MERCURE

(i) Cette méthode doit donner des nombres un peu trop forts, car, outre la tension superficielle, la viscosité du liquide agit aussi pour empêcher le tube de tomber.

On entend par viscosité la difficulté qu'ont les molécules d'un corps à passer d'un état d'équilibre à un autre. La viscosité est maximum dans un solide dur et élastique et s'oppose à sa déformation ; elle est moindre dans un corps mou comme le plomb et la cire; très notable encore dans les liquides dits visqueux, elle est très faible, mais pourtant pas tout à fait nulle, dans les liquides les plus mobiles comme l'alcool ou l'élher.

Pour en revenir à l'expérience dont nous venons de parler, il est clair que, si l'on introduisait entre le fil et le tube de la colle forte épaisse, on mesurerait plutôt la viscosité que la tension superficielle.

Il ne faudrait pas croire, du reste, que ce sont les liquides les plus visqueux qui ont la plus grande tension superficielle: l'huile est plus visqueuse que l'eau, et sa tension superficielle est beaucoup plus faible.

(2) Ce tableau est extrait de l'ouvrage de M. J. O. Everett. IJUnits and physical constants. London 1879).

7. VARIATION DE LA FORGE ÉLASTIQUE EN TRAVERSANT UNE SURFACE DE SÉPARATION COURRE. - FORMULE DE LAPLACE. - Si

la surface de séparation d'un liquide et d'un autre fluide est plane, les tensions superficielles ne peuvent pas modifier la valeur des pressions hydrostatiques et, en passant d'un fluide à l'autre, il n'y a de ce fait (*) aucune brusque variation dans la valeur de la force élastique (pression hydrostatique par unité de surface). Mais il n'en est plus de même si, par une cause quelconque, la surface de séparation du liquide et de l'autre fluide est courbe. Dans ce cas, la surface de séparation, qui agit comme une membrane élastique tendue, comprime le fluide qui est situé du côté de sa partie concave, et, pour qu'il y ait équilibre, il faut que ce fluide possède une force élastique supérieure à celle qui existe du côté convexe de la surface de séparation. Ainsi, en passant du côté convexe ati côté concave de la surface, il y a une brusque augmentation dans la valeur de la force élastique. C'est cette augmentation que nous allons calculer, en suivant la marche indiquée par M. A. Dupré.

Soit un point quelconque 0 de la surface libre d'un liquide (iig. i6); décrivons de ce point 0 pour centre avec un rayon infiniment petit r une sphère qui coupe la surface suivant une ligne MNPQ. L'équilibre existant, nous pouvons supposer que tous les points de la petite calotte OMNPQ soient invariablement

(1) Les forces normales à la surface du liquide et qui tendent à enfoncer les particules superficielles dans l'intérieur de la masse doivent donner lieu à un accroissement de force élastique, quand on passe de la surface à une couche située dans l'intérieur à une distance égale au rayon de sphère d'activité; à partir de cette couche la force élastique ne doit plus varier, au moins par suite des actions moléculaires.

Laplace faisait jouer, dans sa théorie, un grand rôle à cet accroissement de force élastique; il le considérait comme la somme d'un terme constant K et d'un terme proportionnel à la courbure de la surface, positif si elle est convexe, négatif si elle est concave, nul si elle est plane. C'est précisément ce terme variable dont nous tenons compte par la considération de la tension superficielle. Quant au termo constant K, il est impossible d'en démontrer l'existence expérimentalement ; c'est dire qu'il s'élimine de lui-même dans tous les calculs qui aboutissent à un résultat vendable par l'expérience. Il n'y a donc pas lieu d'en tenir compte, et la théorie de la tension superficielle, comme la théorie de Gauss, présente précisément l'avantage de conduire à des conséquences certainement exactes sans faire intervenir ce terme K.

JNT j

liés entre eux sur l'épaisseur de la couche où s'exercent les tensions superficielles. Examinons maintenant les conditions d'équilibre de cette calotte sous l'action des pressions et des tensions superficielles et écrivons que la somme des projections de toutes les forces sur la normale OK à la surface en 0 est nulle.

Menons par la normale OK un grand nombre pair 2n de plans équidistants, c'est-à-dire tels que les in angles dièdres formés par deux plans voisins soient égaux entre eux. Ces plans découpent la ligne MNPQ

en in arcs, de longueur ~,

puisque, r étant infiniment pe- Fie. 16.

tit, la longueur de ces arcs est

la même que si la surface OMNPQ était plane, auquel cas chacun d'eux serait la (in)me partie d'une circonférence égale à 2-nr. La force telle que MF, qui tire chacun de ces arcs, est tangontielle à la surface et perpendiculaire à l'arc M sur lequel elle agit. En appelant, comme toujours, A la valeur de la tension

superficielle, cette force est égale à -g—.

