FIG
REFRACTION
IA Or, -t-t-, = n par construction, et, d'autre part, les angles IA
ATI et ATI sont respectivement égaux aux angles SIN et AIN'
comme ayant leurs côtés perpendiculaires ; on a donc^:
sin SIN
sin AIN
L'angle SIN étant l'angle d'incidence, l'angle A'PN est l'angle de réfraction.
Si l'indice de réfraction est plus grand que l'unité, la circonférence CG est d'un rayon plus grand que C'C'fflg. 37); le point T, qui est toujours extérieur à CC, est a fortiori extérieur à C'C et l'on peut toujours par ce point T mener une tangente à la circonférence C'C : quel que soit l'angle d'incidence, il existe un rayon réfracté. Mais, si l'indice de réfraction est plus petit que l'unité , la circonférence CC est d'un rayon moins grand que CG. Or, la construction n'est
possible que si le point T n'est pas à l'intérieur de C'C'. On voit aisément sur la figure 38, que si le point T est sur la circonférence C'C', le rayon réfracté est. rasant, le rayon incident fait avec la normale l'angle limite. Si l'angle d'incidence diminue à partir de cette position, le point T tombe en dehors de C'C, la construction est possible, il y a un rayon réfracté ; si, au contraire, à partir de cette position, l'angle d'incidence augmente, le point T tombe à l'intérieur de la circonférence C'C, la con-
fie. à&J
slruction n'est pas possiblo , il n'y a plus de rayon réfracté : on est dans le cas de la réflexion totale.
On voit que cette construction géométrique permet de faire aisément la discussion de la loi de Descartes.
4. DÉMONSTRATION EXPÉRIMENTALE. — Nous avons énoncé la loi de la réfraction et nous en avons tiré les premières conséquences pour mieux la faire comprendre ; il est temps maintenant d'en donner la démonstration. C'est l'expérience qui doit nous la fournir.
On peut établir facilement, dans un cours, la loi de la réfraction, au moyen de l'appareil que nous avons déjà décrit à propos de la réflexion (Chap. II, § 2); il faut seulement, dans le cas actuel, remplacer le miroir qui est au centre du cercle gradué par une cuve de verre C (flg. 39) ayant la forme d'un cylindre aplati dont les bases sont placées parallèlement au cercle gradué GG et dont Taxe passe par le centre 0 de ce cercle.
Après avoir rendu parfaitement verticale la ligne 0° — 180° de la graduation, on verse dans la cuve, par une petite ouverture qu'elle possède à sa partie supérieure, un liquide, de l'eau par exemple ; la quantité de ce liquide doit être telle que sa surface libre LL passe par le centre 0.
On opère alors comme dans le cas do la réflexion : on dirige un étroit faisceau de rayons lumineux, provenant du Soleil ou d'une autre source intense, parallèlement à l'alidade A; celui-ci traverse sans déviation la lame cylindrique qui forme le pourtour de la cuve, car les deux surfaces de séparation de l'air et du verre sont normales aux rayons incidents; il tombe ensuite à la surface du liquide en un point situé sur l'axe perpendiculaire au cercle gradué. Or, on constate qu'il est dévié do sa direction en passant de l'air dans le liquide (*), et qu'on peut le recevoir sur le centre de l'écran E que porte la seconde alidade D, en la
(1) En ajoutant à l'eau de ta cuve un peu de sulfate de quinine dissous dans l'acide sulfurique, le liquide devient fluorescent sur le trajet du faisceau réfracté et en rend ainsi visible la direction. Un peu de poussière flottant dans l'air permet aussi de voir la direction du faisceau incident ; le changement de direction qu'éprouve un rayon en passant de l'air dans le liquide est rendu ainsi des plus apparents.
REFRACTION
plaçant convenablement. Puisque le centre de cet écran se meut dans le plan d'incidence, le rayon formant Taxe du faisceau réfracté se trouve dans ce plan, ce qui est la démonstration de la première loi.
Fie 39.
La ligne 0° — 180° étant normale à la surface du liquide, la lecture de la position des alidades donne alors immédiatement l'angle d'incidence et l'angle de réfraction. En prenant les sinus de ces angles et leur rapport, on constate que ce rapport reste
le même quelle que soit la valeur de l'angle d'incidence; ce qui est la démonstration de la deuxième loi (*).
Si l'on opère comme nous venons de l'indiquer, les rayons lumineux passent de l'air dans l'eau, et, en traversant la surface de séparation, les rayons se rapprochent de la normale. Si Ton dispose l'alidade À comme le représente la figure 40, on peut faire passer les rayons lumineux de l'eau dans l'air. On constate alors
(2) Pour trouver le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction, on peut se dispenser d'avoir recours à une table de sinus, grâce à la disposition suivante: une règle graduée horizontale RR; (ûg. 89) peut être déplacée parallèlement à elle-même, le zéro K de sa graduation restant toujours sur la ligne verticale VOV passant par le centre 0 du cercle gradué. Pour obtenir une quantité proportionnelle au sinus de l'angle d'incidence, on soulève la règle jusqu'à ce que son bord supérieur rencontre l'extrémité A' de l'alidade AA' en le plaçant dans la position A'K'. La ligne médiane A'O de cette alidade, le bord supérieur K'A' delà règle et la verticale OK' forment alors un triangle rectangle dans lequel on a :
K'A' = OA' sin i
en désignant par i l'angle d'incidence qui est égal à l'angle K'OA', comme opposé par le sommet.
