AM

M'iP, "M',M,

Vil l'égalité ()os lignes M,M'i et M,M'„ ainsi qufl dMti|n«t M',P, et M',P„ on tire de ces relations, absolument comineda» le cas des leotilles infiniment minces (voir |316ett7), lesmlnA relations générales :

et -=î-

cn désignant par p la distance AM, de l'objet au premier pin principal, ijuantité positive si l'objet est en avant de ce {^

REFRACTION

I foincipaU négative s'il est en arrière; par p' 1« distance A'M', 1^ de l'image au second plan principal, quantité posilive si l'image s 0sL en arrière du second plan principal, négative ni elle est en |«vant; par f, et /", les distances F,P| et F,P, des foyers principaux aux plana principaux correspondants avec la ni6me convention do signes (|uesi F, était un objet el F^ une image; enfin par» et par i les grandeurs Ae de l'objet et A'a' de l'imtige, i étant posiUf si l'image ost renversée par rapport à l'objet, négatif dans lo cas contraire.

ï^aifions remar<|uer pour terminer que les deux plans principaux sont des plans conjugués : l'un est l'image de l'autre. Donnons en effet à;; une valeur nulle dans les formules (i), et à o une "■leur quelconque, pour avoir comme objet un point A du plan P**iiicipal situé II une distance o de l'axe ; ces formules donnent L P^ =0 et t^ — tt, ce qui indique que l'imnge du point A est un I point A' situé sur le second pliiii principal, a la mémo distance "^ l'axe que le point A et du même c^tt' dans la même aeclion P^"àncipalB. La construction géométrique géut'rale qui sert à [l'Oliver l'image d'un point donné, conduit au même résultai, Iti^n entendu (fig. Ci)).

35. FORMULE DE NEWTON. — On peut, comme pour les mi- ^-*irs splitjriques, transformer les formules générales précédentes ^** introduisant la dislance ? de l'objet au prumier foyer princi- **^4 et la distance ^i' de l'imago au second foyer principal. En

considérant 9 comme une quantité positive si Tobjet est enanni du premier foyer et comme négative s'il est en arrière, et att considérant 9 comme une quantité positive si Timage est en arrière du second foyer principal et comme négative si elle est en avant, on a, en toute généralité :

(i) P = 9 + fi et ^^ = 9'+/;

Enjportant ces valeurs dans les formules (i) du paragraphe précédent, on en tire les formules tout aussi générales;

(2) Ç?' = Ar, et -^ = -§- = f

Ces relations se réduisent à celles données par Newton qund on a A = /i.

26. POINTS NODAUX. — Portons sur Taxe principal à partir de chacun des foyers principaux, et du côté du plan principal oorrespondant, une longueur égale à l'autre distance focale, noos obtiendrons ainsi deux points N| et N^ (Rg. 70) qu'on appelb les points nodaux :

La distance de chaque point nodal au plan principal correspondant, étant égale en valeur absolue à la différence des deoi distances focales, est la même. Par conséquent, la distance des deux points nodaux, que Listing a appelé interstice, est la mtae que la distance des deux plans principaux.

Tout ra}vn incident qui se dirige vers le premier point ooéil (celui ({ui correspond au premier foyer principal) donne aitf* sance à un rayon émergent dont la direction passe par le jecond point nodal et qui est parallèle au rayon incident.

Considérons, en eflTet, un rayon AK|N| se dirigeant vers le premier point nodal N|. Prenons comme plan de flgoro la seolioi principale passant par ce rayon. Soient A et K| les pointe ai il perce le premier plan focal et le premier plan principal;

HEFRACTION 9&1

un rayon AM^ parallèle ù l'axe principal ; ce rayoa 'anl MjFg. Puisque tous les rayons issus du point A, le plan focal, donnent naissance à des rayons émerllèles . le iquel

AN, tance aral- . En «que par ,1 ce

êlre mme 9 ce 'conrayon émergent E doit passer par l'image K, de K,;

, comme on le suil, est située âur le second plan la même distance fie l'axe i(ue Ki. Le rayon E esl 9 plan de ligure et coupe en un certain point N^ l'axe Ir, les deux triangles rectangles AF,N, el M^P^Fj puis<pi«! les côti's de l'angle droit sont respeclive- . Par consci[ueiil, les angles N] cl F, étant cgauT, rallèle a AN, : le rayon émergent E pundl6le à M,F, rallèle itu rayon inciilenl. En outre, les iriangles K,FiNl et KjP,N, sont égaux, comme ayant leurs des ou cunTondus en diroclioo et comme ayant doux (P,K, ^ PjK,) ; il en résulte (|iie PiN, = P,N, ; le

donc le second point nodal.

loment, tout rayon incident qui donne naissance à un font parallèle à lui passe p»rk premier point noànl tmergeut par le second point nodal, lontror cette réciproque, fiiisons voir d'abord que ncident qui donne naissanct^ à un rayon émergent parallêto est conlonii diina une section principale. tfl'et, A el K, les points où un pareil rayon incident lan Tocal et le premier plan principal. L'imago A' da

A étant dans la même section principale S que A, et étant sitaé^ aussi sur le rayon émergent E auquel AKi donne naissaocea^ se trouve au point où le rayon E perce la section principale S — Or, le point A' est à l'infini, puisque A est un point du plan focal donc le rayon E est parallèle à la section principale S. Comm AKi est parallèle à E et passe par le point A du plan S, ce rayoc incident AKi est tout entier contenu dans cette section principale S ; prenons celle-ci comme plan de figure. D'autre part, I< rayon émergent E passe par le point K^, image de K| ; or K.

est dans le plan de figure S, et, puisque le rayon E a une di- — rection parallèle à ce plan, ce rayon est aussi contenu dans Iplan de la figure.

