BALANCE

1. MESURE DES POIDS ET DES MASSES. — Un poicls, étant une force, peut se mesurer à l*aide d*un dynamomètre à ressort. Mais cet instrument, ou est grossier, et n*a aucune sensibilité, ou, s*ii est délicat, varie avec le temps dans ses indications, Télasticité du ressort ne conservant pas la même valeur : on ne peut pas s'en servir dans les mesures précises.

La méthode employée pour la mesure exacte des poids repose sur Tégalité qui existe entre le poids d*un corps et le produit de sa niasse par l'intensité de la pesanteur (p = mg)

Four déterminer le poids, on aura, d'après cela, deux mesures à effectuer: 1" celle de la masse du corps, quantité invariable, quel que soit le lieu où il est transporté ; â"" celle de l'intensité de la pesanteur, quantité variable d'un point du globe à un autre, comme le poids du corps lui-même.

Nous avons vu comment on effectuait cette dernière mesure. Pour déterminer la masse, on cherche combien celle-ci renferme de fois une certaine masse prise commo unité. L^appareil qui sert pour cela est la balance. Cet instrument permet de reconnaitre, par une opération appelée pesée^ si, en un môme lieu, les poids de deux corps sont égaux entre eux, et, par conséquent, s'ils ont me me masse.

On commence par se pix)curer des masses multiples ou sousmultiples de l'uuité adoptée. Par un tâtonnement régulier on obtient un morceau de cuivre ou de platine «poids dans le

MESURE DES POIDS ET DES MASSES. — BALANCE dl3

langage usuel), qui pèse autant que Tunité de masse, et qui peut la remplacer. On en construit deux semblables ; puis un troisième poids qui pèse autant que les deux autres ensemble, et qui, par conséquent, a une masse double de l'unité; et ainsi de suite. On arrive à construire des boites de poids contenant :

2 poids égaux à 1 unité

i poids égal à 2 unités

i poids égal à 5 unités

2 poids égaux à 1 dizaine d*unités

1 poids égal à 2 dizaines d'unités

1 poids égal à 5 dizaines d'unités

2 poids égaux à 1 centaine d'unités 1 poids égal à 2 centaines d'unités 1 poids égal à 5 centaines d'unités

et de même pour les mille, les dizaines de mille, etc. En associant convenablement les trois premiers poids, on peut avoir des masses égales à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 unités ; en associant entre eux les trois suivants, des masses égales à 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 unités ; et, par conséquent, en les combinant aux trois premiers poids, on peut avoir des masses représentées par les nombres compris entre 1 et 99 inclusivement, en y ajoutant les trois suivants, par tous les nombres compris entre i et 999; et ainsi de suite.

Ces boîtes contiennent aussi des séries de 4 poids chacune (1,1, 2, 5,) (*) donnant les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc., d'unité.

La balance nous permet de reconnaître combien il faut prendre de ces unités ou fractions d'unité pour qu'elles pèsent autant que le corps étudié; ce résultat obtenu, la masse de celui-ci sera donnée par la lecture de la masse des poids.

La masse du corps étant connue, pour avoir son poids, on

(1) On peut remplacer les quatre poids (1, 1, 2, 5) par (1, 2, 2, 5), qui per-

mattent d'obtenir tous les nombres compris entre 1 et 10 inclusivement. Pour

las poids trè« petits (donnant par exemple les grammes, les décigrammes,

lee eenUgrammes, etc.), on préfère généralement cette dernière combinaiso n

le poids 2 étant plus gros et plus maniable que le poids 1.

il4 UVRE II. — CHAPITRE IV

multiplie celle-ci par Tintensité de la pesanteur, comme nous Tavons déjà dit; on voit qu'en opérant de la sorte on prend comme unité de poids la force qui^ agissant sur f unité de masse, lui communique f unité d accélération.

