en A et sa valeur tend aussi vers une limite qui est, par déflnition, la valeur de Faccélération en A.
Faisons remarquer que, si la courbe décrite par le point mobile est plane, la variation de vitesse ah' et, par conséquent, l'accélération, est située dans le plan de la courbe. Si la courbe est gauche, le plan kah' ^i[\x\ passe par la direction de la tangente en A et par la direction kb' d'une tangente en un point B voisin, tend, quand le point B se rapproche indéfiniment du point A vers une position limite, qu'on appelle en géométrie le plan oscula^ teur de la courbe en A; l'accélération est dirigée, par consécjuent, dans le plan osculat^ur de la courbe au point A. Ainsi l'accélération est une grandeur qui a une valeur, une
direction et un sens ; on représente graphiquement ces trois qualités d'une accélération comme on représente ces trois qualités pour une vitesse.
15. ACCÉLÉRATION TAN6ENTIELLE. — ACCÉLÉRATION CENTRIPÈTE. — Menons en un point A (flg. 16) de la trigectoire d'un point mobile la tangente AT et menons aussi la normale principale AN (perpendiculaire dans le plan osculateur à la tangente AT). L'accélération Ag du
CINÉMATIQUE
mobile est située dans le pian TAN, qui est le plan osculateur à la courbe.
On appelle accélération tanijenlielle Taccélération représentée par la projection km de kg sur la tangente AT, et accélération centripète Taccélération représentée par la projection An de kg sur la normale principale AN.
L*importance des deux définitions que nous venons de donner lient ù ce que, si Ton connaît la valeur de Taccélération tangenlielle et celle de Taccéléralion centi'ipète, Taccéléralion totale kg s'obtient en grandeur et en direciion par un calcul géométrique des plus simples (*).
Or, nous allons voir qu'il est facile de trouver des formules générales qui permettent d'obtenir les valeurs de Taccélération centripète et de l'accélération tangenticlle^ d'après la connaissance du mouvement.
Soient Oa et Oi deux (lix)iles respectivement égales et parallèles aux vitesses du mobile en deux points voisins A et B de la trajectoire (lig. 17), de façon que
ah représente la variation de vitesse pendant l'arc AB. Abaissons de h une perpendiculaire bk sur Oa, En désignant par v eiv-\-^v les valeurs des vitesses Où et Ob et par a l'angle bOa qu'elles forment entre elles, on a :
M = (v -|- Iv) sin X ak = Ok '— Oa = (v -{- A») cos x — v
(I) Eo appelant 6, T, C les valeurs de l'accélération totale, de l'accéléralioo tangentielle et de Taccélération centripète, on a :
Ai en désignant par x l'angle que fait l'accélération totale avec la tangente à la courbe :
FiG. 17.
iûDg« = ^
Portons suivant les droites ab et ak des longueurs ag et ani respectivement égales à —et à — , en appelant A( le temps cm
ployé par le mobile pour parcourir lare AB. Joignons gni] la ligne
bk gm est parallèle a M, et Ton a : gm=-—. Or, quand \l tend
vers zéro, ag devient en grandeur et en direction l'accélération totale en A, ci am et g m deviennent l'une Taccéléralion lan-' gentielle, l'autre Taocélération centripète. On a donc, en appelant T et G les valeurs de celles-ci :
^ ,. bk ,. (r + AiMsina ,. , , ^ ,sina a A^
G = lim. -— - =lim.-^^ — • =lim.(r+AiO — —
\t A/ ^ ' ^ a A^ Ar
en appelannt \e la longueur de l'arc AB. Or, quand cet arc tend
vers zéro
r -{- Ar tend vers r
Fie. 17 ku.
sma
en appelant R le rayon de courbure en A. On a donc :
D'autre part :
rr 1- ^^ I- ir-r-^ï'^cosi — r ,. Ar ,. rd — cosi)
T=lim-— = lim-^^ =lim-— cosa — lim
Ar A( A/ A/
Le premier terme (lim. — cos a] tend vers la dérivée r'de la
CINÉMATIQUE 29
vitesse considérée comme fonction au temps, puisque cosx tend vers Tunité. Le second terme qui peut s'écrire :
2sin*- sin -
,. - ,. * 2 X \e lim. t; — : — = lim. r sin
tend vers zéro, puisque sin - tend vers zéro et que les autres facleurs tendent vers des valeurs flnies. On a donc :
Si la trajectoire est rectiligne, le rayon de courbure FI étant
infini, Taccélération centripète , qui a pour valeur-—, est nulle.
