TOMB II

rio. &

la jurface réfléchissante ; soient IN la normale en I et IR le rayon réfléchi. Abaissons du pointj S la 'perpendiculaire SPS'

sur le plan du miroir.

D'après la première loi de la réflexion, le rayon réfléchi IR est dans le plan d'incidence NIS ; par conséquent, le prolongement IS' de ce rayon rencontre nécessairement, en un certain point S', la perpendiculaire SPS située aussi dans ce plan comme parallèle à IN.

Or, les deux triangles SPI et S'PI sont égaux entre eux. En effet, les angles en P sont droits; les angles PSI et PS'I sont égaux, comme égalant respectivement l'angle d'incidence S1N et l'angle

de réflexion RIN, [angles égaux entre eux d'après la seconde loi de la réflexion; enfin, le côté PI est commun.

Il en résulte que les côtés SP et S'P opposés aux angles en I sont égaux. On voit ainsi que le point de rencontre S' du prolongement du rayon réfléchi et de la perpendiculaire SP est le symétrique du point lumineux S par rapport au plan réfléchissant.

Le rayon considéré SI étant quelconque, tous les rayons issus du point S donnent naissance à des rayons réfléchis dont les

RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE 25t

prolongements de l'autre côté du plan M se coupent en un mêmepoint S' symétrique de S. Quand un faisceau de ces rayons réfléchis pénètre dans un système optique quelconque, il y produit évidemment le même effet que s'il provenait réellement du point &; en particulier, si l'œil le reçoit (fig. 9), l'observateur croit voir en S' un point lumineux jouissant des mêmes propriétés optiques que celles du point S, c'est-à-dire étant de la même couleur, ayant le même éclat relatif, etc. (*)

Par conséquent, si un objet est placé devant un miroir plan, les rayons provenant de chaque point de l'objet, après réflexionr paraissent venir du point symétrique ; l'œil (ou un instrument d'optique quelconque) doit donc éprouver le même effet que si chaque point de l'objet, en gardant les mômes propriétés optiques, avait été transporté dans la position symétrique par rapport au miroir, formant ainsi le symétrique Ae l'objet lui-même : un miroir plan donne d'un objet une image qui est le symétrique de cet objet (*).

Cette image est dite virtuelle, parce que n'étant pas formée par le concours réel des rayons lumineux, elle ne peut sepeindre sur un écran blanc, comme les images fournies par les. petites ouvertures, qui sont dites images réelles.

Les glaces d'appartement étant des miroirs plans, l'observation de tous les jours justifie pleinement cette conséquence deslois d» la réflexion (3).

(1) Nous snpposoos implicitement ici que la surface réfléchissante jouit» de la propriété de réfléchir en même proportion toutes les couleurs du spectre, comme cela a lieu pour l'argent poli, le verre et la plupart des substances employées pour faip* des miroirs. Mais il existe des substances, le cuivre par exemple, qui no réfléchissent pas en proportions égales toute» les couleurs et, dans ce cas, l'image S' du point S peut être colorée différemment ; ainsi le cuivre donne un ton rouge à la lumière qu'il réfléchit.

(2) On sait que le symétrique d'une figure n'est généralement pas superposante à la figure même ; cela n'a lieu que si la figure présente un plan de symétrie. Ainsi, quand, devant une glace d'appartement, on étend le brasdroit, l'image que l'on voit paraît étendre le bras gauche.

(3) On peut montrer d'une façon très élégante, dans un cours, cette propriété des miroirs plans. De part et d'autre d'une glace transparente ont dispose deux flambeaux portant des bougies de même hauteur, en plaçant. symétriquement les mèches par rapport à la glace. On allume la bougie qu*-

4. OBJET VIRTUEL. — On peut, à l'aide d'un miroir concave, d'une lentille convergente ou d'autres dispositions optiques, amener tous les rayons qui partent d'un môme point lumineux A (fig. 10), et qui vont en divergeant à partir de ce point, à con-

Fig. 10.

verger en un autre point A{. Ce point A, jouit des mômes propriétés optiques que le point A, il en est une image réelle. Ce phénomène se produisant pour tous les points d'un objet lumineux, l'ensemble des images réelles des divers points forme une image réelle de l'objet, ressemblant plus ou moins à l'objet luimême.