C'est ainsi qu*on procédera toutes les fois qu'on voudra connaître la force réelle qui sollicite le corps à tomber, c'est-Âdire le poids^ tel qu'il a été défmi plus haut. Mais nous nous empressons d'ajouter que, le plus souvent, la connaissance exacte de cette force est inutile, et que celle de la masse, qu'une pesée suffit à donner, intéresse seule. Par exemple, dans les transactions commerciales, on achète non pas tel poids d*une substance qui, pour une même quantité, varierait avec l'endroit où se ferait la mesure, mais bien telle masse de cette substance (>). Et même, quand on veut être renseigné sur le poids même d'un fardeau, pour connaître l'effort qu'il faut faire pour le soulever, la connaissance de sa masse suffit seule en pratique, parce que nos muscles, ou les engins employés pour exercer l'effort, sont incapables d'apprécier la très légère différence de poids qu'une même masse possède aux divers points du globe.

Aussi, estrce tout à fait exceptionnellement, et pour les besoins de la science seulement, qu'on cherche à déterminer le poids véritable {mg) d'un corps. En réalité, constamment dans le langage usuel le moi poids est employé pour le mot masse : ainsi, quand on dit qu'on achète au poids, on achète à la masse.

(2) Supposons que les transactions commerciales se fassent au poids ré«l,

que le dynamomètre à ressort ait remplacé la balance; il faudrait, en lonU

rigueur, avoir un tarif variant avec chaque localité en raison inrerse de

rintensité de la pesanteur. Avec un tarif uniforme, il en résulterait det

erreurs qui pourraient ne pas être toujours insigniûantes. Pour le montrer»

supposons qu'on achète au Pérou, à Lima, 1000 kilogrammes-poids d*or, à

raii»on de 3 520 francs le kilogramme-poids, celui-ci étant une força bien

déflnie, par exemple, le poids d'un décimètre cube d'eau pure à 4* à Paris.

Cette m6me masse d'or achetée S 520 000 francs, transportée à Paris, pèss-

080 96 rait 1000 X rrr^r. = 1002,860 kilogrammes-poids (080,96 at 978,34 étant

respectivement les intensités de la pesanteur à Paris et à Lima). On aoralt donc, en revendant à Paris au même tarif, un bénéQce illégal de 2^,680 d*or» éoit en francs, 0438 (Hncs, ce qui n'est pas insigniflant, même sur un marché ausAÎ considérable.

2. BALANCE. — La balance ordinaire se compose d'un levier rigide BA (flg. 30) appelé fléau, pouvant osciller autour d*un axe horizontal C. Aux deux extrémités A et B, et à des distances égales de Taxe, sont suspendus, d'une façon très mobile, deux plateaux ou bassins de même poids ; c'est dans ceux-ci qu'on place l'objet à peser et les poids marqués. Nous appellerons

KiG. 30.

direction du fléau la ligne droite BA qui joint les points de suspension des plateaux ; cette ligne doit passer par l'axe de suspension C.

Les deux bras du fléau CA et CB étant parfaitement symétriques, le centre de gravité de celui-ci se trouve dans un plan passant par Taxe perpendiculairement à la direction du fléau. Il en résulte que, pour le fléau oscillant seul (sans les plateaux), la position d'équilibre est celle dans laquelle la direction de celui-ci est horizontale. Une aiguille fixée au fléau et dont l'extrémité se meut le long d'un arc de cercle divisé, pointe alors le zéro de la graduation. Toutes les fois que, dans une pesée, l'aiguille reste immobile dans cette position, on dit que l'équilibre est établi. Si l'on vient maintenant à suspendre les plateaux vides, ceux-ci étant de même poids et symétriquement placés par rapport à l'axe de suspension, l'aiguille pointera encore le zéro, quand le fléau aura cessé d*osciller. Il en sera évidemment de même si les poids mis dans chaque plateau sont égaux entre eux. Mais, si l'un est plus lourd que l'autre, la résultante des poids inég;aax qui agissent aux deux extrémités A et B ne passant plus par l'axe de rotation, l'équilibre n'est plus possible pour la direction horizontale du fléau : il s'incline vers le poids le plus fort. En même temps que le fléau s'abaisse du côté de l'excès de poidSf son centre de gravité se relève de l'autre cdté ; le

poids du fléau tendant à le ramener dans la première position, les deux forces peuvent se faire équilibre, et, après quelques oscillations, le fléau peut rester immobile dans une position plus ou moins inclinée.