Après avoir lu la longneur K'A', on déplace la règle horizontale RR' jusqu'à ce quo son bord supérieur rencontre l'extrémité de l'alidade D qui correspond au rayon réfracté. Le triangle OKD donne alors la relation:
KD = OD sin r
en appelant r l'angle de réfraction KOD. En divisant membre à membre ces deux égalités, il vient :
K'A1 __ OA' sin i KD "~ OD sin r
Or, la longueur des deux alidades étant la même, d'après la construction
OA' de l'instrument, on a: ^rfr= 1» et l'égalité ci-dessus devient:
K'A' sin i KD ~sinr
le rapport des deux sinus est égal au rapport des deux longueurs connues K'A' et KD.
que l'alidade D, étant disposée pour recevoir le faisceau réfracté, est plus écartée de la normale que l'alidade A.
FlG. 4u.
Avec cette disposition, Ton trouve aisément la position du faisceau incident qui donne un faisceau réfracté rasant, c'est-à-dire qui correspond à l'angle limite. Pour une incidence plus grande, il y a réflexion totale , on ne trouve plus de rayon réfracté ; mais, en disposant l'alidade D symétriquement par rapport à l'alidade A, on reçoit le faisceau réfléchi qui présenterait la même intensité que le faisceau incident, s'il n'y avait pas une faible perte de lumière due à l'absorption et aux réflexions qui se produisent aux surfaces de séparation de l'air et du verre, et du verre et de l'eau.
Cet appareil ne permet d'établir que d'une façon un peu grossière les lois de la réfraction. En traitant des mesures optiques (Chap. VIII) nous ferons une vérification très précise de ces lois. Nous allons voir, du reste, que les nombreuses conséquences qu'on peut déduire des lois de la réfraction sont toujours en parfait accord avec le résultat des expériences.
5. LOI DES INDICES DE RÉFRACTION. — L'appareil précédent permet d'obtenir l'indice de réfraction d'un liquide par rapport à l'air, comme nous venons de le montrer. On conçoit, du reste,
qu'en remplaçant le demi-cylindre de liquide par un demicylindre de verre ou de toute autre substance solide, on puisse déterminer l'indice de réfraction du verre ou de cette autre substance par rapport à l'air. On conçoit aussi qu'on puisse, en noyant un demi-cylindre d'une substance dans un cylindre concentrique d une autre substance transparente, prendre l'indice de réfraction de la première par rapport à la seconde. En réalité, ce n'est pas ainsi qu'on a opéré pour mesurer les indices de réfraction; nous verrons, en effet, plus loin, d'autres méthodes plus commodes et, en général, plus précises pour obtenir celte grandeur. Mais il est utile de donner tout de suite quelques résultats importants qu'on peut déduire de la mesure des indices de réfraction, avant de décrire ces méthodes qui trouveront mieux leur place plus loin.
Quand un rayon lumineux passe, sous une incidence oblique, du vide aune autre substance solide, liquide ou gazeuse, le rayon se rapproche toujours de la normale ; autrement dit, l'indice de réfraction est plus grand que l'unité. On appelle indice de réfraction absolu d'une substance l'indice de réfraction dans le passage de la lumière du vide à cette substance.
Cet indice de réfraction absolu, toujours supérieur à l'unité, en est très voisin -pour les gaz: ainèi, l'indice absolu de l'air sec à 0° sous la pression de 76 cent, de mercure est égal à 1,000294. Pour les liquides et les solides il est plus considérable : ainsi, l'indice absolu de l'eau est égal à 1,33 et celui du quartz à 1,55. Un corps est dit plus réfringent qu'un autre quand son indice absolu est plus considérable.
En divisant l'indice de réfraction absolu b d'une substance B par
l'indice absolu a de la substance A, le quotient — est l'indice de
réfraction n dans le passage de la lumière de la substance A à la substance B (i) :
(1) Nous avons appelé n l'indice de réfraction de A par rapport à B; on lui donne quelquefois, pour mieux le distinguer de l'indice de réfraction absolu, le nom d'indice de refraction relatif de A par rapport à B.
On a donc, en appelant a et p les angles d'incidence et de réfraction dans le passage de la lumière de A à B :
sin a. b
sin p a
d'où :
(2) a sin x = b sin p
L'indice de réfraction absolu de l'air a étant très voisin de l'unité, on voit, d'après cette loi, que l'indice de réfraction n d'une substance solide ou liquide par rapporta l'air est très voisin de son indice de réfraction absolu b.
On peut tirer de cette loi une conséquence qui est, en quelque, sorte, la généralisation de la loi elle-même. Soient n et n! les in dices de réfraction de deux substances B et B' par rapport à une même substance A; désignons par b, V et a les indices de réfraction absolus des trois substances B, B' et A; la relation (i) donne :
(3) n=- et »' = -
en divisant membre à membre ces deux relations, on obtient : U) *=*
or, la formule (1) nous montre que p est l'indice de réfraction N de la substance B par rapport à la substance B'; on a donc :
On obtient T indice de réfraction dune substance B par rapport à une substance B' en divisant findice de réfraction de B par rapport à une substance quelconque A par T indice de réfraction de B1 par rapport à cette même substance A.
306 LIVHE V. — CHAPITRE III
La relation (1) nous montre encore que l'indice de réfraction- d'une substance A par rapport à une autre substance B
est l'inverse de l'indice de réfraction— de B par rapport à A.
Il résulte de là que dans le cas de la réfraction, comme dans celui de la réflexion, la marche des rayons lumineux est réciproque : si (fig. 36) un rayon lumineux SI se réfracte suivant IS', réciproquement, quand un rayon lumineux se dirige suivant S'I, il se réfracte suivant IS. Soient, en effet, a l'angle d'incidence SIN et p l'angle du réfraction S'IN' ; on a, en désignant par a et b les indices de réfraction absolus du milieu A et du milieu B :
sin a b
sin p a
Supposons maintenant que la lumière incidente suive la direction S'I, et donne un rayon réfracté faisant un angle a avec la normale ; on a :
De ces deux relations, on tire sin a' = sin a, d'où a = a', puisque les angles a et a sont moindres qu'un angle droit : le rayon réfracté dans le second cas prend la direction IS du rayon incident du premier cas.
