QUATRIÈME PRINCIPE. — L'ACTION ÉGALE LA RÉACTION

Pour toutes les forces naturelles on constate une réciprocité parfaite entre l'action qu'exerce un corps sur un autre et l'action qu'exerce celuici sur le premier (réaction), c'est-à-dire que, si un corps A (ftg. 63) agit sur un corps B avec une certaine force F, réciproquement B agit sur A avec une force F égale à F en grandeur et en direc- \

t/on, mais de sens opposé : si A attire B, réciproquement B attire A; si Are- \

pousse B, réciproquement B repousse A, V action et la réaction étant toujours égaies en grandeur et en direction.

Ainsi le Soleil attire la Terre avec une certaine force, et la Terre attire le pig. es.

Soleil avec la même force.

Une pierre pesant un kilogramme est attirée par la Terre avec une force de 1 kilogramme -poids; réciproquement la Terre est attirée par la pierre avec une force de 1 kilogramme-poids. Si aucun obstacle ne gêne cette attraction mutuelle, la pierre s'avance vers la Terre, et aussi la Terre vers la pierre; mais, comme une même force, appliquée à deux corps de masses différentes, donne des accélérations en raison inverse des masses, la vitesse acquise au bout de l'unité de temps est très notable pour

la pierre, dont la masse est faible, tandis qu'elle est tout à lait insignifiante pour la Terre dont la masse est énorme.

Dans ces exemples, que nous n'avons choisis que pour faire comprendre la portée du principe de l'égalité de l'action et de la réaction, on ne peut eu faire une vérification. Dans l'exemple suivant, au contraire, la vérification se fait aisément.

Examinons les conditions d'équilibre d'une corde tendue, dont chaque portion ne serait soumise qu'aux tensions exercées par les parties voisines. Considérons la corde comme une file de particules; d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, chaque particule doit attirer la particule suivante et être attirée par elle avec la même force; du reste, pour l'équir libre, il faut (jue chaque particule soit également attirée par la particule suivante et par la particule précédente. On voit ainsi que la même tension doit exister dans toute la longueur de la corde, et que les deux extrémités de celle-ci doivent exercer le même effort sur les obstacles auxquels elles sont fixées. Cette conséquence immédiate du quatrième principe se vérifie facilement en attachant chacune des extrémités d'une corde au crochet d'un dynamomètre ; si l'on écarte l'un de l'autre les deux dynamomètres pour tendre la corde, ceux-ci indiquent la même force.

Dans la suite de ce cours, nous aurons plusieurs fois l'occasion de vérifier la justesse du principe de l'égalité de l'action et de la réaction, dont toutes les conséquences vériftabies ont été confirmées par les faits.

Ce principe permet d'introduire une simplification importante datas l'étude de l'effet produit par les forces qui agissent sur un corps.

Un corps quelconque peut être considéré comme formé d'un très grand nombre de points matériels entre lesquels s'exercent des forces, dites forces intérieures, deux à deux égales, de même direction et de sens opposés. En outre, il peut être soumis à des forces qui, n'émanant pas d'une de ses parties, sont appelées forces extérieures.

Or, il est inutile, pour le théorème des projections sur un axe, de tenir compte des forces intérieures, puisque, les projections de ces forces étant deux à deux égales et de signes contraires, leur somme algébrique est nulle :

La somme algébrique des projections de toutes les forces sur

un axe est égale à la somme algébrique des projections des forces extérieures.

Ii en est de même pour le théorème des moments : la somme des moments par rapport à un point, un axe ou un plan des forces intérieures est évidemment nulle puisque ces moments sont deux à deux égaux et de signes contraires :

La somme algébrique des moments de toutes les forces est égale à la somme algébrique des moments des forces extérieures.

42. MOUVEMENT BU CENTRE DE GRAVITÉ D'UN SYSTÈME. — Nous n'avons étudié jusqu'à présent que le mouvement d'un point matériel. Voici un théorème qui ramène le problème du mouvement du centre de gravité d'un corps, ou d'un système de corps, à celui du mouvement d'un point matériel.

Le mouvement du centre de gravité dun système est le même que si toute la masse du système était concentrée en ce point et que si toutes les forces extérieures qui agissent sur les diverses parties du système lui étaient appliquées en conservant la même direction, le même sens et la mémo grandeur (*).

(1) Pour démontrer ce théorème, prenons les équations (2 du g 40) qui définissent les coordonnées XtY«Z du centre de gravité. Ces coordonnées, ainsi que celles xly ylt zt, x9, 2fo«« etc. des divers points du système sont des fonctions du temps, quand ce système est en mouvement. Egalons les dérivées secondes par rapport au temps des deux membres des égalités (2); il vient :

(1) MX^' =* lùmxll MYJ' = Sroyi' MZy == SjiisJ'

Or, «xj'f my'j, mz"t représentent respectivement les projections F^, Fy, F, sur les trois axes de la résultante F des forces f qui agissent sur le point matériel de masse m (relation (i) \ 23), ou, par conséquent, la somme des projections fx, /L, fs sur ces trois axes des forces f\ on a donc :

(2) m.'i=%rx my','=S^ Mz;'=5tf,

Dans ces trois sommes les projections sur chacun des axes des forces

Nous n'avons pas besoin de faire ressortir l'importance de ce théorème.