3. PESfiE. — La simple pesée se fait en mettant le corps dans Tun des. plateaux et des poids marqués dans l'autre, jusqu'à ce que l'aiguille revienne au zéro. Il faut opérer méthodiquement, si Ton ne veut pas perdre un temps trop long en tâtonnements. On trouve facilement deux poids se suivant dans la boite dont l'un est trop fort et l'autre trop faible ; conservant ce dernier dans le plateau de la balance, on y ajoute le poids plus faible suivant ; s'il est trop fort, on remplace ce dernier par celui d'après, s*il est trop faible on le garde et Ton ajoute le poids suivant ; on procède pour lui comme pour le précédent, et ainsi de suite.

Quand l'équilibre est atteint, l'aiguille pointant le zéro, ou oscillant également de part et d'autre de ce zéro, l'ensemble des poids marqués, placés dans l'un des plateaux, pèse autant que le corps, placé dans l'autre plateau, si la balance est exacte.

Nous allons chercher maintenant quelles sont les conditions d'exactitude de la balance, et, pour cela, nous allons établir une relation qui donne l'angle dont s'incline le fléau pour des charges déterminées dans chaque plateau.

4. CALCUL DE L'ANGLE DONT S'INCUNE LE FLÉAU. ^ Dans 06 calcul nous supposerons une longueur quelconque à chacun des bras du fléau, et, en outre, nous n'admettrons pas que la droite qui joint les points de suspension des plateaux rencontre forcément l'axe de rotation, pour plus de généralité, et pour voir si ces conditions sont nécessaires à Texactitude de la balance.

Quand aucune force n'agit aux extrémités du fléau, le centre de gravité G (flg. 31) vient se placer dans le plan vertical XY, passant par l'axe.de suspension 0. Prenons, comme plan de la figure, un plan perpendiculaire à cet axe ; soit alors Â et B les projections des axes de suspension des plateaux. Posons

OG = d OA = I OB = i' AOG = p BOG = r

Appliquons maintenant en A et en B deux forces verticales F et P. Sous l'influence de ces forces, le fléau s'inclinera d'un angle a

FiG. 31.

et prendra une nouvelle position d'équilibre A|OB|, dans laquelle son centre de gravité sera relevé en G|; on a:

[« = AOAi = BOBi = GOG|

Puisqu*il y a équilibre, la somme des moments de toutes les forces par rapport à un plan quelconque est nulle. Prenons pour plan des moments le plan vertical XOY passant par Taxe de suspension du fléau. Avec ce choix, le moment de la résistance de Taxe est nul, puisque le point d'application de cette force est dans le plan des moments.

Pour avoir les moments des autres forces, abaissons sur le plan XOY les perpendiculaires A|a|, B^b^y Giffi ; les moments des forces F et F' et du poids n du fldau, appliqués respectivement en A|, B| et G|, sont:

— F X AiOi = — F/sin (p — a) ^- F X B,fr, = + P/'sin (p' + «) + n X G^g^ = + nrfsina

et leur somme étant nuHe on a :

ridsina + Prsin (p' + a) — FIsin (p — a) = 0 d'où Ton tire :

F/sinS-- FTsmô' (1) tanga= ^ ^

nd+F/cosp + FTcosp'

5. CONDITION D'BXACTITUDE DE LA BALANCE. * Une balance est exacte si, des poids égaux étant placés dans les plateaux, le fléau prend la même position d'équilibre que celle qu'il possède quand aucune forc« n*agit à ses extrémités, en d'autres tennes, si a = 0. Soient P et P' les poids des deux plateaux et p la valeur des poids égaux mis dans chacun d'eux; on a F = P + P» F' = P + P- Or, la condition nécessaire et suffisante pour que a soit nul est d'avoir :

F/sinp — P/'sin?':^0

P/sinS — PTsinô' + p (Isinp — fsin^') = 0.

Comme cette dernière égalité doit avoir lieu quel que soit p, 3 faut avoir séparément :

/sinS— rsin?'=0 P/sinS — PfsinS' =0,

ce qui revient a avoir :

/sinS = fsinS'

Ainsi, pour que la balance soit exacte: !• Il faut que les distances Aa {= Isinp) et Bi(= l'sïnp') des points de suspension des plateaux au plan passant par le centre de gravité et par Taxe de suspension du fléau soient égales. Ce sont ces distances Aa et Bb qui doivent s*appeler les bras du Beau : il faut qu'ils soient égaux.

