TRENTE-SEPTIÈME LEÇON
Phénomène des anneaux colores. — Ancienne théorie des accès. Explication des anneaux colorés. — Phénomènes de la diffraction. — Théorie de la diffraction de fresnel. Pripcipes d^Huyghena . Résultante d^une onde sphérîque. Résultante d^une onde circulaire complète et incomplète. — Explication des franges produites par un s^ul bord opaque \ par un corps étroit \ par une fente étroite ; par deux fentes très-Toisines. — Phénomènes des réseaux. Explication.
591. Il eiiste une foule de circonstances dans lesquelles on ob- Ph^omèbc
des
serre des franges, comme dans rexpérience des deux miroirs ima- anneaux coginée par Fresnel. Ces franges sont toujours irisées dans la lumière ^"*' blanche; mais quand la lumière est homogène, elles sont alternativement brillantes et obscures. Le principe des interférences qui n'est qu'une conséquence nécessaire de la théorie des ondes lumineuses, explique complètement ces phénomènes divers. Nous considérerons particulièrement le phénomène des anneaux colorés , et celui connu sous le nom de diffraction. Yoici comment le premier a été décrite! analysé par Newton.
L'appareil se compose d'une glace à faces parallèles et d'un Terre plan couTexe, dont la surface courbe fait partie d'une sphère d'un très-grand rayon ; on presse contre la glace le côté convexe de la lentille , et l'on fait tomber , à l'endroit du contact, des rayons d'une seule couleur, faisant partie du faisceau dispersé par un prisme ; nous supposerons que cette lumière incidente soit rouge, telle que celle sensiblement homogène qui traverse le verre coloré dont s'est servi Fresnel. Dans ces circonstances , l'œil placé en O , et recevant des rayons réfléchis, apercevra une tache noire au point de con^ tact des deux verres ; autour de cette tache, un anneau rouge ; autour de ce premier anneau , un anneau noir , un autre anneau rouge, et ainsi de suite. L'œil placé en O', et recevant les rayons transmis par les verres, apercevra une tache rouge au conctact, puis un anneau obscur, un anneau rouge, etc. Ces derniers anneaux sont plus pâles ou moins vifs que les premiers.
Il est difficile de mesurer directement les épaisseurs variables de
FiG. 323.
220 COURS Bfi PHYSIQUE.
la lame gazeuse, comprise entre les Terres, aux lieux des différents anneaux obscurs ou colorés; mais en mesurant les diamètres des anneaux, on peut en conclure ces épaisseurs. Eh effet, soient, eq une de ces épaisseurs , ed le demi-diamètre de l'anneau correspondant, c le point de contact des deux verres , et r le rayon de la surface courbe de la lentille, on aura l[c. 2r = ëâ , d'où eq = ed \ on substitue 2r on ce ^ à cd^ à cause de la petite différence de ces lignes, due à la grandeur de r, qui était de 100 pieds pour le verre convexe employé par Newton. Il suit de là que les épaisseurs de la lame d'air sont entre elles comme les carrés des diamètres des anneaux correspondants.
Newton ayant mesuré avec un compas les diamètres des anneaux vus par réflexion, trouva que leurs carrés étaient comme les nombres 1,3, 5,7,9 , lorsqu'ils correspondaient au milieu des parties
brillantes, et comme les nombres 0, 2, 4,0, 8 , lorsqu'ils correspondaient aux parties obscures. Ayant pareillement mesuré les diamètres des anneaux vus par transmission, Newton reconnut que leurs carrés étaient entre eux comme les nombres 0,2,4,6,8 pour les parties les plus colorées, et comme 1,3,5,7,9 pour celles les plus obscures. Les épaisseurs des lames d'air aux lieux de ces différents anneaux étaient donc dans les mêmes rapports.
Newlon trouva que ces rapports étaient les mêmes quand le système des deux verres était éclairé par une autre lumière homogène que le rouge, et lorsqu'au lieu d'air on interposait entre les verres une autre substance transparente telle que l'eau; mais que la valeur absolue de l'épaisseur de la lame interposée , correspondante à un anneau obscur ou brillant du même ordre, était expri* mée par un nombre différent pour chaque couleur et pour chaque subslance. A travers une même substance, les anneaux sont plus grands pour la lumière rouge que pour la lumière violette. Dans le cas d'une même couleur, les épaisseurs de deux lames d'air et d'eau, correspondantes à un anneau obscur ou brillant du même ordre, sont entre elles comme les sinus d'incidence et de réfraction lors du passage de la lumière de l'air dans l'eau.
Si au lieu d'une lumière homogène on fait tomber sur l'ensemble des deux verres delà lumière blanche, on observe des anneaux irises, qui , d'après les observations de Newton, sont dus à la superposition des séries d'anneaux correspondantes à toutes les couleurs simples du spectre solaire. Enfin , dans tous les cas , lorsqu'on incline de plus en plus les rayons incidents sur les deux verres, on voit les anneaux s'élargir, à mesure que l'angle d'incidence augmente.
TREICTB-SEPTIJSHB LEGOIC. 221
Le phénomène des anneaux colorés peut s'observer aussi dans des cristaux naturels contenant des fissures remplies d'air, ou de tout autre fluide ; les couleurs variées, irisées et changeantes que présentent ces cristaux disparaissent lorsqu'on les pulTérise. Une bulle de savon mise à l'abri des courants d'air, présente aussi des anneaux colorés ; à mesure que son épaisseur diminue elle ofl*re successivement toutes les couleurs du spectre, et quand elle est sur le point de s'éteindre , elle paraît noire tant son épaisseur est faible ; pn aperçoit une série de plusieurs anneaux concentriques, lorsqu'on place l'œil sur la verticale qui passe par son point de suspension, autour de laquelle tout est symétrique.
692. Newton avait conclu du phénomène des anneaux colorés que Ancienne pour chaque substance il existait une séried'épaisseurse,d0, 5e, le,.,, arc^s. pour lesquelles la lumière incidente d'une certaine couleur était dans un accèê de facile réflexion, et une autre série d'épaisseurs 2e, ke, 60, 80..., pour lesquels la lumière de la même couleur était dans un accèê de facile tranêtniêsion. Il expliquait la coloration des corps, en admettant qu'ils étaient composés de particules transparentes, séparées par des interstices remplis de divers fluides, et que les épaisseurs de ces particules et celles des lames fluides , repoussant les rayons qui se trouvaient dans un accès de facile réflexion, et réfractant ceux auxquels elles ofi'raient un accès de facile transmission , décomposaient ainsi la lumière blanche incidente , et donnaient aux corps leur couleurs propres.
Cette explication de la coloration des corps est sans doute préférable à la théorie émise par quelques physiciens, et qui consiste à attribuer aux molécules des corps la propriété chimique d'absorber certains rayons , et de ne laisser à la lumière réfléchie que la portion des rayons incidents non absorbés; car il parait impossible d'expliquer, dans cette théorie, comment il se fait qu'en diminuant l'épaisseur d'un corps, ou en changeant son état physique, on change aussi sa couleur propre.
593. La théorie des ondes lumineuses rend compte du phénomène Explication des anneaux colorés, sans qu'il soit nécessaire d'attribuer a la lu- roioroi. roière des propriétés nouvelles. L'explication fournie par cette théorie peut se résumer dans les théorèmes suivants: 1° Les anneaux TUS par réflexion proviennent de l'interférence des rayons réfléchis à la première et à la seconde surface delà lame d'air, ou de toute autre substance ; 2° Les anneaux vus par réfraction sont dus à l'interférence des rayons transmis directement, et des rayons réfléchis deux fois sur les faces de la lame , avant d'être transmis.
Avant d^ faire voir que les cooséqueoces de ces deux théorèmes sont totalement conformes à l'observation, il faut rappeler les propriétés mécaniques de la propagation des ondes dans des milieux fluides. Lorsque le milieu a partout la même densité , un ébranlement communiqué d'une molécule à la suivante, laisse la première en repos; si elle se meut encore après, c'est qu'un autre ébranlement suit le premier et se propage à sa suite. Lorsque l'onde doit passer d'un milieu dans un autre de densité différente, il y a réflexion de cette onde à la surface de séparation; alors, si l'onde propagée arrive du milieu le plus dense dans le milieu le moins dense, les molécules du premier, qui ébranlent immédiatement celle du second , conservent après cet effet une vitesse de vibration moindre, mais dirigée dans le même sens qu'avant. Si l'onde propagée arrive au contraire du milieu le moins dense dans le milieu le plus dense, la vitesse de vibration conservée par les molécules du premier, après leur action immédiate sur celle' du second, a changé de sens ou de signe.
Ces résultats que M. Poisson a déduits de l'analyse mathématique, sont analogues jk ce qui se passe dans le choc de deux boules parfaitement élastiques B et B'; B' étant d'abord en repos et B en mouvement vers elle avec une vitesse Y. Si les masses m et m' de ces deux boules sont égales , après le choc B se trouvera en repos, et B" sera auimé de la vitesse Y ; si m surpasse m' , B ne perdra pas toute sa vitesse , et les deux boules se mouvront toutes les deux dans le même sens; enfin si m est moindre que m' , B perdra toute sa vitesse , et en acquerra une de signe contraire , en sorte qu'elle se mouvra en sens opposé de B'.
Revenons au phénomène des anneaux colorés: supposons qu'il s'agisse d'une lumière homogène de longueur d'ondulation / dans l'air, de deux verres, l'un plan, l'autre convexe, et d'une lame d'air interposée; supposons aussi que le faisceau incident soit très-Toisin de la normale; enfin désignons par e l'épaisseur de la lame d'air correspondante au point que Ton considtre. Pour l'œil observant le phénomène par réflexion , l'onde réfléchie à la deuxième face de la lame^l'air aura parcouru un chemin 2e de plus que celle réfléchie à la première face ; son retard sera en réalité différent de 20, parce que, ayant été réfléchie du milieu moins dense au milieu le plus dense, ses vitesses de vibration ont changé de signe à la deuxième surface de séparation , c'est alors comme si le retard 2e était aug mente d'une demi-ondulation , ou de L Ainsi les deux faisceaux interférents sont en retard l'un sur l'autre de 2^ -|i ^ ; d'où il suit
TREIITB-SEPTIKHE LEÇOIC. 223
qu'il seront en concordance complète lorsque e sera un des termes de la série : II, il y il y] et que conséquemment les épaisseurs des lames d'air, correspondantes aux milieux des anneaux brillants , devront être entre elles comme les nombres 1 , 3, 5, 7...; qu'ils seront au contraire en discordance complète lorsque e sera un des termes de la série 0, !/, 1/, f^'-^et que conséquemment les épaisseurs des lames d'air, correspondantes aux milieux des anneaux obscurs, sont entre elles comme les nombres 0,2, 4,6, 8..,.