intérieures s'annulent réciproquement, comme nous le savons ; les seconds membres de ces égalités sont donc égaux seulement à la somme des projections des forces extérieures. Or, en transportant ces forces au centre de gravité, tout en leur conservant même grandeur et même direction, on ne chango pas leur projection sur les axes. En outre, les projections Rx, R„ et R2 sur les trois axes de la résultante Rde toutes ces forces sont égales respectivement à la somme des projections de ces forces :

(3) »,=Er, R,=^r, R,=S/;

On a donc :

(i) MXJ'=RX MYj'=Ry MZ;' = Rj

Or, pour un point matériel A qui aurait une masse égale à la masse M du système et qui serait soumis constamment à la force R, on aurait, en désignant par x, y et z ses coordonnées :

(5) M*y=Rx MyJ'=Ry M*J' = R,

On tire de (4) et (5) :

(6) Xy — a?'/ = 0 YJ' — y'I =0 Zt — x'I = 0

et, en égalant les fonctions primitives des deux membres :

(7) X;-j$=C YJ-yJ = C ZJ— *; = c"

Supposons qu'à un certain moment le point matériel A possôJe la môme vitesse que le centre de gravité ; les constantes arbitraires G, C, G" sont nulles alors, et il vient :

(8) x;-*; = o Y;-y; = o zj-*; = <>

Ce qui nous montre que les vitesses du point A et du centre de gravité sont constamment égales entre elles.

En égalant les fonctions primitives des deux membres des égalités (8), il vient :

Supposons qu'à un certain moment le mobile A coïncide avec le centre do gravité, alors les constantes arbitraires D, D', D" sont nulles et l'on a :

Ce qui nous montre que le point A coïncide constamment en position avec

On peut, comme on le sait, remplacer toutes les forces extérieures qui agissent sur un corps solide par une résultante appliquée au centre de gravité et par un couple ; cette résultante étant précisément celle qu'on obtient en appliquant au centre de gravité toutes les forces qui agissent sur le corps solide sans changer ni leur grandeur ni leur direction et en les composant ensuite. D'après le théorème que nous venons d'énoncer, c'est cette force qui détermine le mouvement du centre de gravité; quant au couple, il a pour effet de faire tourner le corps sur lui-même. C'est ainsi, qu'en général, les forces appliquées à un corps solide donnent naissance non pas à un simple mouvement de translation mais à un mouvement plus complexe.

Pour que le corps soit toujours anané d'un mouvement de translation, il faut et il suffit:

1° Que toutes les forces extérieures puissent être remplacées par une seule force appliquée au centre de gravité ; autrement dit, que le couple dont il vient d'être question soit nul.

2° Qu'a f origine du temps le mouvement soit de translation (ou nul) (*).

43. CINQUIÈME PRINCIPE. - LA FORGE NE DÉPEND QUE DE LA DISTANCE ENTRE LES PARTIES AGISSANTES. — Ce principe est un complément du principe précédent et pourrait, à la rigueur, être compris avec lui dans un même énoncé.

Les forces qu'exercent l'une sur l'autre deux portions de matières assez petites vis-à-vis de la distance qui les sépare pour être assimilées à des points sont dirigées suivant la droite qui joint ceux-ci, ont la même valeur, et sont de sens inverses, conformément au principe précédent; en outre, leur valeur commune ne dépend que de la distance des deux points.

Newton a déduit des lois de Kepler que le Soleil attire une planète, avec une force qui ne dépend que de la distance de

le centre de gravité du système, en d'autres terme? que celui-ci se meut comme le point matériel A.

(1) Celle proposition est presque évidente, d'après ce que nous venons d'exposer, et, comme sa démonstration rigoureuse est un peu longue, nous ne la donnerons pas.

I la planète au Soleil, la force variant en raison inverse du carré

i de la distance.

Dans le domaine des extrêmement petits ce principe semble être tout aussi exact. Nous en déduirons plus loin (T 1er L. I, Chap. I, g 6) que le travail des forces intérieures d'un système ne dépend que de l'éiat initial et de l'état final; or, de toutes les conséquences de ce remarquable théorème la plus importante peutêtre est celle qui nous apprend que la quantité de chaleur dégagée dans une réaction chimique est indépendante de la manière dont s'effectue cette réaction. On doit à M. Berthelot d'avoir énoncé cette grande loi et, en outre, d'en avoir prouvé l'exactitude par ses nombreuses déterminations calorimétriques.

Si l'on passe en revue les diverses mesures qu'on effectue en Physique, on reconnaît bien vite qu'elles se ramènenl presque toutes à des mesures de longueur, à des mesures de masse, ou à des mesures de temps, et c'est pour cela qu'on a eu raison de choisir comme unités fondamentales du système de mesures absolues adopté actuellement, une unité de longueur, une unité de masse, et une unité de temps.

Le temps se mesure à l'aide d'horloges ou chronomètres, dont la marche est rendue régulière, soit par l'oscillation d'un pendule, soit par l'oscillation d'un ressort, et qui sont réglés par les observations astronomiques nécessaires pour obtenir la valeur de la seconde, d'après sa définition.

