II

seront parallèles éatre elles ^ ou qu^ In lamière doublement rëfractëe sera blanche ^ n les denx faces planes du second milieu sont elles-méiail» parallèljes*, et que, si ces denx plana sont inclinés Tun sur l'autre^ les rayons de diverses couleurs resteront séparés ^ ou que leur faisceau sera dis* perse.

Moindre Ti- g^j^ ]^g théorie des ondulatîonf conduisant à la for*

teste de la ..lumière dans- sin * u , ' i i -t j •*.

les milieux mule -. — = - « ittOHiuc Que la lumière doit avoir une viplu, 8inr f ^ ^

réfrinsonu. ^^^^^ moindre dans les mOieuz plus réfringents; ce qui est directement contraire à l'explication que Newton a donnée àé la r^raction. Or on peut prouver directement qne la lumière se propage réellement moins vite dans lea milieux plus réfringents. Si, dans Texpérience des deux miroirs, on place entre Tun d'eux et Fécràn , ou le foyer de la loupe employée par Frestiel, une lame mince de verre,' on de tout autre corps solide transparent, on remarque que le groupe de franges est déplacé. La bande centrale , dans sa nouvelle position ^ ne correspond donc plus à des distances égales aux images I et F, mais elle doit toujours cependant provenir au concours de deux rayons parcourus par la lamière dans le même temps. Le sens du déplacement indique constamment que la marche de la lumière a été retardée par son passage dans la lame; c'est-à^lire qu'elle s y propage avec une vitesse moindre que dans l'air -, ou enfin , le nombre des ondulations devant être le même pour les deux rayons concourant à la bande centrale, que les longueura d'ondulation sont plus courtes dansuBe lame solide diaphane que dans l'air.

Mesure de Q^^^ Cette expérience , imaginée par M. Arago , donne dea lamea un moyen très exact de mesurer l'épaisseur E d'une lame

mincet.

QuijiAifriÈifB LBçoH. 355

^ince , lorsqu'on connaît rindice de réfraction L correspon-

dant à cette substance, ou bien de déterminer L lorsqu^on

connaît E En effet, soient /' et /les longueurs dWula-

ùon de la lumière homogène employée, dans la lame et

dans I ajr-, x' le nombre entier ou fractionnaire de Ion-

«ueur d'ondulatioà /' contenues dans répaisseur E de la

lame-, x celui des longueurs d'ondulation / comprises dans

une couche d'air de même épaisseur E -, enfin , n le nombre

de largeurs de franges que la bande centrale parcourt sur

1 écran, ou au foyer du micromètre, pour passer de la po-

sition qu'elle occupait avant l'interposition de la lame, à

cel le qu^elle occupeaprès , nombre qu'il est facilede déter^i-

ne» avec une grande exactitude au moyen du micromètre de

Frwesnel. On auraévidenunentE=j&=5/'jc', x+n=zx' /• or' , ^ . '

^=p=^\à'Qiix'^ljx,x=.^~^^ et enfin, Es=

In \ In

6o5. L'explication que nous avons donnée de la ré- Faisceau flexion et de la réfraction indique que les rayons des ondes ^^ ^

élémentaires qui s'écartent des rayons réfléchis et réfractés , déterminés par les constructions précédentes , et qui donnent une lumière nulle on presque nulle, lorsque la surface de séparation des deux milieux a une certaine étendue dans tous les sens, doivent au contraire donner une lumière sensible, et former ainsi un faisceau réfléchi ou réfracté d'une plus grande section, lorsque la largeur de la surface , mesurée dans le plan d'incidence , est très petite et en quelque sorte comparable aux longueur d'ondulation. Car alors les effets^ dès ondes élémentaires pourront échapper aux destructions par interférence. Cette conséquence de

]a théorie est encore vérifiée par Texpérience : si Ton se sert d'une glace noircie par derrière , et dont la surface antérieure soit aussi recouverte d'un noir mat, à Texception d'un petit espace formé par deux lignes droites faisant entre elles un angle tirés aigu, on remarque quela largeur du faisceau réfléchi va en augmentant , à mesure que le lieu wi la réflexion s'opère s'approche du sommet de l'angle. Phénomène 606. U existe une foule de circonstances dans lesquelles *^o* orée ."* OU ohservc des franges , comme dans Texpérience des deux miroirs imaginée par FresneL Ces franges sont toujours irisées dans la lumière blanche ^ mais quand la lumière est homogène , elles sontalternativementbrillantesetobscures. . Le principe des interférences qui n'est qu une conséquence nécessaire de la théorie des ondes lumineuses, explique complètement ces phénomènes divers. Nous considérerons particulièrement le phénomène des anneaux colorés, et cehiî connu sous le nom de difiraction. Voici comment le premier a été décrit et analysé par Netvton.