Pour l'œil recevant les rayons transmis, l'onde réfléchie deux fois intérieurement dans la lame d'air, aura parcouru un chemin 2e de plus que l'onde transmise ; les deux réflexions qu'elle a subies ayant lieu toutes les deux du milieu le moins dense au plus dense, les changements de signe des vitesses de vibration, aux d^ux surfaces de séparation , se détruiront l'un l'autre ; et le retard total sera simplement 2e. Il y aura donc concordance pour e égal à l'un des ternies de la série : 0, |/, |/, |/,..., discordance au contraire, quand e sera l'une des longueurs!/, il y |/.... Conséquemment, les épaisseurs des lames d'air correspondantes aux milieux des anneaux bril* lants par transmission seront entre elles comme les nombres 0,2, 4, 6,... et celles correspondantes aux anneaux obscurs comme 1 ,
Les forces vives possédées par les ondes dont l'interférence produit les anneaux vus par réflexion , diflèrent moins l'une de l'autre, que les intensités des ondes dont l'influence mutuelle donne lieu .nux anneaux vus par transmission, car la perte en intensité dépend du nombre de réflexions que chaque onde a subie ; c'est ce qui explique la vivacité de l'éclat des premiers anneaux , comparée à la pâleur des seconds.
On voit par cette explication: 1" Que la plus petite épaisseur d'une certaine substance, pour laquelle la lumière d'une certaine couleur est dans un accès de facile réflexion , est égale à ^ , ou au quart de la longueur d'ondulation de cette couleur , se propageant dans cette substance; 2® qu'elle doit varier pour la même substance, d'une couleur à l'autre, comme la longueur d'ondulation, et être conséquemment la plus grande pour la lumière ronge, la plus petite pour la lumière violette; 3^ enfin , qu'elle doit varier pour la même couleur d'une substance à une autre comme les longueurs d'ondulation de cette couleur, ou comme le sinus d'incidence au sinus de réfraction , lorsque la lumière pénètre de la première substance dans la seconde.
Cette théorie rend aussi compte de l'agrandissement des anneaux
224 COURS DE PRTSIQT7E.
lorsque le faisceaa incident s'incline sur la lamé; c'est qu'alors la différence des chemins parcourus n'est plus 2e. En effet, soient : LA la lumière incidente sous 1 angle t , à la première surface de la lame; r Tangle de réfraction correspondant ; ÂB le rayon de l'onde réfractée ; BA' celui de Tonde réfléchie à la seconde surface ; AL^ le rayon de la première onde réfléchie; AT perpendiculaire à AL; BQà AA'; FiG 323. ®°^" BQ=«. On aura AA'=^ÂQ = 2« tang. r, AB = ^^^^ y Soient en outre t et /les longueurs d'ondulation de la lumière employée, pour le Terre et pour l'air , n' le quotient de AP par /' , n celui de ABA' par /; la différence n — n' + i sera le nombre d'ondulations dont le second système d'ondes réfléchies sera en retard sur le premier. Or,
/ "a? — AA^'»in. I ! — 2e »in. i stn. r 2e
^ / / / COS. r >^=/co8.r>
d'où
et puisque ^iHii:=-i!±L^ on a enfin :
/ r 2e COS. r .
fl — fl -4- ï =^= 2 *" 2'
Ainsi le retard des ondes interférentes par réflexion , sera exprimé en longueur par 2e cos. r + 2 9 ^^ ^^^^ donc que, pour qu'il reste le même lorsque l'angle i augmente ainsi que r , il faut que e augmente , et par suite aussi le diamètre de l'anneau correspondant. Faits 594. On a donné le nom de diffraction à l'ensemble des modifi-
^'diff'a^tion. cations éprouvées par la lumière lorsqu'elle a passé prés des extrémités des corps opaques. Le phénomène de la diffraction peut être observé dans trois circonstances distinctes. 1^ Si l'on reçoit la lumière solaire sur une loupe d'un très-court foyer, ou sur une lentille cylindrique, enchâssée dans le volet d'une chambre obscure, eomme pour l'expérience des miroirs de FresncI ; qu'au faisceau conique divergent du foyer F, on présente un écran opaque EC, qui devrait diviser l'espace situé au delà en deux parties, l'une obscure, l'autre éclairée; on remarque au contraire sur un carton blanc, dans l'intérieur même de l'ombre géométrique qui devrait être obscur, une lumière assez vive, décroissant d'intensité à mesure qu'on considère de points de plus en plus éloignés de la limite de cette ombre. Sur la partie du carton qui semblerait devoir être uniformément éclairée, on aperçoit des bandes irisées. Lorsqu'entre le foyer et l'écran opaque , on dispose un verre coloré qui ne laisse
TaSHTI-SVPTiiHE LXCOV. 2^6
arrirer au carton qa'une lumière homogèDe y au lieu de bandes irisées, on aperçoit des franges, c'est-à-dire des bandes d'une lumière ifiye, séparées par d'autres bandes d'une lumière plus faible. En sorte que si l'intensité de la lumière est prise pour l'ordonnée d'une courbe, qui a pour abscisse la distance à la ligne de l'ombre géomé- y,^ ,24. trique, cette courbe est sinueuse, mais la différence entre un maii- . mum et un minimum consécutif, va en diminuant lorsque l'abscisy croit, et finit par devenir sensiblement nulle; le nombre des franges irisibles est d'autant plus grand que la lumière employée est plut homogène.
2" Si l'on présente au faisceau lumineux divergeant du foyer F, et qui trayerse le verre coloré , un écran percé d'une ouverture trèsétroite , au moins dans un sens, on remarque sur le carton , au lieu d'une projection éclairée de l'ouverture, des franges extérieures ou situées dans l'ombre géométrique , et des franges intérieures ou situées dans l'espace qui devrait être uniformément éclairé; les parties obscures de ces dernières franges sont d'autant plus noires que la lumière est plus homogène , et que le foyer éclairant est plus étroit. 3^ Si l'écran opaque que Ton présente au faisceau lumineux est percé de deux fentes rectangulaires très-étroites et très-voisines, on remarque des franges d'un éclat très-vif, dans la projection sur un carton de l'intervalle des deux fentes, qui devrait être obscur. Ces franges disparaissent complètement lorsqu'on intercepte la lumière venant d'une des fentes.
595. Young et Fresnel avaient cru pouvoir expliquer ces phéno- Th^He mènes par l'interférence des rayons directs, et des rayons réfléchis dif&actJoQ. et infléchis sur les bords des écrans gu des fentes. Mais l'expérience ayant indiqué que la nature et le plus ou moins d'étendue de ces bords n'avaient pas d'influence sur l'éclat , la position et la largeur des franges; qu'elles restaient les mêmes, par exemple, lorsque ces bords étaient successivement semblables au dos ou au tranchant d'un rasoir, cette explication ne pouvait être adoptée.
Fresnel est parvenu à expliquer complètement tous ces phénomènes , eu regardant le mouvement de l'éther en un point , coinme dû à la résultante des mouvements vibratoires envoyés par tous les points d'une onde antécédente , considérés comme autant de centres d'ébranlement. Si l'onde antécédente est très-étendue dans tous les sens , la résultante est identique avec le mouvement vibratoire communiqué au point considéré par la source elle-même. Mais si l'onde est interceptée eu grande partie par des écrans opaques 9 comme dans les expériences précédentes, cette résultante est va- T. u. 15
riable suivant la position de la molécule éthérée. En calculant la valeur générale de cette résultante, dans les trois circonstances distinctes qui constituent le phénomène de la diffraction, Fresnel a obtenu des résultats conformes à l'expérience, et qui se sont accordés complètement avec toutes les mesures de franges qu'il avait prises.
Sans entrer dans tous les détails de calcul nécessaires , pour obtenir Texpression exacte de la vitesse de vibration finale, dans les diverses circoostances du phénomène de la diffraction, on peut démontrer, par des considérations géométriques, comme Fresnel Ta indiqué , que d'après'la théorie, la lumière reçue sur les écrans doit offrir les variations d'intensité que Ton observe. Nous supposerons toujours qu'il ne s'agisse que d'une lumière homogène, qui n'ait subi aucune modification dans le trajet de la source aux bords opaques, en sorte que les rayons puissent être regardés comme identiques entre eux, quelle que soit 'leur direction, avant qne les ondes soient interceptées. Nous admettrons par exemple, que dans tous les cas de diffraction cités, on ait placé, entre la source et les bords opaques, un verre coloré qui ne laisse passer que de la lumière rouge sensiblement homogène; ou bien qu'on ait disposé dans le trajet des rayons solaires un prisme d'une pureté parfaite, et derrière lui un diaphragme percé d'un trou qui ne laisse passer qu'une seule espèce de rayons, dont le faisceau soit ensuite con* centré en une source lumineux très-étroite par une lentille d'un très-court foyer.
Princtpo 59Q, Qn pcut regarder comme un axiome le principe établi par
résuiuDte* Huyghens, et que Fresnel a pi;is pour base de sa théorie de la résphérique. fractiou , savoir : que le mouvement de l'éthcr en un point P, situé à une distance (r + x) d'une source S, est identique avec celui qui résulterait de la composition des mouvements vibratoires envoyés par tous les points de l'onde ayant pour rayon r; ces points étant pris comme autant de centres d'ébranlement. £n effet, si l'on imagine que toutes les molécules , situées sur la sphère de rayon r, soient mises directement dans l'état oscillatoire qui serait transrois par un seul point lumineux S, placé en son centre ; ces molécules exécutant conséqucmmcnt des vibrations isochrones et concordantes, on aura ainsi construit de toutes pièces une sphère lumi* neuse, en tout identique à l'onde sphérique de même rayon provenant de la source unique S, et le mouvement de l'éther exlérieur à cette sphère devra être le même que si le centre seul avait été directement ébranlé. Il est donc vrai de dire que la lumière transmise
Fia. S25.
TREITTE-WPTlilIE LEÇON. 227
directement 9 de la source S à la molécule P, est égale en intensité k la somme algébrique des lumières envoyées à la même molécule par tous les points de l'onde antécédente.
