CAUSTIQUES — Soit M (fig

76) une surface à laquelle se trouvent normales les directions des rayons issus d'un même point A après un certain nombre de réflexions ou de réfractions.

FlG. 76.

Considérons une ligue de courbure m de la surface M ; les rayons normaux passant par des points de la ligne m infiniment voisins A et B se rencontrent, comme on le sait, en un même point K, le centre de courbure, en négligeant un infiniment d'un ordre supérieur. Il y a donc en ce point K une quantité de lumière plus grande

qu'en tout autre point pris sur l'un des rayons. A chaque partie infiniment petite AB, A|Blf AsBa. . . de la ligne de courbure m correspond un centre de courbure K, Kl9 K^.. . distinct en général, et le lieu de ces centres de courbures constitue une ligne k plus lumineuse que les autres points de la surface formée par les rayons normaux à M passant par m. Pour chacune des lignes de courbure m, m\ m" ... de la surface M, appartenant à la même série, il y a une ligne telle que k : le lieu géométrique des lignes k, k', k" . . . est une surface G plus lumineuse que les autres parties de l'espace et qu'on appelle une surface caustique (l). La caustique est réelle si les rayons la rencontrent effectivement, virtuelle si ce sont les prolongements des rayons qui la rencontrent.

Comme il y a sur une surface deux séries de lignes de courbures, les lignes d'une série coupant à angle droit celles de l'autre série, il y a, par conséquent, deux caustiques.

Dans le cas où la surface M est de révolution, les lignes de courbure de l'une des séries sont des cercles perpendiculaires à Taxe ; la surface caustique qui correspond à cette série se réduit à Taxe lui-même, chacune des lignes k correspondant à une ligne de courbure circulaire m se réduisant à un point de l'axe. Les lignes de courbure de l'autre série sont les sections méridiennes de la surface de révolution ; la ligne k qui correspond à une de ces sections méridiennes m en est la développée, et la caustique que forment ces lignes k est de révolution autour de l'axe. Au point où l'axe perce cette dernière surface les deux caustiques se rencontrent : il y a en ce point plus de lumière qu'en tous les autres points ; d'est un foyer (réel ou virtuel).

La lumière émanée d'un point lumineux A, en 6e réfléchissant i la surface d'un miroir sphérique, fournit un exemple de ce dernier cas : l'axe de révolution de la caustique est la droite qui joint la source lumineuse A au centre de courbure du miroir (*).

(1) L'identité de la lumière et de la chaleur rayonnante fait que, sur la caustique, il y a plus de chaleur qu'ailleurs : de là son nom.

(2) Comme exemple, nous allons établir la forme de la caustique dans nn cas simple, celui de la réflexion à la surface d'un miroir sphérique concave de la lumière envoyée par un point A situé au delà du centre de courbure C du miroir. Nous savons déjà que l'une des caustiques est faxe AC du

La réfraction de la lumière par un système dioptrique centré donne évidemment aussi une caustique de révolution autour de

point A et que, par raison de symétrie, l'autre caustique est de révolution autour de cet axe. La question revient donc a chercher la section méridienne de cette caustique, qui est le lieu des intersections successives des rayons réfléchis situés dans le plan de la section.

Prenons cette section comme plan de la figure 77. Soient AI et AI' des raypns incidents infiniment voisins situés dans ce plan, et a l'angle inflni-

Fic. 77.

ment petit qu'ils forment entre eux ; soient IB et I'B les rayons réfléchis correspondants, B leur point do rencontre, qui est un point de la caustique, et p l'angle infiniment petit qu'ils forment entre eux. Désignons par ta l'angle infiniment petit ICI', par p et p' les distances AI et IB, et par R le rayon CI du miroir. Abaissons du point I' les perpendiculaires l'P sur AI et I'Q sur BI prolongé ; on a les relations :

(1) l'P = p* I'Q = p'p II' = Rw D'ailleurs, les triangles rectangles UT et IQI' fournissent les relations :

(2) l'P = I'I cos II'P I'Q = I'I cos II'Q

Or, à la limite, l'angle II'P a ses côtés perpendiculaires à ceux de l'angle Tome II 25

t'axe du système, si le point lumineux A est sur cet axe. Dans ces deux cas, le point où Taxe coupe la caustique de révolution est le foyer conjugué du point A.

