F^N=:F,P + PN
d'où, d'après (4) :
(4) PN = F^P — FiP
Le point nodal N est situé sur Taxe principal^ du côté du fof^^ le plus éloijnéy à une distance de la lentille (PN) éffale à le diBtt^ rence des deux distances focales F,P e/ F^P; tout rayon luSi^^ neux (AKA') qui traverse la lentille sans déviation passe pst ^ point nodal.
Réciproquement, tout rayon incident qui se dirige r^J le point nodal traverse la lentille sans déviation, puisqt*^ ce rayon incident se confond avec un rayon émis par un poitii* situé sur sa direction et qui traverserait la lentille sans dévi^^ tion.
Toute droite passant par le point nodal est appelée un êie\ ^* cette droite ne se confond pas avec l'axe principal, on lui don^^
RLFRACTION S47
e secondaire. On voit que l'iina^ d'un point est touixe correspondant à ce point.
jx niniiiifENT iincB pucSb dus l'aik. — Nous
lu haut (g 14) que tout rayon lumineux qui passe par Taxe principal rencontre une lentille iodoiment mince ille-
les i de sont run ieu, emlent oint lors ince len-
voir
eux )ca<
nulle dans ce cas : on a f, ^ /«. En désipuinl par i^mmune do f, et de fi, les formules gt^néraies des niment minces (g 18) deviennent :
dentiques aux formules relatives aux miroirs sphépropriétcs des lentilles intlnimenl minces placées lont les mvaies que celles des mii-oies spbériqués.
T.IVRE V. — CIIA?ITKE III
sauf cctta difTérunce, de toute évidence, qu'une image réelle (p' positif est placée en avant du miroir, qui la fournit par rétlexion, tandis qu'uUe est plact'e en arrière de la lentille, qui la fournil par transmission , et inversement pour les images vîr< luelles {p négatif). Aussi nous bornons-nous à résumer dans un tableau la discussion du ces deux formules, qui a été complètement faite au chapitre II (^g il, l!t, 14, 17 et 18).
(HfmeB propriélés quo les miroirs apliériqu'
P> r (ilg. 071 p' > r p diminue
U>ÏA
p jlBDlpOBltiMP = ^f
l'olijcKjsl Jp<S/1
\ p liliiiinua \p =1}
(1) Nous avons vu [Clinp. Il, Jj 3 el 17] qu'un objet, placi! • qu son imige su tonne sensibleinsnt dans 1« plan roctt, donne u M grandeur af, ta désignani par a la diainùtro appireol da l'olijal.
lp>U (Dr-OO} ,,'<Oip'=-p,') i<0(i
» vil pO»illf.\ Pi' < P 'i < '
■■»3jel Ml ip = a> p,' — {,
»*ol. \p lUminur p,' dimii
0 0 kuelle; i eionl auKmenio Vncgit if, l'image
droite
telpégalif,
p,<r.(os-»i) p'>o p' >p.
■lamente }>' nu):mc
WëlanI pofllir, :o (/=—(,)/ nmageesP > 0 ^r4elhs: ( élan»
)U)tinenlR Uègal if, l'image = » ] esldroilc.
p, =ir, = p, i = B 1 ..,, „.
est Iri's aisé de v^rîller expérimentalement ces lois en
les à distance focale assez {^l'anile pour
^*isjssant des lentilles f *^ l'épaisseur soit né^Hi^caltle vis à via do collo distance
*-— «s expériences de véiiflcation sont cnlijtiées sur celles que l^^*-*B avons indiquées au chapitre JI (gg 12, 13, 14, 17 et 18) dans I *^-es des miroirs ephériqUL-s ; aussi ii'avons-uouâ qu'à renvoyer jg^ * ^^clcur â ce chapitre. La figure 6i indique du reste suDlsam- ^■»t la disjMisilion H employer dans le cas d'im olijet i-écl pincâ
*^eià du plan focal d'une lentille convergente. ^^ "^^. u surplus, l'accord qui existe entre les propriétés que l'expé- **ce conslote dans les instruments d'optique que nous décri-
roos plus loin et les propriétés que fait prévoir la théorie des lentilles intlniment minces, que nous venons d'exposer, est une excellente véridcation de la justesse de cette théorie.