Pour trouver l'angle que forme cette force avec OK, menons en M la normale à la courbe POM suivant laquelle le plan KOM rencontre la surface du liquide. Cette normale coupe OK en un point C. L'arc OM, étant infiniment petit, peut être considéré comme un arc de cercle dont CO et CM, normales à l'arc, sont deux rayons. Soit p la longueur de ces rayons, c'est-à-dire la valeur en 0 du rayon ^le courbure de la courbe POM, et soit a l'angle MCO; on a OM = pa; et, comme OM, étant un arc infiniment petit, a même longueur r que sa corde, on a :

r = o% dou: a=- « r P

Or, la direction LMF de la force tangente à la surface fait avec la normale LOCK un angle égal à g — a. On a donc pour la valeur de la projection de cette force sur OK :

Aitr

Aizr (* \ — COS^-aj =

sina 2n

et comme, l'angle a étant infiniment petit, son sinus peut être remplacé par Tare, la valeur de cette projection devient :

A?cr r 7cr* i

Un ' p — . 8» "p"

Faisons remarquer que les deux plans qui limitent Tare M limitent aussi un autre arc P diamétralement opposé au précédent; la force de tension appliquée en P a pour projection

sur Tare la môme valeur A—.- que celle que nous venons

de trouver; par conséquent, la somme des projections des deux

7tr* 1 tensions appliquées en M et en P est égale à A —

Considérons maintenant les deux plans passant par OK et respectivement perpendiculaires à ceux qui limitent les arcs M et P; en appelant p' le rayon de courbure correspondant à la courbe QON découpée par l'un de ces plans (infiniment voisins) dans la surface libre du liquide, on a pour la somme des projections des tensions agissant sur les deux arcs N et Q qu'ils

limitent A — . — .

Ce qui fait que la projection sur OK des tensions agissant

sur les quatre arcs M, N, P, Q, que nous venons de considérer

et qui sont distants l'un de l'autre d'un cadran est égale à

Or, en vertu du théorème de Meunier, la somme des inver-

CAPILLARITÉ 1TÏ

ses des rayons de courbures f — \- -7 ) de deux sections rectangulaires menées par la normale OK à une surface est constante, quelle que soit la direction de ces plans (c'est la valeur de la courbure moyenne de la surface en 0), et, en désignant par R et R' les rayons de courbures principaux, c'est-àdire la plus grande valeur de p et, par conséquent, la plus petite valeur de p', on a :

d'où:

pour la somme des projections des quatre tensions. Comme il y a n groupes de quatre arcs semblables à ceux que nous venons de considérer, et que pour chacun de ces groupes nous avons la même expression, la somme des projections sur OK des tensions qui agissent sur tout le pourtour de la calotte 0 MNPQ s'obtient en multipliant par n la valeur précédente. Elle est donc égale à

D'autre part, la surface de la calotte infiniment petite est égale à icr*. Si P est la force élastique du côté convexe de la surface, la pression qu'elle supporte de ce côté et qui se projette sur OK en vraie grandeur est Pirr*. Si P + p est la force élastique du côté concave de la surface, la pression que la calotte supporte de ce côté est (P +P)*r*> et sa projection sur OK est — (P + !>)«•«.

On a donc, puisque l'équilibre existe :

Al«* (If + ïf) + ^ - (P+Î>)*r*= 0 d'où après réduction :

U augmentation de force élastique en passant du côté convexe au côté concave de la surface de séparation d'un liquide et (Tun autre fluide est égale au produit de la valeur de la tension superficielle par la courbure moyenne de la surface au point considéré.

Nous appellerons, pour abréger, pression capillaire ce accroissement de forco élastique p.

La formule (1) a été donnée pour la première fois par Laplace, vers 1806 et porte son nom (!).

8. EXPÉRIENCES DE PLATEAU. — Nous avons déjà parlé des expériences de Plateau qui consistent à mettre une masse d'huile en suspension dans un mélange d'eau et d'alcool de même densité.

Nous avons déjà dit que, si la masse d'huile est abandonnée à elle-même, elle prend la forme d'une sphère, figure de surface minimum pour un même volume.

