V . ' ita-i-, '-^j*?: A T : n ^ =1 •. . Cescoellto
Pour un corps qui possède une même dilatation linéaire dans toutes les directions, et qui, par conséquent, affecte des formes géométriquement semblables aux diverses températures, ce qui est le cas le plus commun, il y a une relation très simple entre la dilatation linéaire X et la dilatation cubique A .
Soient effectivement V^ ®*'o' ^i ^^ h ^^ volume d'un corps et la longueur d'une de ses dimensions linéaires à O*" et à t"*, on a :
Mais, puisque dans les deux états, à 0"" et à V^ les deux solides sont géométriquement semblables, on a la relation :
ou 1 + A^ = (1 + \)
ce qui, en développant, devient:
Or l'expérience montre que >^ est toujours très petit, ainsi
pour le cuivre entre 0° et 100° du thermomètre centigrade on a X^ = 0,0017 ; il en résulte que les quantités 3>^* et X^^ (égales
''espectivcment dans l'exemple choisi à 0,00000867 et à 0,000000001913) sont absolument négligeables ; dès lors l'égalité <5i-de8sus se réduit à :
dilatation cubique est le triple do la dilatation linéaire. ^si clair, d'après cela, que les divers coefficients de dilatation ^^^ique (moyens, vrais, etc..) sont respectivement le triple des ^^fllcients de dilatation linéaire correspondants.
DILATATION DBS CRISTADZ. — Lee corps crislalliBéB oni ea (toM des coefQcicnls de dilaUl ion linéaire variables suivant la dir«ction coniidirtt h l'inlérieur du crialal. Il en résulte qu'un plan de {articules criiltlUtM m reste généralement pas parallèle i lui-mfme pendant In dilatation, comat cela a lieu dans les corps amorphes, et que le solide ne raate paa senUiM) à lui-nH-inc.
L'expérience montre que dans tout cristal on peut trouver troii dinetioDB ractan^laires oM elles, telles que les ptaM perpendiculaires à cet Irait directions restent parilltla à eux-mêmes peadanl 11 dilatation. Nous appelltnol ces directions les trois dU reelioos priacipalea, et In trois dilatations linéaires ^ néralemenl dirTérente* E^. v (f suivant ces trois dinclions les JiliUlioasIiaéimt principales.
Prenons pour aies dt egordonnées trois diracliou 'X principales OX, OY »i OZ, passsDl par nn même poislO (Og. 166). Soit Xg la disliBM OQ S l'origine O, d'nn pl« MPQR prTpeadirulairt i 01 quand la lempenlare nl<^; ai la température s'éltit l f, ce plan se déplace psnilëlemoQl â lui-même. H «
nOUTCll» jtiiiljm-> OQ' =z t^
de mfme pvur des plans perpendiculaires à OY et â 07, on aunil:
in f, = »,."- '■, <* '1 = -«■' -r î('
Ctin!iid''ri. 3S mainienaot ane particule nîsUllior 4|neIeiMq« W* r»ïp«cliit'iiii'nt les position» SI rt M' à fr «l à ï". Noos pooTOBs ta m d4r*r commf se Ironvaoi à la fuis dans trois plans respecUveaMi f^ ilictilairts j OX, OY. OZ tl siIum a de* distances x, f , ^ de l'">l
i,y,;éUBl précisément les coordonnées de la particule cristalline. Ces ibDS soDt à des distances Xq Pq Zq de Torigine à la température 0* et,
i k température I*, à des distances x^ y g z^ fournies par les formules
ckdeiios. Celles-ci donnent par conséquent les coordonnées du point coniitfé à la température t, DéHgDons par /^ et l^ les distances de M et de M' à Torigine et par
V^V«/tP|ir/ 1^ angles faits pas les directions OM et OM', avec ^ OY et OZ aux températures 0* et r* ; on a :
Xq = /o^^s*o (2) Vq = /qCosPo
Zq = IqCOS^Q