Nous dirons, plus loin, quelques mots de l'emploi du pendule pour régulariser le mouvement des horloges. Nous parlerons aussi, à propos de la pesanteur, de la balance qui est l'instrument doni on se sert pour mesurer les masses.

Nous allons, dans ce chapitre, nous occuper spécialement des moyens employés pour mesurer une longueur avec précision, ou pour obtenir la valeur d'un angle par la mesure de la longueur de Tare compris entre ses côtés.

1. MÈTRE-ÉTALON. — Comme nous le savons déjà, rétalon de longueur est le mètre des Archives, qui, par délinition, a une longueur d'un mètre à 0°.

Le mètre des Archives est un mètre à Louis, c'est-à-dire que la barre de platine qui le représente a un mètre de long d'une extrémité à l'autre. Or, ces étalons à bouts se copient avec moins do précision que ceux qui comprennent le mètre entre deux traits placés près de leurs extrémités, dits étalons à traits. Aussi la Commission du mètre a-t-ello fait construire un nouveau mètre-étalon en platine iridié, qui,àO°,possède aussi exactement que possible, entre deux traits placés près de ses extrémités, la longueur du mètre des Archives à la môme température. C'est ce mètre à trait qui est aujourd'hui le véritable étalon de longueur; on l'appelle l'étalon international.

Tous les pays qui ont adopté la Convention du mètre doivent avoir une copie de l'étalon international. Ces copies sont des mètres à traits en platine iridié (platine 90, iridium 10) en tout semblables à cet étalon. La figure 1 représente la forme qui a été adoptée pour ces règles, d'après les travaux de M. Tresca, parce quelle paraît offrir le plus de résistance à la flexion. Les traits limitatifs du mètre sont placés, à un centimètre des extrémités, sur le plan qui contient le centre de gravité de la règle; dans ces conditions, une légère flexion de celle-ci n'a pas d'influence appréciable sur la distance des deux traits limitatifs (*).

FlG« 1.

(I) Pour tracer les deux traits qui doivent limiter le mètre, on se sert d'un comparateur à peu près semblable à celui décrit (T.l*r L. IV. Chap. IV g 5). Il en diffère principalement, en ce que chacun des deux microscopes porte un burin, capable d'éprouver un petit déplacement perpendiculairement à la règle, pour y tracer un trait. En outre, chaque microscope, entraînant avec

L'opération nécessaire pour vérifier si la distance des deux traits d'une copie à 0° est bien égale à la distance des deux traits de l'élalon à la même température (*) est intimement liée à l'étude des dilatations de ces règles ; aussi la décrirons-nous en traitant de la mesure des dilatations linéaires (Voir comparateur, T. I" L. IV. Chap. IV § 5).

Les règles qui servent dans les mesures ordinaires sont le plus souvent des règles plates en laiton. On marque sur ces règles deux traits à la distance du mèlre et, à l'aide du comparateur, on s'assure que l'opération est bien faite ; puis on divise ces règles en millimètres avec la machine à diviser que nous décrivons un peu plus loin.

2. VIS MICROMÉTRIQUE. — L'emploi d'une vis bien faite permet de mesurer avec une grande précision les dimensions linéaires.

lui son burin, peut être déplacé d'une petite quantité parallèlement a la ri'gle à l'aide d'une vis de rappel.

On commenco par faire un trait avec le burin sur une barre métallique quelconque ; pui3 on déplace le réticule du microscrope de façon à amener l'image de ce trait entre les deux (Ils parallèles du réticule ; si l'on ne touche plus à la position de celui-ci, on est bien sûr que chaque trait tracé par le burin sera pointé par le microscope.

Les deux microscopes étant ainsi réglés, on dispose le mètre étalon à traits sous les microscopes de façon que ses traits puissent être visés par chacun d'eux. A l'aide de la vis de rappel, on fait alors mouvoir chaque microscope, qui entraine avec lui son burin, jusqu'à ce qu'il pointe le trait correspondant. Par un mécanisme convenable, ou substitue alors la règle copie à l'étalon de façon à la mettre exactement dans la même position; on fait alors jouer les burins, et l'on trace ainsi deux traits qui , d'après ce que nous avons dit plus haut, se trouvent pointés par chacun des microscopes et qui, par conséquent, comprennent entre eux exactement la même longueur que les traits de la règle étalon.

Cette opération, malheureusement, ne peut pas se faire à 0°, et les deux règles n'ayant pas exactement le même coefficient do dilatation, il est nécessaire d'étudier, avec le comparateur décrit au Livre IV, non seulement la dilatation de celte règle, mais aussi l'excès positif ou négatif entre la dislance de ses traits à 0' cl la distance des traits de l'étalon inlernationnal à relie même température.

(1) C'est le Bureau international des poids et mesures, ayant son siège au Pavillon de Breteuil à Sèvres, qui est chargé de ce soin.

Aussi commencerons-nous la description des appareils de mesure par celle de la vis micrométrique.

Rappelons d'abord en quoi consiste une vis. Sur la surface d'un cylindre de révolution 0 (flg. 2), traçons une hélice. Supposons maintenant qu'une petite figure plane ABC (triangle, rectangle, etc ), ayant un côté rectiligne AG de longueur au

plus (''gale au pas de l'hélice, soit

__ appliquée par ce côté contre une

des génératrices de ce cylindre, que le plan de cette figure passe par Taxe de révolution et que, tout en remplissant continuelleï ment ces deux conditions, cette figure se déplace de façon qu'un do ses points, toujours lo même, reste sur l'hélice : la figure engendrera dans son mouvement ce >* qu'on appelle le filet de la vis, celle-ci étant l'ensemble du cylindre et du filet («).

