partie à l'autre de la masse; car elle sera plus grande vers le fond

que vers le haut dn vase, puisque les molécules inférieures sont les

obstacles qui s'opposent à la chute des molécules supérieures. Cette

pression variera donc proportionnellement à la hauteur du liquide

ao-dessos du point que l'on y considérera; elle sera la même pour

tous les points situés sur un même plan horizontal, ou sur une même

eeuclie de niveau ; mais d'une couche 4 celle qui lui est inférieure,

elle augmentera sur la même étendue en surface, du poids de la

première couche , de telle sorte que les pressions exercées en deux

points plaeés sur une même verticale différeront entre elles d'une

quantité égale au poids d'une colonne du liquide, qui aurait pour

base l'nnité de surface, et pour hauteur la distance de ces deux

points, n est facile de voir, d'après cela, que la pression résultant

de l'action de la pesanteur sur toutes les parties d'une masse liquide,

Mots.

COUBS US PHTBIQUB.

Surikce

Jîbre d'an

lM|iiide.

Preifion »tir le fond d'un vase.

Preisloa

d'un Taie

sur toa

support.

ne dépend que de la profondeur aa-dessoos de sa mrtace libre, et est indépendante de la forme du Taae.

Ainsi il faot bien distinguer dans un liquide en équilibre , la pression provenant d'une action eiercée sur sa surface , et qui se transmet également à toute la masse , de celle due à la pesanteur ^ la* quelle est différente pour des masses partielles situées a différentes hauteurs. La variation de cette dernière pression est nécessairement accompagnée d'un changement correspondant dans l'interralle des molécules. Cette inégalité de densité , beaucoup trop faible pour être aperçue quand la masse liquide a peu d'étendue , peut être constatée dans l'eau des mers et des lacs profonds.

54. n résulte de la mobilité relative des parties d'un même liquide , que la résultante des forces qui sollicitent une molécule de sa surface doit agir de dehors en dedans ^ et être normale à cette surface; car si elle était oblique, elle pourrait se décomposer en une force normale ou pression qui se transmettrait dans la masse, et une force tangentielle qui ferait glisser les molécules et troublerait conséquemment l'équilibre. C'est par cette raison que la surface des eau\ tranquilles est perpendiculaire, en chacun de ses points, à la direction de la pesanteur , et que les liquides contenus dans des vases s'y terminent par des plans horizontaux.

55. La pression /i due à l'action de la pesanteur sur un liquide en équilibre , est évidemment proportionnelle à l'intensité g de cette force, à la densité d du liquide , et à la hauteur h qui sépare du niveau supérieur, le plan horizontal où se trouve l'unité de surface sur laquelle s'exerce cette pression. On pourra donc poser p = gdh. Si le vase qui contient le liquide a un fond horizontal comprenante unités de surface , et. situé à une profondeur A au-dessous delà surface libre, la pression totale P exercée sur ce fond sera donnée par la formule V=igdhb^ et cela quelle que soit la forme des parois latérales du vase. Si donc on prend plusieurs vases, dont les fonds soient égaux en surface , et situés sur un même plan horizontal , mais qui aient les uns la forme d'un cylindre droit ou oblique, les autres celle d'un cône tronqué posé sur sa plus petite ou sur sa plus grande base , un même liquide s'élevant à la même hauteur dans tous ces vases, devra exercer sur leurs fonds des pressions qui seront toutes égales entre elles; cette conséquence est vérifiée par l'expérience.

56. Il ne faut pas confondre ici la pression exercée sur le fond , avec celle produite par le vase sur le plan horizontal qui le soutient et qui s'oppose a sa chute. Cette dernière est égale, dans tous Içs

^TaOIsritMB LEÇON. 37

otft, au poids de la matière solide qui coniposele vase, plus celui dii liquide qu'il contient. Cette proposition est éndente: car un système de corps pesants en repos éproure nécessairement , de la part de l'obstacle qui l'empêche de tomber, une résistance qui détruit la somme des actions que la pesanteur exerce sur toutes ses parties; or, dans le système actuel, la résistance du support étant directement développée par la pression du vase, cette dernière force doit lui être égale et opposée , et a conséquemment la même yaleur et le même sens que le poids total.