1/accélération totale se réduit alors à Taccélération tangenlielle,
dont la valeur est v'^ et qui est dirigée suivant la ligne droite
décrite par le mobile. Si, en outre, le mouvement est uniformément varié (r = a 4- T^» Taccéiération totale v' est égale à la
constante Y, ce qui est bien d*av*cord avec la définition particulière (|ue nous avons donnée dans ce cas. Mais il est bon de faire reinur.|uer que, si le mouvement uniformément varié était curvili}:nc, ce ne serait que Taccélération tangentioUe qui serait
cons'ante et égale à y : Taccélération centripète — nV'tant pas
nulle et généralement variable, Taccélération totale serait aussi variable en grandeur et en direction.
La trajectoire étant quelconque, si lo mouvement est uniforme, la vitesse v est constante et l'on a v'^ = 0 : Taccélération tangen-
tielle est nulle, et Taccélération totale se réduit à Taccélération centripète.
Dans un mouvement circulaire uniforme, Taccélération est constamment dirigée vers le centre du cercle et possède une valeur constante, puisque v et R sont invariables.
œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER
D'après les expresî^ions générales que nous venons de donner de raccélérnlion tangontielle, centripète et totale, on voit que Tunité de vitesse et Tunité de temps étant déterminées, il en résulte que Tunité d'accéléraiion est déterminée aussi.
16. COMPOSITION DES ACCÉLÉRATIONS. — Supposons un point mobile M se déplaçant d'un mouvement relatif par rapport à un système de points A; supposons en outre que le système A soit
animé d'un mouvement de translation par rapport à un second système de points B. On obtient l'accélération du mouvement de M dans le svstème B, en composant, suivant la règle du parallélogramme indiquée pour les vitesses, l'accélération 0.\ (i\^, 18) du mouvement relatif de M dons A avec raccéléralion OB commune à tous les points du système A dans le système B : la diagonale OC du parallélogramme construit sur OA et OB donne en grandeur et en direction Taccéléralion résultante (*).
Fie. 18.
(1)Nou8 nous bornerons à démontrer ce théorème dans le cas simple où
les deux mouvements composants sont rectilignes, uniformément accélérés et sans vitesses initiales. Cest surtout, en effet, pour pouvoir démontrer plus loin la règle de la composition des forces que nous parlons iri de la composition de<« accélérations, et pour celn il suffit de s^appuyer sur le cas simple que nous venon-* d'indiquer.
Soient r = yl la formule exprimant la vitssse relative au bout du temps/ de M dans ^*^' *®' A. et r = v7 la formule ex-
primant la vitesse au bout du Umps t des points de A dans le système D. Soient ,flg. 1$> Ma et Wb les
CINÉMATIQUE 31
Cette règle se trouverait en défaut si le mouvement du système A dans le système B n'était pas un mouvement de transla-
droiles représentant ces deax vitesses. La diagonale Me du paraUélogrammc Hacb représente la vitesse da mobile M dans le système B. Soient, au bout du temps (I -|~ ^^)* Ma' la vitesse de M dans A et M/»' la vitesse des points do A dans R. La diagonale Me' du parallélogramme Ma'c'b' donne la vitesse de M dans U au temps [t -\- A/). Or les triangles Mbe et M/)'c' sont semblables, car, les lignes bc et b'c' étant parallèles entre elles, comme parallèles toutes deax à Ma, ies angles en b et b' sont égaux ; d'ailleurs les cûlës Mb et bc sont rcspoctlvemeut proportionnels à Hb' et b'c' y car on a :
Ml> = y'r, bc = Ua=zyt, MI>' = y'(/ + AO et LV= Ma' = Y (/ + A/
d'oïl :
Mb < bc Mb' ~~ rpÂi ~ Fc'
Il en résulte que les angles en M élanl les mêmes pour ces deux triangles les côtés Me et Me' coïncident en direction. Ainsi, la direction de la vitesse du mobile M dans B étant toujours la même quels que soient les temps /et Af, ie mouvement est rectiligne.
En outre, on a :
Me M/> / Me M'c'
Me'" MF~"r + AI °" t ""<-f Al
quels que soient < et A/; il en résulte que la vilesse de M dans B étant proportionnelle au temps, le mouvement est uniformément accéléré sans vitesse iailialc.
Prenons maintenant à partir du point e dans les directions />ea", Mec' et
,. aa' ce' bh'
»cb' des lougueurK cA, eC et eB respectivement égales à—— ,—-—-, c'esl-
i-dire représentant précisément en grandeur et en direction pour cA et cD
leâ acreleralions composantes et pour cC l'accélération résultante, puisque
m', bb' et ce' sont les augmentations de vitesse dans les temps A/.
