CHAPITRE II

met d'obtenir aisément l'image d'un point ou d'une dimension linéaire donnée d'un objet.

11 faut se rappeler pour faire cette construction que tout rayon incident parallèle à un axe donne naissance à un rayon réflichi

dont le prolongement passe par le foyer principal de cet axe.

La figure 85 , qui est relative au premier cas, montre suffisamment comment cette construction doit être faite. Comme pour le miroir concave, elle permet de retrouver facilement les deux formules fondamentales ou de faire la discussion de la position et de la grandeur de l'image.

20. FORMULE GÉNÉRALE DES MIROIRS SPHÉRIQUES. — Nous venons de trouver, pour la relation qui existe entre les distances de l'objet et de son image à un miroir spbérique convexe, les trois formules suivantes, suivant que l'objet est réel ou virtuel, et suivant les limites entre lesquelles varie la position de l'objet :

Objet réel.

Objet virtuel en deçà du plan focal

Objet virtuel au delà du plan focal

Pi pi

Avec la convention, faite plus haut pour les miroirs concaves, de représenter toujours par p ou p' les distances de l'objet et de l'image et de considérer p ou p' comme positif, si l'objet ou l'image est en avant du miroir (objet ou image réel) et comme négatif si l'objet ou l'image est en arrière du miroir (objet ou

image virtuel), les trois formules prennent alors la même forme :

Convenons maintenant de représenter, dans le cas du miroir

convexe, comme dans le cas du miroir concave, par R le rayon

de courbure et par f la distance focale (= — ), en considérant

ces quantités comme positives si le centre de courbure est en avant du miroir par rapport à la direction do la lumière incidente (miroir concave), et comme négatives si le centre de courbure est en arrière du miroir (miroir convexe). Nous devons alors dans la formule précédente poser Rt = — R ou /i = — /*, et cette formule devient identique à la formule du miroir concave :

Ainsi une seule formule convient , quelle que soit la forme du miroir sphérique et quelle que soit la position de l'objet, grâce aux conventions de signes faites plus haut (*).

(1) Nous recommandons aux personnes qui veulent se servir de cette formule générale de remplacer les quantités qu'elles savent être négatives par une quantité positive précédée du signe — , pour faciliter la discussion.

Supposons par exemple qu'on pose cette question : « Dans quel cas un miroir convexe peut-il donner une image réelle ? » Puisque le miroir est

11 1 convexe f est négatif : remplaçons f par — ft ; *l vient 1 == t'

Puisque l'image est réelle, p' est positif et nous voyons tout de suite alors,

d'après la formule, que p doit être négatif : l'objet doit être virtuel. Rera-

plaçons alors p par— p, ; il vient — = — -\ — . , formule dans laquelle toutes

les quantités sont positives, et qui montre que p( est plus petit que /*« : Fobjet virtuel doit être placé entre le miroir et le plan focal.

La relation :

convient aussi dans tous les cas. On peut s'assurer que ce que nous avons dit à propos des miroirs concaves s'applique aussi

«' aux miroirs convexes : quand le rapport — est négatif, l'image

est droite, quand il est positif, l'image est renversée par rapport à l'objet.

Ces deux formules générales montrent bien la réciprocité que existe, dans tous les cas, entre l'image et l'objet.

Pour terminer faisons remarquer que le miroir plan peut être considéré comme un miroir sphérique de rayon infini. En faisant R = oo , ce qui entraine f = oo dans la formule générale , il vient :

p = — »' d'où : — = — i

L'image est dans une position symétrique de l'objet par rapport au miroir plan, elle est droite et égale à l'objet. C'est bien ce qui a été trouvé directement.

21. FORMULE DE NEWTON. — Désignons par <p la distance d'un point lumineux au foyer situé sur son axe et par <p' la distance à ce même foyer de l'image de ce point donnée par un miroir sphérique convexe ou concave. Convenons de regarder 9 et j comme des quantités positives si le point-objet ou l'image sont en avant du foyer, par rapport à la direction de la lumière incidente, et comme des quantités négatives si l'objet ou l'image sont en arrière du foyer.

