CA

Fio. i

Posons CA = p, CA'^p',, CO = R, l'égalité (2) s'écrit alors :

De cette égalité on tire une valeur de p'f qui est indépendante de l'angle IAC : chaque rayon issu de A donne naissance à un rayon réfléchi qui, par son prolongement, va couper Taxe OA au même point A\.

En transformant l'égalité (3) on peut la mettre sous la forme :

Pour l'œil, ou pour un instrument d'optique qui reçoit les rayons réfléchis provenant de A, l'effet est le même que si les rayons venaient de A', : ce point A', est une image virtuelle du point A.

Ici un point-objet et son image qui se trouve sur l'axe cor-

respondant, sont du même côté du centre 0, et, par conséquent, l'image est droite par rapport à l'objet (fig. 27). Sa grandeur est donnée par :

Fie. 17.

Discussion et vérification. — La formule (4) montre que p et p\ varient toujours dans le même sens. Quand l'objet est dans le plan focal (p = f) on a p't=oo: l'image est virtuelle et à l'infini derrière le miroir (ou réelle et à l'infini devant le miroir, deux rayons réfléchis parallèles pouvant être considérés, soit comme se rencontrant à l'infini en avant du miroir, soit comme ayant leurs prolongements se rencontrant à l'infini derrière le miroir).

A mesure que l'objet se rapproche du miroir, son image virtuelle s'en rapproche en sens inverse ; mais l'image est toujours plus loin du miroir que l'objet, tant que sa distance au miroir p n'est pas nulle, car la formule (4) donne alors :

K=- — t d'où: i-<" et p\ > p Pi P f Pt P F

Il en résulte d'après (5), que l'image est alors plus grande que l'objet : un miroir concave donne d'un objet placé entre h plan focal et le miroir une image virtuelle droite et plus grande que T objet, ou au moins égale à lui.

Quand l'objet vient à s'appliquer contre le miroir (p = 0), la formule (4), qu'on peut mettre sous la forme *

montre que p\ est nul, c'est-à-dire que l'image vient aussi s'appliquer en sens inverse contre le miroir. Lo rapport — qui est

f égal, d'après la formule ci-dessus, à — *— tend alors vers

l'unité : à la limite, l'image devient aussi grande que l'objet.

En approchant plus ou moins d'un miroir concave un petit objet plan tenu à la main, on observe aisément les phénomènes que nous venons de décrire (').

Nous avons considéré jusqu'ici le cas d'un objet plan; si l'objet est en relief, l'image n'est plus exactement semblable au symétrique de l'objet, les parties les plus éloignées du miroir donnant des images relativement plus grandes que les parties les plus rapprochées. Ainsi, en regardant son visage dans un miroir concave placé près de la figure, celle-ci paraît non seulement grossie mais aussi un peu déformée : le nez, situé plus près du miroir, est moins grossi que le front.

Celte remarque sur la déformation de l'image d'un objet en relief s'applique aussi aux autres cas du miroir concave. Nous l'avons placée ici, parce que c'est dans le cas d'une image virtuelle que cette déformation est la plus frappante.

(1) Faisons remarquer qu'en écartant l'objet jusqu'au plan focal, l'image ne semble pas s'écarter à l'infini. Ce n'est là qu'une illusion qui lient à ce qu'en s'écartant à l'infini l'image grandit aussi indéfiniment; elle reste visible alors sous un angle fini, au lieu d'être vue sous un angle infiniment petit comme un objet de grandeur invariable qu'on écarterait à l'infini. On peut s'assurer que l'image virtuelle est bien à l'infini quand l'objet est dans le plan focal, en la regardant avec une lunette astronomique ; si la lunette est disposée de façon à voir nettement les objets à l'infini, l'imago est vue nettement; si la lunette est disposée pour voir nettement les objets rapprochés, l'image est toujours vue confusément.

14. OBJET VIRTUEL. — Nous venons de voir que tout rayon tel que AI, issu d'un point A placé entre le foyer et le miroir, après réflexion, semble venir d'un point déterminé A'lf image du point A (fig. 26). Réciproquement, si un rayon RI se dirige vers ce point A'f , après réflexion , il prend la direction IA et passe par le point A. Comme à chaque point A't situé derrière le miroir correspond un point A placé entre le foyer et le miroir, dont A\ est l'image virtuelle, on voit que tous les rayons qui se dirigent vers un point A'4 situé derrière le miroir vont, après réflexion, concourir en un môme point A : un point objet virtuel A'f donne naissance à un point image réelle A situé sur le même axe entre le miroir et le foyer principal.

Les deux points A' et A't sont deux foyers conjugués : si l'un est objet, l'autre est image.