Si, au delà de l'image réelle de l'objet, on vient à placer un miroir MM, ou toute autre surface optique, cette image réelle se comporte absolument comme un objet lumineux réel, car les rayons qui se sont entrecroisés en un point Aj de l'image réelle divergent ensuite à partir de ce point. Aussi, pour les phénomènes auxquels donne lieu la surface optique MM, on appelle souvent cette image At un objet réel.

Mais supposons que l'on place la surface optique, par exem-

ost du côté des auditeurs : l'image virtuelle de la flamme donnée par réflexion sur ce miroir plan est superposée à la mèche de la seconde bougie qui paraît ainsi allumée,

C'est par un procédé analogue qu'on produit dans les théâtres les spectres impalpables : une glace transparente, convenablement inclinée, est disposée en ire la scène et les spectateurs , elle donne une image virtuelle placée sur la scène d'un personnage fortement éclairé et qui n'est pas directement visible pour le public.

pie le miroir MM, en avant du point Af, où;ies rayons convenaient (fig. 11) : la mnrche de ces rayons est modifiée par la rencontre de la surface MM, et ils ne vont plus concourir en A4. En général, on peut déterminer facilement leur nouvelle direction en consi-

Kic. 11.

dérant le point Af ; ou, plus généralement, on peut trouver la marche de l'ensemble des rayons, en considérant l'image réelle que formeraient les points tels que Af, si la surface optique MM n'existait pas. Par rapport à celle-ci, le point A1f ou l'ensemble des points tels que Ai$ prend le nom d'objet virtuel.

Nous allons montrer tout de suite, pour mieux faire saisir cette notion, comment se fait la réflexion à la surface d'un miroir plan dans le cas d'un objet virtuel.

Considérons un certain nombre de rayons, rencontrant un miroir plan MM (fig. 11), et supposons que ces rayons prolongés derrière le miroir aillent se rencontrer en un même point At : ce point Ai est un objet virtuel par rapport au miroir. Parmi ces rayons, considérons en un, le rayon Kl ; ce rayon se réfléchit suivant IA' et rencontre en A' la perpendiculaire AjPA' abaissée de Af à la surface du miroir MM, car elle se trouve dans le plan d'incidence du rayon Kl. On démontre, absolument comme précédemment au § 3, que le point A' est symétrique du point At par rapport à la surface du miroir plan. Par conséquent, tous les rayons qui convergeraient en Af, si le miroir MM n'existait pas, vont converger en A' symétrique de At, après leur réflexion : le point A' est une image de l'objet virtuel A,.

Cette image est réelle puisque les rayons se rencontrent réellement en A' et pourraient donner naissance à un point lumineux sur un écran qu'on placerait en cet endroit : un miroir plan donne d'un objet virtuel, une image réelle symétrique de Fobjet.

Pour faire l'expérience, on forme, à l'aide d'une lentille ou «d'un miroir concave, une image réelle d'un objet lumineux, d'une bougie allumée par exemple ; cette image peut se peindre «ur un écran blanc convenablement placé. On dispose ensuite en Vivant de cette image le miroir plan, et Ton constate alors, qu'en plaçant l'écran blanc dans une position symétrique de la première, par rapport au miroir, il s'y peint une image réelle de «îême grandeur que l'image précédente.

5. RÉFLEXIONS SUCCESSIVES SUR DEUX MIROIRS PLANS PARAL- XËLES. — Soient deux miroirs plans parallèles HN et M'N' (fig. 12).

if

«,, ji; H, IÇ H,

Fie it.

Un point lumineux A placé entre eux envoie des rayons dans toutes les directions ; considérons d'abord ceux qui tombent sur le miroir MN : après réflexion, ils se dirigent comme s'ils venaient de At symétrique de A par rapport à MN. Ces rayons subissent une seconde réflexion sur M'N', et après ils 6e dirigent comme s'ils venaient de At symétrique de At par rapport à M'N'. Puis, ils subissent une troisième réflexion sur MN, et se dirigent

ensuite comme s'ils venaient de A3 symétrique de A* par rapport à MN, et ainsi de suite. Toutes ces images A,, Aâ, A3... du point A sont sur une perpendiculaire commune aux deux miroirs passant par A.

