REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D'UNE TRAH SFORHITIOI

On peut trouver des relations, parfois très importantes, entre les diverses propriétés d'un corps, en considérant les transformations successives que peut éprouver une masse détennioit de ce corps, et surtout en considérant celles qui le ramèneot i un même état, de manière qu*il n'y ait pas de variation dans il valeur de l'énerp^ie interne.

C'est Sadi Carnot (*) qui, le premier, a montré Tavanta^ de

(1) Sadi Caroot, ancien élève de TÉcoIe Polytechnique, éUit It ilf #

semblables considérations. Mais on doit à Clapeyron (*) une représentation géométrique fort commode pour indiquer la manière dont s'effectue la transformation.

Considérons une masse déterminée d'un corps homogène à température uniforme et telle que les pressions intérieures s'équilibrent. Supposons d'abord que ce corps conserve le même état physique; on peut regarder alors sa température et ses autres propriétés comme une fonction de deux variables indépendantes, son volume et sa force élastique, en désignant ainsi la pression uniforme qu'exerce le corps sur Tunité de surface du milieu qui Tentoure (^).

Ainsi, pour un gaz parfait, en représentant par t sa température, par V son volume, par p sa force élastique, par a le coefficient de dilatation des gaz parfaits, enfin, par m une constante, on a la relation :

pv

i+at

On peut faire varier indépendamment l*une de Tautre les deux quantités p et r; il en résultera généralement, une variation pour la température t et, par conséquent, pour les autres propriétés du gaz.

Si pour les gaz loin de l'état parfait, pour les liquides et pour les solides, la fonction du volume et de la force élastique qui reprc'sente la température est mal connue en géncVal, cette fonction n'en existe pas moins.

Supposons maintenant qu'umî masse déterminc'C d'une substance soit en (larlie dans^un certain état physique, en partie

Carnot qui a joué un si (^rand rôle nous la République et rous THnipire. Son remarquable ouvrage intitulé « Réflexions sur la puissance motrice du feu » a été publié en 1824.

(1) ncnoît-PauI-Emilc Clapeyron, membre de rinstitul, né à Paris le 26 férrirr \W.), est mort lo 28 janvier IWU.

(2) Il e^l riair qu'on pourrait choisir deux autres variables ind<'>poadaniCB, par exemple le volume et la température, ou la force élastique et la température, ou encore le volume cl l'énergie interne; ces choix peuvent être com* modes dans certains cas.

Ii6 LIVRE IV. — CHAPITRE XIII

dans un autre état, par exemple qu'elle soit en partie solide et en partie liquide, ou encore en partie Ujuide et en partie gazeuse, mais supposons toujours qu'elle présente une température et une force élastique uniformes. Dans ce cas, comme nous le savons, le mélange des deux états physiques du corps, pour une même force élastique, possède une température déterminée; la température n'est donc fonction que de la quantité p et est indépendante de V. Mais, comme le volume spécifique (volume de l'unité de masseï n'a pas la même valeur pour le corps dans les deux états physiques, ie volume v de la masse totale nous fait connaître It quantité du corps qui se trouve sous l'un ou sous l'autre élM physique. L'état de la masse considérée est donc aussi parfaitement délini par la connaissance de p et de v. Il en est encore ainsi dans plusieurs autres cas. Dans l'un ou l'autre de ces cas, pour représenter graphiquement

l'état de la masse, il sunitdés loi-s de porter en abscir^se b valeur v du volume, et en ordonnée la valeur p de )â force élastique. Le point M ^, (fig. 268 1, dont les coordoe-

nées sont r et p, est le poiâi ^ figuratif de l'état du corpi

Quand cet état varie d'une façon continue, le point M décrit une ligue qui repw-

0 '- ^ rrr sente la manière dont s'rf-

fectue la transformaiiott.

FiG. 9G8. ' Ainsi , si la transforai-

tion se fait sans changement de volume, la ligne a pour équation :

V = constante.

C*est une parallèle à Taxe des ordonnées ^fig. 269). Si, au contraire, la transformation se fait à pression consUnK, la ligne représentative a pour équation :

p = constante.

C'est une parallèle à l'axe des abscisses (flg.270).

lA CHALEUR EST UNE DES FORMES DE L'ÉNERGIE 117

Pic. 369.

Quand la Iransformotion se fait à température constante, la ligne rt'pn'stMitativc s'appelle nne ligne iso/Ae7*/ïie (').

Ainsi, pour un gaz parfait, si t est constant, on a, en vertu de la loi de Ma- 1 riolte :

pv = mii -j- ^t) = constante.

