COMPOSITION DES FORGES SITUÉES DANS UN MÊME PLAN

Si plusieurs forces appliquées à un corps solide sont situées dans un même plan, elles peuvent toujours être remplacées par une résultante ou par un couple résultant.

En effet, si deux forces ne sont pas parallèles, on peut les transporter l'une et l'autre au point de rencontre de leurs directions et ensuite les remplacer par une force unique en les composant suivant la règle du parallélogramme. En opérant de même avec chaque résultante et une autre force qui ne lui est pas parallèle, on arrivera soit à composer toutes les forces en une seule, soit à obtenir un certain nombre de forces parallèles entre elles. Dans ce dernier cas, on peut composer toutes les forces d'un certain sens en une seule force A et toutes les forces de l'autre sens en une seule force B. Alors, si ces deux forces

A etB sont inégales, elles sont remplaçâmes par une seule force : les forces primitives admettent une résultante. Si, au contraire, les forces A et B sont égales, elles constituent un couple : les forces primitives peuvent être remplacées par un couple résultant.

30. MOMENT DUNE FORGE PAR RAPPORT A UN POINT. — On appelle moment dune force ka (flg. 50) par rapport i un point 0, le produit F X 0K de Ia valeur F de cette force par la Ax distance OK du point 0, à / la direction de la force. B

Le point 0 est appelé le centre des moments.

Quand la direction d'une * ^£l-

force passe par le centre °

des moments, son moment est nul puisque le facteur OK du produit F X OK est P|Q w

nul. Réciproquement, si le moment d'une force est

nul, ou cette force est nulle, ou sa direction passe par le centre des moments, puisqu'un produit FXOK ne peut être nul que si l'un des deux facteurs est nul.

Joignons le centre des moments 0 aux points A et a qui sont les extrémités de la droite représentative de la force F. L'aire

du triangle OAa est égale à-^-Aa X 0K =-ô~FX0K- 0u voil

que l'aire de ce triangle est numériquement égale à la moitié du moment de la force.

Lorsque plusieurs forces sont dans un même plan, et que le centre des moments 0 est un point du plan, on considère comme positit "s les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour du point 0 dans le sens des aiguilles d'une montre pour un observateur placé de l'un des côtés du plan (exemple Aa flg. 50), et comme négatifs les moments des forces qui tendent à faire tourner le corps en sens inverse du mouvement

des aiguilles d'une montre pour le même observateur (exemple Bb flg. 50).

31. MOMENT D'UN COUPLE. — On appelle moment d'un couple le produit de la valeur F de Tune des forces du couple par la distance MN (flg. 51) des deux forces égales et parrallèles qui le

composent. Si le couple tend à faire tourner le corps dans le sens des aiguilles d'une montre pour un observateur placé de l'un des côtés de son plan, le moment est considéré comme positif) s'il tend à le faire tourner en sens inverso pour le même ob- ^*''\ servateur, le moment est

s*''' considéré comme négatif.

*$' La somme algébrique des

Fie. 51. moments des deux forces

du couple par rapport à un point quelconque de son plan est égale à la grandeur que nous venons d'appeler moment du couple.

Pour le voir, supposons d'abord que l'on choisisse comme centre des moments un point, tel que 0, appartenant à la partie du plan qui n'est pas comprise entre les directions des deux forces. Alors, si le moment de l'une des forces est positif, le moment de l'autre est forcément négatif. Abaissons do 0 une perpendiculaire ONM sur la direction commune des deux forces; on a, d'après la figure, pour le moment de la force Aa lavaleur+FXOM et pour le moment de la force Bb la valeur — F/ON. La somme de ce ces deux moments est donc :

FXOM — FXON = FXMN

Supposons maintenant que l'on choisisse comme centre des moments un point, tel qne 0', appartenant à la partie du plan

comprise entre les directions des deux forces. Alors le moment de chacune des forces a le même signe ; dans le cas de la figure ils sont tous les deux positifs. En abaissant de 0' une perpendiculaire N'O'M' sur la direction des deux forces, on a pour le moment de la force Aa la valeur + F X O'M' et pour le moment de la force Bb la valeur -f- F X ON' • La somme de ces deux moments est donc :

F X O'M' -f F X O'N' = F XM'N'

Ainsi dans Pun et l'autre cas, la somme des moments des deux forces a pour valeur le moment du couple.