La construction géométriiiue indiquée, à propos des miroin
sphériqites, pour trouver l'image d'un objet plan, coDTient escore, bien entendu, dans le cas des lentilles. Par un point A tfe l'objet prïs en dehors de l'axe principal (llg. 65), on mèoe l'u* secondaire AF et le rayon AH parallèle à l'axe princïptl; m joint M au second foyer principal F, pour avoir la direction W| du rayon réfracté ; cette direction coupe en A', imago de A, l'i» secondaire AF. En menant par A' un plan parallèle à celui it l'objet, on a son ima^e, si toutefois le plan de l'objet est pe>^ pendiculaire, ou à peu près, h l'axe principal. On aun ouail* l'image B' d'un autre point quelconque B de l'objet en iMD*'^ l'axe secondaire BP de ce point.
ai. TUEUR DE LA DISTAHCE FOCALE. — Il est Ùaé de CtH^'
1er la valeur de la dislance focale d'une lentille inflnioi"***
renoos Is formula :
plus haut (g 10); pi représentant ici la distance d'un >bjet A| à mière face lentille in* Qt mince, listance de 9 A, de A, > par rén i travers
première R le rayon Ile-ci , et Il et tii les ) absolus jmïer mi-
de la sub-
qui forme itille. Le
A, fontî-
Qt comme
'éel ou vir- Pio. sa.
ir rapport
conde face, si l'on néglige l'épaisseur de la lentille, on a,
ili(|uant de nouveau la même formule et en se rappelant
iventions de signes faites au g 10 :
fij tin Tl, — Wj
it l'indice absolu du milieu qui baigne la seconde face snttlte et R', le rayon de courbure de cette face. On lire 0t de (2), par addition :
Wt LIVRE V. — CHAPITRE III
Si dans celle formule on fait pj = — oo , on aura pi = /i (dislance focale antérieure) :
. Wi m — y?a , Wj — W3
^^ fi~ |R "^ K'
Si dans la formule (3) on faitpi = + 22.I ^^ ^^^^ — P3=A(^^ tance focale postérieure) :
Dans le cas où les milieux qui baignent les deux faces de la fentille ont même indice (rti = n^), nous voyons, d*après (4) et (5), que les deux distances focales ff et f^ ont la même valeur, ce que NOUS savions déjà. En désignant par n la valeur commune de
--^ et de -^, c'est-à-dire Tindice de réfraction de la substance qui «I W3
forme la lentille par rapport au milieu extérieur, les relations (f\ eu (5) deviennent :
Rappelons que dans ces formules R ou R' sont des quantité positives quand la face correspondante tourne sa concavité dt^ côté de la lumière incidente, négatives dans le cas inverse.
On peut se servir de la formule (6) pour établir que les le»-^ tilles plus épaisses au milieu que sur les bords sont convergente^ ^Z* positif), et que les lentilles moins épaisses au milieu que fiv^ les bords sont divergentes (/'négatif).
22. LENTILLES ÉPAISSES. — Dans bien des instruments d'opti^ que, les lentilles sont trop épaisses par rapport aux dislaaoe^ focales, pour qu'on puisse négliger leur épaisseur. On doit^ €iauss ('} d'avoir donné une théorie très simple de ces lentîllec*
(4) Charles- Frédéric Gauss, professeur d*astronoini« à GœUÎDgae, ••( *^
nÉFRACTlON
Cet Le théorie présente un haut degré de généralité, car les rela- (iorijs que nous allons trouver eont applicables, non seulement au^ lenLilles, «quelle que soit leur épaisseur, mais auâei à un système centré quelconque.
I>u reste, les formules qui donnent la distance de l'image el &A ^-randeur sont les mèmeti que dans le cas des lentilles inlinimeot minces, pourvu qu'on compte les dislances de l'objet ou de l" image, non à partir d'un même plan, mais à partir de deux P^Bvis fixes, distincts, perpendiculaires à l'axe principal et qu'on Bp¥^dle les plans principaux. U'est ce que nous allons établir.
tians la théorie de Gauss, on suppose encore que les rayons II" ruineux considérés s'éi-artenl très peu de l'axe principal-, aussi, comme précédemment, nous confondrons, dans les constructions ff^«métriques, une surface de séparation sphérique avec son P'^n tangecit au point où elle est rencontrée par l'axe principal.