Mais, en forçant la surface de la mçisse d'huile à passer par certaines lignes, on peut obtenir d'autres figures. Par exemple,

on peut saisir une sphère d'huile avec un anneau en fil métallique, qui y adhère; à l'aide d'une petite seringue en verre, on enlève une certaine quantité d'huile et l'on obtient une lentille (fig. 17).

Quelle que soit la forme de la masse d'huile, appelons P la force élastique de l'eau alcoolisée près d'un point M de la surface de sépara- F|C- 17- tion, et P + p la force élastique de

l'huile près de ce même point M.

Si nous considérons un autre point N de la surface situé à une distance verticale z de M, près de ce point, la force élastique est pour l'eau alcoolisée P+zd et pour l'huile P-f-p-j-zd, en désignant par d le poids spécifique absolu de l'eau alcoolisée et de l'huile de même densité. On voit qu'en M comme en N,

(1) Laplace. Supplément de la Mécanique céleste.

comme, par conséquent, en tout autre point de la surface de séparation, l'augmentation de force élastique en passant de l'eau alcoolisée à l'huile est égale à une même quantité p. Dès

lors, en vertu de la formule de Laplace p = A f — + — , ] , p et A

étant constants pour tous les points de la surface de la masse

d'huile, la courbure moyenne — + -^ doit être constante

ri ri

aussi. La surface appartient donc à la classe des surfaces à courbure moyenne constante; outre la sphère, il existe beaucoup d'autres surfaces satisfaisant à cette condition, le cylindre droit à base circulaire, le caténoïde (*), etc.

Les expériences de Plateau justifient pleinement cette conséquence de la formule de Laplace.

Une des plus remarquables est la suivante (*). On dispose au fond de la cuve contenant l'eau alcoolisée un anneau métallique porté par un trépied. Un second anneau do même diamètre est placé au-dessus.. Avec une pipette, ou mieux avec une petite seringue, on introduit entre les deux anneaux une certaine quantité d'huile qui y adhère; en ajoutant de 1 huile ou en en retirant on arrive à obtenir un cylindre droit entre les deux anneaux (3). Ce cylindre est alors terminé en haut et en bas par deux calottes sphériques de même rayon R (fig. 18). Si nous désignons par Rr le rayon de courbure du cercle de base du cylindre, c'est un des rayons principaux; l'autre étant infini, la courbure moyenne

en chaque point du cylindre est rj- En chaque point des calottes

(1) Le Caténoïde est une surface de révolution dont la section méridienne est une chaînette

[y=°Ahe'°)]

(2) Plateau, Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. XXXI.— Ami. de Phys. et Chim. 3° Série t. LUI p. 2(i (1858).

(S) Four que l'équilibre de ce cylindre soit stable, il faut que le rapport de la hauteur du cylindre à son diamètre ne dépasse pas le nombre x. Au delà l'équilibre est instable, et on ne peut obtenir le cylindre.

sphériques la courbure moyenne est — -f" —• = —. Comme

cette courbure doit être la même en tous les points de la surface

de Thuile, on doit avoir :

ÎV=R °U

c'est ce que l'expérience vérifie.

En passant de l'eau dans l'huile il y a un accroissement de la

force élastique égale à — .

FiG. 18.

Si, maintenant on enlève, avec la seringue de verre, une certaine quantité d'huile, la surface comprise entre les anneaux se creuse. M. Plateau a désigné sous le nom d'ouduloïde la figure de révolution qui se trouve alors entre les anneaux ; sa courbure moyenne étant moindre que celle du cylindre, les calottes sphériques qui servent de base sont devenues moins convexes.

En enlevant une quantité d'huile convenable, on arrive à rendre

ces bases complètement planes ; leur courbure moyenne étant nulle alors, il en est de même de celle de la surface de révolution comprise entre les anneaux. Cette forme limite de l'onduloïde est le caténoïde qui a pour section méridienne une chaînette ('). La force élastique est alors la même à l'intérieur et à l'extérieur de la masse d'huile à un même niveau.

Si Ton continue à enlever de l'huile, les bases sphériques deviennent concaves: leur courbure moyenne est négative, La surface comprise entre les anneaux s'est creusée davantage, elle a une courbure moyenne négative et elle porte le nom de nodoïde. La force élastique devient moindre maintenant en passant de l'eau alcoolisée à l'huile. •

Les lames de liquide, telles que celle qui forme la paroi d'une bulle d'eau de savon, présentent deux faces parallèles très rapprochées ayant sensiblement même courbure. Aussi, en traversant la lame, on traverse deux surfaces libres tournant d'un même côté leur concavité et la variation de force élastique est le double de celle qu'on obtient en traversant Tune de ces surfaces.