Désignons maintenant par N^ et N, les points où le rayon inci — dent et le rayon émergent rencontrent Taxe principal. Menoi^^ par le point A le rayon parallèle à Taxe AM, qui donne nai^ sance au rayon émergent MjF^. Ce dernier rayon est parallèle E, puisque ce sont deux rayons émergents provenant de rayon», issus d'un même point A du plan focal ; le rayon M^F, est ioim* parallèle à AKiNi. 11 en résulte que les deux triangles rectangle AF|N| et MgPjFg sont égaux, comme ayant les côtés AF,etMjF% égaux, et tous les angles respectivement égaux. On a docm^ F|N| = P4F5 : le point N^ est le premier point nodal, et, pa^ conséquent, N^ le second point nodal.

Pour un système composé d'une seule surface sphérique fringente ou d'une seule lentille infmiment mince, les deux plafi^ principaux sont confondus en un seul et confondus avec la sui face réfringente, ce qui entraîne la confusion des deux poinC^ nodaux en un seul point (point uodal) : c'est ce que nous avoi»^ déjà établi pour les lentilles infiniment minces (§ 19).

27. PROPORTIONNAUTË DES DISTANCES FOCALES AUX INDICES »^ RÉFRACTION. — Quand un système dioptrique est composé d'uii<> seule surface sphérique de rayon H séparant deux milieux d'iodice rzi et n^, on a, pour les distances pi et p^ d'un point et do

son image, la relation (voir § 10) :

Pour aroir la seconde distance focale f^, il faut faire dans te formule P( ^ oo et p, = — f^, il vient :

Mt avoir la première distance focale, il faut faire Pt^^= — oo

■ ^ /■, ; il vient :

3ii a donc :

[jes distances focales sont respectivement proportionnelles X indices de réfraction des deux milieux extrêmes du sysae.

Nous allons voir que cette propriété est générale, quel que t le nombre des surfaces sphériques centrées. Pour cela, mens dans une

Mion principe du systcnie Jx axes de »rdonnéci3 rectgulaires OX «Y. l'axe OX confondant Bc l'axe prinmI du système ». 71). Soient

et y, les coor- «nées d'un int A, du plan

Zt et jr, celles de l'ima^ A, de A, donnée par le Systems ïplrique; on a, d'après la convention faite pour le signe de

la grandeur t de Timage A^a^ de la perpendiculaire à Taxe Aifli prise comme objet (o) : yi = o ei y^ = — i. D'autre part, désignons par hi et h^ les abscisses des deux foyers principaux Fi et Fj ; ou a, d'après les notations du paragraphe 25 :

9 = Ai — Xi et 9' = jTj — /ij

Les relations données dans ce paragraphe prennent alors la forme :

(5) y*^ A ^Jr^ — h±

On tire de là :

(6) x^ = A, + /-,^ et x^ = h^-fj-^

On a, de même, pour un autre point B^ du plan, de coonloi nées X, et Y|, et pour son image B^ de coordonnées X^ et Y,:

(7) x, = /i. + A^ et X^ = h^-fJ^

ij ii

par soustraction, on tire de (6) et de (7) :

en égalant les valeurs de Y,yj — Y^yj tirées de «es deu: deinières égalités, on obtient la relation :

it\\ ^1 — ^t . 1^1 "Z£i

Dans le cas où le système se réduit a une seule surface fringcnte, les (quantités fi et f^ sont proportioanelles, conif<^^

REFRACTION 865

VU, aux indices ni et n^ des deux milieux ; d*aprÔ8 tion (9) donne :

A.J "~— X| /L^ ~"~ JTj

s maintenant qu*une seconde surface sphérique cene OX sépare le milieu d'indice de réfraction n^ d*un d'indice n^ ; les images A^ et B^ fontionnant comme pport à celte nouvelle surlace, on aura, en caracté- 'indice 3 les coordonnées des images A3 et B^ de par conséquent de A| et de B| :

- = — T? — - d ou, d apres(IO): -^ — -* = ""-, ^1 W3\3y3 *^ n,Y,y, n3Y3y5

iuite : quel que soit le nombre des surfaces de sépaûque centrées sur OX interposées entre un milieu réfraction ni et un milieu d*indice n^, on voit qu'en ar Xi et j/i,X| et Y| les coordonnées de deux points par x^ et y^, X, et Y, celles des images de ces points * tout le système, la relation (10) est applicable. En ilors cette relation à la relation générale (9), on en