On reconnaît là Téqualion d'une hyperbole étjuilatère ayant pour asymptotes les axes do coordonnées diff.

271): une transformation d'un gaz parfait à tenip(Tature constante a donc pour ligne peprésentativ(» une portion

d'hyperbole. Pour chaque température, la constante ayant une valeur particulière, riiyperbole est différente; et plus la tempéralure est élev(''e, plus son sonunet est ('carté de l'ori-

Si la transformation s'opère sans qu'on communique de chal(;ur ù la masse (>t sans qu'on en retire, comme cela pourrait avoir li<Mi .si le corps coiisidé'n» était enfennt» dans une envtdoppe impé'né'trable à la chideur, la ligne repri*sentative de la Iransfonnation est app<d<*o ligne ndiuhntique t*). Nous i^tablirons plus loin que, pour

FlO. f70.

(1j De izt,; égal, et do Ocp|AÔ; chtiU'J.

{t} De à«ii?aTo; impénélralile. — Dans loul ce qui suit, nous réservons le nom de lijnt êJiabêtiquc à la ligue docrile par le point Oguraiif dans une

718 LIVRE IV. - CHAPITRE Xlll

les gaz parfaits, les iignes adiabatiques ont pour é.^ualion:

pv*" z=i constante

C étant la chaleur spécifique du gaz à pression constante, et r sa chaleur s[>écinque à volume constant.

Si le corps, après cire parti d'un certain étal A, revient exactement à cet état, la ligne qni représente sa ti ansforiuatioa est Termine (fijr. 27i); oa dit alors que le [»oint figuratif a décrit un rrcle ferme f *).

Quand il en est aioâi, la variation (rénergic interne est nulle, et si le corps reste au repos ou reprend à la lin la même force vive visible qu*au commencement, la variation de son énerpc loUle est nnlle. Aussi I3 — I, étant nul, réquation de réqiiivalence àe réduit à EQ = W.

Si Q est positif, la chtileur fourme au corps esi empJovt^ uaiquemcnl à effectuer le travail extérieur total (^) qui! accomplit

Fie. 271.

transformation effectuée (Tune manière réversible sans échan|;c de (voir g 13). Si la transformation n'est pas réversible, en efTcl, il ne «ufUlpit de dire qu'elle se produit sans échange de chaleur pour dcilntr Tt^iisalMB de la ligne représentative.

(1) Souvent, par extension, on dit que le corps a décrit une crriaio^ tifrat. ou a décrit un cycle fermé, pour dire que son point flguralif a «lécrit relit ligne ou ce cycle fermé. C'est plus bref, et il ne saurait en résulter aacaat confusion.

(2) Nous entendons par travail total la somme algébrique du travail tomnà [positif) et du travail reçu (Dégali/},

Fie. 173.

pendant sa Irnnsformalion; si Q est négatif, 7a chaleur cédée par le corps provient uniquement du travail extérieur total qu'il reçoit pendant sa transformation.

Donnons un exemple d*un cycle fermé qui nous sera utile plus loin.

Supposons qu'un corps éprouve une augmentation de volume sans changement de température : le point figuratif de son état décrira une portion de ligne isotherme AB {W^, 273). A par- Wv de Tctat B, faisons varier le volume du corps de manière que sa température

s'abaisse, mais sans lui fournir de chaleur ni lui en retirer : le point figuratif décrira une portion de ligne adiabatiquc BB'. Comprimons maintenant le corps tout on maintenant cette nouvelle température constante : le point figuratif décrira une portion B'A' d'une seconde ligne isotherme à une température (' plus basse que la première t.

Arrêtons-nous sur cette isotherme en un point A' tel que, sans fournir de la chaleur au corps ni lui en retirer, nous puissions ramener à Tétat primitif A . dans cette quatrième partie de la

iransformalion, le point figuratif décrira une partie A'A d'une ligne adiabatique

FiG. i73.

yi' R'

Ce cycle, composé de deux isothermes AB et B'A' et de ileux adiabatiques BB' et A'A, a été considéré par Carnot et porte son nom.

il. ÉVALUATION DU TRAVAIL EXTÉRIEUR. — Bien souvent, dans les problèmes de thermodynamique, la valeur du travail extérieur se réduit au travail qu'accomplit la masse quand, en augmentant de volume, elle repousse le milieu extérieur qui exerce une pression à sa surface {déleute)^ ou inversement au travail quelle reçoit quand son volume diminue.

Supposons que (es pressions extérieures soient normales k l'élément de surface pressé, comme cela aura lieu si le corps considéré ou si le milieu qui Tentoure est fluide. Dans ce cas la valeur du travail extérieur est aisée à calculer.

