O'E' = O'A' + A'B' + B'C + (— CD') + ( — D'E

Or, chaque terme de cette dernière somme représente, en valeur et en signe, la projection de l'une des composantes, tandis que O'E', qui est égale à cotte somme, représente la projection do la résultante.

Une force contenue dans un plan passant par l'axe XX' a une projection dont la direction rencontre le point 0, a moins que la force ne soit parallèle à X&', auquel cas sa projection sur le plan P est nulle ; dans les deux cas, le moment de la force par rapport à XX' est nul.

Réciproquement, si une force a un moment nul par rapport à XX1, la direction de sa projection passe par le point 0, à moins que cette projection ne soit nulle, ce qui indique que la force est parallèle a XX' ou nulle : la force est contenue dans un plan passant par Taxe, on bien cette force est nulle.

Deux systèmes de forces qui produisent le même effet sur un corps sont tels que la somme des moments des forces par rapport à un axe quelconque est la môme pour les deux systèmes (!).

En particulier, la somme des moments par rapport è un axe

(1) La démonstration do ce théorème esl calquée sur celle du théorème analogue correspondant aux forces situées dans un même plan.

Remarquons d'abord que deux forces égales et directement opposées ont djs moments égaux en valeur absolue et de signes contraires par rapporta un axa quelconque. On peut donc ajouter à un sysètme de forces ou en retrancher dsux forces égales et directement opposées sans changer la somme des moments.

D'autre part, nous savons que la projection sur un plan P perpendiculaire à un axe quelconque XX', de la résultante Me de deux forces Ma et M2> esl précisément la résultante des projections M'a' et M'b' de ces deux forces (flg. 38), et nous savons aussi que le moment de la résultante M'c' par rapport au point O où Taxe XX' perce le plan P est égal à la somme des momonts des composantes M'a' et M'b' par rapport à ce point. Or, par définition, les moments par rapport au point 0, de M'a', M'b\ M'c' sont respectivement les moments de Ma, Mo, Me par rapport à XX'; par conséquent, la résultante Me a, par rapport à un axe quelconque XX', un moment qui est la somme des moments des deux composantes Ma et Mb.

Ces deux points établis, remarquons que toutes les transformations d'un système de forces en un autre équivalent (composition de forces concourantes ou parallèles, décomposition en forces concourantes ou parallèles, composition et décomposition des couples etc.) se font par une série d'opérations qui consistent à composer deux forces appliquées en un même point ou à décomposer une force en deux forces ayant même point d'application, ou bien encore à ajouter ou à retrancher deux forces égales et directement opposées; la somme des moments des forces restant la mémo dans chaque opération de ce genre, il en est de même pour l'ensemble des opérations.

quelconque des deux résultantes ou de la résultante et des composantes du couple résultant est la même que la somme des moments de toutes les forces appliquées à un corps solide.

C'est la généralisation du théorème des moments par rapport à un point; ce dernier théorème n'étant évidemment qu'un cas particulier de celui que nous venons d'énoncer.

Si toutes les forces qui agissent sur un corps se font équilibre» les résultantes étant nulles, les moments do ces résultantes sont nuls : la somme des moments par rapport à un axe quelconque de toutes les forces est nulle.

Réciproquement, si la somme des moments par rapport à un axe quelconque de toutes les forces est nulle, toutes ces forces se font équilibre. Prenons, en effet, un axe perpendiculaire au plan du couple résultant et passant par la résultante; la somme des moments du couple et de la résultante devant être nulle, et lo moment de cette résultante étant nul, il faut que le couple soit nul. Prenons maintenant un second axe qui ne rencontre pas la direction de la résultante; pour que le moment de celle-ci soit nul, il faut que sa valeur soit nulle.

Ce théorème des moments par rapport à un axe est précieux toutes les fois qu'on a h considérer l'équilibre d'un corps solide pouvant tourner autour d'un axo fixe. Parmi les forces qui agissent sur le corps, la résistance de l'axe de rotation doit intervenir; or, on ne connaît a priori ni la grandeur ni la direction de cette force ; on sait seulement que son point d'application se trouve sur Taxe. Dès lors, si Ton prend celui-ci comme axe des moments, le moment do la résistance est nul, et, pour qu'il y ait équilibre, il faut que la somme des moments des autres forces par rapport à Taxe soit nulle.

Du reste, // suffit que la somme des moments des forces par rapport a Taxe de rotation soit nulle pour* qu'il y ait équilibre. Remplaçons, en effet, les forces par leurs deux résultantes, et choisissons pour point d'application de l'une d'elles un pointde l'axe de rotation de façon que son moment soit nul. Le moment de l'autre résultante étant nul aussi, puisque la somme des moments do toutes les forces est nulle, il faut que sa direction passe par un point de l'axe. Comme on peut la supposer appliquée en ce point de l'axe de rotation sans changer son effet, on

voit que es deux résultantes étant appliquées k Taxe sont détruites par la résistance de celui-ci : il y a équilibre.

38. MOMENT PAR RAPPORT A UN PLAN. — On appelle moment dune force par rapport à un plan P qui lui est parallèle, le

produit FXAA' de la valeur F de la force par la distance AA' de la force au plan (flg. 60).

Quand une force est située dans le plan P (plan des moments) son moment est nul puisque la dislance AA' de la foi:ce au plan est nulle.

Réciproquement, si le moment d'une force est nul , ou cette force e-t nulle, ou elle est contenue dans le plan des moments.

Menons dans le plan des moments une droite X'X perpendiculaire à la direction de la force; si cette force tend à faire tourner autour de X'X le corps auquel elle est appliquée dans le sens des aiguillos d'une montre, le moment de la force est considéré comme positif (exemple Au flg. 60); si la force tend à faire tourner le corps en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre, le moment est considéré comme négatif (exemple Bb flg. 60). On voit que deux forces parallèles, de même sens et situées de part et d'autre du plan des moments ont des moinenls de signes contraires. Il est évident aussi que deux forces parallèles, de sens inverses, situées du même côté du plan des moments ont des moments de signes contraires.

Faisons remarquer que le moment d'une force Aa (flg. 60), par rapport à un plan P n'est pas autre chose que le moment (F XOK) de cette force par rapport à un axe X'X situé dans le plan P et ayant une direction perpendiculaire à la force.

Puisque le moment de la résultante de plusieurs forces parallèles par rapport à un axe quelconque, ou la somme des moments des composantes du couple résultant, égale ia somme

Fie. 60.

des moments des iorces par rapport à cet axe, on en conclut que:

Le moment par rapport à un plan de la résultante de plusieurs forces parallèles entre elles et parallèles à ce plan, ou la somme des moments des composantes du couple résultant, égale la somme des moments des forces composantes.

Au fond, la notion de moment par rapport à un plan fait double emploi avec celle de moment par rapport à un axe qui est plus générale et il u'y aurait pas lieu de la conserver, si Ton ne pouvait pas établir directement et simplement le théorème que nous venons de déduire du théorème des moments par rapport à un axe (*).

(1) Voici la démonstration directe du théorème énoncé plus haut. Considérons d'abord deux forces parallèles et de même sens Aa et Bb (flg. 61) et leur résultante Ce. Abaissons des trois points A%C, B situés en ligna droite, des perpendiculaires AA', CC, DB' sur le plan P; ces trois droites étant contenues dans un même plan, les points A', C, B' où elles rencontrent le plan P sont situés en ligne droite, et l'on a la relation :