CAB

PAO = * — a

d'où :

d = — 2R cos a

ou — = —

2 cos a

Cette relation est générale, que le ménisque soit concave ou convexe; dans ce dernier cas, R est négatif et cos a positif, ce qui donne bien encore une valeur positive pour d.

En remplaçant dans la formule (1), il vient :

2A cos x ~Dd~

On peut arriver plus directement à établir cette formule et même à établir une formule tout à fait rigoureuse. Considérons, par exemple, le cas où le liquide s'élève entre des lames parai-

FiG. 31.

lèles verticales. La pression sur la partie MN du plan horizontal XX' (flg. 31), comprise entre les lames, est la même que si cette partie MN formait la surface libre du liquide, la colonne ABMN n'existant pas. Il faut donc que le poids de cette colonne soit équilibré par les forces capillaires. Or, le poids de la colonne ABMN est égal à j^WD-f-p, en désignant par / la longueur de la ligne horizontale suivant laquelle le liquide touche chaque lame, par y, la hauteur au-dessus de X'X du point C le plus bas du ménisque et par p le poids du ménisque lui-même, c'est-à-dire de tout le liquide qui se trouve au-dessus du plan horizontal PCQ tangent à la base du ménisque. D'autre part, nous pouvons considérer les forces capillaires comme provenant de l'action attractive produite par la ligne liquide de la surface libre qui est adhérente à la paroi en A ou en B sur une ligne liquide parallèle et infiniment voisine située aussi sur la surface libre. Entre ces deux lignes s'exerce une tension superficielle égale à A/; cette force AF (ou BF') fait avec la verticale AR un angle égal au supplément de l'angle de raccordement a. Les composantes verticales des deux forces AF et BF' sont donc égales chacune jk — A/ cos a, et, comme la somme de ces deux composantes doit faire équilibre au poids de la colonne soulevée, on a :

— 2A/ cos a = î^/dD + p d'où :

2A cos a p

FlG. M.

Des considérations analogues conduiraient encore à la formule (4), dans le cas de la dépression du liquide entre les lames ; dans ce cas, p est une quantité négative dont la valeur

absolue est le poids du volume de liquide qui remplirait l'espace PCAQCB (flg. 82) compris entre le ménisque, le plan tangent au sommet de celui-ci et les parois.

Si, dans cette formule rigoureuse, on considère comme négligeable le poids-}) du ménisque, on retombe sur la formule (3).

On voit que, si, dans la formule (3»

l'angle de raccordement a est obtus,

y est positif: il y a ascension du liquide entre les lames; si

a est aigu, y est négatif : il y a dépression du liquide entre les

lames.

La formule (3) montre que la quantité y dont s'élève ou s'abaisse un même liquide entre deux lames parallèles de même nature (pour que a soit le même), varie en raison /overse de la distance des lames, dès que celles-ci sont suffisamment rapprochées pour que la formule (3) soit applicable (fig. 83) ).

Fio. 33.

(1) Supposons que les

deux lames soient verticales, mais non parallèles, qu'elles se rencontrent suivant une droite, verticale nécessairement, et qu'elles fassent entre elles un très petit angle a» (flg. 34). Soit POR (flg. 35) la section de cet angle par le plan horizontal

Dans le cas où le liquide mouille les lames, a est égal à * et la formule (8) devient :

2A Dd

qui forme la surface libre du liquide dans la cuve loin des lames. Menons la bissectrice OX de cet angle; en un point M de cette bissectrice, situé à une distance OM = x du sommet 0 de l'angle, menons une perpendiculaire AB à la bissectrice ; appelons d la longueur de cette ligne AB, On a la relation :

d = %x tang -

Or, on peut admettre, sans grande erreur, qu'en chaque point M la hauteur y du liquide contenu entre les lames est la même que la hauteur du même liquide entre deux lames parallèles situées à la

Fio. 34.

même distance AB = d; celte hauteur étant donnée par la formule (S), si nous remplaçons dans celle-ci d par la valeur que nous venons de trouver, on a :

2A cosa

D X 2* lan« J

d'où:

A cosa . .

xy = = — = constante

a) D lang-

Cetle formule représente l'équation de l'intersection de la surface libre du liquide contenu entre les lames par le plan bissecteur du dièdro formé par

15. ASCENSION OU DÉPRESSION DES LIQUIDES DANS LES TUBES CAPILLAIRES. — Pour la même raison que dans le cas des lames , la surface terminale d'un liquide dans un tube de faible diamètre doit être courbe, excepté pour le cas tout particulier où l'angle de raccordement serait droit. Si l'angle de raccordement est oblus, le ménisque est concave, s'il est aigu le ménisque est convexe. Dans le premier cas, le liquide doit s'élever dans le tube à une certaine hauteur au-dessus du niveau XX' (flg. 36) de la cuve où est plongée son extrémité

Fie. 36.