Désignons, en effet, par P li valeur de la pression par unité de surface, celle pression P étant constante pour toute te surface de la substance coosi* dérée. Soit v le volume ABC de celle-ci (fig. 274). Suppoei^oos qu'il augmente d*une très faible quantité Av et devienne A B'C. Soit MN la position d'un élcment de la surface, d'aire i, avant le déplacement, et MV sa position après le déplacement. La figure MNM'N' peut se considérer comme un cyliiidie dont Taxe i^droite joignant le centre de gravité des deux hèà^ est d'une longueur e très petite et fait un certain angle ^ aiac la direction de la normale. Son volume u est donné par :

U = StCOSf

Or le travail accompli par la pression normale Ps qui s*eiMce

sur l'élément est :

KlG. 974.

AW = — Pst COS ç = — Pu

LA CHALEUR EST UNE DES FORMES DE L'ENERGIE 721 et la somme des travaux des pressions est donné par :

2](-Pm^=-p2]m = -

PAr

Il est clair que celte expression est générale, ([uel que soit le signe de Ar.

Or le travail fourni par le corps ne diffère du travail des pressions que par le signe ; on a donc, en appelant aW le travail fourni pendant la variation de volume At; :

(l) AW=PAr

Supposons maintenant que le corps considéré soit toujours, à très peu près, on équilibre de pression avec le milieu extérieur (M, c'est-à-dire quep = P, Texpression (1) devient alors:

AW

{2) Au =wAr ou — — ^=p

Ar

p étant toujours i)Osilif, le travail AW est du signe Ar.

Cette égalité est d'autant plus exacte que Ai» est plus polit. Or, nous pouvons considérer le travail extérieur W, accompli ou reçu iMMidant une transformation détorminétî, comme une fonction du volume r; r<'»galité (â) devenant rigoureuse, quand Ar et, par conséquent, AW tend(;nt vers zéro, et la limite du rapport

AW

étant la dérivée W' du travail, l'on a dès lors, en toute

Ar r » »

rigueur :

(1,1 l.'n corp<t ne pout augmenter de volumo quo si Ba force élastique <*Bi supérieure îi celle du milieu environnant; il ne peut diminuer de volume que si M forre olislique est infcrieun'. Mais les dirTcrences peuvent être eztn'me* ment faibles et r(m peut avoir à très peu près p=zP,

D'après cela, il est facile de voir que le travail extérieur correspondant à une transformation représentée par une ligne AB

(fig. â75) a une valeur égale à celle de Taire S du quadrilatère ABba , compris entre la ligne AB, les deux ordonnées extrêmes Aa et Bfr, et la ligne des abscisses.

En effet, S étant une

fonction de Tabscissa r,

on sait que sa dérivée est

égale à l'ordonnée de la

— ^ courbe ; on a donc :

Fig «975.

d'où :

Par conséquent, en remontant aux fonctions primitives, ont:

W = S + constante

Mais la constante a une valeur nulle, puisque, quand Bfr se confond avec Aa, W et S sont nuls Tun et Taulre; on a donc

Si nous considérons toujours S en valeur absolue, on voit que Ton a W =^ -(- S '^^ ^^ volume augmente, c'est-à-dire si le point figuratif va sur la figure de A vers B. On a, au contraire, \V ^=: — S si le volume diminue, c'est-à-dire si le point figuratif va de B vers A.

Supposons ({ue le point figuratif décrive un cycle fermé ABCD

(fîg. 276); menons les ordonnées Aa et Ce correspondant au volume minimum Oa et au volume maximum Oc. p Considérons d*abord le cas où le cycle est décrit, a partir d'un point quelconque B, dans le sens BCDA. Le travail extérieur, en allant de B à C, est égal à -f- aire BCcb ; le travail, en allant de C à A, est égal à — aire C\ac ; enfin le travail, en allant de A à B, est -|- ft"*e ABfra. Le travail extérieur total W correspondant à la transformation représentée par le cycle est donc :

W ^ -faire BCt*— aire CAor j-aire ABba = -f aire ABGD

FiG. 270.

Le Iravail extérieur est positif, et a pour valeur Paire du cycle.

Mais si la transformation est telle que le mémo cycle soit décrit dans le sens BADC, inverse du précédent, on a :

W = — aire ABba ■\- aire CAac — aire BCcb = — aire ABGD

Le travail extérieur est négatif, et a pour valeur ahsolue Taire du cycle.