L'écrou d'une vis présente une

cavité cylindrique, qui a le même

diamètre que le cylindre de la

vis, et qui est creusée d'une

rainure hélicoïdale dans laquelle se loge exactement le filet;

en d'autres termes, Técrou est le moule de la vis.

On appelle pas de la vis, le pdsde l'hélice décrite par un point quelconque de la figure ABC qui a engendré le filet.

Supposons Técrou fixe et faisons tourner la vis. Le filet étant guidé dans son mouvement par la rainure hélicoïdale de Técrou qu'il remplit, un point quelconque de ce filet décrit dans son mouvement une hélice de même pas que lavis. Celle-ci éprouve donc parallèlement à son axe un déplacement proportionnel à

Fie. a.

(1) Pour les vis micrométriques, les vis de rappel et la plupart des vis employées dans les inslrumcnls de physique, la ligure ABC qui engendre le filet est un triangle isocèle (ou à peu près) dont la base AC est égale au pas de l'hélice, de façon que le cylindre est complètement couvert par le Alet (flg. 3).

l'angle de rotation; pour un tour complet de la vis sur ellemême, le déplacement suivant Taxe est égal au pas de la vis.

Si la vis ne peut se déplacer parallèlement à son axe et si Técrou est mobile seulement dans la direction de Taxe, c'est lui qui se déplace proportionnellement à Pangle de rotation.

Une vis micromêlrique est une vis faite avec soin , dont la tête porte un cercle divisé pour mesurer l'angle dont elle tourne (voir fig. 7 et 9).

Admettons, pour fixer les idées, que le pas de la vis soit d'un demi-millimètre, et que la tête de celle-ci soit pourvue d'un cercle gradué, divisé en 500 parties égales. Si l'on tourne de n divisions la vis, elle s'avancera de n millièmes de millimètre.

On voit ainsi que la vis micrométrique permet d'obtenir des déplacements très petits parfaitement connus; aussi est-elle employée dans un grand nombre d'appareils de mesure.

3. MACHINE A DIVISER. — La machine à diviser, comme sou nom l'indique, sert soit à diviser la distance comprise entre deux traits marqués sur une règle en parties égales entre elles, ou proportionnelles à des nombres donnés, soit à tracer sur la règle des division»- de longueurs déterminées. Elle sert, en outre, a mesurer très exactement une longueur, et c'est surtout à ce dernier point de vue qu'elle intéresse le physicien.

Description. — Cet instrument se compose (fig. 4, 5 et 6) d'une vis VV disposée horizontalement et pouvant tourner dans des colliers fixés au bâti de l'appareil. La vis ne pouvant pas se déplacer dans la direction de son axe, c'est son écrou qui est mobile. Celui-ci est solidaire d'un chariot C, qui peut glisser sur deux rails R et R', de façon que ce chariot avance ou recule, suivant le sens de la rotation de la vis, d'une quantité proportionnelle à l'angle de rotation.

Pour obtenir les fiacûons de tour,, la tête de la vis porte un

cercle divisé en parties égales (non visible sur les figures i, 5 et 6 mais semblable au cercle T de la fig. 9) ; un trait fixe, vis-à-vis duquel se présentent successivement les traits de

KlG. \.

la graduation du cercle, sert de repère. Si le pas de la vis est d'un demi-millimètre, et si la tête de celle-ci porte 500 divisions, on peut mesurer ainsi les déplacements du chariot avec une erreur de lecture moindre qu'un millième de millimètre.

Une règle AA graduée en demi-millimètres, si le pas a cette longueur, est disposée parallèlement à la vis; grâce à un index I que porfe le chariot, elle fait connaître, par le nombre de demi-millimètres dont se déplace celui-ci pendant une rotation, le nombre entier de tours qu'a fait la vis (f).

Le chariot porte un microscope M, pourvu d'un réticule qui sert pour la mesure des longueurs. Une vis de rappel U permet de donner à ce microscope un petit déplacement perpendiculaire à l'axe de la vis micrométrique, ce qui est nécessaire pour viser la partie voulue de l'objet; le microscope peut, du

(1) Dans beaucoup de machines à diviser cette règle graduée n'existe pas; il faut compter alors directement le nombre de tours qu'on fait faire à la vis.

INSTRUMENTS DE MESUHE 1-23

reste, s'élever ou s'abaisser dans la gaine qui le porte, pour la mise au point.

Le chariot est aussi muni d'un burin B mobile dans une direction perpendiculaire à la vis micrométrique, mais qui ne doit pas pouvoir se déplacer parallèlement à Taxe de la vis: ce burin sert à diviser les règles.

Un banc en fer horizontal DD supporte l'objet dont on veut mesurer une dimension ou qu'on veut graduer. Des vis calantes W et W permettent de faire varier légèrement son inclinaison, ce qui est nécessaire pour le réglage que nous allons indiquer.