3. LIGNES FOCALES. — Considérons un élément infiniment petit |x de la surface M à laquelle sont normaux les rayons issus d'un

d'incidence AIC et, par conséquent, est égal à cet angle que nous désignerons par i ; de même à la limite, l'angle II'Q a ses m côtés perpendiculaires à ceux de l'angle de réflexion BIC et, par conséquent, est encore égal à i; il vient donc en remplaçant dans (2) :

(3) pet = R cocos t* p'p = RoiCos i

Du reste, les triangles AI'M et GIM fournissent la relation :

(4) MAI' + AI'M = AMC = MCI + CIM ou, en désignant par i' l'angle AI'M :

(5) a + i' = » + i d'où : i' — i = u — a

De même, la considération des deux triangles BIN et GNI' donne :

(6) p + i = u> + i' d'où : i ' — i - p — u On tire des égalités (5) et (6):

(7) a) — a = p — u> ou a + p = 2»

En remplaçant dans cette dernière relation g et p par leurs valeurs tirées de (3), a) s'élimine et il vient :

R cos i . R cos i 1 . i 2

(8) r— =; 2 ou — + — =

w P P P P Rcosi

Or, R cos i est égal à la moitié 1K de la corde IJ ; en désignant par if la longueur de cette corde, on a donc :

Cette formule est de la même forme que celle trouvée pour la position de deux foyers conjugués, dans le cas où les rayons sont infiniment voisins

point A après un certain nombre de réflexions ou de réfractions (fig. 81). Menons sur M une ligne de courbure m ; les rayons

de l'axa AO, et comprend cette dernière comme cas particulier. Elle permet de trouver la longueur p' de IB, d'après la connaissance de AI et de M et, ]far conséquent, de construire par points la section méridienne de la caustique (fig. 78).

Dans le cas particulier où le point A'est à l'infini, la formule (9) donne p' = f: la distance IB est le quart de la corde IJ. La section méridienne de la caustique est alors une épicycloïdo. -

En effet, soit (flg. 79) JI un rayon lumineux

parallèle à Taxe OC émanant du point A de l'infini, et soit IB la direction du rayon réfléchi. Décrivons un cercle ayant même centre 0 que le miroir mais avec un rayon r égal à la moitié du rayon R du miroir ; soit L le point où la normale 01 le rencontre. Sur IL comme diamètre , décrivons un second cercle ; le rayon r' de ce cercle est égal à

— = — . Abais- 4 2

sons sur IJ la perpendiculaire OK, et joignons le point L au point B' où IJ rencontra le petit cercle.

L'angle I B ' L étant droit, LB' est FlcTO-

parallèle à OK; il

en résulte que IB' égale B'K puisque OL est égal à LI ; par conséquent, IB' est le quart de IJ. D'autre part, en appelant B le point où le rayon ré-

normaux qui passent par cette ligne dans l'étendue de l'élément p se coupent au centre de courbure K on négligeant un infiniment petit d'ordre supérieur. A chacune des lignes de courbure m, m'fm"... de la même série, correspond un point tel que K; ces points K, K', K". . . forment une ligne par laquelle passent tous les rayons normaux à l'élément, c'est une ligne focale. Cette ligne focale est réelle si les rayons la rencontrent effectivement, virtuelle si ce sont les prolongements des rayons qui la coupent.

Il y a deux séries de lignes de courbures m, m', m" ... et n, n', n". . ., pour chacune des deux il y a une ligne focale K'KK" ou L'LL" qui se trouve évidemment sur la caustique correspondant à la même série de lignes de courbure.

Désignons par 0 un point situé vers le milieu de l'élément u;

fléchi coupe le petil cercle, les droites IB et IB' sont égales, comme cordes

d'arcs égaux, donc IB est aussi le quart de IJ, et B est un point de la

causliquc.

En désignant par i la valeur des angles égaux BIO, OIB' et IOF, l'arc

BL a pour valeur 2/r', et l'arc FL a pour valeur î'r; or, comme 2r* = r, les

arcs BL et FL sont égaux.

Il en résulte qu'un point Ûxe B du petit cercle décrit la section méridienne de la caustique, si le petit cercle roule sur le cercle fixe FL, le point B occupant primitivement la position F : cette section méridienne est une épicycloïde.

On démontre facilement que, dans le cas d'un point lumineux à l'infini envoyant des rayons sur un miroir cylindrique à section droite circulaire, l'une des surfaces caustiques est à l'infini et l'autre est un cylindre dont la section droite est une épicycloïde. L'expérience permet aisément de réaliser la coupe de cette caustique, en plaçant sur une feuille de papier blanc une portion d'un cylindre réfléchissant éclairé par une source lumineuse située très loin (flg. 80).