On voit que le travail est positif ou négatif, suivant que Taugluentation de volume a lieu pour des forces éla8ti(|ues supérieures ou inférieures a celles qui correspondent a la diminution de volume.

Si P ^ p, cette évaluation du travail extérieur n*est plus

exacte .

Dans le cas où la force élastique extérieure P est supérieure a la force élastique p du corps, le volume de celui-ci diminue

724 LIVRE IV. — CHAPITRE XllI

nécessairement ; alors le travail extérieur est négatif et supérieur en valeur absolue à celui que recevrait le corps pour la même transformation s'il y avait égalité entre les forces élastiques.

Si au contraire P est inférieur à p, le volume du corps augmente noccssairement : le travail extérieur est positif et inférieur à celui que fournirait le corps si les forces élastiques étaient égales.

On peut avoir un exemple de J un et Tautre cas en considérant deux masses gazeuses primitivement séparées dans deux vases distincts et sous des pressions différentes. Si, en ouvrant un large robinet, on les fait communiquer, l'un des gaz se détend, Tautre se comprime, les deux forces élastiques n'étant égales qu'à la fm de Topération.

Il résulte de ce qui précède que, si le corps décrit un cycle dans une transformation où il n'y a pas constamment égalité entre P et p, le travail extérieur W est toujours inférieur à ce qu'il serait dans le cas de Tégalilé, puisque dans la période de compression, le travail négatif est pl^ grand en valeur absolue, et que dans la période de détente le travail positif est plus petit.

12. DE LA CHALEUR DÉGAGÉE DANS UNE TRANSFORMATION ^* VERSE. — Supposons (ju'un corps subisse une transform»^^^^, représentée par une ligne AGB {h^. 277). Appelons Q la quim^^^'^ do chaleur nécessaire à cette transformation, Ij l'énergie int*^^ pour la position initiale A du point figuratif, I^ l'énergie int *^^^ pour la position finale B, et W| le travail extérieur fourni- V* le corps. S'il n'y a pas de variations dans la force vive sert -*^^

du corps due à un mouvement d'ensemble qu'il pourrait p der, on a :

(1) EQ = I, - I, + W,

Si maintenant le corps reprend son premier état, on a, en gnant par W^^ le travail extérieur dans cette seconde trans mation et par Q' la quantité de chaleur nécessaire :

,ssè-

(2) EQ' = I, - I, + W,

LA CHALEUR EST UNE DES FORMES DE L'ÉNERGIE 7à5 On tire des égalités (1) et (2) :

Fie. «77.

Si les travaux extérieurs sont égaux et de signes contraires, on a Q ^ — Q' : In quantité do chaleur nécessaire à une transformation est alors égale et de p signe contraire à celle qui est nécessaire pour le retour au premier état.

C*est une proposition qu'on admet en général comme évidente en calorimétrie. Ainsi, s'il se détruit 80 calories quand 1 gramme d'eau à 0° passe de l'état solide à l'état liquide, on admet qu'il se produit 80 calories dans le passage de

1 gramme d'eau à 0** do Tétat liquide à l'état solide. On voit pourtant que cette proposition n'est vraie, en toute rigueur, que sous la réserve indiquée ci-dessus.

On a toujours W\ = — \Vj, et la proposition précédente s'applique rigoureusement, dans le cas où, les travaux extérieurs se réduisant à ceux des pressions, il y a constamment égalité entre la force ('lastiquc du corps et celle du milieu extérieur, et où les transformations sont telles que Tune soit exactement l'inverse de l'autre; c'est-à-dire telles que si la première est repn'sentée par la ligne ACB, la seconde le soit par la ligne BCA. On a, en effet, dans ce cas :

\V\ = 4" ûire ABba et Wj = — aire ABba

13. TRANSFORMATION RÉVERSIBLE. -On dit qu'une transformation est effectuée d'une manière réversible quand le corps peut revenir a son état primitif en suivant en sens inverse les mêmes phases successives, la température et la [)ression extérieures repassant aussi par les mêmes valeurs, et en cédant dans cha-

que pliase une quantité de chaleur égale à celle qui Im a éi; fournie dans la phase correspondante de la première traD>foriiialion, ou vice versa. La transformation est effectuée dune maniùre non réversible dans le cas contraire.

Si nous ne considérons que des phénomènes thermiques et mécaniques, si nous laissons de côté, par exemple, réchauffement que peut produire dans un corps la décharge d'une hatterie ou le passage d'un courant électrique, nous pouvons reconnaître que pour qu'une transformation soit effectuée d'une manière réversible il faut que la température du . corps et sa force élastique soient constamment égales a la température ei à la force élastique du milieu environnant, et, en outre, que le corps n'éprouve aucun frottement, ni aucun choc.