Joignons BC et CA le quadrihilùre eACU est un parallélogramme. Pour
le voir remarquons que cb"c' et eBC sont deux triangles semblables, comme
lyanl iiKine angle en c compris entre calés respectivement proportionnels.
bb' .. ^ ee' ,. . cB 1 eC
—: et, d autre part, cC = -— d ou : -ttt = t- = — ; M * ^ * At bb' A/ ce'
On i, en effet, cD = -- et, d'autre part, cC = V- d'où : -^ = -f- = -^; or.
eB eC comme bb' est égale a cb", on a -rr, = — ;• il en résulte que BC est parai-
CM} ce
tîon, si c'était, par exemple, un mouvement de rotation ou un mouvement encore plus complexe.
Dans le cas particulier où les deux accélérations composantes ont même direction, celte règle donne une résultante qui a même direction que les composantes et qui est égale à leur somme ou à leur différence suivant qu'elles sont de même sens ou de sens inverse.
17. PROJECTION D'UN MOUVEMENT SUR UN AXE. — Considérons un point A en mouvement (fig. 20); menons une droite X'X
quelconque et du point A abaissons une perpendiculaire A A' sur la droite XX: le pie«l A' de cette perpendiculaire est la projection de A sur l'axo X'X.
Cette projection A' se déplac43 en même temps que le point A.
Prenons sur X'X un point O pour origine du uiouvenK^nt, cl appelons x la distanc»; do A' à roriyine 0. Cette quantité x est une fonction du temps t; sa dérivée première x' est la vitesse de la projection A', qui décrit Taxe X'X, et sa diTivco seconde x^" (dérivée de la vitesse x^) est Taccélération de la projection A'.
On démontre aisément que la droite représentative de la vitesse de la projection A' est la projection sur l'axe de la droite représentative de la vitesse du point mobile A. En désignant par V la valeur de celle dernière et par a Tangle que faii sa ligne
FiG. io.
lèle à b"c' el, par conséquent, à ca"A. On démontre do inûue .juc AC c»i parallèle à ê"c' et, pnr conséquent à cb"l\.
Ainsi l'accc érntion rcsuliante se trouve ûtro l.i diapronalo cC du parallélogramme construit sur los deux accélcralions composantes c\ cl clj.
CINÉMATIQUE
représentative avec la direction positive de Taxe X'X, on a donc :
X^ =VCOSaL
On démontre aussi que la droite représentative de Taceélération de la projection A' est la projection sur Taxe de la droite représentative de Taccélération du point mobile A. En désignant par G la valeur de cette dernière et par X Tangle que fait sa ligne représentative avec la direction positive de Taxe X'X, on a donc :
t;'=Gcosx(*)
(t) Pour démontrer la première de ces deux propositions, remarquons d'abord que, A| désignant la position du mobile au temps ( et A« sa position au temps (1 + ^0 iH- ^D»
la corde AjA, de l'arc décrit par lo point mobile pendant le temps àt a pour projection sur l'axe X'X la droite Af'A'c dont la longueur est Xf— X,. En appelant a« l'angle A|A,U qae fait A|A« avec une parallèle A|U i X'X menée dans le sens positif, cVsi-à-dire l'angle de A«A, avec XX. et en désignant par «i le point ou A,U perce le plan perpendiculaire à X'X mène par A», on a :
ii-x,=A',A',=A,a, = A,A4C08a, X^^
FiG. 21.
En divisant les deux membres exlrCmes de cette égalité par A(, il vient :
X| ^" Xf A|Af
àt
COSoti
Xf ^ X|
Faisons tendre vers zéro le temps àt ; '^* *\ valeur de la vitesse
ntoycnoe de la projection pendant le temps A', tond vers la vitesse x'i de
di
œMPLÉMENT AU LIVRE PREMIER
Consi'lérons trois axes de coordoanées rectangulaires entre eux OX, OY, OZ. Les dislances x, y et zk Torigine 0 des pro-
la projection au temps t ;
, valeur de la vitesse moyenne du mobile
pendant le temps A<, tend vers sa vitesse v au temps/, et, en désignant par 3 la limite de l'angle ai, c*est^â-dire Tangle que forme la ligne représentative «le la vitesse avec la direction positive de l'axe, il vient :
X = r cos a
ce qui est la formule (I) du texte.
