CAUSTIQUES.— ABERRATION DE SPHÉRICITÉ APLANÉTISME

^ Dans les deux chapitres précédents, nous avons vu qu'une surface de séparation sphérique entre deux milieux jouit de la propriété de faire concourir en un même point réel ou virtuel les rayons issus d'un point lumineux, soit par réflexion, soit par réfraction; mais, comme nous le savons, cette propriété n'est rigoureusement exacte que si les rayons considérés sont infiniment voisins, sauf dans quelques cas très particuliers. Nous allons, examiner d'une façon générale, dans ce chapitre, comment sont distribués les rayons issus d'un point lumineux après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions obtenues avec des surfaces de séparation de forme quelconque (caustiques). Nous verrons ce qui se passe, en particulier, dans le cas intéressant des surfaces sphériques quand les rayons considérés ne sont plus infiniment voisins (aberrations de sphéricité). Enfin, nous chercherons la forme des surfaces qui amènent rigoureusement en un même point les rayons réfléchis ou réfractés émanés d'un point lumineux, quand ces rayons sont à des distances quelconques les uns des autres (aplanétisme).

1. THÉORÈME DE GERGONNE. — Après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions par des surfaces de forme quelconque, les rayons issus d*un point lumineux sont normaux à une même surface.

Ce théorème, qui distingue les rayons issus d'un point de droites distribuées au hasard, sert de base à la théorie des caustiques. Il a été établi d'abord par Malus, mais réduit à une seule réflexion ou réfraction; Du pin, Timmermans et enfin Gergonne Font généralisé. Voici comment on peut le démontrer.

Occupons- nous d'abord du cas de la réflexion. Considérons des rayons parallèles entre eux SI, ST, S'T...

tombant sur une surface plane réfléchissante P (flg. 78), et soit NM un plan perdiculaire à ces rayons. Il est facile de yoir que les rayons réfléchis IR, I'R\ 1"R" ... sont tous normaux à un même plan NM' symétrique de NM par rapport â la surface ré-* fléchissante. Remarquons que si

des divers points I, I', I",... de la surface P, pris pour centres, on décrit des sphères tangentes au plan NM, ces sphères sont tangentes aussi au plan NM', . qui en est une surface enveloppe.

Supposons maintenant que nous ayons une série de rayons tou6 normaux à une même surface M (flg. 74) de forme quelconque, et que ces rayons 6e réfléchissent sur une surface P de forme quelconque aussi. Considérons un faisceau de rayons infiniment voisins, qui rencontre M suivant un élément de surface m. Cet élément de surface pouvant être confondu dans son étendue avec son plan tangent *, ces rayons peuvent être considérés comme

Fie 73.

étant tous perpendiculaires à ic et, par conséquent, comme étant parallèles entre eux. Soit p l'élément de surface suivant lequel

ils rencontrent P; on peut, de même, confondre dans son étendue l'élément p avec son plan tangent 9. U en résulte que les rayons de ce faisceau se réfléchissent comme si, étant normaux à un plan ir, ils tombaient sur le plan réfléchissant 9. Par conséquent, comme nous l'avons vu plus haut, ces rayons, après réflexion, sont tous normaux à un même plan p. symétrique du plan ic par rapport au plan <p. Si, maintenant, des divers points de l'élément p, pris comme centres, nous décrivons des sphères tangentes aux divers points de * ou, ce qui revient au même, de l'élément m, ces sphères, comme nous le savons, sont tangentes à p. qui en est une enveloppe.

Ce que nous venons de dire s'applique aux diters éléments do la surface P : il résulte de là que, si des différents points de cette surface, pris comme centres, on décrit des sphères tangentes à la surface M, ces sphères sont tangentes aux divers plans ^. La surface M', enveloppe de ces sphères, est donc l'enveloppe aussi des plans p et, par conséquent, est une surface normale à tous les rayons réfléchis.

Or, tous les rayons issus d'un même point A sont normaux

FlG. 74.