Si une lame liquide sépare deux masses gazeuses, comme une bulle d'eau de savon qui contient de l'air à son intérieur, en traversant en un point quelconque la lame, il y a le même accroissement de force élastique ; par conséquent cette lame doit présenter en tous ses points la même courbure moyenne :

~ +T7 , = constante.

On doit donc obtenir avec ces lames les mêmes figures qu'avec Thuile en suspension dans l'eau alcoolisée.

Si la lame est fermée et n'est pas assujettie à toucher une paroi solide, comme une bulle d'eau de savon flottant dans l'air,

(1) La réalisation du caténoïde nécessite que la distance des deux anneaux n'excède pas les deux tiers de leur diamètre.

An lieu d'enlever de l'huile, on peut passer du cylindre à ces diverses figures en écartant les deux anneaux.

elle doit affecter la forme d'une sphère, qui est la seule surface fermée ayant partout la même courbure moyenne (!).

Mais, en soufflant une bulle dans des carcasses en ûls métalliques préalablement mouillés d'eau de savon, on peut obtenir d'autre surfaces à courbures constantes; avec deux anneaux superposés, comme ceux qui ont servi pour l'huile placée dans l'eau alcoolisée, on peut réaliser les mêmes surfaces que dans ce cas (calotte sphérique, cylindre, onduloïde, etc), la présence des arêtes métalliques permettant le raccord de surfaces différentes de môme courbure.

Dans les figures laminaires dont nous avons parlé plus haut, et qu'on obtient en plongeant dans le liquide glycérique des carcasses en fils métalliques, les deux faces de la lame sont baignées par l'atmosphère. Puisqu'il n'y a pas de changement de force élastique en traversant ces lames, leur courbure moyenne

doit être nulle ( — -f — = 0 ) Le plan satisfait à cette

(i) La force élastique à l'intérieur d'une bulle d'eau de savon de rayon R surpasse la force élastique extérieure de la quantité

En formant à l'extrémité d'une pipe une bulle d'eau de savon on peut, en mettant le tuyau en communication avec un petit manomètre à eau, mesurer l'excès de force élastique p. C'est ce qu'a fait d'abord M. Henry en 1844 (communication à la Société Américaine ) et ensuite Plateau. La connaissance de R et de p permet, d'après la formule ci-dessus, de calculer la valeur de la tension superficielle A. Plateau a trouvé ainsi pour le liquide glycérique qui lui servait à former ses bulles le même nombre que par laméthode décriteplus loin et qui est fondée sur l'ascension du liquide dans un tube capillaire.

Plateau a constaté aussi un point fort intéressant, c'est que la valeur de p

ne change pas quand la bulle s'amincit, ce qui arrive quand on la conserve

sous cloche pendant longtemps ; elle est encore là même au moment où elle

va éclater. Or, le phénomène des couleurs des lames minces fait voir que

l'épaisseur de la buUe est alors environ de 777^7 de millimètre. Comme les

tensions superficielles de l'une et l'autre face ne varient pas, même pour cette épaisseur très faible, il faut en conclure que le rayon de la sphère d'activité

est inférieur à 17qqq de millimètre.

condition ; dans les exemples cités plus haut où la carcasse est un tétraèdre régulier ou un cube, les lames sont effectivement planes. Mais il y a des surfaces gauches qui jouissent aussi delà propriété d'avoir une courbure moyenne nulle en tous leurs points : Tune des courbures principales étant concave d'un côté, l'autre courbure principale concave de l'autre côté, et les deux rayons de courbure ayant la même valeur absolue.

M. Plateau a réalisé quelques-unes de ces surfaces laminaires. Ce sont là autant de confirmations de l'exactitude de la formule de Laplace.

9. ÉQUILIBRE DE TROIS FLUIDES AU CONTACT. — Supposons qu'une goutte d'eau soit déposée à la surface d'un bain de mercure; le pourtour de la surface de contact de l'eau et du mercure est une ligne commune aux trois fluides air, eau, mercure.

Quand trois fluides ont ainsi une ligne commune, les trois angles que forment entre elles les surfaces de séparation des fluides prises deux à deux sont déterminés, dans l'état d'équili bre, par la valeur des trois tensions superficielles.

Prenons comme plan de figure un plan normal à la ligne commune OX aux trois fluides, soit 0 sa trace (fig. 19), et * soient OM, ON, OP les traces

des surfaces de séparation des ^\0 Ft

trois fluides 1, 2, 8.