L'appareil se compose d'une glace à faces parallèles et d'un verre plan convexe , dont la surface courbe fait partie d'une sphère d'un très grand rayon -, on presse contre la glace le côté convexe de la lentille, et l'on fait tomber, à l'endroit du contact, des rayons d'une seule couleur, faisant partie du faisceau dispersé par un prisme \ nous supposerons que cette lumière incidente soit rouge, telle que celle sensiblement homogène qui traverse le verre coloré dont s'est servi Fresnel. Dans ces circonstances, l'œil placé en 0 , et recevant des rayons réfléchis, apercevra une tache noire au point de contact des deux verres -, autour de cette tache , un anneau rouge*, autour de ce premier anneau, un anneau noir, un autre anneau rouge, et ainsi de suite.

FiG. 3a3.

livàl place en 0', et recevant les rayons transmis par les verres , apercevra une tache rouge au contact , puis un anneau obscur» un anneau rouge, etc. Ces derniers anneaux sont plus pâles ou moins vifii que les premiers.

Il est difficile de mesurer directement les épaisseurs variables de la lame gazeuse , comprise entre les verres , aux lieux des différents anneaux obscurs ou colorés *, mais en mesurant les diamètres des auneaux , on peut en conclure ces épaisseurs. En efièt, soient eq une de ces épaisseurs , ed le demi-diamétre de Tanneau correspondant, c le point Fk. 3aa. de contact des deux verres^ et r le rayon de la surface

courbe de la lentille , on aura dc.iir^sed . d'où ea= — j

on substitue nr ou ce' à c'J, à cause de la petite différence de ces lignes, due à la grandeur de r, qui était de loo pieds pour le verre convexe employé par Newton. Il suit de là que. les épaisseurs de la lame d'air sont entre elles' comme les carrés des diamètres des anneaux correspondants.

Newton ayant mesuré avec un compas les diamètres des anneaux vus par réflexion , a trouvé que leurs carrés sont comme les nombres i, 3, 5, 7, 9 , lorsquMIs correspondent au milieu des parties brillantes, et comme les

nombres o, a, 4) 6, 8 , lorsqu'ils correspondent aux

parties obscures. Ayant pareillement mesuré les diamètres des anneaux vus par transmission , Newton reconnut que leur^ carrés sont entre eux comme les nombres 0,2,4,6,8 pour les parties les plus colorées, et comme 1,3,5,7,9. . . pour les plus obscures. Les épaisseurs des lames d'air aux lieux de ces différents anneaux sont donc dans les mêmes rapports.

Newton a trouvé que ces rapports restent les mêmes quand

358 GOtJAS DB PHYSIQVB.

le système des deux verres est éclairé par une attire lamiëre homogène que le rouge ^ et lorsqu^au lieu d*air on interpose entre les verres une autre substance transparente telle que Teau-, mais la valeur absolue de Tëpaisseur de la lame interposée 9 correspondante à un anneau obscur ou brillant du même ordre y est exprimée par on nombre différent pour chaque couleur et pour chaque substance. A travers une même substance 9 les anneaux sont plus grands pour la lumière rouge que pour la lumière violette. Dans le cas ^une même couleur, les épaisseurs de deux lames d'air et d*eau , correspondantes à un anneau obscur ou brillant du même ordre , sont entre elles comme les sinus dMncidence et de réfraction lors du passage de la lumière de Tair dans Teau.

Si au lieu d*uue lumière homogène on fait tomber sur Tensemble des deux verres de la lumière blanche, on observe des anneaux irisés , qui , d'après les observations de Newton ; sont dus à la superposition des séries d'anneaux correspondantes à toutes les couleurs simples du spectre solaire. Enfin, dans tous les cas, lorsqu'on incline de plu^ en plus les rayons iocidents sur les deux verres, on voit les anneaux s'élargir^ à mesure que l'angle d'incidenoe augmente.

Le phénomène des anneaux colorés peut s'observer aussi dans des cristaux naturels contenant des fissures remplies d'air ^ ou de tout autre fluide*, les couleura variées, irisées et changeantes, que présentent ces cristaux, disparaissent lorsqu'on les pulvérise. Une bulle de savon mise à l'abri des courants d'air, présente aussi des anneaux colorés : à mesure que son épaisseur diminue elle ofiîc snccessivement toutes les couleurs du spectre, et quand elle est

QUARÀMTIÊME LEÇOM. 359

sur le point de s'éteindre ^ elle paraît noire tant son épais* sear est faible^ on aperçoit une série de plusieurs anneaux concentriques 9 lorsqu'on place Tœil sur la verticale qui passe par son point de suspension , autour de laquelle tout est symétrique.