Dans le cas de la figure 51, le couple tend à faire tourner le corps dans le sens des aiguilles d'une montre, et nous avons trouvé une valeur positive pour la somme des moments des deux forces. Nous aurions trouvé une valeur négative pour cette somme si Je couple avait été disposé de façon à faire tourner le corps en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre.

On voit donc qu'en valeur absolue et en signe le moment du couple représente bien la somme des moments des deux forces qui le composent par rapport à un point quelconque de son plan.

On dit qu'un couple est nul quand son moment est nul ; en effet, ou les forces sont nulles ou leur distance est nulle ; dans ce dernier cas, les deux forces du couple étant directement opposées, se détruisent mutuellement : dans les deux cas l'effet du couple sur le corps est nul.

32. THÉORÈME DES MOMENTS. — Deux systèmes de forces situées dans un même plan, qui produisent le même effet sur un corps, sont tels que Ja somme des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan est la même pour les deux systèmes (*).

(1) Pour démontrer ce théorème faisons remarquer d'abord que deux forces égales et directement opposées ont, par rapport à un point quelconque du plan, des moments égaux on. valeur absolue mais de signes contraires. On

En particulier, le moment de la résultante ou le moment du couple résultant de plusieurs forces situées dans un même plan,

peut donc ajouter au système des forces, ou en retrancher, deux forces égales et directement opposées sans changer la somme des moments de toutes les forces.

D'autre part, nous allons montrer que la somme des moments, par rapport à un point quelconque de leur plan, de deux forces ayant même point d'application est égale au moment de leur résultante.

Pour faire cette démonstration, distinguons deux cas. Supposons d'abord le centre des moments 0 à l'extérieur de l'angle AMB formé par les deux forces ou de l'angle opposé A4MB| (Ûg. 52) ; dans ce cas, les moments de ces forces étant de même signe, leur somme algébrique est la somme de leurs valeurs absolues, affectée de leur signe commun. Soient P«, P/>, Pc les projections des deux forces MA et MB et de leur résultante MC sur une perpendiculaire Pc à la droite OM ; on a Pc = P* -f- ac = Pa + P^» c*1* Pb = ac comme projections de lignes égales et parallèles MB et AC; d'où :

OM X Pc = OM X P« + OM X Pb

Or les produits OM X p*» OM X P^ et OM X P« représentent le double des aires des trois triangles OMA, OMB et OMC, c'est-à-dire représentent les moments des forces MA, MB, et MC ; le théorème est donc démontré dans ce cas.

Supposons, en second Heu, que le centre 0 soit à l'intérieur de l'angle AMB formé par les deux forces ou de l'ungle opposé A«MB« (ûg. 58) ; dans

Ofc.--

FlC. 53.

ce cas les moments de ces deux forces étant de signes contraires, leur somme algébrique est la différence des valeurs absolues. Or on a, en faisant

par rapport à un point quelconque de ce plany est égal à, la somme des moments des composantes par rapport à ce point.

Quand la somme des moments par rapport à un point 0 de forces situées dans un même plan est nulle, ces forces ne peuvent se réduire à un couple, puisque le moment d'un couple qui n'est pas nul n'est jamais nul. Les forces ont alors une résultante unique et, comme le moment de cette résultante est nul, la direction de celle-ci passe par le centre des moments 0.

