Tome II

2° Cas d'un objet. — Nous supposerons donnée une dimension linéaire AB de l'objet (fig. 28. 29 ou 30). Du centre 0 menons Taxe OM perpendiculaire à la direction AB, et soit C le point où

FlG. 80.

il rencontre l'objet. Prenons ACO comme plan de figure. Effectuons maintenant la construction nécessaire pour trouver l'image A' du point A situé en dehors de l'axe OC, et abaissons de A' la perpendiculaire A'C sur OC. Cette droite est l'imagé de AC puisqu'elle lui est parallèle et passe par A' image de A.

Si Ton veut avoir, en outre, la longueur de l'image, on mène Taxe BO qui coupe en B' la droite A'C ; B' étant l'image deB,

grande que la base OF, qui est égale à la distance focale, et les calés non parallèles AO or IF se rencontrant du côté de la petite base, le rayon réfléchi IF coupe réellement l'axe AO : l'image est réelle. La figure 29 correspond au cas où le point réel est placé entre le plan focal et le miroir; ici dans le trapèze AIFO, la base AI étant par hypothèse plus petite que la base OF, les côtés non parallèles se rencontrent du côté de AI, c'est-à-dire que c'est le prolongement derrière le miroir du rayon réfléchi IF qui rencontre Taxe OA : l'image est virtuelle. Enfin la figure 30 correspond au cas où le point A est virtuel ; il est évident que le rayon IF rencontre réellement l'axe OA entre I et F : l'image est réelle et située entre le plan focal et le miroir. On retrouve ainsi par cette construction les propriétés que nous avons déjà signalées. Faisons remarquer qu'un rayon incident AFJ (non représenté sur ces figures) passant par le foyer F donne naissance à un rayon réfléchi JK parallèle à Taxe OM et qui doit passer par A'; il y a là une vérification de la construction graphique, ou un autre moyen d'obtenir A'.

on obtient ainsi l'image A'B' de la dimension linéaire donnée AB.

Nous aurons constamment dans l'étude des instruments d'optique à faire des constructions de ce genre ; mais nous prendrons toujours une dimension linéaire AG de l'objet atteignant Taxe qui lui est perpendiculaire, ce qui dispense de la dernière partie de la construction.

En considérant AC comme objet, et en confondant Tare MI avec sa tangente en M, on arrive aisément à déduire de ces constructions les deux formules fondamentales — I — r = — et — =— .

17. MIROIR CONVEXE. — OBJET RËEL. — Supposons qu'un point lumineux A soit placé de vantun miroir sphérique convexe (fig. 81) ; joignons le point A au centre Oi de celui-ci ; cette ligne est Taxe correspondant au point A : un rayon émis par A et se dirigeant suivant cet axe tombe normalement à la surface du miroir, et revient exactement suivant la même direction.

Considérons main- Fi0* 31#

tenant un autre

rayon quelconque AI; prenons comme plan de figure, le plan IAOi, qui coupe le miroir suivant un arc de grand cercle. La normale OtIN au point I étant dans ce plan, celui-ci est le plan d'incidence du rayon AI, et le rayon réfléchi IR est situé dans le plan de la figure. Il est évident que ce rayon IR ne rencontre pas l'axe AOt ; mais , comme il est situé dans le même plan son prolongement derrière le miroir rencontre Taxe en un point

Une démonstration semblable à celle du paragraphe 13 montre que les rayons issus de A* après réflexion, ont des prolongements qui coupent tous Taxe eo un même point A'4, pourvu que

l'angle 10 1 A reste faible. En effet, menons la tangente IT, écrivons la relation qui existe entre les segments découpés sur AOt par le faisceau harmonique IA, IT, IA'ft et IOt , enfin faisons l'approximation qui consiste à négliger la distance TC, et nous obtiendrons la relation :

1 1 2 (1) 7"pri==""Hi

où p désigne la distance AC du point lumineux au miroir, p\ la distance A'|C au miroir du point A'4 où le prolongement d'un rayon réfléchi issu de A co«ipe Taxe, et enfin où Rj désigne le rayon OtC de la sphère à la quelle appartient le miroir. On voit que la valeur de p\ étant indépendante de la valeur de l'angle IA04 , le point A'f est une image virtuelle du point A : un miroir convexe donne une image virtuelle d'un point réeU quelle que soit la distance de celui-ci au miroir.