11 est inutile d'insister sur la manière dont on peut vérifier directement cette réciprocité de la marche des rayons lumineux à l'aide de l'appareil qui nous a servi à établir les lois de la réfraction.
6. RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE A TRAVERS UNE SÉRIE DE MI- LIEUX SÉPARÉS PAR DES PLANS PARALLÈLES. — Supposons qu'un rayon lumineux traverse une série de milieux transparents A, B, C, D,.. . (flg. 41), d'indices absolus a, b, c, df. •• dont les surfaces de séparation sont des plans parallèles.
REFRACTION
Les normales M4 It Nlt Mj T$ N$, M3 I3 N3,.. . aux divers points d'incidence I„ I$, I3. • . étant des droites parallèles, les diverses parties SIf, IfIs, ItI3,.. .
du rayon lumineux sont dans un même plan. En outre, les angles que forme dans un même milieu un rayon avec la normale à son point d'entrée et avec la normale à son point de sortie ont la même valeur, comme angles alternes-internes (Nf Ii h = Ii It M$, NaIaI3=IaI3M3,etc).
Désignons par a, p, y, 5, s,... la valeur de ces angles. La loi de la réfraction donne la relation (§ 5, for m. 2) :
Fie. 41.
a sin a = b sin p = c sin y = d sin B =c e sin e = . . .
On voit par là que si deux des milieux traversés pnt même indice, les portions du rayon lumineux qui traversent ces deux milieux sont parallèles entre elles ; car, si Ton a par exemple a = e, la relation ci-dessus donne a = e.
En particulier, si la lumière traverse une lame transparente à faces planes et parallèles baignée par l'air des deux côtés, la portion du rayon qui entre dans la lame et celle qui en sort sont parallèles (flg. 42). Eh traversant la lame, le rayon est déplacé parallèlement à lui-même d'une quantité inférieure a
Fie. 4i.
l'épaisseur de la lame, d'autant plus grande que l'incidence est
plus oblique et nulle pour l'incidence normale.
On observe facilement ce phénomène en plaçant entre un objet linéaire et l'œil une lame de verre épaisse à faces planes et parallèles, de façon à voir une portion de l'objet à travers la lame et l'autre directement. En disposant celle-ci normalement aux rayons venant do l'objet, la partie vue à travers la lame est dans le prolongement de celle qui est vue directement ; mais en inclinant la lame sur la direction des rayons,
tout en la laissant parallèle à l'objet linéaire, la partie vue à
travers la lame n'est plus dans le prolongement de la partie vue directement.
7. PRISME. — On désigne sous le nom de prisme, en optique, un milieu transparent limité par deux plans qui se coupent. On appelle arête et angle du prisme, l'arête et l'angle du dièdre formé par les deux faces.
En général, un prisme est limité par une troisième face plane parallèle à l'arête, désignée sous le nom de base et par deux autres plans perpendiculaires à l'arête (fig. 43). Dans ce cas, ce corps transparent affecte la forme géométrique d'un prisme droit à section triangulaire, d'où le nom donné à cette pièce d'optique; mais, le plus souvent, on n'utilise que la réfraction à travers deux des faces du prisme, d'où la définition donnée plus haut.
Fie. 43.
Le prisme est employé pour dévier les rayons lumineux de leur marche. Nous allons voir comment se produit cette déviation, et nous allons en déterminer la valeur en nous bornant au cas simple où lo rayon incident SI se trouve dans up plan perpendiculaire à l'arête {section principale) .
Prenons cette section principale comme plan de figure ; soient AB et AB' (fig. 44) la trace des deux faces du prisme. On voit immédiatement qu'il résulte de la première loi de la réfraction que le rayon réfracté à la première face II' et le rayon émergent I'S' se 'trouvent dans la section principale.
Dans la figure 44, on a supposé que la substance qui forme le prisme est plus réfringente que le milieu extérieur, et Ton voit que le rayon est dévié vers la base du prisme. Nous montrerons plus loin qu'il en est toujours ainsi dans ce cas.
En vertu de la réciprocité de la marche des rayons lumineux, un rayon qui tomberait sur la face AB' suivant ST se réfracterail suivant II et IS.
Menons en I et en Y les normales NIO et NTO aux faces AB et AB' ; désignons par i et i les angles extérieurs S\N et STN', par r et r' les angles intérieurs OU' et OI'I. Nous considérerons la quantité i ou la quantité t" comme positive si le rayon SI ou ST est au-dessous de la normale correspondante NI ou NT (en supposant l'arête du prisme en haut, la base en bas) et comme négative si le rayon est au-dessus de la normale ; au contraire, nous considérerons la quantité r ou la quantité r' comme positive si le rayon intérieur i 1' est au-dessus de la normale 10 ou I'O, comme négative dans le cas inverse ; de cette façon, i et r ou bien t' et r1 sont positifs ou négatifs en même temps.
Ces définitions données, la loi de Descartes fournit les relations suivantes :
(1) sin i= n sin r
(2) sin ï = n sin r*
en désignant par n l'indice de réfraction de la substance qui forme le prisme par rapport au milieu qui l'entoure, l'air dans le cas ordinaire .