Xf = IfCOSOLf
'•k Ton Ure :
/|COsa^ = /ocosa^ ( 1 -[- 1/ )
(4) /^cos?^ = /ocos^o (1 + r,i)
/^cosY^ = /oCosYo ( l + Ç/ )
I ^ ^'oQtant membre à membre ces trois égalités après les avoir élevées • «^, il vient :
„ijg^'*'^PPant les carrés des binômes, en négligeant les carrés des '^ petites 1/, Ti#, C/ et enfin en extrayant la racine carrée des deux
"^'^•' Vient:
^/ = /o(l + 2$/COS««o + Sri^cos»?^, + 2C^cos*Yo) •
p^.^^-^ïit que dans la parenthèse la quantité qui suit l'unité est jjç ' **^*4s pouvons, au même degré d'approximation que ci-dessus '*^*'^~ré et ses puissances supérieures, ce qui limite le développe-
<l«Utfc.,i 1
sance z* et l'on a :
'' ^=^ 'o(* + Ç<C08\ + TJ^COS»^^ + C/C0S«Yq)
Cette formule montre bien que la dilatation varie avec la direction sidérée dans le cristal.
Les formules (4) nous donnent les angles «i* p|, y^ de la nouvelle di
de OM à la température t. On voit qu'Us ne sont pas égaux générali aux angles a^, p^, y^ .
Toutes les particules contenues à 0* dans le plan dont Téquation es sont à I* contenues dans la surface
qui est encore un plan mais, en général, non parallèle au premier.
Si nous considérons une portion du cristal qui à 0* est renfermé< un cube ayant ses arêtes égales à l'unité suivant les trois directions ] pales, cotte portion du cristal se transforme à la température de <* parallèlipipède rectangle, dont les arêtes ont pour longueur 1 -j- 1/*
1 +C/, et, par conséquent, dont le volume est (1 +L)(i +r,^)(l M: J ^^r
On voit par là, que l'accroissement de volume, de la portion du crisL9.^=£ ^'^a^> à 0* avait un volume égal à l'unité, c'est-à-dire la dilatation cubi( est donnée par :
ou, en négligeant les produits des quantités très petites Ç^ f]|, C^ pai
(7) A/ = ^/ + tj; + Cl
La diUtaiioD cubique est la somme des trois dilatations prineip Les raisons do symétrie font prévoir et rexpcrience justifie que cristaux appartenant au système du cube, du prisme droit à base du prisme droit à base rectangle les directions principales ou axes ticité coïncident avec les axes cristallographiques. Dans le système du droit à base hexagonale, l'un des axes d'élasticité coïncide ave cristallographiquc inégal, les deux autres occupent une position ar dans le plan perpendiculaire à ce dernier. Dans le système du pris à base de parallélogramme, l'un des axes d'élasticité est pcrpondiculjr plan de symétrie ; les deux autres ont des positions déterminées d&> plan, mais ces positions ne présentent aucune relation shnple ave des axes cristallographiques Enfin dans le dernier système il n'y a relation simple entre la position des axes d'élasticité et celles de cristallographiques.
%^^^ k «Tstème da ciib« les trois dilatations principales sont égales ; V^l/tyvlèiiie da prisme droit à base carrée et du prisme droit à base ^^^^, Jes deox dilatations principales comprises dans le plan des axes O^. ^i égales entre elles, mais différentes de la troisième ; enfin, dans ^^ 4aire» systèmes, les trois dilatations principales sont différentes
^^ d^t^^ le système du cube on a Ç^ = r^^ = 2^^ = >^ les formules e#
(Ty ci ^Tiennent respectivement :
^^ ^ X + >/) d'où: «^ = «0 Pi = Pc T/ = To
By + Ci + D{1 + \) = 0 A^ = SX,
'an corps cristallisé dans ce système se comporte au point .étions comme un corps amorphe.
ce
