W OC"OI~R

en désignant par R et R' les valeurs des rayons de courbure des faces : le point G, divisant la droite 00' en deux segments OC et O'C proportionnels à des quantités invariables R et R', est un point fixe.

On voit qu'en faisant varier progressivement la direction des rayons parallèles 01 et OT, on obtiendra successivement tous

LiYHE V. —CHAPITRE III

les rayons intérieurs H' se dirigeant vers le point C; par conséquent, la propriété que nous venons d'établir restant vraie pour tous les rayons intérieurs à la lentille qui se dirigent vers le point C, celui-ci jouit de la propriété indiquée plus haut pour le centre optique.

En désignant par — c et — c' les distances CM et CM' du centre optique aux faces PMQ et P'M'Q' de la lentille et par e l'épaisseur MM' de celle-ci, on a :

et d'après la relation (1) :

d'où

Ces formules sont générales avec la convention faite plus haut (§ 10) pour les signes de RetdeR', et en convenant de

considérer c ou ti comme une quantité positive, si le centre optique est en avant de la face correspondante par rapport à la lumière incidente, et comme une quantité négative si le centre optique est en arrière Fie. j». de cette face. Il

est facile de voir d'après la formule (4) que, dans les lentilles biconvexes et biconcaves, le centre optique est à l'intérieur de la lentille

(c<0, c'>0, fig. 53); que, pour les lentilles plan-convexes ou

plan-concaves, il est sur la face bombée (c<0, c? = 0, fig. 54);

qu'enfin, pour les ménisques convergents ou divergents, il est

en dehors de la

lentille du côté le

plus bombé (c<0,

e'<0,flg.52).

Les propriétés du centre optique subsistent quelqu'épaisse que soit la lentille et quelque grande que soit l'inclinaison des rayons incidents sur Taxe principal. En nous bornant maintenant à considérer

des rayons voisins de Taxe principal, soitN le foyer conjugué du point C pour la réfraction â travers la première surface PQ et N* le fbyer conjugué de C pour la réfraction à travers la seconde surface PQ' ; ces deux points N et N', situés sur Taxe principal, sont désignés sous le nom de points nodaux : tous les rayons dont la direction passe par le premier point nodal N, prennent, après avoir traversé la première face de la lentille, une direction passant par le centre optique C, et, après avoir traversé la deuxième face, une direction parallèle à la direction d'entrée, passant par le second point nodal N' (fig. 52 et 53).

En désignant par a la distance du point nodal N à la face correspondante PQ,et en considérant cette quantité comme positive si le point nodal N est en avant de la face correspondante PQ et comme négative s'il est en arrière (comme dans les figures 52 ou 53), la formule 7 du paragraphe 10, dans laquelle on doit

changer pft en a, p% en c, — en n, fournit la relation :

Fig. 54.

et, en remplaçant c par 6a valeur Urée de (4), il vient :

(6) eR

Les deux points nodaux, étant deux foyers conjugués par rapport à la lentille, sont réciproques l'un de l'autre et, par conséquent, la formule générale (6) peut servir à trouver la position de l'un comme celle de l'autre.

On voit par les formules (4) et (6) que si l'épaisseur e de la lentille est négligeable vis-à-vis des rayons de courbure R et R', les distances c et a du centre optique et de chaque point nodal a la lentille sont négligeables aussi (*).

Ainsi, pour une lentille infiniment mince, dont les deux faces sont baignées par un même milieu, les deux points nodaux et le centre optique sont confondus avec le point où l'axe principal rencontre la lentille: tout rayon lumineux qui se dirige vers ce point (pour lequel on conserve le nom de centre optique) traverse la lentille sans déviation.

15. LENTILLES INFINIMENT MINCES. — Dans bien des cas Té paisseur des lentilles est assez faible vis-à-vis des distances de l'objet ou de l'image à la lentille pour qu'on puisse négliger cette épaisseur. Aussi est-il bon d'étudier d'abord le cas où la lentille est infiniment mince ; les lois simples que nous trouverons dans cette étude sont le plus souvent suffisamment exactes pour faire comprendre le fonctionnement des instruments d'optique.

Prenons comme plan de figure une sectiofi principale de la lentille; soit XY (flg. 55) Taxe principal. Nous devrons représenter par la droite LL' perpendiculaire à XY la section de la

(I) Il n'y aurait d'exception que dans le cas de R = R', puisque le dénominateur des valeurs de c et de a serait nul ou très petit et que ces quantités seraient inûnies ou très grandes ; mais le cas de R = R' est celui d'un ménisque dont les deux faces ont même courbure et qui, par conséquent, sll est très mince, est sans usage, puisqu'une pareille lentille ne produirait aucun changement dans la marche des rayons lumineux.

lentille, infiniment mince ; en effet, les deux faces de la lentille normales à XY étant confondues, doivent être considérées comme étant dans un môme plan perpendiculaire à XY. pour les constructions géométriques qui servent à trouver la position des images.

Si la lentille est convergente nous l'indiquerons par le symbole, représenté en C (flg. 56) ; si la lentille est divergente, par le symbole Fie. k>. représenté en D.

Nous allons d'abord supposer, pour plus de généralité, que les indices des milieux qui baignent les deux faces de la lentille peuvent différer; nous verrons ensuite la petite simplification qui s'introduit dans les formules quand on suppose de même indice les milieux qui baignent les deux faces.

16. LEHTILLES CONVERGENTES INFINIMENT MINCES. —Commençons par étudier les lentilles convergentes.

Soient (flg. 57, 58 et 59) XY Taxe principal, LL' la section de la lentille Ft et Fi les deux foyers principaux, Aa la section d'une portion d'un plan perpendiculaire à Taxe que nous prendrons comme objet (ce plan étant un objet réel dans les flg. 57 et 58, un objet virtuel dans la flg. 59).

Nous savons que la lentille fournit de ce plan une image qui est un plan Mel parallèle au plan-objet et, par conséquent, perpendiculaire à Taxe principal. Pour obtenir la position de cette image, cherchons la position de l'image A' d'un point A pris en dehors de l'axe principal. Puisque tous les rayons issus de ce point s'il est réel (flg. 57 ou 58), ou se dirigeant vers lui s'il est virtuel (flg. 59), après réfraction vont se rencontrer en un inêma

FlG. 56.

point A' soit réellement (fig. 57 et 59), soit par lours prolongements (fig. 58), il suffit pour avoir le point-image de chercher le point (Je rencontre, après réfraction, de deux rayons dont la direction passe par le point-objet A, avant la réfraction.

Choisissons comme premier rayon le rayon AM parallèle à l'axo principal; ce rayon, après réfraction, passe par le deuxième foyer Fa ; il prend donc la direction MFa. Comme second rayon, prenons le rayon AF,M' dont la direction passe par le premier foyer F4 ; après réfraction, ce rayon se dirige parallèlement à Taxe principal. Les directions des deux rayons réfractés MF9 et M'A' se coupent au point A', image du point A.

H convient maintenant de distinguer trois cas suivant la distance de l'objet à la lentille.

1er Cas.— IJ objet est réel et en avant du premier plan focal (fig. 57).

Dans ce cas, les deux rayons se coupent réellement en un point A', parce que si A est au-dessus de Taxe, le point M' est nécessairement au-dessous de M : une lentille convergente donne une image réelle des objets situés au delà du plan focal. En outre, cette image est renversée car, si A est au-dessus de l'axe, M' est au-dessous, et il en est de même de A'. La similitude des triangles AM'M et FtM'P donne la relation :

Fie. 57.