Ce que nous venons de dire pour un point Rappliquant à tous les points d'un objet, l'œil tourné vers MN peut voir une succession indéfinie d'images, AJBj, A3B3 A5B:;, . .., d'un objet AB plact* entre les miroirs, toutes symétriques de cet objet et correspondant à 1, 3, 5. . . réflexions. Si l'œil était tourné du côté de M'N't il verrait une série indéfinie d'images A2Bâ, A4B4, . . . correspondant h 2, 4... réflexions; ces images étant les symétriques des symétriques de l'objet, lui sont superposables.

Mais, outre cette première série d'images, il est elair que l'œil tourné vers M'N' voit aussi une seconde série d'images symétriques de l'objet A/B/, A3'B3', ... correspondant à un nombre impair de réflexions, la première ayant lieu sur M'N'. De même, l'œil tourné vers MN, voit, outre la première série d'images indiquée p'.us haut, une seconde série d'images superposables à l'objet Aa'B*, A4'B4',. . . correspondant è un nombre pair de réflexions, la première ayant lieu sur M'N'. Ainsi, en regardant de l'un ou de l'autre côté, on voit deux séries d'images, les unes symétriques de l'objet, les autres superposables à l'objet.

11 est aisé de voir que les images symétriques de l'objet doivent alterner avec les images qui lui sont superposables. Désignons, en effet, par a la distance des deux miroirs et par x la distance d'un point A compris entre eux au miroir MN vers lequel nous supposerons le spectateur tourné. On voit immédiatement que les distances à MN des images symétriques A,, A3, A5, . . . sont x, 2a -j- #, la + x, ... tua -j- x tandis que les distances à MN des jmages superposables Ai, A4', etc., sont 2a — x, 4a — x, ... 2na — x. Or, x pouvant varier de 0 à a, les images symétriques fournies par 1, 3, 5... réflexions, sont a des distances respectivement comprises entre 0 et a, 2a et 8a, Âa et 5a, etc., tandis que les images identiques fournies par 2, 4. . . réflexions sont respectivement comprises entre a et Sa. Su et 4a, etc.; elles sont donc alternes avec les précédentes,

Tout le monde a pu constater h> phénomène que nous venons

de décrire, dans un salon où deux glaces parallèles se font face Tune à l'autre.] Les images successives sont de plus en plus pâles, parce qu'à chaque réflexion, il y a une perle de lumière (!).

(I) Les glaces des appartements sont formées par une lame de verre plus ou moins épaisse à faces planes et parallèles. La face postérieure PQ (fig. 13) étant clamée ou argentée, réfléchit une portion de la lumière incidente beaucoup plus considérable que la face antérieure MN qui laisse passer dans le verre une fraclion considérable de la lumière incidente.

Un objet A placé au devant de ce miroir donne une première image pâle A,, par suite de la réflexion sur la face antérieure, symétrique de l'objet par rapport à celte face MN, puis une deuxième image brillante A4, due a la réflexion sur le métal PQ de la lumière qui a traversé le verre. Mais une faible fraction de la lumière réfléchie par le métal, et qui traverse le verre se réfléchit sur l'air à la première face MN, retourne sur la seconde face PQ où elle subit une troisième réflexion, ce qui donne une troisième image As moins intense que la première A,. De même une fraction de la lumière qui a subi déjà trois réflexions se réfléchit sur l'air à la première face MN, puis se réfléchit une cinquième fois sur le métal, ce qui donne une quatrième image A4; et ainsi de suite, il se forme une série d'images de plus en plus pâles. Quand on regarde les objets par réflexion dans une direction voisine de la normale, ces images successives qui sont très rapprochées se superposent en partie: en outre, comme la seconde est de beaucoup la plus intense on ne voit guère qu'une image de l'objet. Mais, si l'on regarde dans le miroir un objet brillant, comme la flamme d'une bougie, sous une incidence très oblique, les images successives se détachant mieux les unes des autres, et, en outre, le rapport de leur intensité à celle de la seconde image augmentant, on les distingue nettement.

FlC. 13.

6. RÉFLEXIONS SUCCESSIVES SUR DEUX MIROIRS PLANS FAISANT ENTRE EUX UN CERTAIN ANGLE. — Considérons maintenant deux miroirs plans MO et M'O (fig. 14) faisant entre eux un certain angle. Soit un point lumineux A 6itué entre ces miroirs ; prenons comme plan de figure le plan mené par A perpendiculairement à l'arête du dièdre que forment entre eux les deux miroirs; soit Ola trace de cette arête.