On appelle encore foyer l'image virtuelle d'un point situé à l'infini : sur chaque axe se trouve un foyer. On obtient sa distance f{ au miroir en faisant dans la formule (1) p = oo etp'^/i; il vient :

La distance focale f{ est encore ici égale à la moitié du rayon de courbure. Le lieu géométrique des foyers est donc une sphère

ayant Ot pour centre et —! comme rayon. Si le miroir est d'où-

verture assez faible pour que sa surface puisse être confondue avec le plan tangent vers son milieu, la portion de la sphère focale qui contient les foyers des axes qui rencontrent le miroir peut aussi être confondue avec le plan tangent en son milieu : c'est le plan focal.

En remplaçant dans la formule (1) 5- par sa valeur —, il

*m A vient :

On voit tout de suite, du reste, que l'image virtuelle est droite par rapport à l'objet, puisqu'un point A ou B et son image A't on B'f se trouvent sur le même axe du même côté du point de concours 0{ de tous les axes

(flg. 82).

La grandeur de l'image est donnée par la relation :

FlO. 39.

On démontre aussi comme dans le cas du miroir concave (§ 9) la relation :

qui donne le diamètre i de l'image d'un objet de diamètre apparent a placé assez loin pour que son image soit sensiblement dans le plan focal.

discussion et vérification. — La formule (3), que l'on peut mettre sous la forme

i- — JL4--L

ou

PA

montre que p\ est au plus égal à p; d'où nous voyons, par la formule (4), que l'image virtuelle est au plus égale à l'objet, ce qui était évident du reste d'après la construction représentée (fig. 82) : un miroir convexe donne d'un objet réel une image virtuelle droite plus petite que F objet ou au plus égale à lui.

La formule nous montre aussi que p et p\ varient dans le même sens : quand l'objet se rapproche du miroir, l'image s'en rapproche en sens inverse. Si la distance p de l'objet au miroir

diminue depuis l'infini jusqu'à zéro, la distance p\ de l'image diminue depuis la distance focale jusqu'à zéro, et la dimension de l'image augmente depuis zéro jusqu'à la dimension de l'objet qu'elle atteint quand l'objet et son image sont sur la surface du miroir.

En regardant par réflexion dans un miroir convexe un objet j

qu'on en approche plus ou moins, on voit les apparences que nous venons de décrire (*).

Faisons remarquer que si l'objet qui se reflète dans le miroir convexe n'est pas plan, l'image n'est pas exactement semblable au symétrique de l'objet, les parties les plus éloignées du miroir donnant des images relativement plus petites que les parties les plus rapprochées. Ainsi, quand on regarde son visage dans un miroir convexe, le nez qui est le plus près du miroir donne une image relativement plus grosse que le front qui est situé plus ;

loin.

18. OBJET VIRTUEL. — Dans l'étude de la réflexion de rayons convergents vers un même point situé derrière le miroir convexe, nous devons considérer deux cas, suivant que ce pointobjet virtuel est entre le miroir et le plan focal, ou au delà de celui-ci.

im cas. — Supposons que dans la figure 31 du paragraphe 17, le sens de la marche de la lumière soit changé, et qu'un rayon

(1) Nous devons pourtant mettre en garde contre une illusion. Quand on regarde par réflexion dans un miroir convexe un objet éloigné, un homme par exemple, on croit voir l'image très loin derrière le miroir tandis qu'en réalité elle est un peu en avant du plan focal, c'est à-dire assez près. Cela tient à l'habitude que nous avons de juger de l'éloignement plus ou moins grand d'un objet par l'angle sous lequel il nous apparaît: en voyant dans le miroir l'image d'un homme sous un petit angle, nous croyons voir l'homme dans le lointain. Un myope, qui ne peut voir net un objet situé au loin, peut s'assurer qu'il voit nette l'image donnée par le miroir convexe et, par conséquent, que cette image n'est pas loin de ses yeux. On peut se convaincre encore que cette image est proche en la regardant avec une lunette astronomique placée près du miroir, et en tirant l'oculaire de la lunette jusqu'à voir nettement l'image ; on pourra constater que la lunette est alors réglée pour voir un objet rapproché et non un objet lointain.

lumineux arrive sur le miroir suivant une direction RI dont le prolongement rencontre un axe 04G en un point A'i situé entre le miroir et le foyer; ce rayon se réfléchira suivant IA et coupera l'axe OtG en un point A dont Ar4 était l'image virtuelle dans le cas considéré au paragraphe 17. Ainsi, tous les rayons dont los prolongements passent par le point A't vont concourir au même point A après réflexion : le point A est une image réelle du point-objet virtuel A! v Les deux points A et A*! sont ainsi deux foyers conjugués.

