COS
fl" rns." a -+- b' ros.' Ô
c' Cds,' r
Décomposons la force R en deux autres forces. Tune R cos. s dirigée suivant le déplacement Ç, et l'autre R sin. s normale a cette ligne. Le mouvement se propagera en tout sens autour de OE, mais la direction de l'écart primitif ne sera conservée que pour un seul sens de propagation, celui OS parallèle à la composante R sin. £ = R', qui tendant au rapprochement des couches du
fluide n'aura aucune influence sur les vibrations transTersales. Les vibrations que la molécule 0 exécutera suivant OE, se propageront donc suivant OS, en conservant leur direction, avec une vitesse W liée à la force R cos. e par l'équation R cos. e=fiÇ W% qui donne
' COS.' a
b* cos.^ /3 -+- c* C08.' r.
Propagation
des ondes planes
dans les
crislaux hi- r^
fringents.
Vitesses
de
propagation
des ondes
planes.
Fi&. 336.
II n'en est pas de même de la propagation du mouvement suivant toute autre direction OS', faisant un angle a avec OS} car la forcé R' se décompose alors en deux autres, Tune R' cos. a qui n*a pas d'influence sur le mouvement transmis , mais l'autre R' sin. a qui change nécessairement sa direction à mesure qu'il se propage.
617. Concevons que toutes les molécules du fluide éthéré situées sur un plan P, passant par le point 0, soient a la fois écartées de leurs positions d'équilibre, de la même quantité Ç, et parallèlement à la même direction ; ce sera comme si ce plan glissait tout d'une pièce. Mais le mouvement qui résultera de ce glissement, dans la masse fluide, sera difl'érent suivant la position du plan mobile relativement aux axes d'élasticité. Si ce plan est perpendiculaire à l'un de ces axes , à OX par exemple , et si le glissement a Heu parallèlement à l'un des deux autres axes, OY ouOZ, les forces élastiques développées resteront parallèles à OY ou à OZ,et le mouvement se propagera suivant OX, en conservant sa direction , avec la vitesse b ou c. Il suit évidemment de là que des ondes lumineuses planes, normales à l'un des trois axes d'élasticité, et polarisées suivant un plan perpendiculaire à l'un des deux autres axes, se propageront sans se décomposer, en conservant leur plan de polarisation, et avec la vitesse qui leur correspond.
Si le plan mobile étant toujours perpendiculaire à OX , le glissement a lieu dans le plan YOZ> suivant une direction OG qui fasse un angle i avec OZ., le mouvement qui s'ensuivra sera la résultante de deux mouvements partiels, l'un dû au glissement Ç cos. • parallèle à OZ, l'autre au glissement Ç siu. i parallèle à OY. Ainsi une onde plane lumineuse normale à l'un des axes d'élasticité, mais polarisée suivant un plan qui n'est perpendiculaire à aucun des deux axes, doit se décomposer en deux systèmes d'ondes, polarisées à angle droit, et qui se propagent avec des vitesses différentes suivant la même direction.
618. Considérons enfin le cas général où le plan glissant P est situé d'une manière quelconque par rapport aux axes d'élasticité. Soient m^ n^ |» ^ les angles de direction de sa normale ON, et tou-
T&EnTB-HnTtiHB LEÇON. 253
jours Oy )3, 79 ceux correspondants à la ligne OE parallèle au déplacement C de ce plan, ^^i la force élastique développée R , faisant un angle e avec OE , est située dans le plan NOS, la direction du mou- Tcment sera conservée lors de la propagation , la composante R COS. e sera seule efficace, et celle Rsin. étendant au rapprochement des couches de l'éther , n'aura pas d'influence sur le mouvement transmis. On démontre que sur un même plan P il n*j a que deux directions du glissement primitif, normales entre elles, pour lesquelles la condition précédente se trouve satisfaite ; soient OE', OE", ces deux directions. H suit de là qu'une onde plane luroîoeuse à P et polarisée suivant un plan normal à OE' ou OE", doit se propager suivant ON , avec une vitesse constante W , en conservant son plan de polarisation. Cette vitesse de propagation W diffère d'un cas à l'autre; on trouve qu'elle est liée aux angles fn,n,p, par l'équation :
(1) (u?' — b) (w*— c) COS.' m -4- (m?'— c') (w' — a') cos.' n
-^ {w" — a') (tr» — i ) COS.' p = 0,
qui donne les deux valeurs de w^ correspondantes à ces deux cas.