2'' Il faut que les poids des deux plateaux soient les mêmes ; condition bien évidente.

3® Enûn, nous avons supposé dans ce qui précède que le centre de gravité de l'ensemble d'un plateau et des objets qu'il contient se trouve dans le plan vertical passant par l'axe de suspension (A ou B) de ce plateau, puisque nous avons transporté le poids (F ou F') en ce point. Ceci ne peut avoir lieu, quelle que soit la position de l'objet dans le plateau, que si celui-ci est suspendu dune façon très mobile à l'extrémité du fléau. Telle est la troisième condition d'exactitude. Si elle n'est pas remplie, le plateau ne pourra pas osciller autour de son axe de suspension, et alors, suivant la position de Tobjet, la verticale menée par le centre de gravité du plateau et de son contenu rencontrera le fléau en des points différents; ce qui produira le même effet qu'un bras de levier trop long ou trop court, et rendra la pesée inexacte.

Cette troisième condition est très aisée à remplir. Mais il n'en n'est pas de même des deux premières. Le constinicteur s'efforce de rendre symétriques autant que possible les deux parties du fléau. Or cette condition, fût-elle parfaitement réalisée à un moment donné, ne le sera généralement plus au bout de "quelque temps. Il sufût d'une tache de rouille, d'un peu de poussière, ou môme d'une différence de température pour altérer l'égalité des deux bras du fléau, en déplaçant le centre de gravité.

Heureusement que les deux premières conditions ne sont pas nécessaires pour effectuer une pesée exacte par la méthode que nous allons indiquer.

6. DOUBLE PESÉE. — On place Tobjet à peser dans l'un des plateaux de la balance, et Ton fait équilibre à son poids au moyen de grenaille de plomb, ou de grains de sable, placés

dans Tautro plateau : on fait la tare. Cette opération effectuée, on rotiro l'objet, et Ton met à sa place des poids marqués jus- (|m*ii ce que Téquilibre soit rétabli. Il est clair que ceux-ci, produisant sur la balance exactement le même effet que le corps, ont inômo poids quo lui et, par conséquent, môme masse, quand nu^nie les bras du flt^au seraient inégaux, ou que les plateaux n'auraient |)as le même poids.

(letto méthode est donc bien préférable à celle de la simple postk\ Dans bien des cas, du reste, elle ne nécessite pas un plus grand nombre d*opérations, par exemple, quand on a à chercher Taugmontation ou la diminution de masse qu'éprouve un objet, par suite d'un traitement auquel on le soumet. On fait d'abord la tare do cet objet, en ayant soin de placer dans le plateau où il se trouve un poids marqué d*une masse supérieure à Taugmontation présumée; puis, l'expérience faite, on replace Tobjot sur le même plateau, et l'on ajoute ou l'on retranche des |>oids marqut'^s jusqu'à ce que l'équilibre soit rétabli : la quantité igouttv ou retranchée donne directement la variation de niasse chorvhéo.

T. SBISIiarrt de la BALAHCE. ^ Une balance est dite sensible quauvl^ |K>ur un faible excès de poids dans Tun des plateau\« lo flôau s'incline d'une fa^on visible. Cest de la sensibilité d une balance que dépend la prt^rision de la pesée effectuée (wir U méthode (M^vêdente. C est donc la quahté qui caractérise une t>onne balance.

Le formule il' S 4 ^t nous montrer de quoi dépend cette seusibilité. Si I ou fait agir des forces F et P telles que a soit nul on a :

Flsux5 = Kf^5'

S. xA:utetuu:t ou A joinl i F im cxc*^^ de fon.^ A on a

lU - K— •' ..v;>^ - Fi\»^i

MESURE DES POIDS ET DES MASSES. — BALANCE Itl cette formule, en vertu de l'égalité précédente, se simplifie ;

car en remplaçant F V par FI . ^ , elle devient : '^ ^ smp

J/^siapsinp'

°^*~ ndsinp' + Fisin (p + p') + /-icospsinp'