57. D'un autre côté, la masse liquide étant en repos, il faut en a^miunie «enclore qu'elle éprouTC de la part du vase, une résistance totale, d'uniuquide* égale et contraire à son poids ; or cette résistance est directement '"'' "" '"*''' développée par les pressions que le liquide eierce sur les diflférentes parties delà paroi; la résultante de ces pressions a donc nécessairement la même râleur et le même sens que le poids de la masse liquide. H importe de faire Yoir que ce dernier résultat est une conséquence nécessaire des lois énoncées plus haut comme régissant les pressions dans les liquides pesants , ce qui fournira une preuye de la réalité de ces lois.

Soit â) un élément de la paroi inclinée du vase, assez petit pour être considéré comme plan, quoiqu'il puisse appartenir à une surlace courbe; soit z la distance verticale qui sépare un de ses points delà surface plane libre du liquide; d'après la petitesse supposée del'élémeotca, cette distance sera sensiblement la même pour tous Fia. 9. ses points, et la pression qu'il éprouvera de dedans en dehors aura ainsi pour valeur ^puz, g étant l'intensité de la pesanteur, eip la densité du liquide. Représentons par ce , j3, ;/, les angles que la direction de cette pression, ou la normale à la paroi au lieu do Télément u, fah avec trois axes rectangulaires, desquels l'un ÂZ est dirigé dans le sens de la pesanteur, et les deux autres AY, ÂX , sont pris dans le plan de la surface libre ; la pression j/p(»iz peut être remplacée par trois composantes parallèles aux axes, et dont les valeurs seront jpoaz cos. aj gpcùz cos. /3, gptaz cos. y. Or, si Ton désigne par a,h, e, les projections de rélément 6», sur les plans coordonnés des yz> des zat^ et des xy^ avec lesquels son plan prolongé- formerait des angles dièdres égaux à a, /3 et ^, on aura, d'après un théorème connu relatif aux projections des aires planes : 0^=0) cos. a, isss6)Cos. j8, essstà COS. y\ d'où il suit que les trois composantes de la pression exercée sur la partie &i de la paroi, deviennent gpaz , gphz, gpcz. Si l'on imagine qu'une décomposition semblable soit faite pour les pressions exercées sur toutes les parties du vase en contact avec

38 GOUH8 DB PBTSIQUB.

le liquide I oa aura a considérer trois groupes de forces respeoti?ement parallèles aux trois axes, et qui soUicitonl Teaveloppo solide.

Il est facile de Toir que le groupe des forces parallèles à Taxe AX a une résultante nulle. En effet , considérons le cylindre horixontal qui projette Télément m sur le plan des zg, il dé<K>upe sur la partie opposée de la paroi un autre élément S), de même profondeur z audessous delà surfoce libre du liquide, et ayant la même projection a que 6> ; d'après cela , la composante parallèle à AX de la pression exercée sur ôv, a aussi pour yaleur numérique gpttz, maia elle est éTidemment dirigée en sens contraire de la composante semblable provenant de l'élément &»; en sorte que ces deux composantes se dé* truisent dans la sommation de la résultante du groupe considéré, qui se trouve ainsi compiosée d'un nombre pair de termes, deux à deux égaux et de signes contraires, et est conséquemment zéro. La résultante du groupe des forces horizontales parallèles à A Y est pareillement nulle.