Si le déplacement C du plan P a lieu parallèlement à une direction quelconque OE, faisant un angle i avec OE', le mouvement résultant peut être décomposé en deux autres, l'uu'dû au glissement Çcos. • parallèle à OE', l'autre au glissement Ç sin. i parallèle à OE''. Ainsi une onde plane lumineuse P donne lieu en général à deux •
systèmes d'ondes planes polarisées à angle droit suivant des plans perpendiculaires à OE' et OE", et qui se propagent avec les deux -vitesses différentes données par l'équation (1), suivant la même direction ON.
619. Imaginons maintenant que l'éther en 0 soit agité à la fois surface dans toutes les directions possibles, et proposons-nous de irouver ^Van^^^ le lieu géométrique de tous ces ébranlements simultanés, au bout i««cmtatix
111 «.1 1 1 • bi-réflriogeDU.
de l'unité de temps ; ce lieu sera la surface des ondes lumineuses dans le milieu bi-réfringent. Il est évident que toute onde plane passant actuellement en 0, et se propageant suivaut une vitesse constante, doit être tangente à la surface cherchée au bout de l'unité de temps. Soient m,n,p , les angles de direction de la normale à cette onde plane et tr'^a vitesse de propagation; elle occupera, à cette époque, une position représentée par l'équation:
(2) of COS. m -♦- y cos. z -^ ^ cos. p = ir ;
tr satisfaisant à l'équation (1), et or*, y, Zy représentant les coordonnées d'un point quelconque du plan de l'onde. La surface
254 Gouns de phtsiqub.
cherchée sera celle enveloppée par tous les plans compris dans réquation (2), en y faisant varier cos. m y cos. n^ cos. p^ et Wy de telle manière que ces variables vérifient toujours réquatioa(]}, et la relation connue cos.' m + cos/ n h- cos.'p s=s 1. Soit posé :
COS. / = -g^, cos. m=^, COS. n-^,
d'où
= abc : l/âv^Tïy^"w^ ;
réquation (2) devient
(3) aj?'j? -4- by'y -f- czjr' =7 aie ,
et la formule (1) prend la forme
(4) {x" + y" -^ z") • (a'a?'' -^ Ay'^ -4- c'z'') — (i' -^ 0') aV — (c' -+- a) by* — (a' -+- i') c z'' -^ a^i'c' = 0,
Le problème se réduit alors à trouver la surface dont le plan tangent est donné par Téquation (3) , x\y'j et z\ étant les coordonnées d'un point M' faisant partie du lieu géométrique représenté par l'équation (4). Or des calculs, qui ne peuvent trouver place ici| démontrent que tout plan (3), satisfaisant à celte condition , est toujours tangent au lieu géométrique (4) lui-même, en un certain point autre que M' ;on aura donc la surface cherchée, en substituant X jjfy Zyk x' yy y z' y dans l'équation (4). Construction 620. Avaut de discuter cette équation, il importe d'indiquer do^DMn* les Tutilité de la surface qu'elle représente , pour assigner les lois que suit la lumière eu se réfractant dans une substance diaphane cristallisée. Nous admettrons pour cela que la direction des axes d'élasticité du milieu soient connues, et que les vitesses principales 'a,&,e, aient été déterminées en nombre , en prenant pour l'unité la vitesse de propagation dans le vide de l'espèce de lumière considérée; enfin nous supposerons que la surface (4) puisse être construite, ou simplement qu'il soit possible de déterminer, par des procédés graphiques , ceux de ses plans tangents qui passent par une ligne donnée. Soient AB une face plan^ quelconque du cristal; et LI un faisceau de lumière naturelle, de couleur homogène, tombant obliquement daus le plan d'incidence LIA*sur la surface AB. Le mouvement de l'éther apporté par le faisceau incident LI, qui existe actuellement en I, se trouvera transmis au bout de l'unité de temps en un certain point R du milieu cristallisé ; si ce point R
rayons rcfracléa*