607. Newton a conclu du phénomène des anneaux ^^^^ colorés que pour cbaque substance il existe une s^rie d*é- ^^ ^^^* paisseurs e, 3e , 5e, ye^... , pour lesquelles la lumière incidente d^uqe certaine couleur est dans un accès de faei/erç/Zearib/i^etuneautresérie d'épaisseurs ae,4e»6e,8e«. «9

pour lesquelles la lumière de la même couleur est daos un accès de facile transmission. Il expliquait la coloraâon des corps ^ en admettant qu'ils sout composés de particules transparentes , séparées par des interstices remplis de divers fluides^ et que les épaisseurs de ces particules, et celles des lames fluides , repoussant les rayons qui se trouvent daos un accès de fecile réflexion , et réfractant ceux auxquels elles offrent un accès de facile transmission , décomposent ainsi la lumière blanche incidente , et donnent aux cotps leurs couleurs propres.

608. La théorie des ondes lumineuses rend compte du Explication

dos anneaux

phénomène des anneaux colorés , sans qu'il soit nécessaire colorés. d'attribuer à la lumière des propriétés nouvelles. L'explication fournie par cette théorie peut se résumer dans les théorèmes suivants : i"" Les anneaux vus par réflexion proviennent de l'interférence des rayons réfléchis à la première et à la seconde suriace de la lame d'air, ou de tout autre substance *, a Les anneaux vus par réfraction sont dus à l'inteiférence des rayons transmis directement, et des rayons réfléchis deux fois sur les faces de la lame , avant d'être transmis.

36o . ceuns de physique.

Avant de faire voir cpie les coDsëqaences de ces deux théorèmes sont totalement conformes à Tobservation , il &nt rappeler les propriétés mécaniques de la propagation des ondes dans des milieux fluides. Lorsque le milieu a partout la même densité , un ébranlement communiqué d*une molécule à la suivante > laisse la première en repos -, si elle se meut encore après , c*est qu*un autre ébranlement suit le premier et se propage à sa suite. Lorsque Tonde doit passer d*un milieu dans un autre de densité différente, il j a réflexion de cette onde à la surface de séparation ', alors, si Fonde propagée arrive du milieu le plus dense dans le milieu le moins dense, les molécules du premier, qui ébranlent immédiatement celles du second, conservent après cet effet une vitesse de vibration moindre y mais dirigée, dans le même sens qu^avant. Si Tonde propagée arrive au contraire du milieu le moins dense dans le milîeii le plus dense , la vitesse de vibration conservée par les molécules du premier, après leur action immédiate sur celles du second^ a changé de sens ou de signe.

Ces résultats que M. Poisson a déduits de Tanalyse mathématique , sont analogues à ce qui se passe dans le choc de deux boules parfaitement élastiques B et B' -, B' étant d'abord en repos et B en mouvement vers elle avec une vitesse Y. Si les masses m et ni de ces deux boules sont égales , après le choc B se trouvera en repos , et B' sera animé de la vitesse Y ; si m surpasse m', B ne perdra pas toute sa vitesse, et les. deux boules se mouvront toutes les deux dans le même sens *, enfin si m est moindre que m\ B perdra toute sa vitesse , et en acquerra une de signe contraire , en sorte qu'elle se mouvra en sens opposé deB'.

QUÂRANTiÈHE LEÇOff. "SGl

Revenons au phénomène des anneaux colorés : supposons qu^il s'agisse d'une lumière homogène de longueuliiy ondulation / dans Tair, de deux verres, l'un plan ; l'aoCre convexe , et d'une lame d'air interposée *, supposons aussi que le faisceau incident soit très voisin de la normale *, enfin désignons par e l'épaisseur de la lame d'air correspondante au poitit que l'on considère. Pour Tœil observant, le phénomène par réflexion , l'onde réfléchie à la deuxième face de la lame d'air aura parcoihru un chemin 2e de plus que celle réfléchie à la première face ; son retard sera en réalité différent de 2e y parce que , ayant été réfléchie du milieu moins dense au milieu le plus dense, ses vitesses de vibration ont changé de signe à la deuxième surface de séparation -, c'iest alors conime si le retard 2e était augmenté d'une demiondulation, otv^lc '• Ainsi les deux faisceaux interférents