Si Ton peut démontrer que la somme des moments des forces est nulle par rapport à trois points 0,0', 0" non en ligne droite, la résultante des forces, ne pouvant être dirigée à la fois vers ces trois points 0,0' ,0", est nulle nécessairement : les forces se font équilibre. 11 en est ainsi, en particulier, si la somme des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan est nulle.

Réciproquement, si plusieurs forces situées dans un même plan se font équilibre, leur résultante étant nulle, la somme de leur moment par rapport à un point quelconque du plan est nulle.

33. PROPRIÉTÉ DES COUPLES, — On peut remplacer un couple dont les deux forces sont appliquées à un même corps solide,

la même construction que dans le premier cas Pc = Pb — bc = Pb — Pa; d'où:

OM X Pc = OM X P* — OM X P*

Le moment de la résultante est donc encore égal à la somme algébrique des moments des composantes.

Ces deux points étant établis, faisons remarquer maintenant que tout passage d'un système de forces à un autre système de forces équivalent (déplacement d'une force suivant sa direction, composition de forces ayant même point d'application ou parallèles entre elles, décomposition d'une force en plusieurs autres ayant même point d'application ou parallèles, etc.) se fait par une série d'opérations qui sont soit des additions ou des soustractions de forces égales et directement opposées, soit des compositions de deux forces ayant même point d'application ou des décompositions d'une force en deux autres ayant même point d'application. Dans chacune de ces opérations partielles la somme des moments des forces ne variant pas, il en esUde même pour l'ensemble des opérations et, par conséquent, la somme des moments, par rapport à un point quelconque du plan, des forces formant l'un des systèm: s est égale à la somme desmomanls des forces formant l'autre système équivalent.

par un autre couple situé soit dans le même plan soit dans un plan parallèle et ayant même moment que le premier, sans que F effet sur le corps soit changé.

Cette propriété rie pouvoir remplacer un couple L par un autre couple M sous les conditions que nous venons d'indiquer est d'une application très fréquente (*).

(1) Démontrons d'abord celle proposition dans le cas où les couples L et M sont dans le mémo plan. Imaginons pour cela que dans ce plan se trouve un troisième couple N d'un moment égal et de signe contraire à celui des couples L et M. L'ensemble de ces trois couples produit le même effet que le couple L seul, car la somme des moments par rapport à un point quelconque du plan des quatre forces qui composent les couples M et N étant nulle, ces quatre forces se font équilibre. Pour la même raison l'effet des trois couples L, MetN est le même que l'effet ducouploM seul, par conséquent, l'effet du couple L est le même que l'effet du couple M. Pour démontrer la proposition, dans le cas où les couples L et M sont

dans des plans parallèles P et Q, prenons comme couple L dans le plan P un couple dont les forces Aa et Ub de valeur F soient perpendiculaires à la droite AB qui joint leur point d application (flg. 54) ; ce couple est équivalent à tout autre pris dans le même plan P et ayant môme moment (FXAD).

Menons maintenant dans le plan Q une droite CD égale et parallèle à AB et appliquons en G et en D des forces Ce et Dd e'gales et parallèles à Aa et B/> de façon à constituer un second couple N ayant un moment égal a celui de L, en valeur absolue, mais de signe contraire.

II est aisé de voir que les couples L et N se font équilibre. En effet, composons ensemble les deux forces Aa et Dd qui sont égales, parallèles et do même sens; leur résultante Or,, égale à 2F, est appliquée au milieu 0 de la droite AD, centre du parallélogramme ABCD. De même la' résultante des forces Ce et B/> est une force Or, égale à 2F et appliquée au centre 0 du parallélogramme. Or, ces deux résultantes Or, et Orif étant égales et diamétra'cment opposées, se font équilibre.