Réglage du parallélisme. — Le microscope vise nettement un point K de son axe optique (*) ; les points qui sont au delà, les points qui sont on deçà du point K, ne sont vus que confusément. Quand on tourne la vis, le chariot entraînant dans son mouvement le microscope, ce point K décrit une ligne AB parallèle à l'axe do la vis. On doit amener la dimension linéaire qu'on veut mesurer à coïncider avec celte ligne AB afin de la rendre parrallèle à Taxe de la vis.

Pour cela, on pose l'objet sur le banc cl l'on déplace le microscope jusqu'à ce qu'on vise nettement une des extrémités L de la dimension linéaire à mesurer. On fait- avancer alors le chariot, en tournant la vis, jusqu'à ce qu'on vise à peu près l'autre extrémité M. En soulevant ou en abaissant un peu, à l'aide de la vis calante W ou W, la partie du banc voisine de M, on arrive à voir nettement cette extrémité, et, en déplaçant un peu celle-ci dans le sens perpendiculaire à la vis micrométrique, on l'amène dans une position telle qu'elle puisse être visée par le microscope. Quand on s'est assuré que les deux extrémités L et M peuvent être visées par le microscope, la ligneLM se confond avec la ligne AB et, par conséquent, est parallèle à l'axe de la vis.

Ce réglage étant effectué, si l'on vise successivement deux

\i) L'axe optique est la ligne qui joint le centre optique de l'objectif au point de croisé des fils du réticule (voir l'Optique). Dans le cas d'un pareil réticule, par viser un point ou faire Je pointé nous entendons amener le microscope ou la lunette dans une position telle que le point soit vu en coïncidence avec la croisée des (Ils du réticule, et soit vu nettement.

i*4 SUPPLEMENT AU LIVRE PREMIER

points de la dimension linéaire, la droite qui joint ces deux points a pour longueur le déplacement du point K ; or, le déplacement de ce point est le même que le déplacement d'un point quelconque du chariot et est donné par les lectures.

Vérification de la vis. — Si bien travaillée que soit une vis micrométrique, elle n'est pas parfaite. Il est bon de s'assurer de quelle importance est l'erreur que l'on commet en admettant que tous les pas de la vis sont égaux entre eux et, au besoin, de corriger les mesures de cette erreur.

Pour faire l'étude de la vis, on peut opérer de la manière suivante. Sur une plaque de verre ou de métal on trace deux traits à une distance égale à un petit nombre de fois la longueur du pas de la vis. On dispose la plaque sur le banc do manière que les traits soient perpendiculaires à l'axe de rotation, et l'on vise avec le microscope l'un de ces traits. Après avoir fait la lecture de la division du cercle gradué qui est devant le repère, on tourne la vis de façon à viser l'autre trait: une nouvelle lecture donne l'angle de rotation nécessaire pour fairo dans cette partie de la vis avancer le chariot de la distance des deux traits visés. On déplace ensuite la plaque parallèlement à elle-même de manière h amener sous le microscope le premier trait visé, et Ton recommence la même opération, ce qui donne encore l'angle de rotation nécessaire pour faire, dans cette nouvelle partie de lavis avancer le chariot de la distance des deux traits, et ainsi de suite.

On voit, par là, si tous ces angles de rotation sont suffisamment égaux entre eux, dans toutes les parties de la vis. S'il n'en est pas ainsi, on a, par l'ensemble des mesures que Ton vient de faire, une table de correction : on sait, en effet, quel est l'angle dont il faut faire tourner la vis pour que le chariot avance d'une même quantité a (distance des deux traits) dans telle position de celui-ci, donnée par la règle graduée AA.

Valeur du pas de la vis. — Pour obtenir la valeur exacte du pas de la vis ou, dans le cas d'irrégularités trop importantes de ce pas, pour avoir la valeur a, qui entre dans la table de correction, on opère de la manière suivante.

On dispose parallèlement à Taxe de la vis une dimension linéaire connue, par exemple une copie exacte du mètre étalon qui, à la température t où Ton opère, vaut en mètre théorique 1 + M> en appelant X le coefficient de dilatation du métal qui compose celte Copie du mètre. On vise avec le microscope Tune des extrémités; après avoir fait sur la règle graduée AA et sur la tète de la vis les lectures nécessaires, on fait tourner celle-ci jusque amener le microscope dans la position convenable pour viser l'autre extrémité du mètre, et Ton fait do nouveau les lectures. On a ainsi le nombre entier ou fractionnaire n de tours nécessaires pour déplacer le chariot delà longueur 1 -f-Xf (■). Si tous les pas

1 -4-Xt de la vis sont égaux, la valeur de chacun d'eux est — - — . Si

la vis est irrégulière, on connaît par la table de correction le

nombre entier ou fractionnaire m par lequel il faut multiplier a

pour avoir 1 -f-Xt ; on a donc a = et, connaissant a, on

peut transformer la table de correction de façon à savoir la longueur de chacun des pas de la vis.

Faisons remarquer enfin que les valeurs trouvées ainsi pour chacun des pas de la vis sont celles qui conviennent à la température t de l'expérience. Pour avoir celles qui conviennent a la température 0'°, on doit diviser les valeurs précédentes par lo binôme 1 -J- kt, en désignant par k lo coefficient de dilatation linéaire de l'acier qui constitue la vis. Ce sont les valeurs à 0° qu'on conserve dans la table.