sont en retard l'un sur l'autre de ae -| — -, d'où il suitqu'ils

seront en concordance complète lorsque e sera un des termes de la série 7/, 7/^ t^}-** î ^t que conséquemment les épaisseurs des lames d'air, correspondantes aux milieux des anneaux brillants, devront être entre elles comme

les nombres i, 3 , 5 , 7 *, qu'ils seront au contraire en

discordance complète lorsque e sera un des termes de la série o, f/, 7/, '1^...,-^ et que conséquemment les épaisseurs des lames d'air, correspondantes aux milieux des anneaux obscurs, sont entre elles comme les nombres

Pour Fœil recevant les rayons transmis , Fonde réfléchie deux fois intérieurement dans la lame d'air, aura parcouru i^ chemin 2e de plus que Tonde transmise *, les deux ré-

flexions qu'elle a subies ayant Heu toutes les deax da milieu W^oins dense au plus dense , Içs changements de signe dm vitesses de vibration, aux deux surfaces de séparation^ se détruiront l'un l'autre , et le retard total aen simplement 2e. U y aura donc concordance pour e égal k l'un des termes de la série O9 ^if^l, fv» discordance au contraire , quand e sera l'une deslongueurs 7/97/9 7/.... Gooséquemment y les épaisseurs des lames d'air correspondantes aux milieux des anneaux brillants par transmission serontentre elles comme lesnombreso, 2, 4> 6>... et celles correspondantes aux anneaux obscurs , comme x^ 3» 5> 7.

Les forces vives possédées par les ondes dont l'interférence produit les anneaux vus par réflexion, diffèrent moins Tune de l'autre que les intensité des ondes dont l'influence mutuelle donne lieu aux anneaux vus par transmission , car la perte en intensité dépend du nombre de réflexions que chaque onde a subies -, c'est ce qui explique la vivacité de Téclat des premiers anneaux, comparée à la pâleur des seconds.

On voit par cette explication : i"" que la plus petite épaisseur d'une certaine substance, pour laquelle la lumière d'une certaine couleur est dans un accès de facile réflexion,

est égale à ^ , ou au quart de la longueur d'ondulation de

cette couleur, se propageant dans cette substance -, 2* qu'elle doit varier pour la même substance, d'une couleur à Tautre, comme la longueur d'ondulation, et être conséquemment la plus grande pour la lumière rouge , la plus petite pour la lumière violette-, 3^ enfin, qn elle doit varier pour la même couleur d'une substance à une autre , comme les longueurs d'ondulation de cette couleur, ou comme jk

QUÀRAIITIBMfi LEÇOIV. ^63*

sÎQUfl d^incidence au sinus de réfraction , loisqtfe la lumière ^

pénètre de la première substance dans la seconde.

Cette théorie rend aussi compte de Tagrandissement des anneaux lorsque le faisceau incident s'incline sur la lame*, c'est quVlors la dififérence des chemins parcourus n est plus 2e. En effet, soient LÀ la lumière incidente sous l'angle i , à la première surface de la lame -, r Fangle de réfraction correspondant-, AB le rayon de l'onde réfractée; BA' celui de Fonde réfléchie à la seconde surface-, AU le rayon de la première onde réfléchie *, A'P perpendiculaire

à AL'-, BQ à AA'-, enfin BQ=e. On aura ÂA'=âÂQ =

2e tang r, AB= . Soient en outre P et /les longueurs Fig. 3a5.

d'ondulation de la lumière employée , pour le verre et pour

l'air, n! le quotient de AP par /', n celui de ABA' par /-, la déférence n — n'-f* j sera le nombre d'ondulations dont le second système d'ondes réfléchies sera en retard sur le pre*-

^ . AP A.À' sÎD I ae sin i sin r ae

mier. Ur, n'=s -=7- = jp — = — =7 , n

r — r ~ /'cosr ' /cosr*

ao\xn-^n'= — ^\i — p smismr K et puisque -y-=:

—jT 9 on a enfin n — /i'+-i = — j — ^ +î- Ainsi le retard

des ondes interférentes par réflexion , sera exprimé en lôn-

gueur par 2e cosr-| — \ on voit donc que pour qu'il reste

le même, lorsque l'angle i augmente ainsi que r, il friut que e augmente, et par suite aussi le diamètre de l'anneau correspondant.