Une portion de longueur infiniment petite £, prise en 0 sur la ligne OX, est soumise à l'action des trois tensions superficielles Ft, Fa, Fà' situées dans le plan de figure et dont les valeurs soni respectivement 6A4, eA4, et eA3. Si ces trois forces, appliquées en 0, se font équilibre, on a, comme on le sait, la relation (Dynamique § 20, note 1) :

sin NOP sin POM sin MON eA| eAg eA3

Les sinus des angles de deux surfaces de séparation sont pro-

portionnels aux valeurs des tensions superficielles correspondant à la troisième surface, dans F état d'équilibre.

On peut obtenir, par conséquent, la valeur de ces angles en construisant un triangle dont les trois côtés ont des longueurs proportionnelles aux valeurs des trois tensions superficielles Alf A3 et A3. Pour que la construction de ce triangle soit possible, c'est-à-dire pour que l'équilibre soit possible, il faut qu'aucune des trois tensions superficielles ne soit supérieure à la somme des deux autres.

Par exemple, dans le cas de l'air, de l'huile d'olive et de l'eau, on a : A2 = 86,9 (air et huile); A, = 81 (air et eau); A3=20,56 (eau et huile). Comme on a Aa > A|+A3, l'équilibre est impossible; aussi, quand on vient à déposer une goutte d'huile à la surface de l'eau, celle-ci ne peut rester en équilibre jet elle s'étale indéfiniment sur la surface de l'eau (*).

10. ANGLE DE RACCORDEMENT. — Au contact d'un fluide et d'un solide, il existe une tension superficielle comme au contact d'un

fluide et d'un liquide, pour les mêmes raisons.

Considérons un solide 1 (fig.

20), baigné par un liquide 2 et par un autre fluide 3. Soit O la trace sur un plan normal de la ligne OX commune aux trois corps; soit NOP la trace de la surface solide et OM celle de la surface de séparation des deux fluides. Il existe aux trois surfaces de séparation^OM, ON, OP, trois tensions superficielles; désignons par At, Aa, A3 leurs valeurs respectives.

Ici le corps 1 étant solide et ne pouvant se déformer, comme

Fie. 30.

(1) Si a surface de l'eau est large et la goutte d'huile petite, celle-ci peut cesser de s'étaler avant d'avoir atteint les bords du vase. On conçoit, en effet, que la goutte puisse devenir assez mince pour que son épaisseur soit compa-

dans le cas précédent, les trois tensions superficielles peuvent avoir une résultante normale à la paroi solide NP ; .cette résultante est, dans l'état d'équilibre, détruite par l'adhérence du fluide au solide et par la résistance qu'oppose le solide à la déformation. Mais ces tensions superficielles ne peuvent avoir de résultante parallèle ou oblique à NP dans l'état d'équilibre, puisque rien ne s'opposerait au glissement des particules fluides delà ligne OXsur la paroi solide. Il faut donc que la somme de leurs projections sur NP soit nulle.

On appelle angle de raccordement l'ongle MON que fait avec la surface solide ON la surface de séparation OM des deux fluides. En désignant par a sa valeur, on a donc la condition :

cos a -{- A^ —

cos* = —

Si Ton al> — - — ? > — 1 l'équilibre est possible, car Tan-

gle a est réel. Si, au contraire, la valeur absolue de la différence A3 — A3 est supérieure à At, l'équilibre est impossible ; dans ce cas, la ligne OX qui termine la surface OM glisse sur le solide jusqu'à son extrémité et la surface de séparation des deux fluides devient tangente à la surface solide. Si le fluide 3 est de l'air et le fluide 2 un liquide, c'est le liquide qui couvre toute la surface et Ton dit alors qu'il mouille parfaitement le solide. Tel est le cas, par exemple, de l'eau et du verre. Une goutte placée

rable au rayon de la sphère d'activité et pour que les lois précédentes se trouvent en défaut. Quand l'huile cesse de «'étaler, comme elle donne naissance au phénomène de coloration des lames minces , sa couleur permet, ainsi que nous le verrons en optique, d'obtenir son épaisseur et, par conséquent, d'obtenir une grandeur de même ordre que le rayon de la sphère d'activité. On trouve ainsi que ce rayon est de l'ordre des dix-millièmes de millimètre, comme dans l'expérience de Plateau rapportée plus haut.

sur du verre parfaitement propre s'y étale indéfiniment: l'eau mouille parfaitement le verre.