(1) Pour fixer les idées , supposons que le cercle porté par la tête de la

vis soil divisé eu 500 parties égales et que, dans la première position du

chariot, son index I soit placé entre lo trait 35 et le trait 36 de la règle,

tandis que la division 367 du cercle gradué se trouve devant le trait de re-

3(57 père. 11 a fallu alors tourner la vis de 35 tours, plus — de tours, ou

oOO

3*1,734 tours pour amener le chariot de la position où son index est devant

le zéro de la règle, le zéro du cercle gradué étant aussi devant le trait de

repère, à la position actuelle. Si, dans la seconde position du chariot, son

index est entre les traits de la règle 2036 et 2037, tandis que la division du

cercle gradué 126 se trouve devant le trait de repère, le nombre n de tours

que la vis a effectués pour faire passer le chariot de sa première position

à la seconde est 2036,252 — 35,734 = 2000,518.

Mesure d'une longueur. — On comprend aisément maintenant comment on obtient la mesure d'une dimension linéaire. Après avoir rendu celle-ci parallèle à la vis, on vise avec le microscope Tune de ses extrémités, et Ton fait les deux lectures nécessaires pour avoir la position du chariot. On tourne ensuite la vis jusqu'à ce que le microscope vise l'autre extrémité de la dimension linéaire, et l'on fait de nouveau les lectures. On a ainsi le nombre n de tours de la vis nécessaire pour passer d'une position à l'autre.

Si la vis est régulière, et que / soit à 0° la longueur du pas, à la température t de l'opération, ce pas a pour valeur l(l-\-kf) et la longueur cherchée est égale à nl(l + fcf).

Si la vis est irrégulière, on fait la somme des longueurs connues des pas de la vis compris entre la première et la deuxième position du chariot, en tenant compte des fractions de tours, et Ton multiplie la longueur obtenue par le binôme (1-j-frt), si la table donne les valeurs du pas à 0°.

Division d'une règle. — Comme nous savons maintenant quel est le nombre de tours entier ou fractionnaire nécessaire pour faire avancer le chariot d'une quantité déterminée, d'un millimètre par exemple, nous pouvons tracer sur une règle des divisions de longueurs données. Il suffit pour cela de graver un trait sur la règle avec le burin que porte le chariot toutes les fois qu'on a fait avancer celui-ci de la quantité voulue.

Faisons remarquer seulement que les divisions d'une règle graduée doivent avoir leur valeur nominale à la température de 0° ; ainsi, quand on veut graduer une règle en millimètres, il faut que les divisions valent un millimètre à 0°. 6i donc la règle est à la température t il faut tracer des traits distants de la longueur voulue multipliée par i-\-mt, en désignant par m le coefficient de dilatation linéaire de la substance qui forme la règle : ces divisions auront leur valeur nominale à 0°. On doit, bien entendu, tenir compte aussi de la température, comme nous lavons indiqué ci- dessus, pour savoir les quantités exactes dont s'avance le chariot à chaque tour de la vis.

Quand on sait mesurer une longueur et tracer sur la règle des divisions de longueurs déterminées, on sait par là même diviser

une dimension linéaire soit en parties égales, soit en parties proportionnelles à des nombres donnés (4).

(I). L'opéralion la plus fréquente est de faire une division en parties degales longueurs. Or, il serait ex Irêmcment pénible d'avoir à calculer chaque fois la division du cercle gradué qu'on doit amener devant le trait de repère avant de tracer un trait. Quelqu'attention qu'on apporte, si l'on a cinq cents ou mille divisions à faire, on risque bien de se tromper, ce qui perdrait tout le travail.

Une disposition mécanique ingénieuse permet de supprimer tout calcul. Nous admettrons que la vis a été reconnue suffisamment régulière pour que l'opération se réduise à la faire tourner du même nombre entier ou fractionnaire de tours entre chaque trait. La manivelle K qui sert à mettre en mouvement la vis n'est pas solidaire de celle-ci; elle entraîne seulement un tambour T (fig. 5) pouvant tourner autour d'un axe situé dans le prolongement de celui de la vis, mais sans mettre nécessairement celle-ci en mouvement. La tôle de la vis se termine par une roue à rochet N, dont les dents sont très rapprochées et inclinées comme l'indique la figure; un cliquet P qui est porté par la partie intérieure du tambour et qui est mobile autour de l'axe 0 appuie par son poids ou par l'action d'un petit ressort sur les dents de cette roue. Il résulte de cette disposition, qu'en faisant tourner le tambour en sens inverse de la flèche de la figure, le cliquet glisse sur les dents de la roue sans mettre en mouvement celle-ci, à cause du frottement qu'il faut vaincre pour faire tourner la vis. Au contraire, si l'on tourne la manivelle dans le sens de la flèche, le cliquet pénètre entre deux dents, et le tambour ne peut tourner sans mettre en mouvement la roue dentée et, par conséquent, la vis. Ainsi, en tournant la manivelle dans le sens de la flèche, on fait avancer le chariot d'une longueur proportionnelle à l'angle de rotation, et on ne le fait pas rétrograder en tournant la manivelle en sens inverse.