697. Considérons isolément les molécules de Tonde situées sur H^sniunte son intersection OÂO', par un plan méridien mené suivant PS, et "^uire proposons-nous de trouver la résultante des mouvements vibratoire0 «onpi^^* transmis en P par toutes ces molécules. Soit A le point de rencon* tre de PS avec la courbe ; nous supposerons toujours que la distance t>X=âr comprenne un très-grand nombre de fois /. Il est évident que la lumière envoyée par Tare AO' de gauche, sera égale à celle provenant de Tare de droite AO, puisque ces deux arcs sont composés d'un même nombre de molécules, symétriquement placées deux à deux par rapport a PA, et à des distances égales de P ; ainsi il suffit de considérer les mouvements vibratoires transmis par un seul de ces arcs, et de doubler le résultat. Concevons Tare AO divisé aux points M, Mi , M) , M3,... de telle manière que les distances Pî, Ï*M, PMT, PMa,... forment une progression arithmétique ayant pour raison il, ou la moitié de la longueur d'ondulation de la lumière employée. Les divisions A9f , MMi, Miltti, MiMa,.... iront en diminuant d'abord assez rapidement , mais lorsque les rayons vecteurs au point P feront un angle sensible avec PA, elles n*éprouveront plus que des variations de grandeurs hégligeables.
Les vibrations envoyées en P par les molécules de l'onde qui occupent deux points de division consécutifs M», M„4.i, seront en discordance, puisque leurs phases différeront de |/; on doit même les regarder comme se détruisant complètement, car les rayons PM«, PMi,^.,, différant d'une quantité très-petite relativement à leur grandeur, peuvent être considérés comme parallèles. De même les vibrations , provenant des molécules d'éther qui se succèdent de Vin à Mn^.t, seront en partie détruites par les vibrations envoyées par l'arc Un^t M„^..; et cette destruction sera d'autant plus complète que ces deux arcs différeront moins l'un de l'autre. Ainsi les divisions correspondantes aux rayons vecteurs qui font un angle sensible avec PA , apporteront en P des vibrations qui se détruiront mutuellement. On n'aura doncà considérer, pour obtenir la résultante cherchée, que les ondes élémentaires provenant des divisions voisines de A ; et l'on pourra supposer que leurs rayons versP sont tous parallèles, que les coefficients des vitesses de vibration qu'ils transmettent en ce point sont égaux , enfin que leurs phases seules diffèrent.
Même dans le voisinage de A, les rayons partis des moitiés situées
à droite sur deux arcs consécutifs sont en discordance au point P; il eu est de même des rayons provenant des deux moitiés situées i gauche sur les mêmes arcs. Ainsi la lumière envoyée par l'arc MMi est presque annulée , par son interférence avec celle venue de la seconde moitié de ÂM et de la première de MMi; la lumière envoyée par l'arc M^IIb détruit presque totalement celle venant de la seconde moitié de MiMs, et de la première de Û3M4 ; et ainsi de suite. Il n'y a donc que les rayons partis de la première moitié de l'arc AM, qui échappent à toute destruction par interférence. Ainsi , lorsque l'onde circulaire est complète ^sa résultante relativement au point P se réduit sensiblement à celle d'un petit arc, ayant son milieu en A, et dont les rayons vecteurs extrêmes, tant à droite qu'à gauche , ne surpassent AP que d'un quart d'ondulation. Cette dernière résultante, comparée à la vitesse de vibration transmise par le point A seul, peut avoir une phase diiTérente; mais en supposant que cette différence existe, elle doit être évidemment considérée comme indépendante de la distance x. Si le rayon r est trèsgrand, ou si la source est très-éloignée , l'onde sphérique devient plane, et l'onde circulaire O'AO devient une droite perpendiculaire à PA ; ainsi la résultante d'une onde linéaire complète , relativement au point P, se réduit à celle des petites parties voisines du pied de la perpendiculaire, abaissée de P sur la droite lumineuse.
Bésuiunte 503. Daus le but de simplifier l'explication des phénomènes de onde cyiiadri- la dilTractiou , uous prcndrous pour source lumineuse la raiebril- ^^' lantc formée par une lentille cylindrique d*un très-court foyer; les ondes provenant de cette souice seront des cylindres droits ayant cette raie pour axe commun. Nous admettrons aussi que les bords des corps opaques ,ou des fentes qui font naître les franges, soient parallèles à la raie lumineuse. Dans ces circonstances, il suffira de considérer ce qui doit arriver dans un plan normal à la source linéaire, ou parallèle aux bases des ondes cylindriques; ce sera comme si la lumière se propageait dans ce plan en ondes circulaires que l'on pourra considérer seules. En effet, pour trouver la résultante d'une onde^ cylindrique relativement au point P , on peut d'abord décomposer cette onde en une suite de bandes parallèles aux arêtes. Chacune d'elles formera une onde linéaire complète, dont la résultante partielle sera la même que celle des demi-éléments voisins du pied A de la perpendjculaire abaissée de P sur cette bande, et dont la phase ne pourra différer de celle correspondante au rayon lumineux PA , que d'une quantité h indépendante
TABNTB-SE^lilIB LBÇON. 220
de sa longueur. Pour trouver ensuite la résultante totale, iL suffira de chercher celle de tous les rayons lumineux situés dans un plan normal à toutes les bandes linéaires, et qui ne sont pas interceptées par les bords opaques. On peut alors se dispenser d'ayoir égard à la différence <^, car comme elle doit être la même pour les phases de tous ces rayons, leur état de discordance ou de concordance , c'estr à-dire l'intensité définitive de la lumière en P , n'éprouve aucun trouble par cette suppression.
Ainsi , pour évaluer Tintensité de la lumière, en un point P de récran, placé au delà des bords opaques ou des fentes, dans les différents cas de la diffraction, ces bords et ces fentes étant toujours parallèles au foyer rectiligne de la lentille cylindrique , il suffira de calculer la résultante des mouvements vibratoires transmis par les molécules d'éther situées dans le plan mené par P, normalement à la source linéaire, et appartenant à une onde circulaire incomplète. Considérons donc encore Tonde circulaire O'AOdc la figure 325 , et cherchons ce que devient la résultante relativement au point P , dans le cas où une certaine partie des rayons vecteurs vers ce point sont interceptés par des bords opaques.
699. Le point A où la droite PS rencontre l'onde circulaire peut ^^^'fJ^"" être appelé le poU du point de concoure P ; nous désignerons la "J!°^J^^"'' distance PA sous le nom de hauteur du pôle. Nous appellerons en général zone y une portion quelconque d'un des arcs indéfinis AO , AO'; la grandeur de celle portion sera la largeur de la zone; la différence des rayons vecteurs vers P, menés par les deux extrémités d'une zone, sera sa hauteur, Nous désignerons particulièrement parle nom de zone polaire, tout arc défini ayant une de ses extrémités au pAle A lui-même; la distance circulaire au pôle A de rcxlémité la plus voisine d'une zone quelconque peut être appelée sa diêtance polaire. Nous appellerons zone graduée ou élémentaire une zone ayant pour hauteur une demi-longueur d'ondulation, quelle que soit sa dislance polaire. Nous désignerons sous le nom A' échelle , tout arc , pris sur AO ou sur AO', divisé en zones graduées ; Yortgine de l'échelle sera son extrémité la plus voisine du pAle; l'échelle sera dite définie ^ si les zones élémentaires qui la composent sont en nombre limité; indéfinie dans le cas contraire; elle sera dite échelle polaire , si son origine est au pAIe lui-même; et en général la dislance circulaire de l'origine d'une échelle au point A sera sa distance polaire. Cela posé, nous pourrons dire simplement : une onde circulaire complète est composée, pour chaque point de concours, de deux échelles polaires
230 C0T7BS DB FHTSIQUB.
indéfinies , Tone k droite, l'autre à gaocbe; les zones élémentaires de chaque échelle Tont en diminuant de largeur à partir du pAIe y d'abord très-rapidement , ensuite d'une manière insensible; lorsque le point de concours s'éloigne ou se rapproche de l'onde, les zones graduées du même ordre augmentent ou diminuent de largeur j etc.
j&Mait«iite goo. Ces conventions établies, proposons-nous d'abord de cher-
tooe éiémen- cher la résultante de toutes les ondes élémentaires qui partent des
molécules situées sur une zone graduée tntn\ Tous les rayons de ces
Fio. 326. ondes dirigés vers P peuvent être supposés parallèles. Le mouvement vibratoire propagé par chacun de ces rayons, quelque compliqué qu'il soit , peut être décomposé suivant (rois axes, tels que . leur direction commune , et deux droites orthogonales perpendiculaires à cette direction. Lorsqu'on passe d'un rayon à un autre, ces trois composantes sont identiquement les mêmes , aux origines des ondes; et de là au point de concours, leurs phases subissent les mêmes variations pour chaque rayon ; leurs résultantes s'obtiendront donc rigoureusement de la même manière, et il suffît de considérer un seul de ces trois mouvements composants ; ce qui revient à supposer que toutes les molécules de mm' exécutent et transmettent des vibrations linéaires, toutes parallèles entre elles. Concevons la zone mm', de hauteur il, partagée en un trèsgrand nombre de zones d'égales hauteurs , assez petites pour qu'op puisse supposer que les molécules situées sur chacune d'elles envoient des rayons de même phase au point de concours. Soient a un coefficient proportionnel à la largeur d'une de ces zones partielles, et 9 l'excès de son rayon sur mP ; on pourra représenter par a sin. 2t: (^ — fj , la vitesse dé vibration que celte zone partielle transmet au point P , en prenant pour zéro la phase du rayon mP à ce point de concours. D'après cela , la vitesse de vibration , résultante de toute la zone mm', sera V = 2a sin. 27r(i — J), la série s'élendant à toutes les zones partielles, ou de 9=0 à 9== iL II faut remarquer que le coefficient a décroit à mesure que 9 augmente, mais que ce décroissement est d'autant moins rapide que la zone graduée est plus éloignée du pôle. La résultante V peut se mettre sous la forme V= A sin. 2:: Ç^ — *) (§. 578), et l'on a , pour déterminer  et $ , les deux relations
A sin. 27T j- = 2a sin. 2;: ^ , et A cos. 2?:^ == 2a cos. 2îr-J ;
d'oà
TKBim-8BPTlàaB LBÇOIT. 2dl
^ Sasîn.Sr-^ lang. 2jrj- = - — .