Le groupe des forces verticales subsiste donc seul , et il suffit d'évaluer sa résultante, pour obtenir celle des pressions que le liquide exerce sur l'enveloppe solide. Pour cela , considérons le cylindre vertical qui projette l'élément o) sur le plan de la surface libre; U découpe sur la partie supérieure de la paroi un autre élément ai', mais situé à une profondeur z' moindre que z; la composante verticale de la pression exercée sur o)' a ainsi pour valeur gp<:z'; mais elle est évidemment dirigée en sens contraire de la composante jfpez, correspondante à l'élément (»; en sorte que ces deux composantes réunies, donnent dans l'expression de la résultante totale, un terme de la forme gpc {z — z'). Or, ce terme doit être r<^ardé comme égal au poids de la colonne liquide, actuellement comprise dans le cylindre vertical ayant o) et (a pour sections , d'où il suit que la résultante cherchée, qui doit se composer d'autant de termes semblables que l'on peut imaginer de cylindres verticaux analogues dans Tintérieur du vase, est précisément égale au poids total de la masee liquide, et dirigée dans le sens de la pesanteur. Ceux des filets cylindriques qui aboutissent à la surface libre elle-même, donnant dans la somme des termes de la forme gpcz , ne changent rien au résultat précédent. Donc la résultante des pressions que le liquide exerce sur les parois du vase est égale au poids de ce liquide ; donc enfin la pression exercée par le vase sur l'obstarJe horizontal qui s'oppose à sa chute , est égale au poids de l'enveloppe solide, plus le poids du liquide qu'elle contient.

T&OISliME LBÇ05.

66. On peut dédaire de Veipérience une antre yérification des eonaidéralicms théoriques qui précèdent. Les composantes horizontales des pressions exercées sur les parois latérales d'un Tase contenant on liquide en équilibre, doivent se détruire mutuellement, ainsi qne nous l'ayons démotltré ; mais s'il existe, sur un côté de ces paroia, nne ourertore par laquelle le liquide s'échappe, il existera sur le o6té opposé une pression dont la composante horizontale ne sera pas détruite, et le yase deyra être poussé dans le sens de cette composante. Or c'est ce que l'on pourrait yérifier par l'expérience , en diminuant autant que possible le frottement qui s'oppose au mouyement du yase.

On peut écarter facilement cet obstacle en transformant le mouvement de translation en un mouyement de rotation. On prend pour cela un Inbe cylindrique vertical, mobile autour de son axe, et terminé vers le bas par plusieurs tubes horizontaux avec lesquels il communique, qui sont mobiles avec lui et bouchés à leur extrémité libre, mais qui ont chacun une ouverture latérale du même eftté de cette extrémité. De l'eau qui, remplissant le tube vertical et les branches horizontales, s'écoule par les ouvertures latérales , exerce sur les cdtés des tubes horizontaux opposés à ceux où se trouyent ces ouvertures, des presyons horizontales non détruites qui font tourner tout le système. Cet appareil porte le nom de rotia à réaction.

69. Lorsqu'on plonge un corps dans un liquide pesant, il éprouve sur sa surface des pressions que Ton pourrait évaluer analytiquement par la méthode que nous avons exposée ; car il n'y a qne des différences de signe entre ces pressions et celles qui s'exercent sur les parois du vase qui contient le liquide. On trouverait ainsi que toutes les composantes horizontales des pressions exercées s'entre-détruisent , et que la somme des composantes verticales est dirigée de bas en haut, et a pour valeur le poids d'un volume de liquide égal à celui du corps plongé.

On peut aussi démontrer ces conséquences par des considéralions fort simples. Lorsqu'un liquide est en repos , chacune de ses molécules est elle-même en équilibre , et détruit par sa résistance les pressions exercées sur elle. Si l'on conçoit qu'une partie de ce liquide, ayant une forme quelconque, vienne à se solidifier en conservant la même densité, cette masse solide sera encore en repos , car une liaison invariable établie entre ses molécules ne saurait les tirer de cet état ; donc toutes les pressions exercées sur *8a surface et son poids, doivent être combinées de manière à se foire équilibre , ce qui exige qne les composantes horizontales des

a/action des liquides

ea moQTeiDeot.

FiG. 10.

Principe d*Arclùm«de.