inférieure ; dans le second cas, il doit s'abaisser (flg. 37). Soit, comme plus haut, y la distance au plan X'X d'un point de la surface libre; l'équation de cette surface (form. 2 § 11) est :

Cette égalité montre que la hauteur y du liquide ne dépend

ces lames, en prenant pour axe des abscisses la ligne OX, et pour axe des ordonnées la ligne d'intersection OY des deux lames verticales. On reconnaît l'équation d'une hyperbole équilatcre ayant pour asymptotes les axes de coordonnées OX et OY. Tel est en effet, le résultat que donne l'expérience (fi g. 34).

que des propriétés du tube à l'endroit où s'arrête le liquide; car, la valeur de l'angle de raccordement ne dépendant que de la nature du tube à la surface terminale, R et FV ne dépendent que de la nature, de la forme et des dimensions du tube à l'endroit où s'arrête le liquide et non ailleurs.

C'est ainsi, en particulier, que y est indépendant de la forme du tube au-dessus ou au-dessous de l'endroit où s'arrête le liquide : dans un tube évasé et dans un tube cylindrique ayant mêmes diamètres à l'endroit où s'arrête le liquide, celui-ci s'élève aussi haut (flg. 38). Si. le tube est un cylindre à section circulaire, ce qui est

Fie. 37.

Fie 38.

la forme la plus commune, la surface terminale est de révolution autour de l'axe du cylindre, et le point du ménisque si-

tué sur l'axe a ses deux rayons de courbures principaux égaux entre eux ; soit Ri leur valeur, et y{1 l'ordonné de ce point ; on a :

(i) ^=D'Hf

Pour les autres points, les deux rayons de courbures diffèrent entre eux; mais, si le diamètre du tubo est suffisamment petit, R étant petit aussi, y est grand, et les variations de y pour les divers points du ménisque sont une très faible fraction de sa valeur;

il en résulte que la variation de la courbure moyenne — -j- tt;

est une faible fraction de sa valeur.

On peut alors négliger cette variation, c'est-à-dire considérer ce ménisque comme une portion de sphère, qui est la seule surface de révolution rencontrant Taxe ayant partout la même courbure moyenne; en appelant alors Rt le rayon de celte sphère, la formule (i) donne la hauteur à laquelle le liquide s'élève ou dont il s'abaisse, suivant que Rt est positif (ménisque concave) ou négatif (ménisque convexe).

Remplaçons le rayon de courbure de cette sphère par sa valeur en fonction de l'angle de raccordement a et du diamètre d du tube. Le raisonnement fait dans le cas des lames § 14 nous conduit évidemment à la même valeur do Rf

\ 2 ens a

et, en substituant dans la formule (1) cette valeur, il vient :

4A oos a

(2) - Vi

Comme dans le cas des lames parallèles, il est facile d'établir plus directement cette formule et même de trouver une formule tout à fait rigoureuse. Puisque la hauteur du liquide soulevé ne dépend que des propriétés du tube à l'endroit où s'arrête le liquide,

nous ne diminuerons en rien la généralité en considérant le cas où ce tube est vertical, et a partout la même section. En refaisant alors exactement le même raisonnement que dans le cas des lames, c'est-à-dire en écrivant que le poids de la colonne soulevée est égal à la somme des composantes verticales des tensions superficielles agissant sur lo bord du ménisque, on obtient la relation :

Atcc? cos a =

Ttd*y{D

d'où :

Vi =

4A cos a Dd

Dans cette formule p représente : 1° si le ménisque est concave, une quantité positive égale au poids de la partie du liquide qui se trouve au-dessus du plan tangent à la base du ménisque ; 2° si lo ménisque est convexe, une quantité négative dont la valeur absolue est égale au poids du volume de liquide qui remplirait l'espace PCAQCB (flg. 89), compris entre le ménisque, le plan tangent" au sommet de celui-ci et les parois du tube.

Si, dans cette formule rigoureuse, on considère p comme négligeable, on retombe sur la formule (2). Cette formule (2), applicable seulement dans le cas de tubes très étroits, montre

que si a est obtus, yi est positif: il y a ascension du liquide (fig. 36); que si a est aigu, yi est négatif: il y a dépression (fig. 37) . En outre, elle fait voir que :

Les hauteurs dont s'élève un même liquide à une même température dans un tube de même nature au-dessus de son niveau dans la cuve, ou les hauteurs dont il s'abaisse au-dessous de ce niveau , varient en raison inverse du diamètre du tube.

Fie. 39.

Cette loi, énoncée pour la première fois parBorelli(!), en 1670, puis par Newton, en 1704, a été étudiée par un grand nombre de physiciens, en particulier vers 1718, par Jurin (*) dont elle porte le nom (Loi de Jurin).

Si nous comparons maintenant la formule (2) avec la formule (3) du paragraphe 14, qui donne la hauteur à laquelle s'élève un liquide entre deux lames parallèles, nous voyons que :

Dans un tube cylindrique, la hauteur à laquelle s'élève un liquide au-dessus du niveau dans la cuve, ou dont il s'abaisse au dessous, est le double de celle qui correspond au cas de deux lames parallèles ayant pour distance le diamètre du tube.