Il n'en est plus ainsi pour le mercure et le verre, il y a dans ce cas un angle de raccordement égal à 40° environ pour l'état d'équilibre; aussi, une goutte de mercure déposée à la surface du verre ne s'étale pas, prend une forme presque sphérique si elle est petite, aplatie si elle est plus grosse, mais, dans tous les cas, la surface du mercure et celle du verre se raccordent sous l'angle de 40°.

La valeur de l'angle de raccordement ne dépend, d'après la formule (i), que des trois substances en présence.

On ne peut songer à vérifier expérimentalement l'exactitude de cette formule, car si Ton peut obtenir directement À,, on ne saurait obtenir directement ni A3 ni A3ni leur différence A3 — Aj. Mais, au moyen de la formule (1) et de la valeur de l'angle de raccordement qui peut être mesuré, comme nous le verrons tout à l'heure, on peut en déduire A3 — Aâ.

Du reste, la valeur des tensions superficielles A4, Aa, ASl ne dépendant que de la nature des surfaces en contact et non de la nature des parties profondes, on conçoit que la moindre altération chimique des surfaces puisse complètement modifier ces valeurs et, par conséquent, la valeur de l'angle de raccordement. Par exemple, si la surface du verre est recouverte d'une couche de matière grasse, même tout à fait invisible, comme cela a toujours lieu si l'on n'a pas pris soin de nettoyer parfaitement le verre, l'eau ne mouille plus la surface graissée et une gouttelette de ce liquide peut être déposée sans s'étaler. Si le mercure est oxydé à sa surface il mouille le verre.

11. ÉQUATION DE LA SURFACE LIBRE D'UN LIQUIDE. — Il est clair que l'influence de la tension superficielle ne peut en rien fausser la loi trouvée en* hydrostatique, que tous les points dun plan horizontal placés dans un même fluide en équilibre et tels qu'on puisse passer d'un point à Tautre sans sortir du fluide ont même force élastique (même pression par unité de surface) et, plus généralement, que deux points situés dans le même fluide de poids spécifique absolu d a une distance verticale h présentent une différence de force élastique Ad, au moins, si

aucun des deux points n'est situé assez près de la surface libre du liquide pour que sa distance à cette surface soit moindre que le rayon de la sphère d'activité.

Il n'y a qu'à reprendre les raisonnements faits pour démontrer ce théorème fondamental pour voir qu'ils ne sont en rien modifiés par l'existence de la tension superficielle.

Ce point établi, supposons que, par une cause quelconque, une portion de la surface libre d'un liquide soit courbe (fig. 21,), tandis qu'il existe une portion plane et horizontale de la surface du même liquide ; nous allons établir une relation entre la courbure en M et la distance y d'un point M de la surface libre au plan horizontal X'X auquel appartient la portion plane UX de la surface libre.

Fie SI.

Soit P la force élastique de l'atmosphère qui surmonte le liquide. Comme en traversant la surface de séparation plane de deux fluides, il n'y a aucun changement brusque dans la valeur de la force élastique, P représente la force élastique de tous les points du liquide voisins de la surface UX et, par conséquent, P représente la force élastique en tous les points de la portion du plan horizontal X'X située dans le liquide. Supposons, pour fixer les idées, qu'en M la surface courbe tourne sa concavité du côté de l'atmosphère ; en passant de l'atmosphère dans le liquide

en M, la force élastique éprouve» une brusque diminution p et devient P . — p. En un point m situé sur la verticale passant par M et dans le plan X'OX la force élastique est, par conséquent, P — p-{-yE)f en désignant par D le poids spécifique absolu du liquide. Or en m la force élastique est égale à P, on a donc la relation :

P-p + j/D = P d'où :

Cette formule est générale, comme on peut le voir sans peine; elle s'applique que la surface libre tourne sa convexité vers l'extérieur ou sa concavité, à condition de considérer p comme positif, si, la surface libre tournant sa concavité vers l'atmosphère, il y a diminution de force élastique en passant dans le liquide, et de considérer p comme négatif si la surface tournant vers l'atmosphère sa convexité, il' y a accroissement de force élastique en passant dans le liquide. Dans le premier cas, y est positif, la surface courbe s'élève au-dessus de X'X; dans le second cas, y est négatif, la surface courbe s'abaisse au-dessous de X'X.

Du reste, rappelons-nous qu'en appelant R et R; les rayons de courbure principaux en M la formule de Laplace donne :

d'Où;

:• »=b(b+ip)

Avec les conventions de signe que nous venons de faire il faut considérer R et R' comme positifs, s'ils appartiennent à des courbes tournant leur concavité vers l'atmosphère, et comme négatifs dans le cas contraire.