Le point A par réflexion sur MO' donne une première image A, symétrique de A par rapport à MO et par conséquent à la même distance du pointO; cette image se trouve ainsi sur

la circonférence décrite de 0 pour centre, avec AO pour rayon. Limage virtuelle A{ fonctionne comme objet vis-à-vis du miroir M'O, et les rayons deux fois réfléchis semblent provenir du point Aa image virtuelle de Ai par rapport à M'O, par conséquent, située sur la même circonférence, et ainsi de suite. On voit, de même que dans le cas précédent, qu'il existe une série d'images alternativement symétriques de l'objet et superposables à lui; les premières sont dues à un nombre impair de

Fie. 14.

Il est aisé de voir que malgré le phénomène de la réfraction, qui complique un peu ce que nous venons d'exposer, toutes ces images doivent être équidistantes, comme le montre l'observation.

C'est la formation de cos images multiples qui empêche d'employer les glaces métallisées sur leur face postérieure dans la construction des instruments d'optique.

réflexions, dont la première commence sur le miroir dans lequel on regarde; les secondes sont dues à un nombre pair de réflexions, dont la première s'effectue sur l'autre miroir.

Si nous désignons par a l'angle des deux miroirs et par x l'angle AOM, on voit immédiatement que les images symétriques sont dans des plans passant par l'arête 0 et faisant avec OM des angles respectivement égaux à x, 2a -f- x, 4a -j- x. . . 2na + x; tandis que pour les images superposables à l'objet, les angles avec OM sont 2a — x, Aa — x..,, 2na — x. Or, x pouvant varier de 0 à a, les images symétriques fournies par 1, 3, 5... réflexions sont h des distances angulaires de OM, respectivement comprises entre 0 et a, 2a et 3a, Âa et 5a, etc.; tandis que pour les images superposables, ces distances sont respectivement comprises entre a et 2a, 3a et 4a, etc...

Mais ici le nombre des images n'est pas infini ; en effet, une image telle que A3 (fig. 14), qui est fournie par une dernière réflexion sur OM, et qui se trouve derrière la surface du miroir OM' (prolongée on OM/), ne peut envoyer aucun rayon frappant cette surface réfléchissante : l'image A3 est, par conséquent, la dernière image de A.

D'après cela, si l'on a na = ir, en désignant par n un nombre enlier, on pourra voir dans chacun des miroirs n images, la dernière image étant dans l'angle opposé parle sommet à l'angle des deux miroirs et, par conséquent, occupant la même position que l'on regarde dans l'un ou dans l'autre miroir. Comme on peut voir à la fois les images dans les deux miroirs, l'objet est répété par réflexion 2n — i fois : tant directement que par réflexion, on voit Su fois l'objet ou son symétrique (n fois l'un w fois l'autre alternativement) (*).

Si maintenant l'angle a n'est pas une fraction exacte de la

(1) C'est sur ce principe qu'est fondé le kaléidoscope. Ce petit instrument, inventé par Brewster en 1817, se compose de deux lames de verre faisant entre

elles un ongle qui le plus souvent est de 60» [ a =— J . Ces lames, très allongées

dans le sens de l'arête du dièdre qu'elles forment, sont contenues dans un tube, fermé en arrière par deux lames de verre, la première transparente, la seconde dépolie. Entre les deux lames se trouvent de petits morceaux de verre ou de gélatine colorés. L'autre extrémité du tube est fermée par

demi-circonférence, c'est-à-dire si Ton a na -|- a = *, a étant plus petit que a, on peut voir , comme dans le cas précédent par réflexion , dans chaque miroir n images de tous les points compris entre les deux miroirs; mais (fig.