Soit posé 27r^=£, 2T:j=i; Véquation précédente deTÎcnt
tanjr. i = *—, L'arc e Tarie de 0 à tt , dans les deux séries
^ Sa COS. e
la sin. s y la cos. e; si a a^ait la même valeur pour tous leurs termes, comme sin. e est toujours positif, tandis que cos. sa des Talcurs égales, et de signes contraires, à des dislances égales des limites de £, on aurait évidemment tang. i=oo , « = f , d'où $ = j/. C'està-dire que l'onde résultante serait , à l'intensité près, la même que Tonde élémentaire venant du point qui partage mm' en deux zone^ ayant toutes les deux pour hauteur i d'ondulation. On aurait en outre A = 2a sin. e, et il est facile de voir que celte valeur serait proportionnelle à la surface d'une demi-ellipse , ayant pour demi-axe mm' et sin. j= 1 , ou à tt mm'.
Jfais en réalité a varie avece, et décroît de e=:0, à e=:77; la somme des termes positifs l'emporte donv sur celles des termes négatifs dans le dominateur la cos. s] tang. i est donc positif, «' <C !> ^ <^ i^* Néanmoins on peut prendre pour la résultante cherchée, celle qui correspond au cas où les coefficients a seraient tous égaux, et rem* placer une zone de hauteur i/, par une onde élémentaire unique, ayant son centre au point qui partage cette zone en deux autres de hauteur moitié, et une intensité proportionnelle au carré de sa longueur. Il faudra se rappeler toutefois , que cette définition de la résultante cherchée n'est qu'approximative, et que le centre de l'onde élémentaire unique s'écarte un peu de celui qui vient d'être défini , vers l'origine de la zone; cet écart diminuant à mesure que celte zon^ s'éloigne du pôle, et augmentant lorsqu'elle s'en rap- ^ proche.
601. Les résultantes de deux zones élémentaires consécutives Bésuiume sont donc toujours en discordance au point de concours, et la lu- demi-oufiecirmiére transmise par l'une détruit celle envoyée par l'autre, d'au- ^^mpîàeT tant plus complètement que leur distance polaire est plus grande. D'après ce résultat, si le point de concours n'est éclairé que par une échelle définie d'un nombre pair de zones graduées, leurs résultantes se détruisant presque complélemenl deux à deux, le point de concours sera obscur. Si au contraire l'échelle définie contient un nombre impair de zones élémentaires, il y aura toujours une de
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ces zones dont la résultante échappera complètement à tonte destruction par interférence, et le point de concours sera brillant.
Une échelle indéfinie peut toujours être considérée comme composée d'un nombre très -grand, mais impair, de zones graduées; en sorte que la lumière qu'elle envoie, et qui échappée toute destruction, se réduit a peu près à la résultante de sa première zone, dont le point de départ est à moins d'un quart d'ondulation au-dessus de son origine. Il faut remarquer ici que ce point d'application de la résultante sera d'autant plus près de l'origine de l'échelle que sa distance polaire sera plus courte, et au contraire d'autant plus voisine du point situé k i l au-dessus de cette origine, que celte dernière sera plus éloignée du pAle. En outre la clarté produite par une échelle indéfinie, décroit d'une manière continue à mesure que sa distance polaire augmente; car la largeur de la première zone, dont le carré peut servir de mesure à l'intensité de la résultante totale, va en diminuant dans le même sens. Lorsque l'échelle indéfinie est polaire, la lumière qu'elle envoie est évidemment la moitié de la lumière produite par l'onde circulaire complète. Explication go2. Il cst facilc d'expliquer maintenant toutes les circonstanla difTractioD CCS du phénomèuc de la difiTraction. Considérons d'abord le cas oà p^run^setti l'uue dcs oudes cylindriques, produites par le foyer recliligne bord opa<£ue. ^j'u^g Icntîllc vcrticalc , est interceptée par une lame opaque trèslarge, dont le bord est parallèle aux arêtes; et cherchons quelles doivent être les traces lumineuses, projetées sur un écran vertical, placé au delà du bord opaque, à une distance incomparablement plus grande que la longueur d'ondulation / de la lumière homogène transmise par la source. Il suffit d'étudier ce qui doit se passer dans un plan horizontal.
Soient : S la projection de la raie lumineuse sur ce plan ; LB l'in- Fio. S27. tersection de la lame opaque, et B celle de son bord ; BO la portion non interceptée de l'onde circulaire , dont les éléments doivent être considérés comme éclairant seuls les différents points de l'intersection E'E de l'écran ; G le point de rencontre du raton SB et de l'écran, ou la trace de la limite de l'ombre géométrique du bord opaque. Au point de concours G, l'échelle polaire indéfinie BO, fournit la moitié de la lumière qui l'éclairerait si la lame n'existait pas. Chacun des points de l'écran sur la partie 6E' , est éclairé par une échelle indéfinie BO, dont la distance polaire est d'autant plus grande que le point de concours s'éloigne plus du point G; la clarté ira donc en diminuant d'une manière continue de G vers E' , ou dans l'ombre géométrique.
TEnfTB-SEPTliHB LSÇOIT, 233
De G TersE, an contraire, la clarté devra offrir des niaxima etdesminima successifs. £a effet , représentons par 2 Tintensité de la lumière qui serait projetée sur l'écran si la lame opaque n'existait pas; 1 sera l'intensité en 6, lors de l'interposition de cette lame. Soit maintenant P un point de concours situé sur GE y tel que le bord de Técrati laisse à gauche de son pôle A une zone graduée ÂB non interceptée ; ce point P recevra , outre la lumière 1 , due à l'échelle polaire indéfinie AO, celle due à la zone PA, laquelle surpace l'unité , puisque Téchelle indéfinie de gauche interceptée par la lame devrait détruire une partie de cette dernière lumière; la clarté en P sera donc plus grande que 2; le point P sera donc brillant comparativement au point G. Soit G' un point de concours y plus éloigné que P sur GE, tel que l'arc B'B com-^ prenne deux zones graduées; G' recevra encore , outre la lumière 1 due à la demi-onde circulaire B'O, la petite quantité de lumière qui échappera à la destruction pour interférence, occ-asionnée par la discordance des résultantes des deux zones élémentaires comprises entre B' et B; la clarté en G' sera donc un peu plus grande que celle en G, mais beaucoup plus petite que celle enP; il y aura donc un minimum de lumière vers G\
Si l'on continue à considérer des points de concours, situés sur GE, de plus en plus éloignés de G, et tels que la lame opaque laisse, à gauche de leurs pôles, une échelle définie polaire; un de ces points recevra un maximum de lumière quand le nombre des zones graduées de l'échelle définie correspondante sera impair, un minimum quand ce nombre sera pair. La différence de clarté entre un minimum et un maximum consécutifs ira en diminuant ; et enfin la clarté deviendra uniforme, et égale à 2 , aux points de l'écran assez éloignés de G, pour que l'échelle définie de gauche , non interceptée, ne diffère de la demi-onde dont elle fait partie, que par quelques zones graduées d'une grande distance polaire, dont l'influence serait tout-à-fait nulle.
Ainsi la surface de l'écran ne présentera pas, comme cela devrait résulter de la théorie géométrique des ombres, une ligue verticale séparant nettement une portion régulièrement obscure, d'une clarté uniforme. A gauche de cette ligne, il y aura au contraire une clarté décroissant d'iutcnsité d'une manière continue, et à droite une suite de franges verticales, alternativement plus obscures et plus brillantes, correspondantes à des maxima et des minima de lumière. Tel est , en effet , le phénomène que l'on observe dans les circonstances indiquées. Les milieux des franges ne
sont pas précisément placés aux points de concours que nous tenons de définir y mais Terreur est trés-peu sensible lorsque Técran est suffisamment éloigné de la lame. Fresnel a d'ailleurs calculé leurs positions exactes, à l'aide d'une analyse rigoureuse, qui lui a permis d'étaluer en outre les rapports des intensités de la lumière sur les difiéreots points de Técran ; ces rapports rendent parfaitement compte de la vitacité des premières franges , de la pâleur que présentent celles plus éloignées, et enfin de la clarté uniforme qui leur succède. Les largeurs des parties comprises entre les milieux de deux bandes obscures consécutiTes , d*un certain ordre ^ étaient données par l'analyse en fonction des distances relatives de la source, du bord opaque, et de Técran ; Fresnel a me* sure ces diverses largeurs à Taide de son micromètre , qui lui faisait apprécier des difiérences de longueurs d'un centième de millimètre et ces mesures ont présenté l'accord le plus parfait avec les résultats déduits delà théorie.
Soient : r la distance SP de la source au bord opaque; s celle qui sépare ce bord de Técran ; y la distance au point G d'un point de concours situé sur GE; n le nombre des zones graduées que la lame opaque laisse libres, à gauche du pôle correspondant à ce point de concours. On aura évidemment
V^(r -f- xy ■+■ y* — V^jy' -t- y' = r — n j-
D'après cette formule , il est facile de voir que le milieu d'une bande obscure du même ordre, correspondant à un certain nombre pourn j décrit une hyperbole ayant pour foyers la source S et le bord B, lorsque r restant constant on fait varier s ; c'est-à-dire quand on éloigne ou rapproche Técran de la lame opaque , sans changer 1^ distance qui sépare cette lame de la source. En outre, la formule précédente donne, par un calcul très-simple,
et démontre que y augmente, pou» la ^méme valeur de j?, lorsque r diminue ; c'est-à-dire que les bandes obscures du même ordre s'élargissent, ou s'éloignent de la limite de l'ombre géométrique, Iqrsque la distance de Técran à la'lame restant la même, on diminue celle de la lame à la source. Ces deux conséquences de la théorie ont été complètement vérifiées par les mesures de franges prises par FresneL
TR99TB-SBPTISHB LIÇOV. 236
603. Noas ayons supposé la lame suffisamment large , ou sou Explication second bord trop éloigné du premier y pour que l'écran pût rece- frange/daDs Toir une lumière sensible de la portion d'onde cylindrique libre ^l^Jl^^l", yers la gauche. Cette restriction était indispen^ble , car le phéno* mène de l'ombre d'une lame étroite diffère essentiellement de celui de l'ombre produite par un seul bord opaque. On remarque alors sur l'écran 9 non-seulement des franges extérieures, à droite et à gauche de l'ombre géométrique du corps étroit , mais un autre système de franges, plus yives et plus serrées, dans l'intérieur même de cette ombre. Ces franges intérieures sont dues à l'in* fluence mutuelle des rayons envoyés sur l'écran , par les deux par« ties de l'onde cylindrique qui restent libres à droite et à gauche du corps opaque; car lorsqu'on intercepte un de ces groupes de rayons, en masquant l'un des bords par un nouvel écran, tout le système des franges intérieures disparaît complètement. On peut démontrer facilement que le concours de ces deux groupes de rayons doit en effet occasionner des franges , alternativement brillantes et obscures.