Comme le quadrilatère 01 AI' a les angles opposés OIA et 01' A droits, les angles IA1' et 101 sont supplémentaires ; il en résulte que l'angle KOI', extérieur au quadrilatère, est égal à l'angle du prisme IAI'. Or, le triangle OU' fournit la relation:
Oir + OI'l = KOr
ou, en désignant par a la valeur de l'angle du prisme (8) r + r' = a
l'angle du prisme est égal à la somme des angles intérieurs.
Prolongeons les rayons extérieurs SI et ST ; soit D le point de rencontre de ces prolongements IDL et I'D ; l'angle LDS' que forme le rayon incident SI avec le rayon émergeant SI1 est appelé la déviation : c'est l'angle dont tourne le rayon lumineux en traversant le prisme. Représentons par d sa valeur ; considérons cette quantité comme positive si, comme dans le cas de la figure, le rayon en traversant le prisme est rejeté vers la base de celui-ci, et comme négative dans le cas inverse.
Le triangle DU' fournit la relation :
LDI' = DU' + DU or:
DU = DIO — HO = i — r et
Dl'I = DIO — H'O = i' — f D'où:
REFRACTION 311
et, en vertu de la relation (3)
II est aisé de voir que, quels que soient lessignes de t, i', r et f les formules (1), (2), (3) et (4) sont générales; nous les appellerons les formules du prisme.
Fie. u
Dans le cas où l'angle a du prisme est petit et où le rayon tombe sur le prisme dans le voisinage de la normale, les angles t, r,t* et i! sont tous petits, d'après les formules précédentes. Les formules (1) et (2) peuvent alors être remplacées par i = nr et { = nr'. On en tire :
et pour la déviation dy d'après (4) :
La déviation est, dans ce cas, indépendante de la valeur du petit angle d'incidence t.
8. DISCUSSION DES FORMULES OU PRISME. - MWIMUM DE DÉVIATION. — Dans les formules (1), (2), (3) et (4) du paragraphe précédent nous pouvons considérer les angles r, i* ï et d comme des fonctions de l'angle d'incidence t.
L'angle d'émergence i varie toujours en sens inverse de l'angle d'incidence t. En effet, quand i augmente, r augmente aussi d'après la relation (1) ; par conséquent, d'après la relation (3), r' diminue et, d'après (2), ï diminue aussi.
Puisque ï diminue quand t augmente et vice versâ, on ne voit pas immédiatement comment varie la déviation d qui est égale à i -f- i' — a, mais les considérations suivantes vont nous le montrer.
Remarquons d'abord qu'en prenant comme valeur de l'angle d'incidence, dans un second cas, la valeur de l'angle d'émergence dans le premier, l'angle d'émergence du second cas devient égal à l'angle d'incidence du premier, d'après la symétrie des formules (1), (2) et (3); du reste, la formule (4) montre que la déviation est la même dans les deux cas. Rien que ce fait, joint à celui que i et i varient en sens inverse, suffit à montrer que la déviation doit passer par un maximum ou par un minimum, pour une valeur I de l'angle d'incidence telle que les angles d'émergence et d'incidence soient égaux, puisqu'à chaque valeur de l'angle d'incidence inférieure à I correspond une autre valeur de l'angle d'incidence (égale à t') supérieure à I pour laquelle la déviation est la même. Comme pour la valeur I de l'angle d'incidence les angles intérieurs sont égaux entre eux, le triangle Air (flg. 45) est isocèle et le rayon intérieur II' est perpendiculaire au plan bissecteur AC de l'angle du prisme (').
(1) L'existence d'un maximum ou d'un minimum de déviation peut être démontrée de la façon la plus celte, en appliquant les règles connues pour la recherche des maxima.
Cherchons la dérivée de d par rapport à t. En représentant par (d)f celle
dérivée et par (<'),- la dérivée de V par rapport à i, on a d'après la relation 4 du paragraphe 7 :
Reste à savoir si , pour cette valeur I de l'angle d'incidence , la déviation passe par un maximum ou par un minimum. La marche générale, qui consisterait à chercher le signe de la dérivée seconde de d par rapport à i nécessite des calculs très laborieux. Comme la déviation n'est susceptible que d'une seule valeur maxima ou minima (voir la note 1), on arrive plus aisément au résultat, en cherchant si la déviation qui correspond au cas du maxi-
FlG. 45.
Pour trouver la valeur i qui ' correspond au maximum ou au minimum, écrivons que celte dérivée est nulle :
En égalant les dérivées des deux membres des égalités (1), (2) et (3) du paragraphe précédent, il vient :
cos i = « (r^cos r (f)j cos i' = n (r'), cos r'
Et en éliminant les dérivées («'),• (r),- et (r'),- entre ces quatre équations, on obtient la relation :
Tous II
cos r cosr/ cos i cos tf
*<' 814 LIVRE V. — CHAPITFtE III
|£ mum ou du minimum est plus grande ou plus petite qu'une
M; . déviation correspondant à une autre incidence.
££-, Choisissons pour celle-ci, l'incidence normale à la première
■fi. face i = 0 ; pour cette valeur on a , d'après les formules du prisme :
r = 0, i" = a et d = t — a d'où : f = a -f d
Telle est la condition pour quo d passe par une valeur maxima ou minima. En remplaçant cos r par
cos* i
et de mémo, en remplaçant cos r' par - 4 / n* — 1 + cos* »', il vient pour
l'équation de condition :
y cos» < T y cos* i* ^
d'où, en élevant au carré et réduisant :
(7) cos*i = cos*i'
De là les solutions cos i = ± cos f . La solution cos i = — cos f doit être rejetée, puisque, ? et i étant compris entre — -^et +"5"»leur cosinus est positif; reste la solution :
(8) cos i = cos i' d'où : i = ± i'
Or, la solution i — — i' doit Cire aussi rejetée car, en vertu des formules du prisme (i) et (2), elle entraînerait r = — r* d'où r + r' = 0 et Ton sa il que r ~{-r' = a.