Pour démontrer la deuxième proposition, menons par un point M quelconque de Taxe deux droites M^ et Ml;, représentant les vi- ^^^ tesscs du mobile aux temps l
et i-\- ^i iflg. ti . J«»i|:nons a/»; cette droite est Taccroissèment de la vitesse pendant U temps Af. Or, soient a et h\ les projections sur XX des points a et /> ; Ma' projec« tion de Ma et Wb' projection do Wb sont les lignes reprcseoLatives des vitesses de la projection du mobile aux temps / et <-|- A<, et, (»ar conséquent, 9îy est la ligne représ<^nt*ilivc de raccroissenicnt do vitesse de la projection du mobile ; or, «'//' est la projection de ub et
Fie. iâ.
en appelant X, l'angle que forme «/> avec la direction po8ili\e de l'axe, on a :
a'L' = dib cos X, en divisant les deux membres de cette c'galité par A/, il vient :
Â7 = Âr ^"*''
a'/»' Or, faisons tendre Al vers zéro; — — , valeur de raccélcralion moyenne
AC
l>endaot le temps Al de la projection du mobile, tend vers raccélcration de
CINEMATIQUE 35
jections du point A sur ces trois axes sont les coordonnées de ce point. Si les fonctions du temps x, .v et z sont connues, le mouvement du point A est complètement déterminé.
En désij^nant par a, j5, y les nn^çles que forme avec la direction positive des trois axes la ligne représentative de la vitesse du mobile, eu appelant v la valeur de celle-ci, et enfin en désigaant par j*', i^/,s/ les dérivées par rapport au temps des fonctions X, y et 5, on a, d'après la formule (1) :
,^3) xy = rcosx y^^^vcosp z^'=^vcos^
Eji appliquant la relation connue
cos*a-|- cos* p + cos* Y= 1 on tire de là :
De même, en désignant |)ar X, »x, v, les angles que forme avec la direction positive des trois axes la ligne représentative de raccôlération du mobile, en appelant G la valeur de celle-ci, et enfla en désignant par x^", y^", z^' les dérivées secondes par rapport au temps des fonctions x, y,5, on a, d'après la formule (2) :
(01 x^'^=:^GcosX yl' = GcosiL 2''=Gcosv
celle^u au leinps t, donl la valeur, comme nous le savons, est égale à x".*
aaulre porl ~, valeur de raccclcralion moyenne du mobile pendant le
teiups A/, lend vers la valeur G de raccôlération tolnln au temps t ; en désignant par l la limite de l'angle >«, c'est-à-dire rangle que fait la ligne repréteoialive de l'accélcration totale du mobile avec la direction posUive de l'axe XX, on a donc ;
ce qui est la formule (2) du texte.
On tire de là, comme ci-dessus :
Ces relations font connaître la valeur, la direclion el le sens soit de la vitesse soit de Taccélération (run point mobile (juand on connaît le mouvement des projections de ce point. En effet» si les fonctions du temps x, y el z sont données, on connaît [)ar dérivation les premiers membres des égalités (â) el (5) el les seconds membres des égalités (4) et (0); ces dernières font connaître alors la valeur de la vitesse ou de Taccélération et, ces valeurs étant connues, les égalités (3) ou (5) déterminent les angles a, p, Y, ou X, «jl, v, c'est à dire la direction de la vitesse ou de Taccélération.
La Dynamique est Télude des forces el des mouvements ({libelles produisent.
La notion de force ainsi que les effets qui résultent de l'action des forces ont été révélés par Tobservalion et Texpérience. En cela la Dynamique est une branche de la Physique. Mais les rosuUats expérimentaux ont pu être résumés encinq lois ou jor/ndpes fondamentaux qui suffisent pour qu'on puisse en déduire tout le reste de la Dynamique par Tanalyse mathématique seule, sans qu'il soit nécessaire de recourir à de nouvelles expériences. Nous allons exposer ces cinq principes fondamentaux, montrer comment ils sont justifiés par Inexpérience et en tirer les conséquences les plus importantes.
C'est surtout à Galilée que revient Thonneur d'avoirétabli les trois premiers et, par là, d*avoir fondé sur des bases solides la Mécanique rationnelle.
Dans ce qui va suivre nous appellerons point matériel une portion de matière assez petite pour qu'on puisse négliger ses dimensions et Tassimiler à un point géométrique dans l'étude de son mouvement.
1. PREMIER PRINCIPE. - INERTIE DE LA MATIÈRE. — La malïère est inerte, c'est a dire qu'elle ne peut d'elle-même changer ni son état de repos, si elle est en repos, ni son état de mouvement, si elle est en mouvement.