Soient , sur un plan horizontal : S la trace du foyer linéaire de la lentille cylindrique; BB' la coupe d'un fil métallique très-fin, qui intercepte une partie B'B de l'onde circulaire O'O; G' et G les fio. 32s. traces des limites de l'ombre géométrique , sur un écran vertical E'E perpendiculaire à la droite SQ , qui partage l'angle B'SB en deux parties égales. Le point Q est éclairé par les deux échelles indéfinies BO et BO', dont les résultantes sont égales et concordantes; en sorte que la lumière envoyée par l'une d'elles double celle de l'autre; le point Q sera donc brillant, et cela d'autant plus que BB' sera plus petit et l'écran plus éloigné; enfin sa clarté différera très-peu de celle qui existerait si l'écran était enlevé. Il n'en sera pas de même de tous les points situés entre Q et G, entre Q et G' : en marchant dans un sens ou dans l'autre , on doit rencontrer une suite de points de concours, pour chacun desquels la différence de hauteur des résultantes , qui correspondent aux deux échelles indéfinies BO et B'O', soit d'un nombre entier de demi-ondulations, successivement pair et impair; ces points seront donc alternativement éclairés et noirs ; il dgit donc enfin exister des franges obscures et brillantes dans l'intérieur même de l'ombre projetée par le corps étroit.
Si le point d'application de la résultante de l'échelle indéfinie BO ou V-O'j relativement à tout point de concours situé entre G et G', était toujours à i d'ondulation au-dessus de son origine B ou B',
GOVES DR PHYSIQUE.
Explication
des franges produites par une fente étroite.
FiG. 829.
le point milieu d'une bande brillante ou obscure pourrait être déterminé, par la condition que la différence des distances de ce point , aux bords B et B', fût un nombre entier de demi-ondulations , pair ou iirnair ; mais ce mode de détermination serait inexact y car nous avons fait voir que le point d'application de la résultante d'une écbelle indéfinie, au-dessus de son origine, varie de hauteur entre zéro et il. Par exemple, à mesure que le point de concours s'approche de 6, à droite de la bande centrale Q, la résultante de l'échelle B'O' s'éloigne de plus en plus du bord B', tandis que celle de l'échelle BO se rapproche du bord B« Fresncl a déduit de son analyse rigoureuse , des formules donnant les largeurs des franges intérieures de différents ordres , et de nombreuses observations micrométriques ont ensuite vérifié l'exactitude de ces formules.
Les franges extérieures, que Ton observe sur 6E ou G'E', ne doivent pas être identiques avec celles que nous avons considérées dans le premier cas de la diffraction; car tout point de concours, situé un peu au delà de 6 vers E, est non-seulement éclairé par la demi-onde circulaire située à droite de son pôle, et par la zone qui sépare ce pôle du bord B , mais encore par l'échelle indéfinie B'O', dont la résultante apporte une lumière sensible qui doit compliquer le phénomène. En effet, lorsqu'on intercepte cette dernière lumière, en masquant le bord B' par un nouvel écran, ce qui fait disparaître les franges intérieures, on remarque en même temps des changements très-sensibles dans les franges extérieures projetées sur GE.
604. Considérons maintenant le second cas de la diffraction , celui d'une fente verticale , pratiquée dans une lame opaque ou produite par le rapprochement de deux lames, que l'on présente à une certaine distance de la raie brillante formée par la lentille cylindrique. Soient, toujours sur un plan horizontal : S la trace du foyer rectiligne; LX la section des lames ; B'B celle de la fente; B'CB l'arc non intercepté de l'onde circulaire passant par B'et B, que nous supposerons à la même distance delà source; G' et G les points d'intersection des rayons SB' et SB avec un écran E'E, disposé perpendiculairement à la droite SCQ, qui partage l'angle B'SB en deux parties égales. Le phénomène diffère avec la position de l'écran : lorsqu'il est très-éloigné, on observe une image brillante de la feule, plus large de beaucoup que la projection conique G'G; à droite et à gauche sont les franges obscures et l)rillantes que nous appellerons franges extérieures. Mais lorsqu'on
TRBICTS-8SPTIBHB LBÇOV. 237
rapproche successiyement l'écran des lames opaques , on aperçoit un autre système de franges, dans Tintérieur même de Timàge, lequel subit des transformations très-sensibles , à mesure que la distance diminue.
Il est facile de concevoir la cause de cette différence. Tout point de concours pris sur l'écran, entre G et G', a son pôle sur Tare BGB', en sorte qu'il est éclairé à la fois par deux zones polaires , Tune située à droite et l'autre à gauche ; c'est l'interférence variable des résultantes de ces zones qui occasionne les franges intérieures. Au contraire, pour un point de concours pris au delà de G vers E , ou en deçà de G' vers E', le pôle est intercepté , et l'arc éclairant forme une seule zone, située sur la demi-onde circulaire de gauche ou de droite, laquelle produit moins ou plus de lumière, suivant que sa hauteur contient un nombre pair ou impair de fois i l; et c'est ici la cause des franges extérieures. .
Or, quand la distance de Técraq est suffisamment grande, les deux zones polaires qui composent l'arc éclairant, pour tout point de concours intérieur, ont des hauteurs tellement petites, que leurs résultantes sont concordantes; il ne peut donc plus exister de franges intérieures. Toute l'image géométrique G'G est alors éclairée d'une lumière continue ; et cette clarté s'étend même au delà, si pour le point de concours G ou G' la zone polaire BGB' a une hauteur moindre que i L Ainsi l'image occupera toute la largeur comprise entre les milieux des deux premières franges obscures extérieures, pour lesquels l'arc éclairant comprend deux zones graduées, situées sur la même demi-onde circulaire. Cette image doit donc être considérablement élargie, et cela d'autant plus que l'écran se trouve plus éloigné et que la fente est plus étroite.
Lorsque l'écran s'avance parallèlement vers les bords opaques, il atteint une position , telle que l'arc éclairant comprend exactement deux zones graduées polaires, relativement au point de concours Q; c'est à partir do cette position que les franges intérieures commencent à paraître. Considérons de suite une position encore plus rapprochée, tçlle que l'arc BCB' se compose, pour le milieu de l'écran, de deux échelles définies polaires; soit n le nombre de zones graduées de chacune de ces échelles; le point Q sera brillant si n est impair, obscur au contraire si n est pair. A droite et à gauche de ce point il existera des points de concours pour lesquels l'arc éclairant se composera de deux échelles polaires inégales, comprenant à très-peu près l'une (n — 1), l'autre (n-f-1 ) zones élémentaires ; ces points seront obscurs si n est im-
238 GOVES DB PHTSIQ1TB.
pair, brillants si n est pair. Âti delà de ces points on en trouvera d'autres dont les deux échelles polaires contiendront presque, Tune (ft — 2) , l'autre (n + 2) zones graduées ; ces nouTcaux points seront éclairés ou obscurs suivant que n sera impair ou pair ; et ainsi de Miiie. Ces franges intérieures seront donc d'autant plus nombreuses, et par conséquent d'autant plus serrées, quen sera plus grand , ou que l'écran sera plus rapproché des lames. Il est à remarquer que la bande centrale ne sera brillante que pour n impair, et qu'elle sera au contraire obscure pour n pair.
ExviicaiioQ 605. Nous arrivons enfin au dernier cas de la diffraction, celui
fraoges'pro- dc dcux fentos verticalcs très*Yoisines, pratiquées dans une même i.«rdmw*enie« ^^™® opaquo , quc l'on place entre la source rectiligne et l'écran.
irè»-voi»incs. Soicut, cncorc sur plan boriiontal : S la trace du foyer de la lentille ; L'GL la coupe de la lame; Â'B', AB les sections des deux fentes , ou les arcs non interceptés d'une même onde circulaire
FiG. 330. O'GO; F'G', FG les traces des images géométriques des fentes sur l'écran. Nous supposerons pour simplifier que les deux fentes ont une largeur égale ; que la lame opaque est disposée normalement au rayon SG , venant de la source au milieu de l'intervalle étroit qui sépare les deux fentes; enfin que l'écran est parallèle i la lame. Les deux images F'G' et FG ont alors la même largeur, et le milieu Q deG'G est situé sur le prolongement de SC. De F vers E , et de F' vers £', on observe des franges extérieures, qui s'expliquent comme celles qui entourent l'image d'une seule fente. De ¥ en G ou de F' en G', il peut y avoir d'autres franges, si la distance CQ n'est pas trop grande , et dont l'explication est en tout conforme à celle des franges intérieures à l'image d'une seule fente. Toutefois les franges des images GF ou GT' peuvent être modifiées d'une manière sensible par la'lumière venant de A'B' ou AB, si l'intervalle B'B est très-petit. Enfin on observe sur G'G un système de franges très-vives et très-serrées , qui s'étendent symétriquement à gauche et à droite du milieu Q, et qui caractérisent principalement le cas actuel de la diffraction.
Ges franges nouvelles sont dues à l'interférence des rayons envoyés par les deux arcs éclairants A'B' et AB ; ce qu'il est facile de prouver, car si l'on intercepte un des groupes de rayons interférents, en masquant une des fentes par un nouvel écran, tout le système de franges dont Q est le centre disparait complètement, et l'on n'aperçoit plus sur Técran E'E que les franges extérieures plus pâles et plus larges produites par la fente qui reste libre. Il est encore facile d'expliquer les franges dont il s'agit. Le point de coii-
TEBIfTB-SIPTIBHE LSÇOV. 2S9
cours Q , au milieu de G'G , est toujours éclairé par deux zones égales el symélrîquement placées à droite et à gauche de son pôle; les lumières envoyées par ces deux zones s'ajouteront donc, et le point Q sera toujours brillant. Mais à droite et à gauche de ce milieu Q, on doit rencontrer une suite de points, tels que Jes résultantes des deux zones éclairantes aient des hauteurs inégales diiTéranl d'un nombre entier de fois H; ce nombre sera successivement pair et impair, dans la série de ces points, qui se trouveront conséquemment sur autant de bandes brillantes et obscures.