Plaçonstmaintonnnt dans le plan Q un troisième couple M ayant même moment en grandeur ot An signe que le couple L. L'ensemble des trois couples L,M,N produit le même effet que le couple M seul, puisque les couples L et N se font équilibre. D'autre part, l'ensemble do ces trois couples produit le même cfTot quo le couple L seul, puisque les couples

Fie. ,

Elle permet, par exemple, de placer où Ton veut le point d'application O de Tune des composantes du couple M, et de prendre pour ces composantes telle valeur F qu'on désire ; puisqu'en plaçant la seconde composante de façon que le plan qui passe par sa direction et par le point O soit parallèle au plan du couple L et en prenant les distances {des deux composantes telles que le produit F/ soit égal au moment du couple L, le couple M ainsi formé lui est équivalent.

34. REPRÉSENTATION ET COMPOSITION DES COUPLES. — Un couple n>st carartérisé que par la direction de son plan, par la valeur de son moment et par son signe, puisque tous les pouples pour lesquels ces trois qualités sont les mômes produisent le même effet.

11 est commode de représenter graphiquement ces trois qualités; voici la convention qui a été adoptée.

Prenons un axe perpen liculairc au plan du couple et portons sur cet axe une longueur Pp <fig. 55) qui contienne autant de fois une unité de longueur déterminée qu'il y a d'unités dans la valeur du moment du couple. Cette droite Pp nous fait connaître la direction du plan du couple et son moment

en vnleur absolue. Pour représenter le signe du moment du couple, on convient do terminer la droite Pp par une flèche dirigée vois un observateur pour lequel le couple tend a faire tourner le corps autour do Taxe dans le sens des aiguilles d'une

M et N se font nus si équilibre. Il en résulte que lo couple L produit sur le corps lo même effet quo le couple M de mémo moment et placé dans un plan parallèle.

96 COMPLÉMENT Al) LIVRE PREMIER

montre. Il résulte de là que, si le moment du couple change de signe, pour que le mouvement qu'il tend à produire maintenant sur le corps paraisse le faire tourner encore dans le sens des aiguilles d'une montre, il faut que l'observateur regarde de l'autre côté du plan du couple. On voit ainsi que la flèche est dirigée dans un sens ou dans l'autre suivant que le moment du couple est positif ou négatif (sur la figure 55, Pp représente le couple L et Qq représente le couple N).

Le point P ou Q d'où part la droite représentative du couple est absolument arbitraire; aussi, quand plusieurs couples agissent sur un même corps solide peut-on prendre un même point de départ pour toutes les droites représentatives des couples.

Cette représentation graphique est très commode pour formuler la loi de la composition des couples :

Un nombre quelconque de couples peuvent toujours être remplacés par un seul couple {couple résultant) produisant sur le corps solide le même effet que T ensemble des couples qui lui sont appliqués. Dans le cas de deux couples, on obtient le couple résultant en composant ceux-ci suivant la règle du parallélogramme. C'est-à-dire qu'on construit un parallélogramme ayant pour côtés adjacents les droites représentatives des deux couples et la diagonale de c j parallélogramme représente le couple résultant.

Cette dernière règle étant démontrée ('), on en conclut immé-

(1) Soient Oa et 0/> les lignes représentatives des deux couples à composer (fig. 56). Prenons, dans le plan aOb, une force OA ayant une direction perpendiculaire à Oa et numériquement égale à Oa; joignons à cette force une autre force O'A' égale, parallèle, de sens contraire, et appliquée en un point O' d'une droite OX perpendiculaire au plan aOb, la distance 00' étant prise égale à l'unité : l'ensemble des deux forces OA et O'A' est précisément un des couples représentés par Oa, puisque son plan AOO'A' est perpendiculaire à Oa, et que 00' étant égal à l'unité, on a :

0AX00' = 0A = 0a.

Or, ce couple OAO'A' produit su* le corps le même effet qu'un autre couple quelconque représenté par Oa.

Si, de même, nous prenons dans le plan aOb une force OB perpendiculaire

diatement, comme on Ta fait pour les forces ou les vitesses, qu'on obtient la résultante d'un nombre quelconque de couples en construisant une ligne polygonale dont les côtés sont les droites représentatives des couples à composer; la droite qui joint les deux extrémités de la ligne polygonale représente un couple qui à lui seul produit le même effet que l'ensemble des couples composant : c'est le couple résultant.