Quels que soient les signes des quantités désignées au paragraphe précédent par p, p' et /*, on a les relations :

En portant ces valeurs dans la relation générale - + - = -,

on obtient la relation tout aussi générale :

Cette relation très simple est due à Newton. Elle montre immédiatement que les distances <p et <p' d'un objet et de son image au plan focal sont toujours de môme signe, que le miroir soit convexe ou concave.

i p' Avec ces notations la formule - = - devient

(3) -o-ïTf

d'où Ton tire en vertu de la relation (2) :

Les relations si simples (2) et (4) permettent aussi bien que les formules du paragraphe précédent de faire la discussion de la position et de la grandeur de l'image.

1. TRANSMISSION DE LA LUMIÈRE PAR DIFFUSION fT PAR RÉ- FRACTION. — Quand un rayon lumineux tombe à la surface d'un

corps transparent, il y a le plus souvent passage de la lumière à travers ce corps.

Si la surface de séparation est mate, la lumière est diffusée dans toutes les directions à travers celui-ci ; mais si la surface est polie, la lumière traverse le corps transparent sous forme d'un rayon IS'(fig:86) dont la position est déterminée par la direction du rayon incident SI et par celle de la surface XX'. Ce rayon n'est pas, en général, dans le prolongement du rayon incident : l'ensemble SIR des deux rayons forme une ligne brisée, de là le nom de réfraction donné au

Fie. 36.

REFRACTION 295

phénomène (de refringere, briser) et le nom de rayon réfracté donné au rayon IS' qui se propage dans le second milieu. On appelle angle de réfraction l'angle S'IN1 que forme le rayon réfracté IS' avec la normale IN' à la surface menée par le point d'incidence I.

Du reste, le phénomène de réflexion accompagne toujours le phénomène do réfraction : une portion de la lumière incidente se trouve sur le rayon réfléchi, l'autre sur le rayon réfracté.

Nous nous occuperons seulement ici de la direction du rayon réfracté.

2. LOIS GÉOMÉTRIQUES DE LA RÉFRACTION. — Les lois géométriques de la réfraction ont été données par Descartes (*) ; en voici l'énoncé :

1° Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence, les rayons incidents et réfractés étant de part et d'autre de la normale .

On voit que le plan d'incidence contient les trois rayons incident, réfléchi et réfracté.

2° Quel que soit I angle d incidence , il existe un rapport constant entre le sinus de cet angle et le sinus de l'angle de

Ce rapport constant a reçu le nom d indice de réfraction du second milieu transparent par rapport au premier milieu traversé par la lumière. Ainsi, quand la lumière passe de l'air dans l'eau, le rapport constant qui existe entre le sinus de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction est égal

a — : l'indice de réfraction de l'eau par rapport à l'air est — . t> o

En appelant % et r les angles d'incidence et de réfraction et n

l'indice de réfraction, cette loi s'écrit :

x ' sm r

(1) René Descartes est né à La Haye, en Touraine, en 1596, et mort en Buède en 1650.

Discussion. — Quand l'angle d'incidence est faible l'angle de réfraction est faible aussi, d'après la loi précédente; il en résulte que le rapport des sinus diffère très peu du rapport des angles eux-mêmes ; de là cette loi énoncée par Kepler' avant Descartes, et qui n'est rigoureuse que pour des angles infiniment petits :

Quand l'angle d'incidence est faible, il existe un rapport constant entre f angle d'incidence et ï angle de réfraction.

D'après la loi de Descartes, on voit que l'angle de réfraction augmente toujours avec l'angle d'incidence.

Quand l'angle d'incidence est nul, l'angle de réfraction est nul aussi : un rayon incident normal à la surface de séparation des deux milieux traverse celle-ci sans subir de déviation; c'est le seul cas où il en soit ainsi.

Les deux angles d'incidence et de réfraction croissent donc

ensemble à partir de la valeur zéro. Si l'indice de réfraction est

supérieur à l'unité (n>l), l'angle de réfraction croît moins vite

que l'angle d'incidence : le rayon se rapproche de la normale en

traversant la surface de séparation des deux milieux. Ainsi quand

un rayon lumineux passe de l'air dans l'eau, l'indice de réfrac-

tion étant ici égal à —, le rayon se rapproche de la normale en

se réfractant.

