F4N = PF

Ainsi le point N, étant situé à une distance du premier foyer égale à la deuxième distance focale, est un point fixe; on rappelle le point nodal. Du reste on a :

(8) FtN = FtP + PN

d'où, d'après (*) :

(4) PN = F2P — FtP

Le point nodal N est situé sur l'axe principal, du côté du foyer le plus éloigné , à une distance de la lentille (PN) égale à la différence des deux distances focales FtP et FaP; tout rayon lumineux (AKA') qui traverse la lentille sans déviation passe par h point nodal.

Réciproquement, tout rayon incident qui se dirige vers le point nodal traverse la lentille sans déviation, puisque ce rayon incident 6e confond avec un rayon émis par un point situé sur sa direction et qui traverserait la lentille sans déviation.

Toute droite passant par le point nodal est appelée un axe; si oette droite ne se confond pas avec Taxe principal, on lui donne

BbFRACTlON 347

le nom d'axe secondaire. On voit que l'image d'un point est toujours sur Taxe correspondant à ce point.

20. LENTILLE INFINIMENT MINCE PLACÉE DANS L'AIR. — Nous avons vu plus haut (g 14) que tout rayon lumineux qui passe par le point où Taxe principal rencontre une lentille infiniment mince traverse celleci sans déviation, quand les deux faces de la lentille sont baignées par un même milieu, l'air par exemple; autrement dit, le point nodal est alors à une distance nulle de la lentille. Or, nous venons de voir que la distance du point nodal à la lentille est égale à la différence des deux distances focales ; cette différence étant nulle dans ee cas : on a f. = /,. En désignant par / la valeur commune de U et de f» les formules générales des lentilles infiniment minces (g 18) deviennent :

Elles sont identiques aux formules relatives aux miroirs sphénques : les propriétés des lentilles infiniment minces placé* dans fair sont les mêmes que celles des miroirs aphériquês

sauf cette différence, de toute évidence, qu'une image réelle (p' positif) est placée en avant du miroir, qui la fournit par réflexion, tandis qu'elle est placée en arrière de la lentille, qui la fournit par transmission , et inversement pour les images virtuelles (pr négatif). Aussi nous bornons-nous à résumer dans un tableau la discussion de ces deux formules, qui a été complètement faite au chapitre II (§§ 11, 13, 14, 17 et 18).

1# LENTILLES CONVERGENTES : f > 0.

(Mêmes propriétés que les miroirs sphériques concaves.)

Distance de l'objet à la lentille

Distance de

limage à la lentille

Grandeur de l'image

p > r (flg. 57) p- > f

p diminue p = oo

p' augmente

p étant posiiiMP = V l'objet est h < 2fl réel, \P = f

[p <nfig.58)

\p' étant positif,

l'image est . réelle; iétant t positif, l'image lest renversée.

p'<0 (p'=-p,') « 0 (*= — »\)\p etantnegatif, »/ > d i. > o /l'image est vir-

I ,. . P \ -7. " V Z. . Huelle ; t étant

Ip diminue p, diminue i4 diminue inégal if, l'image

l p = 0 Pi = 0 f*4 = o /est droite.

p étant négatif^^^^'

l'objet est virtuel.

I Pi augmente

p' augmente

i <0 (f = — /^p' étant positif, •• ^ /i F Ti mage est

- 1^ >réelle: î étant

t, diminue Légal if, l'image it = 0 / est droite.

(i) Nous avons vu (Chap. II, }{ 9 et 17) qu'un objet, placé assez loin pour qu son image se forme sensiblement dans le plan focal, donne une image de grandeur o/, en désignant par a le diamètre apparent de l'objet.

REFRACTION

* LENTILLES DIVERGENTES : f < 0 [f = — /",).

(Mt-mes propriétés que les miroirs sphériques convexes)

Distance de

l'objet à la lentille

Distance de

l'image à la lentille

Grandeur de

limage

ip > 0 (fig.CO) p'<0fr'=HO <<0(/=—/t)W étant négatif, P\ <P ii < o /l'image est vir-

p = oo Pi = f* d = 0 (') Vluelle; i étant

p diminue p,' diminue i< augmente Xnégatif, l'image

p = 0 p/ = 0 *, = 0 J est droite

/P<0(p=-p.) P«<Mûg.M)

p étant négatif,

l'objet

est virtuel

augmente = fi

i. r pi

>A(flg-C2) augmente

Pi = Vi

Pi = oo

p' augmente

P'<0(p'=-p0 p/ diminue Pi'>*ri>Pi Pi' = 2/"i = Pi P.'<2A<P.