Fie. 80.

menons par ce point les deux lignes de courbures m et n. Si ces lignes ont même rayon de courbure, il y a en 0 une sphère osculatrice à la surface M (0 est un ombilic) ; l'élément p peut être considéré comme placé à la surface de cette sphère et, par conséquent, le centre A' de celle-ci est le point de rencontre de tous les rayons normaux à l'élément p : les deux lignes focales se réduisent alors à un même point A', qui est un foyer, les deux caustiques se rencontrant en ce point. Mais si les deux lignes m et n n'ont pas la même courbure, il y a deux lignes focales

distinctes rencontrant en deux points différents K et L le rayon OKL normal en 0. Tous les rayons normaux passant par m, dans rétendue de l'élément p, peuvent être considérés comme contenus dans un même plan, la section principale S tangente à m; par conséquent, la ligne focale L'LL" qui correspond à la série des lignes de courbures n', n, n" . . . étant rencontrée par tous ces rayons, se trouve dans celte section principale S. De même, la seconde ligne focale K'KK" se trouve dans la section principale T tangente à la courbe n. Or, les sections principales S et

FiG. 81

882 LIVRE V. — CHAPITRE IY

T sont perpendiculaires entre elles : les deux lignes focales sont dans des plans rectangulaires entre eux se coupant suivant le rayon OKL.

Supposons maintenant qu'un faisceau de rayons issus d'un point lumineux A pénètre dans l'œil après avoir subi une ou plusieurs réflexions ou réfractions. Comme le diamètre de la pupille est en général petit vis-à-vis des rayons de courbure des surfaces réfléchissantes ou réfringentes, les rayons lumineux qui pénètrent dans l'œil rencontrent la surface H à laquelle ils sont normaux en des points assez voisins pour pouvoir être considérés comme appartenant à un même élément ix ; ce que nous venons dédire s'applique alors à tous les rayons pénétrant dans l'œil, qui semblent venir de Tune ou de l'autre ligne focale. Si donc l'œil est placé à une distance convenable de celles-ci, il se peint sur la rétine une image de chacune d'elles; ces images étant perpendiculaires, Tune à l'autre, l'œil voit une petite croix lumineuse.

Les deux branches de cette croix ne sont pas vues, en général, avec la même netteté, car les lignes focales sont à des distances différentes de l'œil, qui ne peut être accommodé que pour la vision nette de Tune d'elles. Plus les deux lignes focales 6ont rapprochées l'une de l'autre, plus elles sont courtes et, quand elles sont à la môme distance de l'œil elles se réduisent à un point A' comme nous le savons ; dans ce cas le système optique donne une image nette du point A et, par conséquent, d'un petit objet dont A fait partie.

Si l'œil se déplace, les lignes focales se déplacent sur les caustiques correspondants (f).

Comme exemple, considérons d'abord la réflexion sur un miroir sphérique ou la réfraction à travers un système dioptrique centré, le point lumineux A étant placé sur Taxe du système. Pour une position quelconque de l'œil,. l'une des lignes focales est une portion de l'axe du point A, l'autre se trouve sur lacaus-

(1) Co que nous venons de dire pour les rayons reçus dans l'œil, peut s'appliquer également aux rayons reçus dans l'objectif d'une lunette astronomique, pourvu que le diamètre de celui-ci ne soit pas trop considérable * en donnant à la lunette un tirage convenable, on peut viser suoeesivemeat les deux lignes focales.

tique de révolution. Si l'œil est placé sur Taxe correspondant au point Av les deux lignes se réduisent au point A' où Taxe coupe la caustique de révolution, foyer conjugué de A. Si l'œil est placé très près de l'axe du point A, les deux lignes focales sont si courtes et si rapprochées qu'elles produisent encore sensiblement l'effet d'un point sur l'œil. Il en est encore de môme si le point A est très voisin de Taxe principal d'un système dioptrique, l'œil en étant voisin aussi. Ceci est d'accord avec ce que nous avons établi dans les deux paragraphes précédents où nous avons toujours supposé ces conditions remplies.

Considérons le cas particulier d'un point brillant placé dans l'eau et regardé à travers la surface plane du liquide : l'œil voit une croix lumineuse s'il regarde obliquement à la surface, et un point s'il regarde normalement. Une des lignes focales est suivant la perpendiculaire abaissée du point lumineux à la surface (axe du point) et plus rapprochée de celle-ci que le point. L'autre ligne est en avant de l'axe, dans une direction qui lui est perpendiculaire (*).

(1) Pour trouver la position de ces deux lignes focalos, considérons d'abord des rayons issus de A et faisant avec Taxe AO (fig. 82) un même angle at ; ces rayons, disposés à la surface d'un cône, font tous avec la normale à la surface MM', à l'endroit où ils tombent, le môme angle a<; par conséquent, pour tous ces rayons l'angle de réfraction a la même valeur aÈ. Il en résulte que les prolongements de ces rayons coupent tous l'axe AO en un même point : ce point de rencontre de plusieurs rayons est un point d'une des lignes focales.

Soit AI un de ces rayons incidents et IH le rayon réfracté correspondant, dont le prolongement coupe en B l'axe AO ; on a :

01 = AI sinOAI = BI sinOBI ou bien, en désignant par qt la distance AI et par qt la distance BI :

en désignant par »« l'indice de réfraction de l'eau et par n, celui de l'air.