En désignant comme ci-dessus par p la distance de A au miroir et par p/ la distance de Aft' au miroir, nous avons trouvé la relation :

1 — 1 = 1 P Pi' f

Si maintenant, pour être en harmonie avec les notations employées plus haut, la distance de l'objet virtuel est désignée par pf et celle de son image réelle par p', cette formule devient :

L'image d'un objet virtuel est droite et sa grandeur est donnée par la relation :

0 Pi

Discussion et vérification. — La formule (1) montre que p' est inférieur ou au plus égal à pf; par conséquent, d'après (2) l'image est au plus égale à l'objet; un miroir concave donne d'un objet

virtuel une image réelle droite et plus petite que l'objet, ou au plus égale.

La formule (1) montre aussi que pt et p' varient dans le même sens : quand l'objet s'écarte du miroir, l'image s'écarte en sens inverse. Si la position de l'objet virtuel varie depuis le miroir jusqu'à l'infini, la position de l'image réelle varie depuis le miroir jusqu'au plan focal, et sa grandeur depuis celle de l'objet jusqu'à zéro.

On réalise l'expérience en formant une image réelle d'un objet lumineux, d'une bougie par exemple, à l'aide d'un miroir concave auxiliaire, ou d'une lentille convergente. On note la position de cette image en prenant la position de l'écran pour laquelle elle se dessine nettement. On place alors en avant de l'image le miroir concave, sur lequel on veut étudier la réflexion ; en disposant devant ce miroir un écran, on trouve une position, située entre le miroir et le plan focal, pour laquelle il se peint une image nette. La mesure des distances de l'écran au miroir dans sa première et dans sa seconde position donne p{ etp', ce qui

permet de vérifier l'exactitude de la formule [-— = — ; la

Pi P f mesure des dimensions linéaires correspondantes de la première image (o) et de la seconde (î) permet la vérification de la formule

o pi

45. FORMULE GÉNÉRALE. — Nous venons de trouver dans l'étude de la réflexion à la surface d'un miroir concave trois formules différentes suivant les limites entre lesquelles varie la position de l'objet :

l°La formule -+--=- si l'objet est réel et au delà du plan

focal ;

plan focal;

2° La formule '=7 si l'objet est réel et en deçà du

8° La formule 1 — -,=-* si l'objet est virtuel.

Pi P f

Dans ces trois formules les lettres représentent des quantités positives; l'introduction des quantités négatives permet de les ramener à une seule formule. Convenons, en effet, d'appeler toujours p la distance de l'objet au miroir, et p' la distance de son image, ces grandeurs étant positives si l'objet ou l'image est on avant du miroir (objet ou image réel) et étant négatives si l'objet ou l'image est en arrière du miroir (objet ou image virtuel). Avec cette convention on voit que pour la seconde formule on a p'= — p\, que pour la troisième on a p= — p{ et que les deux dernières formules deviennent alors identiques à la première

Telle est donc la formule générale qui convient à tous les cas possibles.

Nous pouvons aussi employer dans les trois cas la formule :

qui ne diffère de celles qui ont été établies que par le signe du second membre dan6 le cas où l'objet ou l'image est virtuel, et qui n'en diffère pas dans le cas où l'image et l'objet sont réels. En adoptant cette formule, il faudra, bien entendu, prendre pour

- la valeur absolue du rapport- ; mais on voit que si -est positif (1er cas) l'image est renversée par rapport à l'objet, et que 6i - est négatif (2e et 3° cas) l'image est droite.

16. CONSTRUCTION DE L'IMAGE. — Une construction géométrique des plus simples permet de trouver soit l'image d'un point donné placé devant un miroir concave, soit la position et la grandeur de l'image d'un objet donné.

1° Cas d'un point. — On mène la droite qui passe par le point donné A et par le centre de courbure O du miroir, c'est-à-dire l'axe du point A (ftg. 28, 29 ou 30) : l'image est sur cet axe.

On trace ensuite un autre axe quelconque OM, mais faisant avec le précédent un petit angle, et Ton mène par A un rayon AI parallèle à cet axe, qui rencontre le miroir en un point I ; puisque

le rayon réfléchi correspondant doit passer par le foyer F de Taxe OM, ce rayon réfléchi est la droite IF. Cette droite rencontre Taxe

Fie. 39.

OA en un point A' qui est l'image de A puisque cette image doit se trouver à la fois sur Taxe OA et sur le rayon réfléchi IF (*)•

(1) La figure 28 correspond au cas où le point réel est placé en avant du plan focal ; dans le trapèze AIFO la base Al étant, par hypothèse, plus