Cette loi, trouvée expérimentalement par Newton (1704), a élé énoncée par Laplace (1807) comme conséquence de sa théorie de la Capillarité; elle porte habituellement son nom (Loi de Laplace).

16. VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES. — La mesure de la hauteur à laquelle s'élève un liquide, soit dans un tube capillaire, soit entre deux lames parallèles très rapprochées, fournit un des moyens les plus simples pour contrôler par l'expérience les lois de la Capillarité. Aussi, beaucoup de physiciens se sont-ils occupés de ces mesures. Nous n'indiquerons que les meilleurs travaux qui ont été faits à ce sujet, en commençant par ceux que Gay- Lussac a entrepris, sur la demande de Laplace.

Uay-Lussac a choisi des tubes aussi cylindriques que possible. Pour en obtenir le diamètre, il y introduisait un index de mercure, mesurait la longueur l de celui-ci, déterminait sa masse p par la balance et, de la formule p = itr*/d, où d est la densité du mercure, il déduirait le rayon r du tube.

Les tubes étaient bien lavés à l'acide sulfurique, à l'eau distillée, puis enfin avec le liquide étudié. Ces tubes étaient ensuite

(1) Jean- Alphonse Borelli, physiologiste et physicien, né à Naples en 1608 mort en 1672.

(2) Jacques Jurin, médecin et mathématicien anglais, mourut à Londres en 1750 à un fige avancé. Son travail sur la Capillarité a paru en 1718 dans les Phi]o8t>phical Transactions.

fixés perpendiculairement à une règle de cuivre (fi g. 40), que Ton plaçait sur les bords bien dressés d'un vase de verre contenant le liquide. Ce vase était porté par un trépied à vis calantes, ce qui permettait de mettre ses bords dans un plan horizontal, et, par conséquent, de rendre vertical Taxe des tubes.

Pour faire l'expérience, on commençait par aspirer le liquide jusqu'au haut du tube pour le mouiller dans tonte sa longueur; il se formait ainsi à l'intérieur du tube une gaine liquide au milieu de laquelle s'élevait le liejuide lui-même; dans ces conditions on était assuré d'avoir un angle de raccordement égal à 180° (4).

S'il était facile de viser directement la base du ménisque, il

FlG. 40.

(1) Il est si difficile de bien nettoyer la surface du verre qu'on ne sait trop encore aujourd'hui si le verre propre est mouillé parfaitement par l'eau, l'alcool, etc., c'est-à-dire si ces liquides s'élèvent d'eux-mêmes le long des parois d'un tube ou d'une plaque de verre jusqu'à son extrémité. Par le fait, le verre le mieux nettoyé puis séché et trempé dans un de ces liquides ne se comporte pas ainsi : l'angle de raccordement n'est pas de 180° et a une valeur très variable II en résulte que la hauteur du liquide soulevé dans le tube, qui dépend non seulement de la tension superficielle, mais encore de la valeur de l'angle de raccordement, est variable et toujours moindre que quand on a pris la précaution de mouiller par aspiration toute la hauteur du tube. Ceci eiplique le désaccord qu'on trouve entre les nombres donnés par les physiciens qui n'ont pas pris celte précaution. Ainsi Haûy et Tremery qui, sur la demande de Laplace, avaient avant Gay-Lussac fait des expériences sur des tubes capillaires, sans les mouiller dans toute leur hauteur, ont trouvé pour l'ascension de l'eau dans un tube de 1 miUimèlre de diamètre un nombre qui est moins de la moitié de celui trouvé par Gay-Lussac (1%350 au lieu de 3*,026).

n!en élait pas de même du liquide contenu dans la. cuvette; aussi Gay-Lussac s'est-il servi de l'artifice, bien souvent employé depuis, d'une vis terminée par une pointe qu'il faisait affleurer au liquide de la cuve. Avec la lunette d'une sorte de cathétomètre primitif, il visait la partie inférieure du ménisque dans le tube; cette opération faite, il enlevait un peu du liquide de la cuve pour pouvoir viser facilement l'extrémité inférieure de la pointe; le déplacement du zéro du vernier donnait le déplacement vertical de la lunette, et, par conséquent, la hauteur yl de la base du ménisque au niveau du liquide dans la cuve.

Pour tenir compte du terme p, de la formule (8) du paragraphe précédent, Laplace , dans le calcul des observations de Gay-Lussac, considérait le ménisque comme une calotte sphérique : en outre, comme l'angle de raccordement était de 180° la calotte sphérique était ici une hémisphère. D'après cette* hypothèse , le volume du ménisque est la différence entre le volume d'un cylindre de hauteur et de rayon égal au rayon r du tube, soit wr3, et le volume d'une hémisphère de rayon r,