Si maintenant nous considérons, au lieu des rayons qui forment avec l'axe l'angle a„ des rayons formant un même angle différent (a< -f" *i)i on aura pour le point de concours des prolongement des rayons réfractés un autre

. Nous prendrons comme second exemple la réfraction à travers un prisme de rayons passant près du sommet du prisme, l'œil étant placé dans la section principale qui contient le point lumineux A. Dans ce cas, par raison de symétrie, Tune des lignes focales a une direction parallèle et l'autre une direction perpendiculaire à l'arête du prisme. Cette dernière est toujours a la même distance de l'arête que le point A; quant à la première, elle est à une distance de l'arête variable avec l'incidence des rayons; mais pour l'incidence qui correspond au minimum de déviation, elle est aussi placée à la même distance de rareté

point B' de Taxe AO ; par conséquent une des lignes focales est suivant cet axe. Nous le savions d'après la théorie générale; mais la formule (1), trouvée par le calcul précédent, nous sera utile plus loin.

Considérons maintenant deux rayons infiniment voisins AI et AI' contenus dans un même plan passant par l'axo AO; les prolongements des rayons réfractés IH et I'R' auxquels ils donnent naissance se coupent en un point C. En désignant par a, et at -f- a, les angles que forment avec une normale à la surface les rayons incidents AI et AI' et par a, et a, + «* les angles que font avec ces normales les rayons réfractés 1R et I'R', l'angle IAI' est égal à a,, et l'angle ICI' à a,. Abaissons de 1 sur AI1 la perpendiculaire IP, et de I sur Cl' la perpendiculaire IP'; désignons par pt la distance AI et par pt la distance CI ; on a, puisque <xf et a* sont des infiniment petits:

(2) IP = a,p4 IP^ocft

d'ailleurs, en remarquant que IIP est égal à c, + «i et I'IP' à a« + <*,:

(3) IP = II' cos (a, + a,) et IP' = II' cos (a, + a,)

de (2) et de (3) on tire :

(4) *«P« __ «<P« ou P* «« cos («« + «J

cos (a, + a,) cos {ot + aj p% a. cos («, + a,)

comme a< et a* sont des infiniment petits — est la dérivée (a,)' de a, par

rapport à a,; d'ailleurs, a, et aÉ sont négligeables devant at et at> Il vient donc:

(5) £î = -L£2Lfî

p* (a«)' cos a«

que le point A. Les deux lignes focales se coupant, pour cette incidence, elles se réduisent à un point A', image du point A. Ainsi ce n'est que pour la position du minimum de déviation

En égalant les dérivées par rapport a at des deux membres de la relation n, sin a< = ft, sin a, , on a:

[6) nt co8 a, = (a«)' Ut cos a*

et, en remplaçant (aj' par sa valeur dans (5) il vient :

. pt ft, cosfa, pt pt

(7) — = — ou ' — -- — -

», co8*a, », cos'a, », cos'a,

Fig. Si.

On voit que la distance IC (=pt) est indépendante de a«, par conséquent, tous les rayons inflniments voisins de AI, ont, après réfraction, des prolongements qui se coupent en C : le point C appartient à la seconde ligne focale.

Ce que nous venons de dire pour un plan passant par l'axe AO s'applique à tout plan passant par cet axe. Pour tous ces plans le point C de la ligne focale est à une même dislance de OA : cette ligne focale, lieu des points C, est un arc de cercle perpendiculaire à l'axe OA.

qu'un prisme donne une image nette d'un point, et, par conséquent, d'un petit objet. C'est là une propriété importante à connaître, et qui explique pourquoi on dispose habituellement au minimum de déviation les prismes qui servent dans les instrumente d'optique (*).

(1) On peut trouver ainsi qu'il suit la position des lignes focales produites par un prisme, pour des rayons qui tombent près de son arête.

Remarquons d'abord que les rayons infiniment voisins qui se rencontrent en un point de la ligne focale parallèle à l'arête sont dans un plan contenant l'autre ligne focale c'est-à-dire dans la section principale du point A. De même, les rayons infiniment voisins qui se coupent en un point de la ligne focale perpendiculaire à l'arête sont dans un plan parallèle à cette arête.

Ceci posé, occupons-nous d'abord de cette dernière ligne focale. Menons du point A une normale AN (flg. 83) à la première face du

prisme, ainsi que le rayon lumineux AX qui tombe près de son arête X, dans la section principale passant par A, prise comme plan de figure.

Tous les rayons issus de A et qui forment avec AN le même angle i que AX sont sur la surface d'un cône , et nous avons vu (note de la page 388) qu'après avoir traversé la première face, la direction de ces rayons réfractés forme un nouveau cône K ayant encore AN comme axe, mais dont le sommet est en B, la dislance BX étant donnée par la relation (formule (1) de la note précédente) :

Fie. 83.

AX