Remarquons d'abord que, si p + P' ®st inférieur à w, c'està-dire si le plan joignant les axes de suspension des plateaux passe au-dessous de l'axe de suspension du fléau, la valeur de tanga, toutes choses égales d'ailleurs, est plus faible quand F est plus grand : la sensibilité de la balance diminue quand les charges placées dans les plateaux augmentent. C'est un inconvénient ; aussi les constructeurs s'efforcent-ils de mettre autant que possible en ligne droite les trois axes, et de rendre les deux

bras du fléau sjTnétriques, ce qui donne p = p' = —-. S'il en est

ainsi, la sensibilité est indépendante de la charge totale ; et la formule précédente devient plus simple :

Pour un môme excès de charge /*la valeur de tanga est d'autant plus grande, que —.^ facteur de /*, est plus considérable.

lie*

On augmente donc la sensibilité :

1*" En augmentant la longueur { des bras du fléau. ^ En diminuant le poids n de celui-ci. 8"* En diminuant la distance d de son centre de gravité à Taxe de suspension (*).

(1) Remarquons que, si le centre de gravité coïncidait arec Taxe, la sentibilité serait infinie : le moindre excès de charge ferait trébucher complètement le fléau, qui, seul, serait en équilibre dans toutes les positions. U

Eatin, il est une quatrième condition de sensibilité bien évi* (lente : il faut que le fléau soit parfaitement mobile autour de son axe de supension.

Comme cette mobilité diminue toujours quand la charge augmente, qu*en outre, le fléau fléchit légèrement sous l'eflort de cette charge, et qu'alors les axes de suspension des plateaux se trouvent un peu au-dessous de celui du fléau, la sensibilité est toigoui^s moindre quand la charge devient plus grande. Aussi, dans la désignation de la sensibilité d*une balance, doitron dire qu'elle est sensible à tel excès de poids pour telle charge dans les plateaux ; par exemple, qu'elle est sensible au denû-milligramme pour 200 grammes dans chaque plateau.

8. DESCRIPTION D'UNE BALANCE DE PRÉCISION. — Nous aUoos voir maintenant comment on réalise les conditions de sensibilité

Le fléau doit être long et léger, quoique rigide ; pour cela« il est constitué par une lame de métal placée de champ ayant la forme d*un losange très allongé (BA fïg. 80) ; celui-ci est évîdé» ce qui diminue son poids sans compromettre sa rigidité.

Pour réaliser un axe de suspension qui produise le moins de frottement possible, cette lame est traversée perpendiculaire» ment à son plan par une prisme d*acier C à angle aigu, appelé couteau^ dont Tarète, dirigée en bas, repose horizontalement par ses extn^mités sur deux plans d'acier ou d'agate bien polis (chape). Cette arête est très légèrement arrondie pour ne pas couper les plans qui la supportent; c'est elle qui, restant fixe pendant l'oscillation, constitue l'axe de suspension.

Pour apprécier facilement les petites déviations du fléau, une longue aiguille descendante £ ifig. 92,) est fixée i celui-ci. Sa pointe se meut devant un arc de cercle divisé G, placé entre les colonnes qui supportent la chape.

Nous avons vu, qu'en diminuant la distance du centre de gravité du fléau à Taxe de suspension, on pouvait augmenter indé-

9er«U fttoor* plus maoTmis de mtcire U ceotre de grtTité au-dess«s àm l'as* «le nispetuioA. car le fleavu «ifal« resterait toojoors pancbè da c6lâ oà on Fa iaelÙM, et il p<i>arrait »• (aire que« le* p&ateaox étaat arnspeiidiu à MS «xtréoùtêa, U (Uaa ne«tit penché dn c«}tè do poids la plos faibl"*.

Biùment la seosibilitë de la balance. Cette propriété permet de régler celle-ci au gré de l'expériinentateur (■}. Une vis placée audaiisas de l'arête da couteau, et dans le plan de symétrie du fléau

porte no bouton de laiton ou, plus souvent, deux boutons B, de gntsenrs inégales, qui forment écrous. En les tournant, dans un nu ou dans l'autre, ils s'élèvent ou s'abaissent, et, par consé- <Iiient, rapprochent ou écartent le centre de gravité de l'axe de oupension. Pour un même déplacement, te gros bouton fait ptoBvirier la position de ce point que le petit; celui-ci permet ■ûsi de parfaire plus facilement le réglage.