La disposition est complétée par deux arrêts qui limitent la rotation dans un sens et dans l'autre. Supposons qu'on vienne de graver un trait; on tourne alors dans le sens inverse de la flèche jusqu'à ce qu'on bute contre un de ces arrêts, ce qui no fait pas bouger le chariot; lo mouvement ne pouvant continuer dans ce sens, on tourne alors dans le sens de la flèche jusqu'à ce qu'on bute contre le second arrêt, ce qui fait avancer le chariot d'une certaine quantité. Après avoir tracé un second trait on tourne en sens inverse jusqu'à venir rencontrer de nouveau le premier arrêt : le chariot reste en place. Puis on tourne de nouveau dans le sens de la flèche jusqu'à rencontrer lo second arrêt : le chariot s'avance de \a même quantité que la première fois, puisque l'angle de rotation est le même ; on trace un troisième trait, et ainsi de suite: tous les traits tracés ainsi sont équidistants. ^

Pour réaliser ces arrêts, le tambour est creusé sur son pourtour d'une rainure hélicoïdale dans laquelle s'engage une sorte de couteau EF porté

par une lame un peu flexible X fixée par son autre extrémité au bâli de l'appareil. Grâce à cette flexibilité, le couteau reste toujours dans la rainure et se déplace parallèlement à Taxe de rotation du tambour de la valeur du pas de l'hélice, ù chaque tour complet. Une saillie G se trouve à l'endroit où finit la rainure hélicoïdale; ro qui fait qu'en tournant dans le sens de la flèche,

celte saillie vient buter contre l'extrémité F du couteau fixe, et Ton ne peut continuer la rotation dans ce sens. Le second butoir est constitué par une tige H fixée au tambour et qui couvre un certain nombre de spires de la rainure hélicoïdale. En partant du butoir G, et en tournant en sens inverse de la flèche, la lige H, après un certain nombre de tours entier ou fractionnaire, finit par rencontrer l'extrémité E du couteau, et on ne peut continuer la rotalion dans ce sens.

Celle lige H peut étro fixée dans le trou cylindrique qui la porte de façon à couvrir un nombre de spires déterminé pour arrêter la rotation après le nombre de tours nécessaire. Du reste, la pièce Y qui porte la tige fait partie d'une alidade pouvant tourner autour du tambour pour se fixer par la vis de pression p au point voulu de la circonférence. Un vernier Z, ou

an simple trait de repère, permet de mesurer l'angle dont on déplace cette pièce, la position de celle-ci devant être réglée d'après l'angle dont on veut faire tourner la vis pour passer d'un trait au suivant.

Dans le cas où une extrême précision est nécessaire et où la vis micrométrique n'est pas suffisamment régulière, on emploie encore le même procédé;

Fui. 6.

mais, par un mécanisme spécial, la vis éprouve parallèlement à son axe un très petit déplacement qui corrige chaque fois l'erreur due à l'irrégularité des pas.

En général, afin de rendre la lecture d'une règle graduée plus facile, les traits correspondant aux dizaines ont une longueur plus grande que les autres, et les traits correspondant aux nombres qui se terminent par un 5 ont une longueur intermédiaire entre ceux des dizaines et les autres traits; enfin ces derniers sont tous égaux entre eux.

La disposition suivante permet d'obtenir mécaniquement les traits ûh la longueur voulu?. Le burin B entraîne dans son mouvement le cadre JJJ'J' (fig. 6) qui peut tourner autour de l'axe JJ. La course du burin est limitée d'un côté par un arrêt lixe o contre lequel vient buter l'extrémité de la vis b

que porte le cadre, de l'autre par le choc du pourlour du cylindre c, porté aussi par le cadre, contre l'extrémité d'une vis fixe d. Ce cylindre c est solidaire d'une roue à rochet c portant vingt dents; chaque fois qu'on a tracé un trait, le mouvement, grâce au cliquet fixe /", fait avancer d'une dent la roue à rochet et, par conséquent, fait tourner le cylindre d'un vingtième de tour; de celle façon le cylindre rencontre la vis </, au mouvement suivant du burin, par un autre point de son pourtour. Or, celui-ci est creusé de oeux trous profonds à l'extrémité d'un meme diamètre et de deux autres , trous moins profonds aux extrémités du diamètre perpendiculaire au précédent. Quand le cylindre présente un de ces trous à la pointe de la vis, la course du burin est plus longue ; les trous profonds revenant tous les dix traits, ceux-ci sont les plus longs, tandis que les trous moins profonds revenant pour les traits intermédiaires, ceux-ci ont une longueur comprise entre celle des traits des dizaines et celle des autres traits qui sont tous égaux entre eux.

Un ressort rr ramène le cadre JJJ'J' contre l'arrêt a, chaque fois qu'on abandonne la tige s, qui sert ù tirer le burin. Cette lige s peut tourner autour de l'axe J'J', ce qui permet de soulever le burin pendant le déplacement du chariot.

4. SPHÉROMÈTRE. — Le sphéromètre est un instrument qui permet de mesurer avec une grande exactitude l'épaisseur d'une lame ou le diamètre d'un fil ; on peut l'employer aussi pour obtenir le rayon d'une sphère de grande dimension dont on ne possède qu'une partie ; c'est de là qu'il tire son nom (*).