D'ailleurs, les fentes étant très-étroites, l'écran peut être assez éloigné pour que les zones A'B' et Â6 aient des hauteurs beaucoup plus petites que Hj relativement à tout point de concours situé sur récran entre G' et G; en sorte que les ondes élémentaires, ayant leurs origines sur chacune de ces zones , peuvent être considérées comme arrivant sensiblement avec la même phase, ainsi que leur résultante directement égale à leur somme. C'est alors comme si l'écran était exposé à deux sources identiques, et les franges dont il s'agit s'expliquent par l'interférence des rayons de ces sources, comme celles provenant du concours des rayons réfléchis sur les deux miroirs légèrement inclinés , dans l'expérience de Fresnel. En eflet la mesure de la largeur des franges , observées dans l'ombre commune à deux fentes étroites , conduit à des longueurs d'ondulation identiques avec celles que fournit l'expérience des deux miroirs.
Quand l'intervalle qui sépare les deux fentes augmente, les franges intérieures se resserrent, ou diminuent de largeur; c'est comme dans l'expérience des deux miroirs , lorsque les deux images s'éloignent, par une diminution de l'angle obtus que forment les plans réfléchissants. Quand on introduit , dans le trajet d'un des faisceaux interférents , une lame mince transparente , qu'il sufiit de poser sur une des fentes , tout le système de ces franges est déplacé ; et le nombre des largeurs de franges que la bande brillante centrale parcourt sur l'écran , lors de ce déplacement , peut servir à déterminer l'épaisseur ou l'indice de réfraction de la lame , ou la longueur d'ondulation qu'y possède la lumière homogène employée, ou enfin le rapport de la vitesse de celte lumière dans la lame , à sa vitesse dans l'air (§ 589).
Les développements qui précèden.t, suffisent pour faire conce- .voir que les faits de la distraction sont des conséquences du principe des interférences. Mais pour acquérir la certitude que ce principe peut seul expliquer toutes Ies<?irconstances de la difi'raction, il faut
240 GOUaS DB PHYSIQUE.
lire le dernier mémoire que Fresnel a publié sur ce sujet. Il serait impossible d'émettre le moindre doute sur la théorie de cet illustre physicien , quand on observe l'accord surprenant qu'il signale y entre les nombres déduits du calcul , et ceux donnés par des mesures directes dans une multitude de cas différents. Il est à regretter que les bornes de ce cours ne permettent pas de donner ici, dans tous leurs détails y ces preuves irrécusables de la réalité des ondes lumineuses.
Mesure 606. Les mcsures prises par Fresnel , à l'aide de son appareil ml-
* d*uDe ° crométrique (§ 585), avaient toujours pour but de déterminer, soit la ^"reffîom^ largeur d'une frange ou l'intervalle compris entre les milieux de tri<iue. deux bandcs obscures consécutives , soit la distance qui séparait une bande obscure de la limite de l'ombre géométrique. Dans ce dernier cas, il fallait employer un artifice particulier, puisque dans les faits dont ils s'agit, les ombres géométriques n'ont pas de limites visibles ; voici le procédé indirect qu'a employé Fresnel , dans le premier cas de la diffraction, et qu'il est bon de connaître. Pour Fio. 331. mesurer sur Técran la distance d'une bande obscure d'un certain % ordre , à la projection du bord de la lame opaque , on approche de
ce bord , et dans le même plan , uue lame semblable à la première que l'on arrête à une dislance assez grande, pour que l'intervalle des deux lames ne produise pas les phénomènes de diffraction d'une ouverture étroite ; ce dont on est sûr tant que les franges extérieures à l'ombre de la première lame ne subissent pas de modification , et conservent les mêmes largeurs. Dans ces circonstances , les deux lames produisent sur l'écran deux systèmes de franges extérieures identiques, et symétriquement placés dans l'image de l'ouverture. On mesure alors la distance qui sépare les milieux des deux bandes obscures, de l'ordre que l'on a en vue, dans les deux systèmes ; on retranche celte distance de la projection conique de Touverture , qu'il est facile de déduire, par une simple proportion, des distances connues de la source au plan des lames , et à l'écran, et de la grandeur mesurée de l'ouverture; la moitié du reste donne la dislance cherchée. Les autres cas de la diffraction n'exigent aucun appareil additionnel , pour mesurer la distance d'une bande aux limites géométriques des ombres ; puisque , pour chaque frange , de quelque ordre qu'elle soit, le phénomène présente de lui-mèmc une frange symétrique du même ordre.
Frangei 607. Nous u'avous cousidéré que la diffraction produite par
vt cJarté dan» . i f t • . iii .•■• i
l'ombra des ondes cyundriques , et par des bords opaques rectilignes ; lorsduo disque. ^^^ |^ sourco lumincuse est formée par une loupe ordinaire d*un
TRCHTE-SBPTtillB LEÇOH.
Bsndes
Mêie» dam
la lumière
blanche.
très-court foyer, et quand les bords opaques sont courbes, les franges se contournent, mais le phénomène résulte toujours de Tinterférence des rayons envoyés par les parties non interceptées des ondes sphériques. Les calculs qu'il faut faire alors pourévalucr les résultantes sont nécessairement plus compliqués que dans les cas simples que nous avons décrits. Fresocl a considéré le cas de l'ombre d'un petit écran circulaire opaque, interceptant les ondes spbériques provenant d'un point lumineux ; les largeurs des franges annulaires intérieures , données par le calcul, ont encore été vérifiées par Texpériencc; le disque opaque était un petit cercle noirci sur la surface d'une lame de verre , et le phénomène était observé par transmission. M. Poisson fit remarquer qu'il résultait de la théorie de Fresnel , que le centre même de l'ombre du disque très-étroit , observée à une distance suffisante, devait être aussi éclairé que si le disque n'existait pas : cette conséquence a été vérifiée par M. Atago.
608. Il résulte évidemment de l'explication des différents cas de la diffraction , que dans tout système de franges produites par une lumière homogène, les largeurs des bandes alternativement brillantes et obscures , doivent augmenter et diminuer avec la longueur d'ondulation ; d'où il suit que pour les mêmes positions relatives de la source lumineuse , des bords opaques et de l'écran , les franges doivent être d'autant plus fines, que la couleur homogène diffractéc est plus réfrangible. C'est en effet , ce que confirme l'expérience. Les bandes irisées , qui sont produites dans les mêmes circonstances par la lumière blanche, proviennent de la superposition de tous les systèmes de franges correspondants aux différentes couleurs du spectre solaire.
609. Fraûuhofer a observé avec beaucoup de soin un phénomène Phénomènes de diffraction particulier, dont l'explication diffère de celle des cas râteaux panigénéraux que nous avons décrits, quoique étant fondée sur les ^^^^' mêmes principes. L'appareil principal est un réseau composé d'une
suite d'intervalles, alternativement opaques et transparents. Le meilleur réseau qu'on puisse employer est une lame transparente, sur laquelle sont tracées au diamant des lignes parallèles, éqnidistantes et très-serrées, tellement qu'on puisse en compter depuis vingt jusqu'à plusieurs centaines dans l'épaisseur d'un millimètre; les sillons formés par la pointe du diamant sont les parties opaques. Pour observer le phénomène dont il s'agit , on introduit un faisceau de rayons solaires, réfléchi horizontalement sur le miroir d'un héliostat par une fente verticale étroite, pratiquée dans le volet d'une chambre obscure. Ce faisceau est reçu à une assez grande distance
242 COURS DK PHYSIQUE.
du Tolet y sur la lame du réseau , que l'on dispose de telle manière que les traits qui le composent soient verticaux ou parallèles à la fente. Immédiatement derrière la lame , ou place Tobjectif d'une lunette , mobile autour d'un axe vertical occupant le milieu du réseau y et dont les variations de direction puissent être observées sur un limbe horizontal , propre à mesurer des angles.
Dans ces circonstances , Tœil placé derrière l'oculaire de la lunette aperçoit : 1^ Sur l'axe optique une image blanche de la Fio. 332. fente A, ayant ses bords très-nettement terminés; 2** à droite et à gauche de cette image y deux espaces égaux complètement obscurs O et O'; 3^ au delà, et symétriquement de part et d'autre, une suite de spectres solaires parfaits, ayant tous le violet plus près , et le rouge plus éloigné de la bande blanche. De chaque côté le premier spectre est séparé du second par un espace obscur 0'' moindre que O; mais le rouge du second se projette sur le violet du troisième, Textrémité de celui-ci sur le quatrième et ainsi de suite. Ces spectres , et surtout les premiers, présentent distinctement les mêmes raies noires que Fraûnhofer a découvertes dans les spectres produits par des prismes très-homogènes; on aperçoit très-nettement les raies principales C^ D, £, F, G.
Si, considérant une même raie,Fpar exemple, dans les spectres successifs situés d'un même côté , on mesure à l'aide du fil micro^ ^létrique de Fraûnhofer (§ 406), et en faisant tourner convenablement la lunette, les distances qui séparent du milieu de Vimage blanche, les différentes positions de cette raie, F' dans le premier spectre, F" dans le second , F''' dans le' troisième,... on trouve que la seconde de ces disla nces AF" est double, la troisième AF'" triple,... de la première AF; d'où il est facile de conclure que l'intervalle compris entre deux raies du même spectre, croit suivant la même progression arithmétique , d'un spectre à l'autre. AF' peut être appelé la déviation de la raie F ; elle se mesure sur le limbe de la lunette, en prenant la moitié de l'augle décrit, pour amener successivement le fil micrométrique sur la raie F' des* deux spectres du premier ordre, à droite et à gauche de A.
Fraûnhofer a mesuré ainsi les déviations des sept raies principales , en se servant de réseaux différents, c'est-à-dire plus ou moins serrés, et dans lesquels le sillon opaque était plus ou moins large par rapport à l'intervalle transparent. Il a constaté de cette manière que la déviation d'une même raie ou d'une même couleur, ne dépend pas du rapport de l'épaisseur d'un sillon , à la largeur d*un intervalle transparent , mais de la somme de ces deux grandeurs^ que la
TREBTS-SBPTliHE LEÇOIT. 243
valeur absolue de la déyiation est en raison iuTerse de cette somme; c'est-a-dire qu'en multipliant la déîiaiion mesurée, par la somme connue de l'épaisseur d'un sillon et d'un intervalle transparent , on obtient un nombre constant pour la même raie , quel que soit le réseau dont on se serve. Fraûnhofer a calculé, sur 'des mesures exactes et nombreuses , les valeurs de ce nombre constant pour les sept rfties principales du spectre solaire; et il se trouve que ces va* leurs sont précisément égales aux longueurs d'ondulation des couleurs correspondantes à ces raies , telles que Fresnel les a obtenues par d'autres procédés.