à 0/> et numériquement égale à 02>, et si nous menons par 0' une force O'B' égale, parallèle et de sen9 contraire, ces deux forces forment un des couples représentés par 0/?, et ce couple produit sur le corps le même effet qu'un autre couple quelconque représenté par 02>. Or, les forces OA et OB, d'une part, et les forces O'A' et O'B', dune autre, peuveut être remplacées par leurs résultantes OC et O'C; celles -ci sont les diagonales des parallélogrammes AOBG, A'O'B'C, qui sont égaux entre eux comme ayant deux côtés respectivement égaux, parallèles et de sens inverses; par conséquent, les diagonales OC et O'C sont égales, parallèles et de sens opposés. On voit donc que les deux couples OA O'A' , OB O'B' peuvent être remplacés par un seul couple OC O'C

Si, maintenant, nous construisons le parallélogrammo Obca qui a pour côtés les lignes Oa et Ob représentatives des couples composants, ce parallélogramme est égal à OBCA comme ayant ses côtés adjacents respectivement égaux et perpendiculaires à ceux de OBCA. Il en résulte que la diagonale Oc de ce parallélogramme est égale à OC et lui est perpendiculaire. Comme on a alors :

OCXOO' = OC = Oc

Fio. 56.

et comme la direction de Oc est perpendiculaire au plan du couple OC O'C. cette diagonale Oc du parallélogramme Obcû représente bien le couple résultant OC O'C1.

35. COMPOSITION DE FORGES QUELCONQUES. — Quand des forces quelconques sont appliquées a un môme corps solide, elles peuvent être remplacées par 1 ensemble dune force (résultante) et d'un couple [couple résultant). En outre, on peut se fixer a priori le point d'application de la résultante. La valeur et ia direction de cette résultante ne dépendent pas du choix fait pour son point d'application; mais le moment du couple résultant en dépend généralement (f).

La résultante tend à entraîner le corps dans sa direction, le couple résultant à lo faire tourner sur lui-même.

Il peut se faire, du reste, que, dans certains cas, en choisissant convenablement le point d'application de la résultante, le couple résultant soit nul. C'est ainsi que toutes les pressions exercées par un liquide sur la surface d'un solide baigné par lui

(1) Voici la démonstration de re théorème.

Soit (flç. 57) 0 le point du corps quo nous choisissons comme point d'application de la résultante.

Ajoutons au système des forces deux forces Oa4 et Oa, ayant 0 pour point d'application, de sens opposés, cl toutes les deux égales et parallèles à une des forces appliquées au corps Aa. Cesdeux forces Oat et Oat se détruisant mutuellement, l'effet des forces n'est pas changé.

Or, la force Aa et la force égale, parallèle et de sens contraire Aa, constituent un couple. On peut ainsi remplacer chacune des forces telles que Aa par un couple et une foi*ce égale, parallèle et do même sens appliquée au point O (Oa, dans lo cas de Aa). Toutes les forces, telles quo Oa( ayant même point d'application, peuvent Ôtre remplacées par leur résultante et, d'autre part, tous les couples peuvont être remplacés par un couple résultant. Ainsi se trouve démon Ire le théorème.

On voit que, quel que soit le point 0 choisi pour point d'application de la résultante, la valeur cl la direction do celle-ci restent les mêmes. Au contraire, le couple résultant change en général quand le point d'application de la réeultanto varie.

Fie 57.

peuvent être remplacées par une seule force (la poussée): ici le couple résultant peut être nul, en choisissant convenablement le point d'application 0 de la résultante: les pressions ne peuvent pas faire tourner le corps autour d'un axe passant par ve point 0.