■^3. PLANS PRIHCIPADI. — Quand un système est composé d'une *^Vi le surface rôfringenle sphérique, la direction de chacun des ** i'Ons incîdcnis parallèles à un même axe coupe la direction du ^^ ^'on réfracté auquel il donne naissance en un point placé sur * «urface réfringonle. Pour des rayons incidents s'écartant peu ^ l'axe, la partie de la surface réfrinj^ente rencontrée par eux ^^ confond avec son plan langent, et l'on peut dire que la direc- *■! de chacun des rayons incidents parallèles coupe la direction
il»
rayon émergent correspondaut sur un même plan perpenili-
^^* Maire â la direction des rayons incidents.
INous allons montrer qu'il en est encore de même pour un sys- **ie composé de surfaces rtifringentes sphériques centrées quel- ^^*3que : îa direction de chacun dea rayons incidenls paraHéles
^^mniwick en 1777 cl mort en IH!i5. Son travail sur l'upllque a poru de *^»« i 1B43.
* — s théorie (la Cau^H est beaucoup plus clmpla et plus K^nAnilB que la ^^«ïrie des inalrumenls d'opliqoe, au fond idsntique, que Biol a donnés, ^*« la toÊme époque. Elle a âlc elle-mïmo compliïlée par l'introdnclian des > J^^IU nodani, due au phyaiologiala allcinanil Listing (ISlXi), ol canaidéra- ^ ^^eat simptiflje par pluainura auteurs, eu particulier par DrrlJn, mailri^ ^^ «^onrértnces i l'^Icolo Normale Supérieure. C'est â pou pr*s la morelie ^^^^ie par ccl auteur que noua reproduisons ici.
364 LIVRE V. — CHAPITRE lU
à Taxe principal coupe la direction du rayon émergent eorrupondant sur un même plan perpendiculaire à faze principil lit qu'on appelle plan principal, sous la réserve, bien entendu, i{M les rayons incidents soient peu distants de l'axe principal.
Pour démontrer cette propriété, il suffit de faire voir que, li elle existe pour un premier système de surfaces réfringenUi sphériques centrées, elle subsiste encore lorsqu'on ajoute n système une nouvelle surrace réfringente sphérique ayant m centre sur l'axe principal du premier système ; en effet, puinjat la propriété est vraie pour le système composé d'une seule mface, elle sera vraie aussi pour un système composé de deux n^
faces, et, par conséquent, de trois, de quatre , d'un nombre
quelconque de surfaces sphériques centrées.
Soit donc XY (flg. 66) l'axe principal d'un premier systèM
optique centré jouissant de la propriété d'avoir ua plan p Ililin,; soit un rayon lumineux HA parallèle à l'axe ^linàfli^ sa direction rencontre en un point A le plan principal, et li C est le second foyer principal du système, le rayon émerpft-^ auquel HA donne naissance possède la direction AO.
Ajoutons maintenant au système une nouvelle surface réâia — Rente sphérique S(SS| séparant le dernier milieu transparcEat (lu système précédent d'un nouveau milieu traDspareiit 0* supposons que S,S, ait son centre de courbure sur l'axe piùa— «ipal XY.
REFRACTION ;i5r.
Le rayon de direction AO coupe celte surface en un point H et, subissant une nouvelle réfraction, prend une certaine direction IIP. Le iKiint F où la direction de ce rayon rencontre l'axe pi~iiicipal est le second foyer principal du nouveau système optique. Les directions du rayon incident H\ et du rayon émergent BF se coupent en un certain point C, puisque ces droites Bont dans une même section principale. Menons par ce point C m» plan P,PF| perpendiculaire à l'axe ; il est facile de voir que la position de cd plan est indépendante de la distance à l'axe du i^yon incident AH considéré, par conséquent, que ce plan f]\e ^•P, est un plan pi-incipal pour le nouveau système.
Bln effet, la similitude des triangles GPF et BSF donne lu reliiiJQii :