Quand aucune cause extérieure n'agit sur un point matériel, son mouvement est nécessairement rectiligne et uniforme.
En efTet, dire que la matière est inerte, c'est dire que, dans
ce cas, il n*y a aucune raison pour que le point matériel dévie soit à droite soit a franche do la direction qu'il vient de parcourir: tous les éléments de la trajectoire ayant la même direction, le mouvement est rectiligne.
D'autre part, c*est dire aussi qu'il n'y a aucune raison pour (|ue, dans un certain intervalle de temps, le mobile parcoure un espace plus grand ou pins petit que dans Tiniervalle précédent de même durée : dans des intervalles de t^mps égaux le mobile parcourant des espaces égaux, quelque petits que soient les intervalles considérés, le mouvement est uniforme.
Le principe de Tineilie conduit don'*, à cette conséquence qui [)eut remplacer le principe lui-même :
Quand aucune cause extérieure n'afjit sur un point matériel^ celui-ci conserve indéfiniment la même vitessff en grandeur et en direction.
Le cas où le corps est au repos est compris dans cet énoncé • il correspond à une vitesse nulle.
Voici maintenant comment l'expérience justifie ce principe. 11 est assez difficile de soustraire complètement un corps à l'action de causes extérieures, et, en particulier, à l'attraction qu'exerce la Terre sur lui et (jui le fait tomb«*r. On arrive pourtant à détruire l'effet de cette attraction en faisant reposer le corps sur un obstacle, dont la résistance annule l'attraction terrestre. Ainsi, posons une bille sur un plan horizontal ; elle peut y rester indéfiniment au repos. Mais communiquons -lui un mouvement en la choquant ; la bille roulera en ligne droite d'un mouvement à peu près uniforme. Pourquoi no l'est-il pas tout à fait, comme le veut le principe de l'inertie? C'est qu'il reste encore une cause extérieure qui agit sur le corps et qui tend « diminuer constamment la vitesse : le frottement. Or celui-ci est d'autant plus faible que la bille et le plan sur lequel elle roule sont mieux polis : aussi constatons-nous que plus le poli est parfait plus le mouvement se rapproche d'être uniforme : la bille qui s'arrête assez vite quand elle roule sur du sable, s'arrête moins vite sur de la lerre battue et peut rouler très longtemps sur la glace si elle ne rencontre aucun obstacle. Nous voyons bien par là que, si le frottement et aussi la résistance de Fair au
mouvement étaient complètement supprimés, le mouvement serait exactement rectiligne et uniforme.
2. FORCE. — On donne le nom de force à toute cause exté^ Heure qui vient modifier Tétat de repos ou de mouvement duu corps.
Si un corps en mouvement n'est soumis à aucune, force, nous venons de voir que le mouvement est rectiligne et uniforme. Nous devons donc en conclure que, si un corps possède soit un mouvement curviligne, soit un mouvement varié, une force agit sur lui. Il en est encore de môme quand un corps passe de l'état de repos à Tétat de mouvement ou inversement de Tétat de mouvement à Tétat de repos: une force a agi, pendant un certain temps, qui peut être très court du leste.
On distingue dans une force quatre qualités: i'' son point dapplicationy 2° sa direction, 3° son sens, 4** son intensité.
Le point d'application, comme son nom Tindique, est le point du corps sur lequel la force agit directement. Par exemple, quand on tire un corps par un fd tenu à la main, comme c'est la tension du (\\ qui est ici la force agissant sur le corps, le point d'applicaiion de celte force est le point d'attache du ï\\.
La direction et le sens de la force sont la direction et le sens suivant lesquels la force sollicite le corps à se mouvoir. Dai»s Texemple précédent, c'est la direction du lîl lui-même qqi est la direction de la force, et son sens est celui du corps vers la main. D'une façon plus générale, si une force agit iseule sur un point matériel au repos, la direction de celle-ci et son. sens sout la direction et le sens du mouvement que prend le mobile.
L'intensité ou grandeur de la force a d'abord été apprcfciéc par TefTort musculaire que nous devons faire pour vaincre cette force. C'est ainsi qu'il faut faire un effort plus grand pour soulever un pavé que pour soulever un petit cailloux ; nous en concluons que la force qui attire le pavé vers le sol a unie intensité plus grande que celle qui attire le cailloux.
Mais il convient de préciser cette notion de l'intensité d'une force et de montrer que celle-ci est une grandeur mesurable.