En effet, si le corf»s est plus chaud que le milieu environnant il lui cédera de la chaleur dans la transformation directe, et U ne pourra lui en reprendre dans la transformation inverse: la transformation n'est pas effectuée d'une manière réversible. Pour des raisons analogues, la transformation est effectuée d'une manière non réversible, si le corps est plus froi^l que le milieu environnant.

Si la force élastiipie du corps est supérieure à celle du milieti ambiant, le corps se détendra, et il ne pourra diminuer de volmne dans la transformation inverse, si les conditions de presc^ioos extérieures restent les mêmes : la transformation est encijn? effectuée d'une manière non réversible. Il en est de même si la force élastique du corps est inférieure à celle du milieo exteneur.

Entin si le corps éprouve des frottements ou des chocs «ini créent de la chaleur, la transformation inverse ne peut avoir lien dansîes mêmes circonstances extérieures, car le corps ne pourrait recevoir alors une quantité de chaleur égale à celle qui a été cré-^'v par les frottements ou par les chocs et qu'il a cédée dans la trausfonnation «lireole.

II t^^t clair qu'une transformation ne peut jamais èiit effev-tuêe dune manière n-versible en toute rigueur. EIn elTet, si les t'.'m^^ ni turcs du corps et du milieu ambiant étaient exactement les îiîèmos. le corps ne pourrait ni perdre ni gagner de chaleur: >î les forces élastiques étaient exactement les mêmes.

le corps no pourrait pas varier de volume ; le volume et la quantité de chaleur ne variant pas, les autres propriétés resteraient les mômes : il n*y aurait pas transformation. On voit aussi qu'il est impossible que, pendant une transformalion, la température et la force élastique soient exactement les mêmes dans toute retendue d*un corps.

Mais la manièie réversible est un cas limite de la manière réelle d'effectuer une transformation. On conçoit qu'une très légère différence do température ou de force élastique suffise à produire un échange de chaleur, ou ù permettre au volume de varier, et qu'on puisse approcher de plus en plus des conditions nécessaires pour que la transformation soit efl'eduée d'une manière réversible. Si, en cfl'el, dans une transformation AGB (tig. 277), il y a eu à peu près égalité entre les temp(»ratures et entre les forces élastiques du corps et du milieu ambiant, on pourra, sans changer grand'chose à la température et à la force élastique extérieure, faire repasser le cor|)S par les mêmes états successifs, en sens inverse, de façon que le point iiguratif décrive la môme ligne dans le sens IJCA. S'il y a eu dilatation dans la première transformation, la force élastique du corps était très légèrement supérieure à celle du milieu ext('*rieiir; on produira la transformation inverse en rendant celle-ci, à son tour, très légèrement supérieure, ce qui n'entraînera qu'un faible changement dans sa valeur. S'il y a eu ahsorjjlion de chaleur dans le premier cas, il a fallu (pie la lenq)érature du corps fut un peu plus faible que celle du milieu environnant; on obtiendra la transformation inverse en rendant celle-ci un peu plus grande à son tour, ce qui ne changera que 1res peu sa valeur.

Très souvent, pour abréger, on dit que la Ivansformntion est réversible ou n'est pas réversible. Ce n'est là qu'une ellipse do langage : il n'y a pas de transformation qui soit par elle-môme réversible ou non réversible. Car, étant donnée une transformalion reï)r(\sentée par une ligne déterminée, on peut très bien supposer q\w le point figuratif ait (h'crit celle-ci dans des conditions telles (pi'il y ait toujours eu égalité entre les temptTatures et les forces éla^^liques inl<*rieures et extérieures, et sans qu'il y ait eu de frottements ou de chocs, auquel cas la transformation

aurait été effectuée d'une façon réversible ; ou bien, au contraire, on peut concevoir qu'une de ces conditions ou plusieurs n'aient pas été constamment satisfaites, auquel cas la même transformation aurait été effectuée d'une manière non réversible.

Quand une transformation représentée par un cycle fermé est effectuée d'une façon réversible (quand le cycle est rerersibk . et qu'il n'y a d'autres forces extérieures capables de pr*)duire un travail que les pressions, l'aire de ce cycle donne la valeur do travail extérieur accompli, et, en la divisant par réqaivaleat mécanique de la chaleur, on a le nombre de calories nécessaires a la transformation.

Nous verrons mieux encore, dans le chapitre consacré a la loi de Camot, Tutilité de cette distinction entre les transformations réversibles et non réversibles.