Dans ce cas, l'angle d'incidence ipeut croître jusqu'à un angle droit sans que la formule (1) cesse de donner une valeur réelle

pour l'angle de réfraction. Pour l'incidence rasante { i = -^ J ,

l'angle de réfraction prend la plus grande valeur l qu'il peut atteindre; d'après la formule (1), cette valeur est fournie par la relation :

(2) -r— r=n ou sinl=-

w sin/ n

Si l'indice de réfraction est plus petit que l'unité (n < 1), l'angle de réfraction croit plus vite que l'angle d'incidence : le rayon lumineux s'écarte de la normale eu traversant la surface

de séparation des deux milieux. Ainsi, quand un rayon lumineux

passe de l'eau dans l'air, l'indice de réfraction étant ici égal

à 7, le rayon s'écarte de la normale en se réfractant.

Dans ce cas, l'angle d'incidence i ne peut pas croître jusqu'à

un angle droit sans que la formule (1) cesse de donner pour r une

valeur réelle. En effet, pour une valeur l de l'angle d'incidence

telle que son sinus soit^Sgal à l'indice de réfraction (sin / = n),

on voit que l'angle de réfraction est égal à - ; c'est-à-dire que,

pour la valeur l de l'angle d'incidence le rayon réfracté fait un angle droit avec la normale, est tangent à la surface de séparation. Il est clair que l'angle de réfraction ne peut pas prendre une valeur plus grande, et la formule (1) nous montre, du reste, que pour les valeurs de i supérieures à {, l'angle r devient imaginaire, puisque son sinus est plus grand que l'unité. Aussi appellet-on cette valeur l de l'angle d'incidence I angle limite*

Réflexion totale. — Quel est donc le phénomène qui se produit quand l'angle d'incidence devient supérieur à l'angle limite ?

L'expérience prouve que, dans ce cas, toute la lumière incidente se trouve réfléchie à la surface de séparation des deux milieux. Ainsi, quand un rayon lumineux, qui a traversé l'eau, rencontre la surface de ce liquide en faisant avec la normale un angle supérieur à l'angle limite, égal ici à 48° 35', la lumière ne pénètre pas dans l'air, elle est entièrement réfléchie à Tintérieur de l'eau. Ce phénomène a reçu le nom de réflexion totale.

Du reste, ce n'est pas brusquement que la réflexion totale est acquise. Quand l'angle d'incidence est inférieur à l'angle limite, il y a, outre le rayon réfracté, un rayon réfléchi sur lequel se trouve une portion de la lumière incidente. Ce rayon réfléchi a une intensité relative assez faible, tant que l'angle d'incidence est loin de la valeur limite ; mais dans le voisinage de cette valeur, son intensité croit rapidement pour devenir égale à celle du rayon incident à l'angle limite.

3. CONSTRUCTION GÉOMÉTRIQUE.— Supposons qu'on donne la sur Ton» H 20

face de séparation de deux milieux transparents, XX'(fig. 87 ou 38), l'indice de réfraction n, et la position SI du rayon incident. Il est

facile d'obtenir, par une construction géométrique, basée sur la loi de Descartes, la position du rayon réfracté.

Menons la normale N1N' au point d'incidence I et prenons comme plan de figure le plan d'incidence SIN; ce plan contient le rayon réfracté.

Pour avoir sa position, traçons de I pour centre, •deux circonférences GC et C'C ayant des rayons respectivement proportionnels à l'indice de réfraction donné n, et à l'unité. Prolongeons le rayon incident SI jusqu'à sa rencontre en A avec la circonférence CC ; menons par A la tangente AT à cette circonférence jusqu'à sa rencontre en T avec le plan tangent TT mené en I à la surface de séparation XIX' ; par le point T menons la (tangente TA' à la deuxième circonférence C'C'; enfin, joignons le point de contact A' de cette tangente au point I : la ligne droite IA' est la position du rayon réfracté.

En effet, les doux triangles rectangles ATI et ATI fournissent •les relations

IA' = IT sin ITA' IA = IT sin ITA

*et en divisant membre à membre

IA1 sin ITA' IA ""sin ITA