Il ne reste donc que la solution i = i't qui entraîne r = r* = - , d'où
sin i =■ sin i' = n sin - ; la valeur de i qui satisfait à cette dernière relation est la seule pour laquelle la déviation passe par un minimum ou on maximum.
et, par conséquent :
(6) sin (a + d) = n sin a
D'autre part, soit D la valeur de la déviation maxima ou minima qui a lieu pour l'incidence I ; en appelant R la valeur correspondante de l'angle intérieur, on a :
2R = a et D=21 — a d'où: I=ii^
et, par conséquent :
(7) sin —1— = n sin -
' En égalant les valeurs de n tirées des relations (6) et (7), il vient:
sin — 3 — . , . . sin — L — cos —± — 2 sin(a-f-d) 2 2
.a sin a . a a
sin - sin - cos -
d'où:
sin — s — cos — 1— 2 2
sin —y- cos -
Remarquons maintenent que l'angle a -\- d étant égal à i est inférieur à 90* ; on a donc a fortiori ~*T < 90° en valeur ab-
solue. De même, comme —3— =If cet angle a une va-
KR.Ï*
£S»';' 3i6 LIVRE V. — CHAPITRE III
fe'v
>|\ y leur absolue inférieure à 90°. Enfla comme a est plus petit que
tô
fcfcv; if..--
!»>;; 18O0, - est aussi toujours plus petit que 90°.
Distinguons maintenant deux cas.
fôïy , 1° n> 1. — Dans ce cas, qui est le cas habituel, la dévia-
'$■;/. lion d correspondant à l'incidence normale est positive ; on a
£r donc :
cos — k —
5 nv z z a
£>;„, cos 5
et, par conséquent, d'après (8) :
fy- sin -1— <sm — L—
ou
— k — < — k — ou encore D < a
La déviatoin D, étant plus petite que la déviation correspondant à l'incidence normale, est un minimum.
Du reste, comme on a D = 2 (I — R) et que, dans le cas de n> 1, l'angle I est plus grand que l'angle R, la déviation minima est positive ; par conséquent, les déviations données par un prisme plus réfringent quo le milieu ambiant sont toujours positives.
2° n < 1 . — Ce serait le cas, par exemple, d'un prisme d'air plongé dans l'eau.
Or, dans ce cas, la déviation d correspondant à l'incidence normale étant négative, on a :
pr
Et, comme -^r— = - est positif et plus petit que 90% il eu résulte que Ton a :
cos-
a «os.
d'où, d'après (8;
sm — l — > sin — ^— ou D>a
La déviation D, étant plus grande que la déviation correspondant à l'incidence normale, est un maximum.
Du reste, comme on a D = 2 (I — R) et que dans le cas de n < 1, l'angle I est plus pelit que l'angle R, la déviation maxima D est négative ; par conséquent les déviations données par un prisme moins réfringent que le milieu ambiant sont toujours négatives.
9. CONDITIONS D'ÉMERGENCE. — Quand la substance qui forme le prisme est plus réfringente que le milieu ambiant, comme c'est le cas habituel, un rayon qui a pénétré par la première face peut tomber sur la seconde sous un angle supérieur à l'angle limite, subir la réflexion totale, et, par conséquent, ne pas sortir par cette face. Examinons les conditions que doit remplir le rayon pour sortir par la seconde face du prisme.
Menons par un point I de la face AB (fig. 46) la normale N1N, à cette face, et décrivons un cône de révolution ayant I pour sommet, NINt pour axe et GINt, égal à l'angle limite I, pour angle générateur. Tous les rayons qui entrent dans le prisme par le point I sont contenus à l'intérieur de ce cône après la première réfraction.
Abaissons, maintenant, du point I la perpendiculaire IP sur la seconde face AB', et décrivons un autre cône de révolution ayant I pour sommet, IP pour axe et H1P, égal encore à l'angle
limite I, pour angle générateur. Tous les rayons passant par le point I et qui tombent sur la face AB' sous un angle moindre que l'angle limite 6ont compris à l'intérieur de ce cône.
11 résulte de 1A que les rayons lumineux qui pénètrent dans le prisme par le point I et qui peuvent sortir par la face AB' sont, à l'intérieur du prisme, contenus dans la partie commune aux deux cônes que nous venons de considérer.
En particulier, ceux (Je ces rayons qui sont compris dans la section principale passant par 1, sont contenus dans l'angle GIH. Or, on a :
GIH = HIP — PIG = l — PIG
et
PIG = PIN, — GINt = a — l
en désignant par a l'angle du prisme égal à l'angle PIN4 des normales à ses faces.
On tire de là :
(i) * GIH = I— (a — I) = 2I— a
On voit que si l'angle a du prisjne est inférieur à 21, les deux cônes ont une partie commune : un certain nombre de rayons entrant par la face AB peuvent sortir par la face AB', Mais, si a est supérieur à 21, les cônes n'ont plus de parties communes: aucun des rayons entrant par la face AB ne peut sortir par la face AB' ; ils subissent tous sur cette face la réflexion totale el sortent, le plus souvent, par la base du prisme.
Ainsi, pour le verre placé au milieu de l'air, l'angle limite est égal environ à 43° ; dès que l'angle d'un prisme de verre est supérieur à 84°, le passage d'un rayon lumineux à travers les deux faces de ce prisme est impossible.