W étant positif, t < 0 (/=— i,y l'image est ^ ' > réelle; i étant

Xnégatif, l'image / est droite.

t, augmente

i>0 i diminue i> o i = o i<o t = 0

1 lu

'étant négatif, image est vir- Ituelle; i étant Ipositif, l'image jest renversée.

Il est très aisé de vérifier expérimentalement ces lois en choisissant des lentilles à distance focale assez grande pour que l'épaisseur soit négligeable vis à vis de cette distance focale.

Les expériences de vérification sont calquées sur celles que nous avons indiquées au chapitre II (§§ 12, 13, 14, 17 et 18) dans le cas des miroirs sphériques ; aussi n'avons-nous qu'à renvoyer le lecteur à ce chapitre. La figure 64 indique du reste suffisamment la disposition à employer dans le cas d'un objet réel placé au delà du plan focal d'une lentille convergente.

Au surplus, l'accord qui existe entre les propriétés que l'expérience constate dans les instruments d'oplique que nous décri-

rons plus loin et les propriétés que fait prévoir la théorie des lentilles infiniment minces, que nous venons d'exposer, est une excellente vérification de la justesse de cette théorie. La construction géométrique indiquée, à propos des miroirs

Fie. 6t.

sphériques, pour trouver l'image d'un objet plan, convient encore, bien entendu, dans le cas des lentilles. Par un point A de l'objet pris en dehors de l'axe principal (fig. 65), on mène Taxe secondaire AP et le rayon AM parallèle à l'axe principal; on joint M au second foyer principal Fs pour avoir la direction MF, du rayon réfracté; cette direction coupe en A', image de A, Taxe secondaire AP. En menant par A' un plan parallèle à celui de l'objet, on a son image, si toutefois le plan de l'objet est perpendiculaire, ou à peu près, à l'axe principal. On aura ensuite l'image B' d'un autre point quelconque B de l'objet en menant l'axe secondaire BP de ce point.

21. VALEUR DE LA DISTANCE FOCALE. — Il est aisé de calculer la valeur de la distance focale d'une lentille infiniment mince.

REFRACTION

Reprenons la formule :

Pi

n^ fii — w2

établie plus haut (§ 10); pt représentant ici la distance d'un point-objet Ai à la première face d'une lentille infiniment mince, p% la distance de l'image A, de A* donnée par réfraction à travers celte première face, R le rayon de celle-ci , et enfin ni et n% les indices absolus du premier milieu et de la substance qui forme la lentille. Le point A3 fonctionnant comme objet réel ou virtuel par rapport

à la seconde face, si Ton néglige l'épaisseur de la lentille, on a, en appliquant de nouveau la même formule et en se rappelant les conventions de signes faites au g 10 :

Fie. es.

w« 5» ** — na

H) étant l'indice absolu du milieu qui baigne la seconde, face de la lentille et R', le rayon de courbure de cette face. On tire de (1) et de (2), par addition :

«1 W3 ni — n^ . wa — «3

Pi P3~" K "•" H'

Si dans cette formule on fait j>3 = — oo f on aura pt = ft (distance focale antérieure) :

Wi n% — n% n^ — w3 w U~ (R ^ R'

Si dans la formule (3) on faitpft = -f- oo f on aura — p5=/*f (dietance focale postérieure) :

,5) ^--FT" + Rr-

Dans le ca6 où les milieux qui baignent les deux faces de la lentille ont même indice (nt = r?3), nous voyons, d'après (4) et (5), que les deux distances focales f{ et f% ont la même valeur, ce que nous savions déjà. En désignant par n la valeur commune de

— et de —, c'est-à-dire l'indice de réfraction de la substance qui

forme la lentille par rapport au milieu extérieur, les relations (4) ou (5) deviennent :

Rappelons que dans ces formules R ou R' sont des quantités positives quand la face correspondante tourne sa concavité du côté de la lumière incidente, négatives dans le cas inverse.

On peut se servir de la formule (6) pour établir que les lentilles plus épaisses au milieu que sur les bords sont convergentes {/* positif), et que les lentilles moins épaisses au milieu que sur les bords sont divergentes (/"négatif).

22. LENTILLES ÉPAISSES. — Dans bien des instruments d'optique, les lentilles sont trop épaisses par rapport aux distances focales, pour qu'on puisse négliger leur épaisseur. On doit i Gauss (') d'avoir donné une théorie très simple de ces lentilles.

(!) Charles-Frédéric Gauss, professeur d'astronomie à GœtUngue, est né

REFRACTION 853

Celte théorie présente un haut degré de généralité, car le* relations que nous allons trouver sont applicables, non seulement aux lentilles, quelle que soit leur épaisseur, mais aussi à un système centré quelconque.

Du reste, les formules qui donnent- la distance de l'image et sa grandeur sont les mêmes que dans le ras des lentilles infiniment minces, pourvu qu'on compte les distances de l'objet on de l'image, non à partir d'un môme plan, mais à partir de deux plans fixes, distincts, perpendiculaires à l'axe principal et qu'en appelle les plans principaux. C'est ce que nous allons établir.

Dans la théorie de Gauss, on suppose encore que les rayons lumineux considérés s'écartent très peu de l'axe principal; aussi, comme précédemment, nous confondrons, dans les constructions géométriques, une surface de séparation sphérique avec son plan tangent au point où elle est rencontrée par l'axe principal. •

23. PLAHS PRINCIPAUX. — Quand un système est composé d'une seole surface réfringente sphérique, la direction de chacun des rayons incidents parallèles à un même axe coupe la direction du rayon réfracté auquel il donne naissance en un point placé 6ur h surface réfringente. Pour des rayons incidents s'écartant peu de l'axe, la partie de la surface réfringente rencontrée par eux se confond avhc son plan tangent, et l'on peut dire que la direction de «hacun des rayons incidents parallèles coupe la direction du rayon émergent correspondant sur un même plan perpendiculaire à la direction des rayons incidents.

Nous allons montrer qu'il en est encore de même pour un système composé de surfaces réfringentes sphériques. centrées quelconque : la direction de chacun des rayons incidents parallèles

à Brunswick en 1777 et mort en 1855. Son travail sur l'optique. a paru de 1838 à 1843.

Le théorie de Gauss est beaucoup plus simple et plus générale que la théorie des instruments d'optique, au fond identique, que Biot a donnée, vers la même époque. Elle a été elle-même complétée par l'introduction des points nodaux, due au physiologiste allemand Listing (1866), et considérablement simplifiée par plusieurs auteurs, en particulier par Berlin, maître de conférences à l'Ecole Normale Supérieure. C'est à peu près la marche suivie par cet auteur que nous reproduisons ici.

à Taxe principal coupe la direction du rayon émergent correspondant sur un même plan perpendiculaire à raxe principal et qu'on appelle plan principal, sous la réserve, "bien entendu, que les rayons incidents soient peu distants de Taxe principal.

Pour démontrer cette propriété, il suffit de faire voir que, si elle existe pour un premier système de surfaces réfringentes sphériques centrées, elle subsiste encore lorsqu'on ajoute au système une nouvelle surface réfringente sphérique ayant son centre sur Taxe principal du premier système ; en effet, puisque la propriété est vraie pour le système composé d'une seule surface, elle sera vraie aussi pour un système composé de deux surfaces, et, par conséquent, de trois, de quatre , d'un nombre

quelconque de surfaces sphériques centrées.

Soit donc XY (flg. 66) Taxe principal d'un premier système

Fw. es.

optique centré jouissant de la propriété d'avoir un plan principal ntnn(; soit un rayon lumineux HA parallèle à l'axe principal; sa direction rencontre en un point A le plan principal, et si 0 est le Second foyer principal du système, le rayon émergent auquel HA donne naissance possède la direction AO.

Ajoutons maintenant au système une nouvelle surface réfringente sphérique S4SS4 séparant le dernier milieu transparent du système précédent d'un nouveau milieu transparent et supposons que S,S, ait 6on centre de courbure sur l'axe principal XY.

Le rayon de direction AO coupe cette surface en un point B et, subissant une nouvelle réfraction, prend une certaine direction BF. Le point F où la direction de ce rayon rencontre l'axb principal est le second foyer principal du nouveau système optique. Les directions du rayon incident HA et du rayon émergent BF se coupent en un certain point C, puisque ces droites sont dans une même section principale. Menons par ce point C un plan P|PPt perpendiculaire à Taxe; il est facile devoir que la position de ce plan est indépendante de la distance à l'axe du rayon incident AH considéré, par conséquent, que ce plan fixe PjP! est un plan principal pour le nouveau système.

En effet, la similitude des triangles CPF et BSF donne la relation :

KV SF SB

d'autre part, la similitude des triangles AnO et BSO donne la relation :

no riA w SO~ SB

et, comme IIA = PC, on a :

W SF~SO

les longueurs SF, nO, et SO étant indépendantes de la distance du rayon AH à Taxe principal, il en est de même de PF : le point F étant fixe, le plan PtPt a une position indépendante de celle du rayon AH parallèle à l'axe.

Nous allons maintenant mettre la relation (3) sous une forme qui nous sera commode pour trouver la position des plans principaux.

Désignons par ? la distance IIO du plan principal du système avant l'adjonction de la nouvelle surface réfringente S|St à son foyer O, par F la distance SF du foyer du nouveau système à la dernière surface réfringente StSiv par f la distance PF du nou-

veau plan principal P,Pt au foyer F du nouveau système, enfui par W la distance SO de la dernière surface réfringente au foyer 0. Avec ces notations, la relation (8) devient :

Appelons —a la valeur absolue de la distance PS du nouveau plan principal PiPi à la dernière surface réfringente S|S, ; on a

(5) PS = PF — SF ou —a = f— F et, en vertu de (4) :

ou, en introduisant la distance US = e de la dernière surface réfringente au plan principal TIiIIi du premier système, comme on a SO = 110 — nS ou W = 9 — e la formule (6) devient :

P)-a = F(^-1) ou -«^'--^'s

Il est aisé de voir que toutes ces formules sont générales quelle que soit la position des foyers 0 ou F par rapport à nfîlftv P|P|, *StS| et quelle que soit la position de ces trois plans les uns par rapport aux autres, à condition de considérer comme positives les distances /*, F, 9, W, a et e quand elles sont comptées dans le sens de la marche des rayons incidents, et comme négatives quand elles sont comptées eu sens inverse. Par exemple, la distance focale F est positive si le rayon F est au delà de la dernière surface S,SS4 (systèmo convergent), comme sur la figure, et négative si le foyer F est en deçà de StSS| (système divergent). La dislance a est positive si le plan principal P«P| es! au delà de la dernière surface réfringente S|SSt, et négative si le plan principal est en doçà de S|SSly comme sur la figure.

La lumière pouvant pénétrer dans un système dioptrique de deux côtés opposés, de même qu'il y a deux foyers principaux,

il y a aussi deux plans principaux : nous appellerons premier plan principal celui qui correspond au premier foyer principal, et second plan principal celui (PiPt fig. 66) qui correspond au second foyer principal (F). Les points où Taxe principal rencontre les plans principaux s'appellent points principaux.

Dans le cas d'une seule surface réfringente sphériqire ou d'une lentille infiniment mince , les deux plans principaux sont confondus en un seul. Il n'en est généralement pas ainsi ; nous verrons plus loin à fixer la position des plans principaux dans quelques systèmes optiques. Disons tout de suite seuloment que, suivant le système considéré, le premier plan principal peut être en avant ou en arrière du second plan principal.

24. DISTANCE ET GRANDEUR DE L'IMAGE. — Pour trouver la position et la grandeur de l'image d'un objet, fournie par un système optique centré quelconque, il suffit de considérer les deux plans principaux du système, les deux foyers principaux, et d'employer la même construction que dans le cas d'une lentille infiniment mince (§§ 16 et 17).

Par un point A d'un objet plan An perpendiculaire à Taxe

principal (fig. 67 ou 68) et pris en dehors de cet axe, on mène un rayon AMt parallèle à celui-ci jusqu'à sa rencontre en M, avec le second plan principal MfPf ; on joint M, au second foyer prin-

cipal Fa et l'on obtient ainsi la direction MJFa du rayon émergent. On joint ensuite le point A au premier foyer F4 et l'on prolonge cette droite jusqu'à sa rencontre en M'4 avec le premier plan principal M'iPi ; un rayon qui a la direction AFtM'ft sort du système parallèlement à Taxe principal suivant M'jA'. Le point A' où les deux rayoîis émergents se coupent est l'image du point A : en menant la perpendiculaire A' a' à Taxe principal on a l'image de la dimension linéaire A*.

Fie 68.

La considération des triangles semblables AM/M, et F,*!1!?! d'une part, et des triangles semblables A'M^M'^, et FtM9Ps d'une autre, fournit, comme dans le cas des lentilles infiniment minces, les relations :

et

r jP j M j P j

Vu l'égalité des lignes MfM'| et MâM's, ainsi que des lignes M^Pf et M'2Pâ, on lire de ces relations, absolument comme dans le cas des lentilles infiniment minces (voir §§ 16etl7), les mêmes relations générales :

et = !LLÎ

PU

en désignant par p la distance AM, de l'objet au premier plan principal, quantité positive si l'objet est en avant de ce plan

principal, négative s'il est en arrière ; par p' la distance A'M'2 de l'image au second plan principal, quantité positive si l'image est en arrière du second plan principal, négative si elle est en avant ; par ft et f% les distances F^, et FaPs des foyers principaux aux plans principaux correspondants avec la même convention de signes que si Ft était un objet et F3 une image ; enfin par o et par i les grandeurs Aa de l'objet et A'/?' de l'image, i étant positif si l'image est renversée par rapport à l'objet, négatif dans le cas contraire.

Faisons remarquer pour terminer que les deux plans principaux sont des plans conjugués : l'un est l'image de l'autre. Donnons en effet à p une valeur nulle dans les formules (1), et à o une valeur quelconque, pour avoir comme objet un point A du plan principal situé à une distance o de Taxe ; ces formules donnent p' = 0 et i = — o, ce qui indique que l'image du point A est un point A' situé sur le second plan principal, à la même distance de l'axe que le point A et du même côté dans la même section principale. La construction géométrique générale qui sert à trouver l'image d'un point donné, conduit au même résultat, bien entendu (flg. 69).

Fie. ee.

25. FORMULE DE NEWTON. — On peut, comme pour les miroirs sphériques, transformer les formules générales précédentes en introduisant la distance ? de l'objet au premier foyer principal et la distance <p' de l'image au second foyer principal. En

360 LIYHE V. — CHAPITRE III

oensîdérant 9 comme une quantité positive si l'objet est en avant du premier foyer et comme négative s'il est en arrière, et en considérant y' comme une quantité positive si l'image est en arrière du second foyer principal et comme négative si elle est en avant, on a, en toute généralité :

(i) P = 9 + ft' * p = i+f%

Enjportant ces valeurs dans les formules (1) du paragraphe précédent, on en tire les formules tout aussi générales;

W = fJt et | = -§- = f

Ces relations se réduisent à celles données par Newton quand on a A = U

36. POINTS NODAUX. — Portons sur l'axe principal à partir de chacun des foyers principaux, et du côté du plan principal correspondant, une longueur égale à l'autre distance focale, nous obtiendrons ainsi deux points N, et N3 (Rg. 70) qu'on appelle les points nodaux :

F.N, = P,F, = /-, • F9N4 = P,F, = ft

La distance de chaque point nodal au plan principal correspondant, étant égale en valeur absolue à la différence des deux distances focales, est la même. Par conséquent, la distance des deux points nodaux, que Listing a appelé interstice, est la même que la distance des deux plans principaux.

Tout rayon incident qui se dirige vers le premier point nodal (celui qui correspond au premier foyer principal) donne naissance à un rayon émergent dont la direction passe par Je second point nodal et qui est parallèle au rayon incident.

Considérons, en effet, un rayon AKtNt se dirigeant vers le premier point nodal Nt. Prenons comme plan de figure la section principale passant par ce rayon. Soient A et Kt les points où il perce le premier plan focal et le premier plan principal; me*.

nons par A un rayon AM2 parallèle à Taxe principal ; ce rayon émerge suivant MiFi. Puisque tous les rayons issus du point A, situé dan6 le plan focal, donnent naissance à des rayons émergents parallèles entre eux , le rayon E auquel le rayon ANi donne naissance doit être parallèle à MâF2. En outre , puisque A,Ni passe par Je point Kt, ce rayon peut être considéré comme émanant de ce FlG* 70*

point, et, par conséquent, le rayon émergent E doit passer par l'image Ka de K, ; cette image, comme on le sait, est située sur le second plan principal à la même distance de Taxe que K^ Le rayon E est donc dans le plan de figure et coupe en un certain point Na Taxe principal. Or, les deux triangles rectangles AF1N1 et MgPgFg sont égaux puisque les côtés de l'angle droit sont respectivement égaux. Par conséquent, les angles Ni et F2 étant égaux, MjFj est parallèle à ANt : le rayon émergent E parallèle à MâFj est donc parallèle au rayon incident. En outre, les triangles rectangles K1P1N1 et KaPâNa sont égaux, comme ayant leurs côtés parallèles ou confondus en direction et comme ayant deux côtés égaux (P^ = P^Kj) ; il en résuite que PiN! = P2Nâ ; le point Na est donc le second point nodal.

Réciproquement, tout rayon incident qui donne naissance à un rayon émergent parallèle à lui passe par le premier point nodal et Je rayon émergent par le second point nodal.

Pour démontrer cette réciproque, faisons voir d'abord que tout rayon incident qui donne naissance à un rayon émergent qui lui est parallèle est contenu dans une section principale. Soient, en effet, A et Kt les points où un pareil rayon incident traverse le plan focal et le premier plan principal. L'image A' de Tome II. 24

A étant dans la même section principale S que A, et étant située aussi sur le rayon émergent E auquel AKt donne naissance, se trouve au point où le rayon E perce la section principale S. Or, le point A1 est à l'infini, puisque A est un point du plan focal, donc le rayon E est parallèle à la section principale S. Gomme AK| est parallèle à E et passe par le point A du plan S, ce rayon incident AKt est tout entier contenu dans cette section principale S ; prenons celle-ci comme plan de figure. D'autre part, le rayon émergent E passe par le point Kt, image de Kt ; or K| est dans le plan de figure S, et, puisque le rayon E a une direction parallèle à ce plan, ce rayon est aussi contenu dans la plan de la figure.

Désignons maintenant par Nf et N2 les points où le rayon incident et le rayon émergent rencontrent l'axe principal. Menons par le point A le rayon parallèle à Taxe AMa qui donne naissance au rayon émergent M2F3. Ce dernier rayon est parallèle à E, puisque ce sont deux rayons émergents provenant de rayons issus d'un même point A du plan focal ; le rayon M^F, est donc parallèle à AKfNf. Il en résulte que les deux triangles rectangles AF1Nl et M3P2F2 sont égaux, comme ayant les côtés AFt etM4Pt égaux, et tous les angles respectivement égaux. On a donc ViNi = PaFj : le point Nt est le premier point nodal, et, par conséquent, N2 le second point nodal.

Pour un système composé d'une seule surface sphérique réfringente ou d'une seule lentille infiniment mince, les deux plans principaux sont confondus en un seul et confondus avec la surface réfringente, ce qui entraîne la confusion dos deux points nodaux en un seul point (point nodal) : c'est ce que nous avons déjà établi pour les lentilles infiniment minces (§ 19).

27. PROPORTIONNALITÉ DES DISTANCES FOCALES AUX INDICES DE RÉFRACTION. — Quand un système dioptrique est composé d'une seule surface sphérique de rayon R séparant deux milieux d'indice nt et n*, on a, pour les distances pf et p2 d'un point et de son image, la relation (voir § 10) :

n, tt3 nt— Kg

REFRACTION

Pour avoir la seconde distance focale f3, il faut faire dans cette formule pt = oo et pf = — f±f il vient :

pour avoir la première distance focale, il faut faire pf = — oo et p =fi\ il vient :

On a donc :

nt n4

Les distances focales sont respectivement proportionnelles aux indices de réfraction des deux milieux extrêmes du système.