Faisons remarquer, enfin, que y ne dépend pas de la force élastique de l'atmosphère. Quand, au lieu d'air, le vide existe au-dessus du liquide, la valeur de la tension superficielle A est peu changée et, par conséquent, y est à peu près le même. Dans le cas où le vide surmonte le liquide, la force élastique dans la partie soulevée au-dessus de X'X est négative, puisqu'elle est moindre que sur X'X où elle est nulle ; c'est à dire que dans cette partie le liquide est dans un état de tension, ses particules tendant à se rapprocher et non à s'écarter comme dans les circonstances les plus ordinaires [}).

Nous allons faire plusieurs applications de cette formule importante, qui représente l'équation de la surface libre du liquide.

12. FORME DE LA SURFACE LIBRE D'UN LIQUIDE QUI BAIGNE UNE PAROI PLANE. — Commençons par le cas simple où la paroi est plane et éloignée de toute autre paroi.

En vertu des lois de l'hydrostatique, la surface libre du liquide loin de la paroi est un plan horizontal; mais dans le voisinage de celle-ci la surface se recourbe pour la joindre sous l'angle de raccordement a. Du reste, comme la paroi est plane, cette surface courbe est cylindrique et ses génératrices sont horizontales. Un des rayons de courbure étant infini, la formule (2) du paragrapho précédent se réduit à

et le rayon de courbure R est celui de la ligne d'intersoction de ce cylindre et d'un plan perpendiculaire aux génératrices.

(1) Il est clair que dans ce que nous venons de dire, nous ne tenons pas compte du ternie constant K de Laplace (voir page 174, note 1). Nous le répétons, l'influence de ce terme ne se faisant sentir sur aucun phénomèno, nous le négligerons toujours.

Choisissons l'un de ces plans pour plan de figure ; soit PQ (flg. 22) la section de la paroi ; soit X'OX la trace du plan horizontal formant la surface libre du liquide loin de la paroi. Prenons cette droite OX comme axe des abscisses et prenons un axe des ordonnées OY perpendiculaire à X'OX ; l'égalité (i) représente l'équation de la section de la surface libre .

Le rayon de courbure R est variable avec x\ en désignant par y'x et y" la dérivée première et la dérivée seconde de y par

rapport à x, on a, comme on le sait, la relation

et, en remplaçant cette valeur dans (i), il vient

A et D étant des constantes. Telle est l'équation différentielle de la courbe. Pour la mettre sous forme finie, multiplions les deux

membres par 2 y' et égalons les fonctions primitives de ces deux membres, il vient, en désignant par C une constante :

Menons la tangente MT à la courbe en un point M ; soit ç l'angle que forme cette tangente avec la direction positive de OX. On

tuant dans la formule, il vient :

(5) jf* = C + ^- cos?

Cette forme va nous être commode pour introduire l'angle de raccordement. Déterminons d'abord la valeur de C ; pour cela coiisidérons le point M assez loin de la paroi pour se trouver dans la région plane de la surface de séparation; on a alors jf = 0 et cos<p = — 1 ; d'où :

0 = C-- ou C=-

en remplaçant C par sa valeur dans (5), il vient :

(6) y» = — (l+cos?)

Appliquons maintenant cette formule générale pour avoir l'ordonnée e du point L où la surface liquide touche la paroi. Si nous appelons p l'angle PKX que forme la paroi avec un plan horizontal et a la valeur de l'angle de raccordement PLS (LS étant la tengente à la courbe en L), on a, dans ce cas, pour la valeur particulière LSX de l'angle <p :

ç = p-|-tt — a et, par conséquent : cos<p = — cos (p — a)

d'où:

e* = ^[l-cos(p-a)]

ou encore :

Lo signe -|- convient si, comme nous l'avons supposé, la concavité de la surface est tournée vers le haut, c'est-à-dire quand

on a p < a. Si la P convexité avait été

tournée vers le bas, c'est-à-dire si p>x (flg. 23), nous aurions été conduit à la même formule, seulement le radical aurait dû être pris avec le signe — .

Nous allons examiner quelques cas particuliers où cette formule s'applique, pour arriver aux vérifications expérimentales.

1° La paroi est verticale. — Dans ce cas ft =- et la for-

mule (8) donne :

Fig. 13.