Nous avons vu plus haut (1 ou 3, g 17) la relation qui existe entre les distances AC et A'4G; en désignant par pt la distance A'|C de l'objet virtuel et par j>' la distance AC de son image, conformément aux notations déjà employées, cette relation devient :

Vi P Kl fi

L'image est droite, puisque l'image et l'objet sont du même côté du centre Oi (flg. 32).

La grandeur de l'image est donnée par la relation :

v ' o Pi

Discussion bt vérification. — La formule (1) montre que Ton * P'àPi y Par conséquent, d'après (2) l'image est au moins aussi grande que l'objet : un miroir convexe donne, d'un objet virtuel placé entre le plan focal et le miroir, une image réelle droite et plus grande que I objet, ou au moins égale.

La relation (1) montre aussi que les quantités p{ et p! varient dans le même sens : l'objet virtuel et son image réelle s'écartent en même temps du miroir, en sens inverse. Quand la position de l'objet varie depuis le miroir jusqu'au plan focal, la position de l'image varie depuis le miroir jusqu'à l'inflhi, et sa grandeur depuis celle de l'objet jusqu'à une grandeur infinie.

On réalise l'expérience de vérification absolument comme pour le cas d'un objet virtuel et d'un miroir concave (§ 14).

2* cas. — Nous venons de voir que, si un rayon incident prolongé derrière le miroir convexe rencontre un axe entre le miroir et le foyer principal situé sur cet axe, le rayon réfléchi qui en provient rencontre réellement Taxe ; nous avons vu aussi

que, dans le cas limite où le rayon incident prolongé passe par le foyer principal, le rayon réfléchi se dirige parallèlement à cet axe ; "nous devons en conclure que si le rayon incident SI, profig. 33. longé derrière le

miroir, coupe un axe en At au delà de son foyer principal F (fig. 33), le rayon réfléchi IR ne rencontre cet axe que par son prolongement derrière le miroir en A\.

Par un raisonnement calqué sur celui du paragraphe 8 et en faisant la même approximation, on obtient la relation :

j>i+p\-Ri-A

dans laquelle p{ etp\ représentent les distances de A4 et de A' j à ce miroir : un point oAjet- virtuel situé au delà du plan focal d'un miroir convexe donne naissance à une image virtuelle.

L'image est renversée par rapport à l'objet, caria construction

Pic. 34.

représentée par la figure (83) ou la formule (3), qui s'en déduit, montre qu'un point-objet et son image, situés sur le même axe, se trouvent toujours de part et d'autre du centre 0| (flg. $4). La grandeur de l'image est donnée par la relation :

o Pl

Discussion et vérification. — Les formules (3) et (4) sont exactement les mêmes que celles qui concernent la réflexion d'un objet placé en avant du plan focal d'un miroir concave. Tout ce que nous avons établi (§ 11) dans la discussion de ce cas est donc applicable ici (4) : les distances de l'image virtuelle et de l'objet virtuel au miroir varient en sens inverse; quand l'objet se déplace depuis le plan focal jusqu'à l'infini, son image se déplace depuis l'infini jusqu'au plan focal; l'image est égale à l'objet quand celui-ci se trouve au double de la distance focale; pour une distance plus grande de l'objet, l'image est plus petite que lui; pour une distance plus petite, elle est plus grande ; l'objet et l'image sont réciproques l'un de l'autre.

On réalise, comme au paragraphe 14, un objet virtuel ; on fait varier sa position et, en regardant dans le miroir pour voir son image virtuelle, on peut observer les phénomènes que nous venons de décrire.

19. CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE. — Une construction géométrique analogue à celle que nous avons indiquée plus haut pér-

il) Nous pouvons faire une remarque analogue pour les deux au 1res cas du miroir convexe. On peut, en effet, déduire sans nouveaux calculs le l*r, le 2»* et le 3** cas du miroir convexe respectivement du 3m#, du 2"- et du 1" cas du miroir concave; il suffit pour cela de considérer la réflexion comme s'opérant sur la face convexe au lieu de se produire sur la face concave, de façon que si l'objet ou l'image est réel dans le cas du miroir concave, il est virtuel dans le cas du miroir convexe et réciproquement. On obtient alors immédiatement la formule qui convient au miroir convexe, en changeant dans la formule du miroir concave p en — p„ p' en — p'«, ou inversement, et ( en — fK.