Considérons maintenant le ca6 où a est inférieur à 2J; menons le rayon extérieur Kl, qui donne naissance au rayon intérieur IH tombant sous l'angle limite sur la face AB1. Tous les rayons incidents passant par I et compris dans l'angle BIK, après
réfraction seront compris dans l'angle GIH et, par conséquent, pourront sortir par la face AB\ Tous les rayons tombant en I et compris dans l'angle Kl A, après réfraction seront compris dans l'angle HIGt et, par conséquent, subiront la réflexion totale sur la face AB1, s'ils rencontrent cette face.
Fie. 46.
Cherchons la valeur <p de l'angle BIK. On a :
cos <p = sin KIN = n sin HINt
Or
HINt = N,1P — HIP = a - 1
et, en remplaçant, on obtient :
(2) cos <p = n sin (a — I)
Cetie relation est exacte, du reste, comme on peut s'en assurer, que Kl soit situé dans l'angle BIN ou dans l'angle NIA. Discutons cette formule.
Pour un prisme d'angle nul (a=0), c'est-à-dire pour une lame de verre à faces parallèles , on a •. cos 9 = — n sin I = — 1 ; dfoù 9 = tu : tous les rayons tombant en I traversent les deux faces du prisme.
Mais dès qu'on a affaire à un véritable prisme, a n'étant pas nul, <p est inférieur à iu, et il existe toujours un angle KIA tel que les rayons compris dans cet angle ne peuvent pas traverser les deux faces du prisme ; cet angle KIA, du reste, étant d'autant plus petit que l'angle du prisme est plus aigu*
Pour a = I, on a cos 9 = 0, d'où <p = ^ : l'angle BIN contient tous les rayons qui peuvent traverser les deux faces du prisme.
Pour a < I l'angle <p est obtus ; pour a > I l'angle 9 est aigu et d'autant plus petit que a est plus grand. Enfin, pour a = 2/, cos <p = 0 d'où 7 = 1: pour cette valeur de a et pour des valeurs plus grandes, comme nous le savons déjà, aucun rayon ne peut traverser les deux faces du prisme.
Faisons remarquer, pour terminer cette discussion, que quelque petit que soit l'angle <p, il y a toujours un rayon traversant les deux faces du prisme qui donne une déviation minima. En effet, le rayon intérieur II', qui correspond à la déviation minima, étant perpendiculaire à la bissectrice AG de l'angle BAB', est bissecteur de l'angle PIN,, dont les côtés sont respectivement perpendiculaires à ceux de l'angle BAB'. Or, les angles PIG et NJH étant égaux entre eux, comme égaux tous les deux à a — I, il en résulte que le rayon II' est aussi bissecteur de l'angle G1H. Puisqu'il est toujours contenu dans cet angle, le rayon donnant le minimum de déviation traverse les deux faces du prisme, tant que a est inférieur à 21.
10. RÉFRACTION A TRAVERS UNE SURFACE SPHÉRIQUE. — Pour arriver à établir les propriétés des lentilles sphériques, qui jouent un grand rôle dans la construction des instruments d'optique, commençons par étudier la réfraction de la lumière à
travers la surface de séparation sphérique de deux milieux d'indices absolus différents nft et n^.
Soit A, (fig. 47) un point lumineux placé dans le milieu d'indice ftf, et soit 0 le centre de la sphère à laquelle appartient la sur-.
Fia. 47.
face de séparation PQ des deux milieux. Joignons le point At au point O; comme dans le cas de la réflexion à la surface d'un miroir sphérique, nous appellerons axe du point A, la droite A|OM : le rayon se dirigeant suivant cet axe traverse la surface PQ sans être dévié, puisqu'il tombe normalement à cette surface. Considérons maintenant un autre rayon AfI issu de At rencontrant en I la surface PQ. Prenons comme plan de figure le plan OAJ, qui est le plan d'incidence de AtI, puisque OIN, rayon de la sphère PQ, est la normale à la surface au point I. Le rayon réfracté IR est dans ce plan; dans le cas de la figure où la concavité de PQ est tournée vers At, et où Ton a supposé na>w1 le rayon réfracté IR ne rencontre pas Taxe; mais son prolongement coupe celui-ci en un certain point A^.
Comme pour la réflexion à la surface des miroirs sphériques, nous allons montrer que le point A2 est un point fixe, indépendant de l'angle IAtM que fait le rayon avec Taxe, pourvu que Tare MI soit vu du centre de courbure O sous un angle assez petit
pour qu'on puisse négliger son carré devant l'unité ; désignons par (o la valeur de cet angle MOI.
Pour faire cette démonstration, remarquons que l'angle AJO est l'angle d'incidence 9 et que l'angle A2IO, opposé à l'angle de réfraction RIN est égal à celui-ci; on a donc :
.. sin A|IO Wj
sinA9IO n%
D'autre part, les deux triangles AJO et As10 ont des aires res-
pectivement égales à — AJX 01 sin A4IO et— A^IXOI sinA^IO,
et> comme les aires de ces triangles sont proportionnelles à leurs bases At0 et A20y puisqu'ils ont même hauteur, on a la relation :
^AJXOIXsinAJO
• -AâIXOIXsinAaIO A*U
ou, en simplifiant et en remplaçant le rapport des sinus par la valeur fournie par la relation (1) :
/» AJ n? = A10
v ' AaI nt A^O
Or, on a dans le triangle AJO :
(4) 1Q? = ÂTO* + ÔP + 2 A fi X 01 cos ui
comme cos *> ne diffère de l'unité que d'une quantité [2 sin* — j
de Tordre de grandeur de »f, en négligeant cette quantité devant l'unité le second membre de la relation (4) devient :
V)* + 0? + 2 At0 X 01 = (At0 + 01)* = AjF
puisque 01 =» OM.