610. Ces lois ne sont que des conséquences très-simples de la ExpUeaUoa théorie des ondes lumineuses, comine M. Babinel Ta remarqué le phénomène premier. Gousidérons ce qui doit arriver pour les rayons d'une seule réseaux, couleur homogène, dont la longueur d'ondulation soit/, et supposons que le réseau soit assez éloigné de la fente pour que sa surface puisse être considérée comme située sur une même onde cylindrique. Soient sur un plan horizontal : R'R la trace du réseau et pi^, 333. de l'onde interceptée ; P la position de l'œil de l'observateur; PF le rayon venant directement du milieu déjà fente. Nous admettrons que celte droite PF est perpendiculaire à R'R , et passe par le milieu A d'un sillon opaque, en sorte qu'elle partage le réseau en deux parties symétriques; nous supposerons aussi que le phénomène soit observé à l'œil nu. Il suffit de chercher l'effet que peuvent produire, au point de concours P, les rayons de la lumière partis des intervalles transparents du réseau, qui se succèdent sur la demionde circulaire AP.
D'abord ceux de ces intervalles qui sont assez voibins du pôle A , pour que les rayons versPnc fassent pas un angle sensible avecPA, donneront une résultante qui différera peu de celle de la demi-onde circulaire complète; quant aux autres, leurs lumières se détruiraient complètement , si les sillons opaques n'existaient pas. En s'éloignant de A vers R, on doit trouver un lieu tel, que la largeur d'un intervalle transparent , ajoutée à Tépaisseur du sillon qui le suit , occupe une zone z , ayant à très-peu près pour hauteur la longueur d'ondulation /. La lumière envoyée par toute cette zone serait nulle, si toute sa surface éclairait le point P; mais le sillon opaque qu'elle contient, interceptant une partie de ses rayons , indispensables pour détruire l'effet des autres, le point de concours recevra de la lumière dans la direction PZ| , ce doit être à peu près suivant cette direction que l'œil reçoit l'impression de la couleur homogène considérée, dans le spectre du premier ordre, situé à
244 COURS DE PHTSIQUS.
droite de la bande brillante centrale. En continuant à marcher de Zi verâ R , on doit trouver une suite de lieux où rinteryalle transparent et la largeur du sillon voisin occupent successivement des
zones Zi, Zs^Z^, dont les hauteurs soient à très*peu près 2/,
3/, 4/,...; ces zones, qui produiraient des effets nuls au point P, si leurs surfaces totales l'éclairaient , lui fourniront au contraire de la lumière , à cause de Topacitè de plusieurs parties de ces surfaces. C'est a peu près suivant ces directions, PZ» , PZs, PZ4,... que Tceil recevra l'impression de la couleur choisie, dans les spectres du second ordre, du troisième, du quatrième.
Il faudrait avoir recours à l'analyse employée par Fresnel pour calculer les véritables directions de ces résultantes partielles , et les rapports de leurs intensités. Mais sans employer cette marche rigoureuse, l'explication qui précède suffit pour rendre compte des lois observées par Fraûnhofer. Soient : a ei b les deux extrémités Fio, 834. de la zone Z't; t l'intervalle transparent; o) l'épaisseur du sillon; ab=ê'=T H- 0), la largeur de la zone Zi ; l'angle APa =:Di. Si Ton décrit du point P comme centre, et avec Va pour rayon, un arc de cercle qui rencontre en h le rayon P6, d'après la définition dé la zoneZi, on aura pour sa hauteur hhs=zL L'angle 'Di^=KPa=:bah^ mesure la déviation de la couleur reçue suivant k direction ZfP, et Ton a, dans le petit triangle bahj bh=zab sin. iaA; d'où Ton conclut, en substituant l'angle D, à son sinus, à cause de sa petitesse, /=s^p, ; c'est-à-dire que la déviation d'une des couleurs du spectre du premier ordre, multipliée par la somme d'un intervalle transparent et de la largeur d'un sillon, doit donner la longueur d'ondulation de cette couleur. Ce produit doit donc rester constant d'un réseau à un autre, et fournit un moyen exact de déterminer la longueur d'ondulation /.
Il est facile de voir, par une construction analogue à la précédente, que la déviation D/i, correspondante à la zone éclairant Za dans le spectre du n^""' ordre, doit être donnée ptfr la formule Dns=f»^; d'où l'on conclut que les déviations d'une même couleur, considérée dans les spectres successifs, doivent croître comme les
nombres entiers 1,2,3, 4 Enfin, il résulte de la même formule
que les déviations de deux couleurs dans un même spectre doivent être entre elles comme leurs longueurs d'ondulation; tous les spectres doivent donc offrir le violet en dedans ou plus prés du pôle  , et le rouge en dehors. Toutes les lois énoncées plus haut se trouvent ainsi démontrées.
En obbervant le phénomène dont il s'agit sur un grand nombre
TEBKTB-SBVTliME LIÇON. 245
de réseaux, qui différaient par les grandeurs et les rapports des largeurs r et onj Fraunhofer a souvent remarqué que , pour chacuo d'eux, un ou plusieurs spectres étaient très-pftles, ou presque insensibles. Tordre de ces spectres affaiblis variant d'un réseau à l'autre. La théorie rend encore parfaitement compte de cette circonstance : Si T et 0) sont entre eux à trés-peu près comme deux nombres entiers n' et n", la zone de l'ordre n = n'-4- n" se partagera presque exactement en deux autres ayant pour hauteurs Tune nly l'autre n'I'y la seconde de ces zones partielles sera interceptée; la première seule pourra éclairer le point de concours P, mais sa hauteur comprftiant un nombre pair de demi-ondulations, les rayons qu'elle enverra se détruiront presque complètement, et le spectre correspondant devra manquer, ou être très-faible. Par exemple, si t est la moitié ou le double de u , c'est-à-dire le } ou les } de «, le spectre du troisième ordre doit manquer. Les mesures données par Fraunhofer, lorsqu'il signale l'affaiblissement d'un spectre d'un ordre déterminé , s'accordent complètement avec cette explication.
^IVVVVV\^WWWVV\1V>1\A(V\\\V\IVVVVV\IV\^^
TRENTE-HUITIÈUE LEÇON.
Rayons polaritét non interférenis. — Définition de la lumière polarisée dans la théorie des ondet. Définition de la lumière naturelle. — Théorie de la dooble réfraction. — Surface courbe des ondes. — Propriétés optiques des cristaux à deux axes. — Phénomène de la réfraction conique. Axes de réfraction eoniqne. — Axes optiques des cristaux. Phénomène produit par la h||iière qui parcourt un axe optique.
Bayons Qi\^ j^q phénomène de la diffraclion fournit des appareils trés-
ioterfércats. commodes pouf étudîer l'interférence des rayons de lumière polarisés dans divers plans, et vérifier une découverte importante faile par HH. Arago et Fresnel. Ces physiciens ont constaté , par une multitude d'expériences , que deux rayons provenant d'une même source, ou de deux sources identiques, ne peuvent interférer lorsqu'ils sont polarisés suivant deux plans perpendiculaires entre eux. G'est-à-dire qu'alors la lumière de l'un s'ajoutant à celle de l'autre, produit toujours la même clarté, quelle que soit la différence des chemins parcourus par les deux lumières , ou ce qui est la même chose quelle que soit la différence des phases des deux rayons à leur point de concours. Nous ne citerons qu'une seule expérience , imaginée par M. Ârago, qui met ce fait hors de doute.
On se procure une pile de lames de mica, suffisamment étroite, que l'on coupe en deux parties égales suivant un plan normal aux lames ; puis on dispose chacune de ces nouvelles piles derrière uof des fentes de l'appareil indiqué au paragraphe 605 , de telle manière que les plans des lames fassent un angle de 30^, angle de polarisation du mica , avec l'axe du faisceau venant de la source à la fente; enfin, on fait tourner autour de cet axe l'une des piles, .sans changer cet angle. Tant que les plans d*incidence des deux faisceaux sur les deux petites piles ne sont pa^ perpendiculaires entre eux, on ne cesse pas d'apercevoir sur l'écran le système des franges intérieures; mais sa vivacité diminue à mesure que l'angle de ces plans d'incidence approche de l'angle droit. Quand cette limite est atteinte, toutes les franges disparaissent complètement au
TftBirTB-HVITlàlIE LBÇON. 247
centre de la projection conique de Tintervalle', ou du moins Ton n'aperçoit plus que les franges plus larges et plus pâles qui bordent les images des deux fentes, comme si chacune de ces fentes existait seule. Or, les faisceaux lumineux qui traversent les deux petites piles, sont toujours totalement polarisés, perpendiculairement à leurs plans d'incidence ; les plans de polarisation des deux faisceaux font donc un angle droit , lors de la position relative des deux piles qui détruit tout signe d'interférence.
On peut donc établir, comme une loi générale, que deux rayons polarisés à angle droit n'exercent aucune action l'un sur l'autre, dans les circonstances les plus favorables à la production des fran-ges. MM. Ârago et Fresnel ont vérifié cette loi par des expériences variées sur les rayons polarisés qui émergent des cristaux bi-réfringents. En parlant de la même loi, Fresnel a démontré celte propriété importante , que les vibrations de l'étber, sur un rayon de lumière polarisé^ s'exécutent suivant une même direction, parallèle à la surface des ondes. Voici celle démonstration.