à une sphère M ayant ce point pour centre. Après une première réflexion sur une surface quelconque P, ces rayons sont donc normaux à une même surface M'; par conséquent, après une seconde réflexion sur une surface quelconque P, ils sont normaux à une nouvelle surface M", et ainsi de suite : après un nombre quelconque de réflexions, les rayons issus du point A sont normaux à une même surface.

Le théorème de Gergonne se trouve ainsi démontré dans le cas de la réflexion; il n'est pas plus difficile de l'établir pour la réfraction.

Considérons des rayons parallèles SI, ST, ST. . . tombant sur une surface plane réfringente PQ (fig. 75); soit NM un plan perpendiculaire à ces rayons. Les

rayons réfractés R1K, RTK', RTK". . . sont parallèles entre eux et, par conséquent, normaux à une série de plans parallèles.

D'après la première loi de la réfraction, ces plans coupent PQ suivant des parallèles à la ligne d'intersection de NM et de PQ; menons parmi eux le plan NM' qui passe par cette ligne d'intersection même. Désignons par S le point d'intersection d'un rayon incident IS avec le plan NM, et par R le point d'intersection de la direction du rayon réfracté correspondant 1R avec NM'. On a :

IS = IN sin SNI

1R= IN sin RN d'où-

IS sin SNI nt ÏR~~sinKNI — n,

en appelant nt et n, les indices de réfractions absolus du premier et du second milieu, puisque les angles SNI et RNI sont respectivement égaux aux angles d'incidence et de réfraction.

Il résulte de là que, si des divers points I, I', F... de la surface PQ, pris pour centres, nous décrivons des sphères tangentes au plan NM, et si des mêmes points nous décrivons d'autres sphères ayant des rayons IR, l'R', I"R". . . qui sont respectivement aux rayons IS, I'S', I"S". . . des premières sphères dans

le rapport — , ces dernières sphères sont tangentes au plan NM'

qui en est une surface enveloppe.

On achève la démonstration absolument comme dans le cas de la réflexion : si des rayons normaux à une même surface M, de forme quelconque, se réfractent à travers une surface Q de forme quelconque aussi, les rayons réfractés sont normaux à une même surface M' ; celle-ci est une enveloppe des sphères ayant leurs centres aux divers points de la surface réfringente Q, le rayon de chacune d'elle étant égal au rayon d'une sphère de même centre , tangente à la surface M, multiplié par le rapport

— des indices des deux milieux.

Si Ton prend sur les normales à une surface des longueurs égales à partir de cette surface, les extrémités de ces droites forment une seconde jsurface qui a mêmes normales que la première. Par conséquent, les rayons qui sont normaux à une surface sont normaux à une infinité d'autres surfaces, par exemple, les rayons normaux à une sphère sont normaux à toutes les sphères concentriques.

Le théorème de Gergonne montre que les rayons issus d'un point et qui ont subi un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions par des surfaces quelconques, ont une direction qui peut être obtenue, soit par une seule réflexion sur une surface déterminée, soit par une seule réfraction à travers une surface

déterminée aussi, quand on s'est fixé le rapport n =— des deux

indices.

En effet, soit M une sphère à laquelle les rayons issus d*un point À sont d'abord normaux et soit M' la surface à laquelle ils

sont normaux après une série de réflexions ou de réfractions. Le lieu des points dont les distances normales aux surfaces M et H' sont les mêmes est une surface P bien déterminée ; d'après ce que nous avons vu plus haut, les rayons émis par A après une seule réflexion sur P prendraient leurs directions finales.

De même, le lieu géométrique des points dont les distances normales aux surfaces M et M' sont dans un rapport donné n est une surface Q bien déterminée ; d'après ce que nous avons vu plus haut, une seule réfraction à travers cette surface des rayons émis par A leur donnerait leurs directions finales, si le rapport de l'indice du second milieu à celui du premier est égal à n.