Au degré d'approximation indiqué ci-dessus nous . pouvons remplacer dans (3) AfI par AftM et, pour la même raison nous pouvons remplacer A2I par AtM ; il vient alors :
AjM n»=:A10 u AjM'rit A,0
Désignons maintenant, comme pour les miroirs, par pu p% et R les longueurs AtM, A^M et OM ; la relation (5) devient :
pa n, pa — K
d'après cette relation, on voit que, la quantité pà ne dépendant pas de la direction du rayon AftI, le point As est fixe : après leur réfraction, tous les rayons issus de A, et qui sont voisins de Taxe A4OM semblent venir du point A,. Ce point est une image virtuelle de At.
Nous pouvons mettre la relation (6) sous la forme suivante qui est plus symétrique :
U Pi P*~ R
En considérant, comme nous l'avons fait pour les miroirs sphériques, les différents cas qui peuvent se présenter suivant la position du point Af et suivant que la surface de séparation tourne sa convexité ou sa concavité du côté de la lumière incidente, nous établirions pour chaque cas, par des raisonnements calqués sur le précédent, une relation analogue à celle donnée par la formule 7 : le point lumineux réel ou virtuel donne toujours naissance à une image soit réelle soit virtuelle. j
Si nous convenons de désigner toujours par pt la distance du point-objet à la surface de séparation et par pSf celle du point- j
image et de regarder ces quantités comme positives, quand le point correspondant est en avant de la surface de séparation, par rap- S
port à la marche des rayons incidents, et comme négatives dans ]
le cas contraire, si nous convenons, en outre, de regarder R comme
une quantité positive si le centre de courbure est du côté où arrive la lumière et comme une quantité négative dans le cas inverse, nous trouverions que la formule (7) est applicable à tous les cas : cette formule est générale.
11. L'IMAGE EST SEMBLABLE A L'OBJET. — Dans le cas de la réfraction à travers» une surface sphérique, comme pour la réflexion a la surface d'un miroir sphérique, les images des divers points d'un plan, s'écartant peu d'un axo perpendiculaire à ce plan, sont situées dans un plan parallèle ; en outre, ces points forment une image semblable a l'objet et semblablement placée.
Ces deux propriétés se démontrent exactement comme dans le cas des miroirs (voir Chap. II, § 8, 2° et 3°).
12. RÉFRACTION A TRAVERS PLUSIEURS SURFACES SPHÉRIQUES CENTRÉES. — Supposons plusieurs milieux transparents séparés par des surfaces sphériques ayant leurs centres sur une même droite ; nous dirons que ces surfaces forment un système dioptrique centré et nous appellerons axe principal de ce système la droite qui joint tous les centres de courbure.
On donne le nom de section principale à tout plan passant par l'axe principal ; un pareil plan coupe chacune des surfaces sphériques suivant un arc de grand cercle. Il est clair, d'après la première loi de la réfraction, ou, plus simplement, par raison de symétrie, qu'un rayon ^itué dans une section principale reste toujours dans cette section quel quo soit le nombre des réfractions qu'il éprouve.
Un objet plan A, réel ou virtuel, perpendiculaire, ou à peu près, à l'axe principal et dont les divers points s'écartent peu de cet axe, fournit, après réfraction des rayons lumineux à travers la première surface sphérique, une image Ag dans un plan parallèle à Af. Cette image fonctionne comme un objet réel ou virtuel par rapport à la seconde surface réfringente qui en donne une image A3 parallèle et semblable à A2 et, par conséquent, à A, ; et ainsi de suite : chaque image fonctionnant comme objet par rapport à la surface sphérique suivante, tout le système donne de At une image réelle ou virtuelle semblable à cet otyet et située dans un plan parallèle.
II n'en serait plus de même, soit si les diverses surfaces sphériques avaient leurs centres trop loin d'une même droite, soit si les surfaces étant centrées, l'objet plan n'était pas à peu près perpendiculaire à l'axe principal, ou s'écartait trop de cet axe. Alors, en effet, nous ne pourrions plus dire que l'image d'un objet plan est dans un plan parallèle, ni même que l'image d'un point est un point.
Malgré cette restriction, la propriété que nous venons d'établir a une grande importance, car beaucoup d'instruments d'optique forment un système dioptrique centré.
Dans ce qui suivra, toutes les fois que le contraire ne sera pas expressément indiqué nous supposerons l'objet placé dans des conditions telles que le système dioptrique centré en donne une image semblable et parallèle.
En vertu de la réciprocité de la marche des rayons lumineux, si un objet B a même forme et même position que l'image A donnée par un système dioptrique d'un objet A, l'image B' de B, donnée par le système, à même forme et même position que A.
Deux plans A et A' dont l'un est l'image de l'autre sont appelés plans conjugués; deux points dont l'un est l'image de l'autre sont appelés foyers conjugués.
Si des rayons, tels que SI (fig. 48), tombent sur un système dioptrique centré parallèlement à l'axe principal XY, ils peuvent être considérés comme venant d'un point situé à l'infini sur cet axe; après avoir traversé le système, tous ces rayons vont se
FlG. 48.
couper, soit réellement (flg. 48, n°l), soit par leur prolongement (n° 2) en un même point F image réelle ou virtuelle du point de l'infini et appelé foyer principal du système. Quand le foyer est réel, le système est dit convergent, quand le foyer est virtuel I* système est dit divergent, puisque dans le premier cas les rayons qui tombent parallèlement à Taxe, après réfraction convergent vers loi (a* 1) tandis qu'ils divergent dans le second cas (n° 2).