15) les dernières images fournies dans chaque miroir ne sont plus superposées qu'en partie :

elles ne se rencontrent que sur un angle égal à

a — 2x, si l'on a a > 2 a, et ne se rencontrent plus si a <2a. En outre y ces dernières images complètes de tout l'espace compris entre les miroirs sont sui-

Fic. s

une plaque opaque percée d'un trou, qui permet de regarder dans l'intérieur. Les petits objets colorés forment une figure qui change chaque fois qu'on agite r instrument ; par suite de la réflexion sur les lames, on voit six fois cette figure ou son symétrique, ce qui donne un dessin étoile d'un

Fi g. 16.

vies d'images dues à une réflexion de plus et ne comprenant qu'une portion d'angle a de l'espace compris entre les miroirs. Si n est pair, comme la nômo réflexion donne une image superposable à l'objet, c'est la portion d'angle a adjacente au miroir dans lequel on regarde qui est reproduite par la (n -j- !)■• réflexion (ftg. 15), tandis que si n est impair, c'est la portion adjacente à l'autre miroir (fig. 16).

7. MIROIRS SPHÉRIQUES. — On donne le nom de miroir sphêrique à un miroir dont la surface est une portion de sphère. Les miroirs sphériques peuvent être concaves ou convexes, suivant que la réflexion se fait sur le côté de la surface sphérique qui est tourné vers le centre de courbure ou sur le côté opposé. Ces deux formes de miroirs jouissent évidemment de propriétés optiques différentes.

Après les miroirs plans, ce sont les miroirs sphériques dont l'étude est la plus simple, et ce sont eux aussi qui sont les plus employés en optique. Du reste, on peut considérer le miroir plan comme un cas particulier des miroirs sphériques, celui où le rayon de courbure est infini : le miroir plan forme la transition entre les miroirs sphériques concaves et les miroirs sphériques convexes.

Dans Tétude de la réflexion à la surface d'un miroir sphérique de rayons issus d'un même point, nous supposerons d'abord que ces rayons s'écartent peu les uns des autres. La considération de ce cas conduit à des résultats simples et d'une grande importance par leur fréquente application. Sous le titre d'aberrations de sphéricité, nous verrons dans un autre chapitre comment ces résultats doivent être modifiés, si l'on considère des rayons s' écartant notablement les uns des autres.

joli effet, d'où le nom de kaléidoscope, {xa>oç beau, eldo; aspect, <ncoic£w je regarde). Les lames de verre sont couvertes d'un vernis mat sur leur face postérieure de façon à ne réfléchir la lumière que sur la face antérieure. Comme la réflexion se fait sous un angle très grand, il y a une notable proport io a de lumière réfléchie ; pourtant les images sont de plus en plus sombres à mesure qu'elles correspondent à un nombre plus grand de réflexions.

8. THÉORIE DE LA RÉFLEXION A LA SURFACE D'UN MIROIR SPHÉ- RIQUE CONCAVE. — Nous diviserons l'étude de la réflexion à la surface d'un miroir sphérique concave en quatre parties, selon la position de l'objet.

1° Image d'un point placé au delà du centre de courbure. — Soit A un point lumineux placé devant un miroir sphérique concave à une distance supérieure au rayon de courbure de la sphère dont le miroir fait partie; soit 0 le centre de cette sphère (flg. 17). Joignons le point A au centre 0; la droite AO s'appelle Vaxe du point A. Si cet axe rencontre le miroir et qu'un rayon lumineux prenne cette direction, ce rayon tombant normalement à la surface réfléchissante, revient exactement sur lui-même après réflexion.

Considérons maintenant, parmi les rayons lumineux issus de A, un autre rayon quelconque AI, frappant en I le miroir. Pour avoir le rayon réfléchi qui en provient, menons la normale au point 1; celle-ci n'est autre que le rayon 01 de la sphère. Le rayon réfléchi IA', se trouvant dans le plan d'incidence AIO, coupe en un point A' l'axe du point A.

Nous allons montrer que tous les rayons lumineux issus du point A vont, après réflexion, passer par ce môme point A1, à condition, pourtant, que l'on ne considère que les rayons qui s'écartent peu de l'axe OA .

Prenons comme plan de figure le plan d'incidence AIO ; ce plan coupe suivant un arc de grand cercle le miroir. Menons par le point I la tangente IT, à cet arc de cercle, et soit T le point de rencontre de cette tangente avec l'axe AO.

D'après l'égalité de l'angle d'incidence AIO et de l'angle de réflexion A'IO, la droite 10 est la bissectrice de l'angle AIA' du triangle A Al; la droite IT, perpendiculaire à 10, est la bissectrice de l'angle A'IV extérieur à ce triangle. On sait que ces deux bissectrices et les côtés du triangle forment un faisceau harmonique, et qu'on a la relation :