Par contre il peut se faire, dans certains cas, que la résultante soit nulle, toutes les forces se réduisant à un couple. C'est ainsi que les forces magnétiques exercées par le Globe terrestre sur tous les points d'un aimant, se réduisant à un couple seulement, l'aimant n'est entraîné dans aucune direction; il Umd seulement à b'orienter sous l'action du couple, jusqu'à ce que ses deux composantes, qui, dans ce cas, ne changent ni de gran deur ni de direction pendant la rotation de l'aimant, se soient disposées suivant la même ligne droite : toutes les forces magnétiques se font alors équilibre.

On peut prendre pour point d'application de l'une des deux forces qui composent le couple résultant le point d'application même de la résultante : du reste, tout en conservant au plan de ce couple la même direction et au moment du couple la même valeur, on peut prendre pour ses composantes des forces ayant une valeur F choisie a priori; il suffît, en effet, de donner à la distance l des deux composantes du couple une valeur telle que le produit FI soit égal au moment du couple résultant. Si nous composons maintenant en une seule force la résultante et la force du couple qui est appliquée au même point, on voit que :

Toutes les forces appliquées a un môme corps solide peuvent être remplacées par deux forces seulement (résultantes), le point d'application de Tune des résultantes et la valeur de ï autre pouvant être assignés a priori, la valeur de la première résultante et le plan qui dontient le point d'application de celle-ci et la seconde résultante étant alors déterminés par le nombre, la grandeur et la disposition des forces à composer.

36. THÉORÈME DBS PROJECTIONS SUR UN AXE. — La projection sur un axe quelconque de la résultante de deux ou de plusieurs forces ayant même point d'application est égale à la

somme algébrique des projections des composantes sur le même axe.

De ce théorème très facile à démontrer (l), il résulte, en particulier, que la force tangentielle (mt>',) est égale à la somme des projections sur la tangente à la trajectoire du point matériel des forces réelles qui agissent sur lui, et que la force centripète

( "r~ ) est ^g*te * lft somme des projections de ces forces réelles

sur la normale principale. Ces relations sont souvent appliquées.

Un théorème beauoup plus général résulte du précédent : La projection sur un axe quelconque de la résultante de toutes les forces appliquées à un corps solide est égale à la somme algébrique des projections des composantes.

En particulier, si plusieurs forces agissant sur un corps solide se font équilibre, la somme algébrique de leur projection sur un axe quelconque est nulle.

(1) Ce théorème est presque évident, si l'on se reporte à la manière dont on obtient la résultante de plusieurs forces appliquées en un môme point. On forme une ligne polygonale OABCDE (Qg. 58) dont les différents côtés

sont respectivement égaux et parallèles aux forces à composer et, par conséquent, ont même projection sur un axe quelconque ; la droite OB qui ferme

Four le voir, faisons remarquer d'abord que les deux composantes d'un couple ayant toujours des projections égales et de signes contraires sur un même axe, la projection d'un couple est toujours nulle : il n'y a pas lieu de s'en occuper.

Faisons remarquer ensuite que, pour passer du système des composantes au système formé de la résultante et du couple résultant, nous avons fait une série d'opérations qui rentrent dans Tune des trois catégories suivantes : 1° addition de deux forces égales et directement opposées; 2° composition de plusieurs forces ayant même point d'application en une seule; 8° composition de couples. Or, dans chacune de ces opérations partielles, la somme algébrique des projections de toutes les forces sur un même axe ne variant pas, il en est de même pour l'ensemble des opérations.

37. MOMENT PAR RAPPORT A UN AXE. — On appelle moment (Tune force par rapport à unaxeXX' le moment de la projection A' a1 de la force Aasur un plan P perpendiculaire à Taxe XX' par rapport au point 0 où cet axe traverse le plan P (fig. 59).

la ligne polygonale représente la résultante de ces forces.

Soient 0\A',B',C',D\E', les projections sur un axe quelconque X'X des points

0,A.B,C,D,E;on a évidem- Fio.88.

ment, d'après la figure :

d'où: