POSITION DBS PLANS PRINCIPAUX DANS UNE LENTILLE ÉPAISSE

— Comme exemple, nous allons indiquer la position des plans principaux dans une lentille épaisse dont les deux faces sont baignées par l'air.

Pour cela, nous poumons nous servir de la formule établie (7, § 10) pour la réfraction à travers une surface sphérique et de la formule établie (7, § 23) pour la position du plan principal d'un nouveau système qui possède une surface réfringente de plus qu'un système précédent. Mais nous avons déjà fait le calcul de la position des points principaux, quand nous avons calculé (g 14) la position des points nodaux d'une lentille dont les deux faces sont baignées par l'air, puisqu'aiors les points nodaux occupent la même position que les points principaux.

Rappelons qu'en désignant par a la distance du premier point nodal à la première face de la lentille, a étant considéré comme positif si le point nodal est en avant de cette face et comme négatif s'il est en arrière, par R et R' les rayons de courbure de la première et de la seconde face, avec les conventions de signes faites plus haut (g 10), par e l'épaisseur de la lentille, et enfin, par n l'indice par rapport à l'air de la substance dont est formée celle-ci, on a :

De .même, appelons a' la distance du second point nodal à la deuxième face de la lentille, en considérant, par raison de symétrio, cette quantité comme positive, si le second point nodal est en arrière de cette face, et comme négative, si il est en avant ; nous obtiendrons la valeur à d'après la formule (1), en supposant que la lumière tombe sur la seconde face, ce qui entraîne le changement de R en — R', et de R' en — R; d'où :

Ces formules permettent de trouver pour chaque forme de lentille la position des points principaux : la figure 72 indique suffisamment le résultat. On voit que, si l'épaisseur des lentilles est faible par rapport aux rayons de courbure, les plans principaux sont à l'intérieur d'une lentille biconvexe ou biconcave;

que, pour uue lentille plan convexe ou plan concave, l'un des plans principaux est tangent à la face courbe ; et qu'enfin pour un ménisque, un des deux plans principaux, au moins, est en dehors de la lentille, du côté de la face qui a la plus forte courbure. Du reste, le premier plan principal est en avant du second, niais il peut en être autrement si l'épaisseur devient très grande.

Fie. i*.

Ainsi, considérons, par exemple, une lentille biconvexe dont les Taces ont même rayon de courbure r; posons alors dans les formules ci-dessus R = — r et R' = -j- r : elles deviennent :

— et

2nr—{n — l) e

tant que - t est plus petit que -^ , ce qui entraîne

e <2r, le premier plan principal est en avant du second puisque a et a' sont plus petits que -Q- en valeur absolue ; mais pour

e } e = 2r (lentille sphérique), on a a = ct = — y ;]les deux points

principaux sont confondus avec le centre de la lentille. Enfin,

pour e> 2r, a et a' sont plus grands que — : le premier plan

principal est en arrière du second.

On peut remarquer sur la figure 72 que, pour des lentilles de môme épaisseur, quelle que soit leur forme, la distanceras deux plans principaux est sensiblement la même.

Calculons, en effet, cet interstice d ; on a :

ou, en vertu de (1) et de (2) :

Or# si e est faible vis-à-vis de (R — R'), ce qui est le cas de la plupart des lentilles employées, on a sensiblement :

la distance des deux plans principaux est indépendante de la forme de la lentille. Comme l'indice n du verre par rapporta

l'air est à peu près — , on voit que Ton a pour les lentilles de verre peu épaisses rf = — : r interstice est le tiers de T épais-

seur de la lentille.