Réciproquement, un foyer principal étant le foyer conjugué d'un point à l'infini situé sur l'axe" principal* tout rayon tel que ST (n* 1) qui tombe sur un système convergent en passant par le foyer principal, sort du système parallèlement à Psxft principal ; tout rayon tel que ST (n° 2) qui tombe sur un systàn» divergent en se dirigeant vers le foyer principal F sort du système parallèlement à l'axe principal.
Du reste, bien entendu, comme la lumière peut pénétrer dans le système suivant deux sens opposés, il y a deux foyers principaux ; ils peuvent être réels tous les deux (ex. : lentille convergente) , virtuels tous les deux (ex. : lentille divergente) ou enfin l'un réel et l'autre virtuel, le système étant convergent d'un côté et divergent de l'autre (ex. : oculaire d'Huyghens, Chap. VII, § 12).
Le sens suivant lequel la lumière tombe sur le système étant déterminé, convenons d'appeler toiyours premier foyer principal
FlC. 49.
REFRACTION 827
celui des deux foyers Ft (Qg. 49) où doit être placé un point objet pour que son image se forme à l'infini et, par conséquent, deuxième foyer principal, celui F, où se forme l'image d'un point situé à l'infini sur Taxe principal. Pour un système convergent des deux côtés (fig. 49, n° 1) le premier foyer principal F( est en avant du système par rapport à la marche des rayons lumineux et le deuxième F, en arrière. C'est l'inverse pour un système divergent des deux côtés (n° 2) : le premier foyer principal Ft est en arrière de la première face du système, le deuxième foyer F9 en avant de la dernière face du système, puisque le point-objet placé en Ft dont l'image est à l'infini est virtuel, et que l'image du point de l'infini placée en F, est virtuelle aussi.
On appelle plan focal un plan perpendiculaire à Taxe principal et passant par l'un des deux foyers principaux. Un objet plan perpendiculaire à l'axe et placé assez loin pour pouvoir être considéré comme* à l'infini donne son image dans le deuxième plan focal. Réciproquement, un objet placé dans le premier plan focal donne son image à l'infini ; par conséquent, les rayons émis par un point du premier plan focal sortent du système parallèlement entre eux.
Avant de continuer l'exposé des propriétés générales des systèmes dioptriques centrés, nous allons, pour plus de clarté, étudier d'abord le cas particulier très important où le système se réduit à une seule lentille sphérique. Nous ferons, du reste, cette étude de façon que les propriétés établies plus loin pour un système centré quelconque se présenteront comme une généralisation des propriétés des lentilles.
13. LENTILLES SPHÉRIQUES. - DÉFINITIONS. — On désigne, en optique, sous le nom de lentille sphérique ou simplement de lentille, un milieu transparent limité par deux surfaces sphériques.
La ligne qui joint les centres des sphères dont font partie les deux faces de la lentille est l'axe principal de ce système centré.
Une face de la lentille est dite convexe ou concave, suivant qu'elle tourne vers l'extérieur sa convexité ou sa concavité. Une face plane, qui peut être considérée comme une face sphérique
328 LIVRE V. — CHAPITRE lil
de rayon infini, forme la transition entre une face concave et une face convexe.
D'après cela, on peut distinguer six formes principales de
lentilles, dont les coupes, par une section principale, sont représentées par la figure 50:
i° lentille biconvexe A ; 2° lentille plan-convexe B; *'ic- w>. 30 ientiiie conwo-
convexe C (la face concave a un rayon plus grand que la face convexe) ; 4° lentille convexo- concave D (la face convexe a un rayon plus grand que la face concave) (*); 5° lentille plan-concave E; 6° lentille biconcave F. Les trois premières formes sont plus épaisses sur Taxe principal XX' que sur les bords; les trois dernières sont, au contraire, plus épaisses vers les bords que sur Taxe.
Supposons, ce qui est le cas habituel, que la substance qui forme la lentille soit plus réfringente que le milieu ambiant, et considérons un rayon parallèle à Taxe principal qui tombe sur Tune de ces lentilles ; nous savons qu'après réfraction, le rayon reste dans la même section principale; prenons celle-ci pour plan de la figure 51. Menons aux points I et I' où le rayon rencontre la première et la deuxième face, les plans tangents à ces faces; pour ce rayon, la réfraction s'opère à travers la lentille comme si celle-ci était remplacée par un prisme de même substance ayant ces plans tangents pour face. Or, si la lentille est plus épaisse au milieu que sur les bords (A, B, G fig. 50, A fig. 51), ce prisme tourne sa base du côté de Taxe : le rayon deux fois réfracté est dévié vers Taxe et le coupe. Si, au contraire, la lentille est moins épaisse au milieu que sur les bords (D, E, F
(1) On désigne habituellement la lentille concavo-convexe sous le nom plus simple de ménisque convergent et la lentille convexo-concave sous le nom de ménisque divergent.
REFRACTION
iîg. 50, F fig. 51), le prisme a sa base tournée en sens inverse : le rayon deux fois réfracté s'écarte de Taxe, sou prolongement lé rencontre. Les lentilles des trois premières formes A, B, C font
FlG. 51.
ainsi converger vers Taxe principal des rayons qui arrivent parallèlement à cet axe; aussi les appelle-t-on lentilles convergentes : les deux foyers sont réels. Les lentilles des trois dernières formes D, Ef F font diverger les rayons qui tombent parallèlement à Taxe principal, on les appelle lentilles divergentes : les deux foyers sont virtuels (*).
(1) Ce que nous venons de dire peut pourtant se trouver en défaut dans le cas d'une lentille dont les faces sont très écartées Tune de l'autre. Supposons