Pour suspendre d'une façon très mobile les plateaux, on em- I^e plusieurs procédés. Le plus souvent, à chacune de ses

l'i D D'nt pu toujonri aTaolafteiiz d'avoir uns balance d'uoe Mosibiliti ^t^, or 1m pelées deviennent alori eilrfmemBal longuet.

extrémités, le flt^eu porte un couteau d'acier I (fig. 33) à arête dirigée eo haut et parallèle au couteau du milieu : ce soot In axes de suspension des plateaux. On s'arrange pour que les arStes des trois couteaux soient, autant que possible , dans un même plan. Uu ijurface plane E, on acier poli, repose sur chacni <)o ces couteaux; c'est elle qui, par l'iaterm^ iJiaire de deux branches en forme d'étrier, d'ui crochet et d'un anneau K, supporte le plateau. La balance est enfermée dans une cage « verre (flg. 32) qui la protège contre les agitations de l'air au moment de la pesée ; en outre, 00 évite ainsi la poussière, et, en mettant dans la cage des substances avides d'eau (chaux, ponce Rulfurique), l'air se dessèche, et les pièces d'ader ue s'oxydent pas. Des portes, placées vis-à-vii de chaque plateau, permettent d'y déposer let objets ou lee poids.

Quand les arêtes des couteaux reposent sur les plans correspondants, ces pièces s'useal réciproquement par leur contact. Pour éviter cette usure lorsque la balance ne sert pas, un système de levîci's F, F', mis en mouvement par un bouton T place extérieurement à la cage, soulève le fléau, et empêche l'arête du couteau de reposer sur la chape. En même temps, une Fie. Si. Oisposition du même genre soulève les étners

qui portent les plateaux. En tournant le bouton en sens inverse, les leviers F, F' s'abaissent, laissent reposer doucement le couteau central sur la chape et les étners des plateaux sur les arêtes des couteaux extrêmes. Cette disposition est aussi fort utile pour les pesées : on ne doit jamais mettre uo poids dane l'un des plateaux, et surtout l'en ôter, sans avoir auparavant immobilisé le fli'-au en le soulevant à l'aide des leviers F, F ; sans quoi, les secousses imprimées par la main risquent de blesser l'instnimont. L'opûration faite, en tournant le bouton T, oa permet au lléau d' osciller, pour voir si le poids qu'on vieot de poser est convenable.

Les poids qui représentent les fractions du gramme, sont formés de lames de platine découpées en carré qui, à cause de leur petitesse, doivent être prises avec une pince; les dixièmes de milligrammes, limite extrême des poids employés, sont si petits, si légers qu*il devient très difficile de les saisir même avec la pince. On remédie à cet inconvénient de la façon saivante.

Le fléau présente au-dessus de chacun des bras, et parallèlement à leur direction, deux règles métalliques plates, horizonlaies, AO, h'O partagées chacune par des crans en dix parties ^;ales, le cran d'origine est en 0 dans le plan passant par le centre de gravité du fléau et par Taxe de suspension, et le dernier cran est dans le plan parallèle au précédent passant par l'arête du couteau qui porte le plateau : le bras du fléau se trouve ainsi divisé en dixièmes. Un petit cavalier, formé par an fil de platine (flg. S4), pesant juste un milligramme, peut se mettre à cheval sur l'un des crans. Si l'on place ce cavalier sur le dixième cran, c'esti^re au-dessus du couteau qui soutient le plateau, c'est comme si l'on plaçait un milligramme dans celui-ci. Mais, si l'on vient à

FlO, 34.

poser le cavalier sur un autre cran, le troisième, par exemple, à partir du milieu du fléaUy son poids, agissant sur un bras de levier qui n'est que

laa — du précédent, produira le même effet qu'un poids de

— de milligramme placé dans le plateau. Deux tiges cylindriques K et K', traversant à frottement les parties latérales de la cage, se terminent par des crochets en forme de bayon- Bette; elles permettent d'enlever le cavalier et de le poser an cran voulu d'une manière commode, sans être obligé d'ou- ▼lir la cage.