612. Considérons deux rayons d'une même lumière bomoeéne i>*fio'iîon
Y ae» rajoos po-
R et R', provenant d'une même source , polarisés à angle droit, et i>nscs assez peu inclinés 1 un sur 1 autre , a leur point de concours P , pour des ondes. qu'on puisse les supposer parallèles. Quel que soit Tétat vibratoire transrais par chacun de ces rayons, on peut toujours le décomposer en trois systèmes de vibrations orthogonales; nous prendrons pour les directions de ces composantes, celle commune aux deux rayons, et deux droites perpendiculaires à cette dernière direction, prises dans les deux plans de polarisation, et parallèles aux surfaces des ondes. Soient , pour le rayon R : o^ b^, a", les intensités des composantes; )7, [p, (f, leurs phases au point P; w, t?, u, leurs vitesses de vibrations variables. On aura
ir=csin. 271^—^ \ v^bsîn. 27^^-—^^, u=aBin.2i:f-—^J ;
T représentant la durée d'une vibration , et / la longueur d'ondulation de la lumière homogène employée. On peut pareillement représenter par
ti?' = c'sin. 27r^~Q, t,' = i'8in. 2^ ^~î^ V
u' = a'5În.27r^^î^\
*lcs trois composantes, sur les mêmes axes, du mouvement vibra-^
toire transmis en P par le rayon K' ; c^ , i'% a" , étant leurs intensitétf , rly (p", et f' leurs phases.
Parmi ces six composantes , v> et w* sont sur la direction commune des deux rayons, v et v* dans le plan de polarisation deR, u et ù! dans celui de R'. II faut remarquer que ces rayons , appartenant à la même espèce de lumière , Tenant de la même source, et ne différant que par leurs plans de polarisation, deviendraient identiques, à leurs phases près , si Ton faisait tourner Tun d'eux autour de leur direction commune, de manière à ramener ces plans Tùn sur lautre. D'où il suit que, si la composante normale aux ondes est nulle pour l'un de Cbs rayons , elle le sera nécessairemeot pour l'autre ; et que , si & ou a est nul pour R , il faudra que a ou i' le soit pour R'.
Cela posé, d'après le paragraphe 578 , les composantes W, V,U, du mou?ement vibratoire résultant du concours des deux rayoos au même point , seront données par les formules W = tr-f-ir', V= » -♦- v', D = 1* -H m' j leurs intensités C , B', A', par c^llcHîi:
C = c^ -+- c"» -+- 2cc cos. 271 1^=1-^ , B' = i' H- 4" ^- %hV COS. 27r "^^ , A' == a' -^ a^ -f- 2aa' cos. %n ^^=^ ;
enfin l'intensité P de la lumière totale sera p = C' -+- B' -♦- A'. Or, puisque les rayons R et R', polarisés à angle droit, donnent toujours la même clarté , quelle que soit leur différence de marche au point P, il faut que F soit constant, quelles que soient les différences >? — >?'» ^ — ^', ? — y'; ce qui exige que l'on aitàla foiscc' = 0, A*' = 0,aa' = 0.
Ainsi l'on a c = 0, d'où c' = 0; mais lorsque la composante ir e8t nulle pour le rayon R, ir' doit l'être pour R'; on a donc à la fois T? = 0 et o' = 0. C'est-à-dire que sur tout rayon polarisé les vibrations s'exécutent parallèlement à la surface des ondes. De plus, pour que l'équation bb' = 0 soit satisfaite , il faut que i = 0 ou i'=0 î or si A = 0, on a nécessairement a' =0, et si i5' = 0 il s'ensuit que a est nul. On doit conclure de là que les vibrations de l'éther , poo^ toute lumière polarisée , s'exécutent sur la surface des ondes ou p»" rallèlement, ou perpendiculairement au plan de polarisation. B faut avoir recours à d'autres phénomènes pour décider entre ces deux directions quelle est la véritable.
T&BUTE-HUITIÈHB LEÇOK. 240
L'explication que Fresncl a donnée de tons les faits de la double réfraction démontre que, dans un milieu dont Télasticité n'est pas constante autour d'un même point , la vitesse de propagation d'un rayon polarisé Tarie aTCcla direction du mouTcment oscillatoire des molécules de Téther, relativement aux axes d'élasticité. Il suit de là que dans les cristaux à un axe, pour lesquels deux des trois axes d'élasticité sont égaux , un rayon polarisé de telle manière que les vibrations de Téther soient normales à la section principale , doit avoir la même vitesse de propagation , dans toutes les directions autour de l'axe d'élasticité ou de double réfraction contenu dans cette section ; la constance de cette vitesse entraîne celle de l'indice de réfraction pour la même espèce de lumière j et par suite la vérification de la loi de Descaries sur le rayon dont il s'agit.
Au contraire pour un faisceau polarisé de telle manière que les oscillations de l'éthcr s'exécutent dans le plan de la section principale, ayant conséquemmcnt une composante parallèle à Taxe d'élasticité , laquelle change de grandeur avec l'angle compris entre cet axe et la normale à l'onde, l'élasticité développée, et par suite la vitesse de propagation , doivent varier avec cet angle ; d'où résulte la non -vérification de la loi des sinus. Or, de ces deux faisceaux de lumière polarisés à angle droit, le premier est nécessairement le rayon ordinaire, et puisqu'il est dit polarisé suivant le plan de la section principale, on doit conclure de ce rapprochement que les oscillations de l'éther, dans un rayon de lumière polarisée, ont lieu sur la surface de l'onde normalement au plan de polarisation.
613. Lorsqu'un faisceau de lumière naturelle, ou n'ayant subi, Définition par la réfraction ou la réflexion , aucune polarisation totale ou par- naturelle tielle, tombe normalement sur un cristal bi-réfringent à faces pa- ^ tbéôrie des rallèles, les deux faisceaux émergents ont chacun une intensité ^°^*' égale à la moitié de celle de la lumière incidente ; en sorte que leurs lumières réunies reproduisent l'intensité primitive; ou du moins lâ très-petite perte que Ion constate est suffisamment expliquée par les portions de lumière réfléchies, à la première et à la seconde surface du cristal. Ainsi l'on doit admettre qu'un rayon de lumière naturelle, d'intensité 1 , se décompose sans résidu en deux rayons polarisés à angle droit et d'intensités h
Il suit de là que la trajectoire décrite par une molécule de l'étlter, sur un rayon de lumière naturelle, est située sur la surface de l'onde; puisque s'il existait une composante du mouveïnent vibratoire sur la normale à cette surface, on devrait en retrouver la trace dans les phénomènes produits parles deux seuls rayons pola-
GOU&S DB PHTSIQUV.
Théorie
de la double.
rérraciion.
Axes d'âasticUé et
vitesses princt|ialcs.
risés à angle droit , qui se partagent toute la lumière incidente; tandis que le fait de leur non-interférence prouve que cette composante y est toujours nulle. Les conséquences nombreuses, déduites de cette conclusion érigée en principe, sont toutes Térifiées par l'expérience, comme nous le Terrons dans cette leçon et la suivante. Ainsi il ne peut plus rester de doute sur la nature des Tibrations lumineuses : elles appartiennent réellement au genre de Tibrations transversales que nous aTons suffisamment défini au paragraphe 572.
614. Ccst ce caractère fondamental des vibrations lumineuses qui a fait découvrir à Fresnel la Téritable théorie des phénomèoes de la double réfraction. Nous allons exposer les principes et les résultats de cette théorie , à qui Ton doit , non-seulement l'explication de toutes les lois primiliTement trouTées par l'observalioD , mais encore la découTerte de plusieurs faits ncuTcaux. Fresnel admet que, dans un cristal bi-réfringent , Téther répandu entre ses particules pondérables a uhe densité constante, mais une élasticité variable ; il ne considère que le cas où cette élasticité change de la même manière d'une direction à l'autre dans toute retendue du cristal. Cette hypothèse et cette restriction se présentent naturellement, quand on réfléchit aux propriétés mécaniques des substances cristallisées, et au phénomène de double réfraction que présente Je verre. comprimé (§ 558).
615. Concevons qu'une molécule d*élher soit écartée de sa position d'équilibre , dans une direction quelconque, d'une quantité ç très-petite par rapport aux intervalles moléculaires. Les actions que celte molécule exerçait sur le fluide environnant, et qui dépenden nécessairement de la distance , seront troublées par ce déplacement; les molécules voisines seront donc sollicitées à se mouvoir; leur roouvemenl occasionnera celui des molécules plus éloignées; ciicbranlement se communiquera ainsi de proche en proche. Pour que la direction du premier déplacement soit conservée, lors de celte propagation, en tout sens autour du centre d'ébranlement , il tau que la force élastique mise enjeu ail précisément la même flï'*ection. On démontre, en. partant des principes de la mécanique rationnelle , que cette relation entre le déplacement et la force développée ne peut exister, en général, que suivant trois direction perpendiculaires entre elles, auxquelles on peut donner le ncju d'axes d'élasticité , el qui restent les mêmes dans toute retendue u milieu , d'après la définition adoptée.
Les forces élastiques correspondantes à ces trois axes princip»" bont en général inégales ; elles sont proportionnelles aux carres
FiG. 335.
TRBVTE-HriTliHE LEÇOIf. ^ 251
yitessesde propagation des mouvements qui les font naître, chacune de ces vitesses étant prise perpendiculairement à la direction même du déplacement , puisqu'il ne s'agit ici que des vibrations lumineuses. D'après cela , soient : OX, OY, OZ , les directions orthogonales des trois axes d'élasticité, en un point 0 du milieu cristallisé ; a la vitesse avec laquelle se propage dans le plan YOZ un mouvement de la molécule 0 suivant OX ; h la vitesse de propagation dans le plan ZOX d'un déplacement dirigé suivant OY ; enfin , c la vitesse ayec laquelle se propage dans le plan XOY le mouvement de sur OZ. Les forces élastiques mises en jeu par ces déplacements sront respectivement égales à ftÇa% i"Çft% l^Kc^ ; l*- étant un coeifiient constant , et Ç l'écart primitif de la molécule 0 , supposé le [éme sur les trois axes. On peut admettre , sans détruire la géné- [lité des conséquences qui vont suivre, que, des trois vitesses prin- ^ales, a soit la plus grande, o la plus petite, et que h soit comprise itre les deux autres. D'après cette convention, on peut dire que [xe OX est celui de plus grande élasticité, OY l'axe moyen , et que est celui de plus petite élasticité.
>16. Lorsque l'écart Ç a lieu suivant une direction OE, faisant angles a, /3, ^, avec les trois axes d'élasticité, on démontre que déplacement force élastique développée est la résultante des trois forces que iccuie. Iraient naître les déplacements Ç cos. a, Ç cos. /3, K cos. ^, dirigés livant les axes. Si donc R représente cette force, et X, Y, Z, ses [ois angles de direction, on aura
COS. X=fJiÇa^cos.a, Rcos. Y=iuÇi'co5./3, Rcos. Z=i^c'cos.y,
Propff galion du