. = ±V/^(i-Bina)

Le signe + devant se prendre si a > - le signe — dans le

cas où a < £ (fig. 24). •

Si le liquide mouille parfaitement la paroi, iL s'étend jusqu'au

CAPILLARITE

haut de la lame; mais la tangente à la courbe qui forme la surface libre du liquide devient verticale pour une hauteur finie que nous obtiendrons en faisant a = w dans la formule *-«m ci-dessus ^flg. 25) :

/2ÂC ft=V"D

Au-dessus du point L d'ordonnée et le liquide forme contre la paroi solide une couche extrêmement rnince , d'épaisseur uniforme. En appelant / la largeur de la lame dans le sens horizontal, la tension superficielle de cette lame liquide

verticale est A/; elle fait équilibre au poids du liquide LKR soulevé au-dessus de KX. Tel est le cas de l'eau et d'une lame de verre.

FlG. s*.

(1) Calculons le poids du liquide soulevé au-dessus de KX. Soit / la largeur de la lame comptée parallèlement aux génératrices de la surface cylindrique ; on a pour ce poids P :

P = D/ / ydx

et, d'après la formule (S) dy

P = Kl

/ —. r 3 = Al I cosçrfç = A/ slnç I =A/

Jo M + îMt J* L J*

Le poids du liquide soulevé est égal à la tension superficielle A/. Ce n'est là qu'une vérification de l'exactitude de nos calculs, puisque ce résultat était évident a priori comme nous le montrons dans le texte.

2° La. paroi est horizontale. — Si la paroi est horizontale, on a £ = 0 ou p = 7c; nous examinerons seulement ce second ca§ (iig. 26), pour lequel la formule (8) devient :

(il) *t = -y^i + cos*j

Supposons une large goulte de mercure posée sur un plan horizontal en verre; cette goutte est " plane , excepté sur ses bords, et la circonférence du pourtour de la goutte ayant un rayon très grand vis-à-vis du rayon de courbure d'une section verticale du bord, on peut négliger rinverse du grand rayon de courbure vis-àvis de l'inverse du petit, ce qui revient à supposer le pourtour de la goutte cylindrique. La formule (il) s'applique à ce cas (fîg. 26), et dans cette formule — e% représente l'épaisseur de la goulte.

Si le rayon de la goutte n'est pas très grand, s'il est inférieur

par exemple à un centimètre, on peut en tenir compte par des formules approchées dues à Laplace et dont M. Desains a vérifié l'exactitude (').

Fie tt.

K\) Desains, Ana. de Phys. et de Chim. 3« série, t. LI (1857).

13. APPLICATION DES FORMULES PRÉCÉDENTES A LA MESURE DE L1 ANGLE DE RACCORDEMENT ET DE LA VALEUR DE LA TENSION SU- PERFICIELLE DU MERCURE. — En mesurant la dépression — ei que subit le mercure au contact d'une lame de verre verticale (fig. 24), et en mesurant l'épaisseur — e% d'une large goutte do mercure placée sur une plaque de verre horizontale (fig. 26), les formules (9) et (il) du paragraphe précédent permettent de calculer la valeur de l'angle de raccordement a et la valeur de la tension superficielle A.

On a, en effet :

».'=Tr (*-*»■)

9\ <?à* = ^-(l+cosa

Voici les résultats qui ont été obtenus pour le mercure et le verre (4), d'après les observations de

Gay-Lussac Danger M. Ed. Desains

11 n'est pas surprenant de ne. pas trouver un parfait accord entre les nombres déduits des observations de ces trois expérimentateurs. Comme nous l'avons déjà dit, la moindre altération superficielle du mercure peut modifier la valeur de A et de a. En outre, la nature du verre et surtout le plus ou moins de netteté de sa surface influent sur la valeur de a.

14. ASCENSION OU DÉPRESSION D'UN LIQUIDE ENTRE DEUX LAMES* — Nous venons de voir que dans le voisinage d'une lame plane, et jusqu'à une certaine distance que nous désignerons par a, la surface libre d'un liquide n'était plus un plan horizontal. Si deux

(1) Desains, loc. cit.

sa valeur. Si les lames sont très rapprochées, nous pouvons donc considérer R comme constant pour tous les points de la surface libre, c'est-à-dire considérer la surface comme une portion de cylindre à base circulaire. Il est facile alors de trouver une relation entre le rayon de courbure R, la distance d des lames et l'angle de raccordement a. Menons aux points de raccordement A et B (t\g. 30) les tangentes AO et BO à Tare du cercle; menons du centre C de ce cercle les rayons CA et CB de longueur R; enfin, menons la corde AB de longueur d. On a :

d=2RcosCAB

la tangente AO, on a

Et comme BA et CA sont respectivement perpendiculaires à la paroi PQ et à