Nous allons voir que cette propriété est générale, quel que soit le nombre des surfaces sphériques centrées.

Pour cela, menons dans une section principale du système deux axes de coordonnées rectangulaires OX et OY, Taxe OX se confondant avec Taxe principal du système (fig. 71). Soient xi et yî les coordonnées d'un point À| du plan

et x, et y, celles de l'image A* de At donnée par le système dioptrique; on a, d'après la convention faite pour le signe de

Fie. 71.

la grandeur i de l'image A^ de la perpendiculaire à Taxe \lai prise comme objet (o) : yt = o et yâ = — t. D'autre part, désignons par At et A4 les abscisses des deux foyers principaux F| et F2 ; on a, d'après les notations du paragraphe 25 :

9 = J»! — xt et 9' = xà — A^

Les relations données dans ce paragraphe prennent alors la forme :

On tire de là :

(6) *t = *, + /■* et xi = A,-/i^-

On a, de même, pour un autre point Bt du plan, de coordonnées X, et Ylf et pour son image B2 de coordonnées X, et Y4 :

(7) X1 = *t + A^ et \* = h-fj±

par soustraction, on tire de (6) et de (7) :

en égalant les valeurs de Y,j/a — Y^ tirées de «es deux dernières égalités, on obtient la relation :

Xt — xx X^-— Xj

Dans le cas où le système se réduit à une seule surface réfringente, les quantités fi et /*, sont proportionnelles, comme

nous l'avons vu, aux indices ni et nâ des deux milieux ; d'après cela, la relation (9) donne :

(10) Xi — &t__ Xa xt

Supposons maintenant qu'une seconde surface sphérique centrée sur Taxe OX sépare le milieu d'indice de réfraction n^ d'un autre milieu d'indice n3 ; les images A^ et B4 fontionnant comme objet par rapport à cette nouvelle surlace, on aura, en caractérisant par l'indice 3 les coordonnées des images A3 et Ba de Aa et Bt et par conséquent de A, et de B4 :

waY^a — n3Y3y3 0Uf apies( '' niYlyi ~ nzY^

et ainsi de suite : quel que soit le nombre des surfaces de séparation sphérique centrées sur OX interposées entre un milieu d'indice de réfraction nf et un milieu d'indice n^, on voit qu'en désignant par xi et yi1Xi et Yf les coordonnées de deux points A, et Bt et par x% et y4, X2 et Y3 celles des images de ces points données par tout le système, la relation (10) est applicable. En comparant alors cette relation à la relation générale (9), on en conclut :

28. SYSTÈME DI0PTRIQUE DONT LES MILIEUX EXTRÊMES ONT LE MÊME INDICE. — Quand les milieux extrêmes d'un système dioptrique centré ont le même indice, comme c'est le cas le plus habituel, puisque l'air baigne en général les deux faces extrêmes d'un instrument d'optique, on a, d'après la formule (12) du paragraphe précédent, f t = /^ : les distances focales sont les mêmes.

Les points nodaux se confondent alors avec les points principaux, puisque, dans le cas général, la distance d'un point nodal

au point principal correspondant est égale à la différence des deux distances focales.

Les formules qui donnent la position de l'image et sa grandeur deviennent alors, en appelant f la valeur commune des deux distances focales :

Ces formules ont été discutées (§ 20).

Faisons remarquer seulement que, les plans principaux n'étant pas confondus, en général, avec les faces extrêmes du système optique, à une valeur positive de p ne correspond pas nécessairement un objet réel, car si la face antérieure du système était en avant du premier plan principal, p pourrait être positif quoique l'objet fut derrière la première surface réfringente, fût virtuel, par conséquent. De même, une valeur négative de p peut correspondre à un objet réel si, le premier plan principal étant en avant de la première surface réfringente, l'objet se trouve entre cette surface et le premier plan principal. Des remarques analogues s'appliquent à l'image.

Nous appellerons convergence du système l'inverse — de la

distance focale. La convergence a le même signe que f.

Faisons remarquer qu'à un système convergent ou divergent ne correspond pas nécessairement une convergence positive ou négative, puisque le signe de f dépend de la position du foyer par rapport au plan principal correspondant et, qu'en général, les plans principaux ne sont pas confondus avec les faces extrêmes du système optique.