DÉTEMINATION DU CENTRE DBS FORGES PARALLÈLES. — Lo

théorème des moments par rapport à un plan, ou le théorème plus général ries moments par rapport à un axe, donne un moyen commode de trouver le centre des forces parallèles.

Prenons trois axes des coordonnées rectangulaires entre eux OX, OY, OZ (fig.62). Soient xi% yiyz{J

les coordonnées des points d'application A, B, C...

des forces parallèles et soient Fi9 Fâ, F3. .. les

BV

ay

Fie. es.

valeurs de ces forces.

d'où

ou

CC'X (B2> + Aa) = AA' X Aa + BB' X B2>

CC X Cc = AA' X Aa + B1V X B/>

Celle relation montre qne le moment de la résultante Ce esl égal à la somme des moments des deux composantes. Dans le cas de la figure 61 les moments des deux forces composantes sont positifs ; si le plan P coupait la ligne AB qui joint les points d'application des forces, il y aurail à considérer des moments de signes contraires, mais on trouverait de même que le moment de la résultante égale la somme algébrique des moments des composantes.

Une démonstration calquée sur la précédente montre que cette proposition subsiste quand les deux forces sont parallèles et do sens opposés.

On en conclut, par conséquent, que, quel que soit le nombre des forces parallèles, le moment de la résultante de toutes ces forces ou, dans le cas où toutes les forces se réduisent à un couple, la somme des moments des deux composantes du couple, égale la somme des momenls des forces composantes.

Désignons par X, Y, Z, les coordonnées du point d'application de la résultante de ces forces, c'est-à-dire les coordonnées du centre des forces parallèles, et par R la valeur de cette résultante.

Nous savons que la position du centre des forces parallèles est indépendante de ia direction commune des forces; supposons alors que toutes les forces soient parallèles à OZ, et écrivons que le moment de leur résultante, par rapport au plan ZOY, ou, ce qui revient au même, par rapport à l'axe OY, est égal à la somme des moments des composantes ; les distances des forces au plan des moments étant Yx des points d'application, on a :

(1) RX= F^t + F2*â -f-F3*3+ . . . =2 Fx

Si maintenant nous prenons les moments des forces par rapport au plan ZOX, ou, ce qui revient au même, par rapport à Taxe OX, la distance des forces au plan ZOX étant Yy des points d'application, on a :

(2) RY = Pf yi + F^ + Fsfli + • • • = 2 Yy

Supposons maintenant que les forces soient toutes parallèles à OY, et prenons leur moment par rapport au plan XOY, ou, ce qui revient au même, par rapport à l'axe OX; la distance de leur point d'application au plan XOY étant lo z des points d'application, on a:

(3) RZ= Fa + Fa+ Fjfc + ... = 2 F* Nous avons, en outre, la relation :

Cette dernière relation fait connaître la valeur de R et les rela-

tions (1), (2), (S), déterminent les coordonnées X, Y, Z du centre des forces parallèles.

40. CENTRE DE GRAVITÉ. — Quoique la notion de centre de gravité soit venue de l'étude de la Pesanteur, celte notion est utile à connaître pour la Mécanique générale et nous devons en donner, dès à présent, une définition précise indépendante delà Pesanteur.

Supposons un corps, du un système de corps, dont la position est rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires. Divisons ce système en portions assez petites pour être assimilées chacune à des points; soientmt, m2,m3... les masses de chacune de ces portions, et désignons pas xi% ytl zf, ar4, yly s2, x3, y3, S3,... leurs coordonnées. Appelons enfin M la masse totale du système :

(1) M=ml + mi -f wi3 -f ... =2u m

Le centre de gravité est le point dont les coordonnées X, Y et Z sont fournies par les relations suivantes :

/ MX = mxxx + HVa + w3jr3 -f- . . . = 2à mx ( ) \ MY = mxyx + m^/t + wisr/3 + . . . = 2j my MZ = mi»! + mfy + m3%3 + . . . = 2à m%

Nous définirons plus loin (L. II, Chap. I § 8) le centre de gravité comme le point d'application de la résultante des actions de la pesanteur sur toutes les parties du corps. Les actions de la pesanteur étant des forces parallèles et de même sens, ces deux définitions reviennent au même, grâce au fait d'expériences, que nous établirons (L. II Chap. II §§ 7 et 8), que quand un corps tombe

sous l'action delà force de pesanteur seule, l'accélération du mouvement est une même constante g quelle que soit la nature du corps, ce qui fait que mg représente la force de pesanteur agissant sur un corps de niasse m. En effet, multiplions les deux membres de la relation (1) et de chacune des relations (2) par celte constante g\ les relations ainsi modifiées expriment que X, Y et Z sont les coordonnées du point d'application de la résultante des forces de pesanteur agissant sur toutes les parties du corps, d'après les formules (1), (2), (3) et (4) du paragraphe précédent.

Nous aurons occasion, un peu plus loin, de montrer l'importance de la notion de centre de gravité.