11 se compose d'un trépied (flg. 7) portant l'écrou d'une vis micrométrique. La vis, qui est en acier, est terminée en bas par une pointe mousse ; en haut, sa tête porte un disque gradué en 500 parties égales. Comme le pas do la vis est d'un demimillimètre, on voit qu'en tournant la vis d'une division du disque, la pointe se déplace d'un millième de millimètre. Une règle verticale, en forme de couteau, est ?\\êe sur le trépied et sert d'index ; elle permet de noter, par le nombre de divisions du disque qui passe devant elle, l'angle dont on a tourné la vis. Du reste, cette règle est graduée en demi-millimètres, le zéro étant en haut; le disque, se déplaçant d'une division de la règle

(1) La première idée du sphéromètre est due à l'opticien Laroue qui l'employait pour mesurer la courbure des lentilles.

à chaque tour complet, celle-ci permet de noter aussi les nombres entiers de tours.

Pour pouvoir se servir do l'instrument, il faut posséder, en

Fie. 7.

outre, un plan parfait. Celui-ci est formé par une plaque épaisse de verre dépoli, aplanie sur Tune de ses faces avec le plus grand soin.

Proposons-nous de mesurer l'épaisseur d'une lame. On place sur le plan les trois pointes du trépied, et l'on dispose la lame sous la pointe de la vis. On abaisse alors cette vis, en la tournant dans le sens convenable, jusqu'à ce que sa pointe soit au contact de la lame, sans qu'aucune des pointes du trépied ne cesse de toucher le plan. On arrive avec précision à ce résultat, grâce au fait suivant. Tant que la pointe ne touche pas la lame, en tournant le bouton moleté qui termine la vis, on fait avancer celle-ci dans son écrou sans faire glisser les pointes du trépied sur le plan de verre. Mais, dès que la pointe de la vis, en appuyant sur la lame, soulève tant soit peu les pointos du trépied, il n'en est plus ainsi : en essayant de tourner le bouton moleté, on fait tourner tout l'instrument autour do la pointe de la vis qui forme pivot.

Quand on est arrivé à ce résultat, on fait la lecture de la règle et du disque. Supposons, par exemple, que le disque se trouve sur la règle un peu au-dessous du trait 7 et que 453 soit le numéro de la division du disque qui se trouve devant la règle : alors lavis à avancé de 3mm, 500 -f 0mm, 453 == 3mm, 953 depuis la position pour laquelle le disque est devant le zéro de la règle, et le zéro du disque devant celle-ci ; pour abréger, appelons cette position la position de départ.

On enlève ensuite la lame, et Ton tourne la vis jusqu'à ce qu'elle touche le plan de verre sans soulever les pointes du trépied, ce dont on s'assure comme précédemment. On fait do nouveau les deux lectures de la règle et du disque. Supposons qu'on trouve 10 pour la division de la règle et 127 pour celle du disque, la vis s'est avancée, depuis la position de départ, de 5mm, 127. L'épaisseur de la lame, étant égale au déplacement de la vis dans la seconde opération, a pour valeur :

5mm, 127 — 2mm, 953 = lran\ 174

Si l'on veut mesurer le diamètre d'un (il, on se procure une lame de verre ayant partout la même épaisseur, ce dont on s'assure à l'aide du sphéromètre. On place alors le fil sur le plan de verre dépoli en le courbant, mais en ayant soin de ne pas croiser une extrémité sur l'autre, et on le recouvre avec la lame. On mesure alors, comme ci-dessus, la distance entre la face supérieure delà lame et le plan de verre dépoli ; en en retranchant l'épaisseur de la lame, on obtient le diamètre du fil.*

Pour mesurer avec cet instrument le rayon d'une sphère solide, on place les trois pointes du trépied sur la surface de de celle-ci ; on abaisse la vis jusqu'à ce qu'elle touche aussi la sphère sans soulever . les pointes du trépied, et l'on fait les deux lectures.

Remarquons que la distance entre la pointe de la vis et le plan passant par les trois pointes du trépied est précisément la valeur de la flèche AH de la calotte que ce plan détache de la sphère (fig. 8), si les trois pointes sont bien à la même distance de Taxe de la vis.

On transporte ensuite le sphéromètre sur le plan de verre;

on abaisse la vis jusqu'à ce que sa pointe touche le plan sans soulever les pointes du trépied, et Ton fait les lectures. La quantité dont s'est avancée la pointe de la vis étant égale à la flèche AH, la différence des lectures obtenues avant et après cette seconde opération donne la valeur de cette flèche.

D'un autre côté, on obtient aisément le rayon HC du cercle de base de la calotte considérée ; c'est le rayon du cercle qui passe par les trois pointes du trépied. Les distances des pointes étant mesurées avec une règle graduée, on a tous les éléments nécessaires pour obtenir la valeur du rayon de ce cercle. Du reste, les trois pointes doivent être équidistantes et former ainsi les trois sommets d'un triangle équiiatéral. Alors, en appelant a la distance de deux pointes, le rayon du cercle cir-

a conscrit est, comme on le sait, égale à —7=-.

Les mesures de la flèche AH et du rayon CH fournissent la valeur du diamètre AOB de la sphère. On a, en effet (flg. 8), la relation :

AH X HB = CH * ou AH X (AB — AH) = CH2

d'où l'on tire :