609. On a donné le nom de diffraction à l'ensemble des Faits fl|énémodifications éprouvées par la lumière lorsqik^e a «passé diffraction.

près des extrémitës des corps opaques. Le phëixomène de la diffraction peut être observé dans trois circonstances distinctes. 1°. Si Ton reçoit la lumière solaire sur une loupe d*un très court foyer, ou sur une lentille cylindrique, enchâssée dans le volet d'une chambre obscure , comme pour rexpërience des miroirs de Fresnel -, qu'au faisceau co-* nique, divergeant du foyer F, on présente un écran opaque EG , qui devrait diviser Tespace situé au-delà en deux parties, Tune obscure, l'autre éclairée *, on remarque au contraire sur un carton blanc , dans Tintérieur même de Tombre géométrique qui devrait être obscur , une lumière assez vive, décroissant d'intensité à mesure qu on considère des ' points de plus en plus éloignés de la limite de cette ombre. 3ur la partie du carton qui semblerait devoir être uniformément éclairée^ on aperçoit des bandes irisées.

Lorsque entre le foyer et Técran opaque, on dispose un verre coloré quî ne laisse arriver au carton qu une lumière homogène, au lieu de bandes irisées^ on aperçoit des franges , c'est-à-dire des bandes d^ne lumière vive , séparées par d'autres bandes d'une lumière plus faible. En sorte que si l'intensité de la lumière est prise pour Tordonnée d'une FiG. 3a4- courbe, qui a pour abscisse la distance à la ligne de Tombre géométrique^ cette courbe est sinueuse , mais la différence entre un maximum et un minimum consécutif, va en diminuant lorsque l'abscisse croît, et finit par devenir sensiblement nulle-, le nombre des franges visibles est d'autant plus grand que la lumière employée est plus homogène. 2**. Si Ton présente au faisceau lumineux divergeant du foyer F, et qui traverse le verre coloré, un écran [)ercé d'une ouverture très étroite, au moins dans un sens, on ^ remarque sur le carton, au lieu d'une projection éclairée

QUARAiniÈME LEÇONi 365

de Touyerture, des franges extérieures ou situées dans l'ombre géomëtriqùe , et des franges intëneares ou situées dans Tespace qui devrait être uniformément éclairé -, l«s parties obscures de ces dernières franges sont d*autant pins noires que la lumière est plus homogène , et que le foyer éclairant est plus étroit; 3*^ Si Fécran opaque que Ton présente au faisceau lumineux est percé de deux fentes rectangulaires très étroites et très voisines, on remarque des franges d'un éclat très vif, dans ia projection sur un carton de l'intervalle des deux fentes , qui devrait être obscur. Ces franges disparaissent complètement lorsqu'on intercepte la lumière venant d'une des fentes.

6 1 o . Young et Fresnel avaient cru pouvoir expliquer ces Causes phénomènes par l'interférence des rayons directs , et des diffraction, rayons réfléchis et infléchis sur les bords des écrans ou des fentes. Mais l'expérience ayant indiqué que la nature et le plus ou moins d'étendue de ces bords n^ont pas d'influence sur l'éclat, la position et la largeur des franges , qu'elles restent les mêmes> par exemple , lorsque ces bords sont successivement semblables au dos ou au tranchant d'un rasoir, cette explication ne pouvait être adoptée.

Fresnel est parvenu à expliquer complètement tous ces phénomènes, en regardant le mouvement de l'éther en un point, comme dû à la résultante des mouvements vibratoires envoyés par tous les points d'une onde antécédente , considérés comme autant de centres d'ébranlement. Si l'onde antécédente est très étendue dans, tous les sens, la résultante est identique avec le mouvement vibratoire communiqué par la source elle-même. Mais si Tonde est interceptée en grande partie par des écrans opaques, comme dans les expériences précédentes, cette résultante

^66 GOORS DE PHYSEQim.

eil variable suivant la position de la molécule éthérée. Ëa calculant la valeur générale de cette résultante , dans les trois circonstances distinctes qui constituent le phénomène de la diffraction > Fresnel a obtenu des résultats conformes à rexpérienoe, et qui se sont accordés complètement avec toutes les mesures de franges qu*il avait prises. Les détails de cette explication , appliquée successivement aux trois cas géiiéraux de la diffraction^ seront développa dans la quarante-unième leçon.

Dans le troinème cas, si les fentes ont une largeur extrêmement petite, et si Técran est suffisamment éloigné, les ondes élémentaires , ayant leur origine sur une même ligne perpendiculaire à l'une des fentes , peuvent être considérées comme arrivant sensiblement avec la même phase, en un point déterminé de Técran , et leur résultante sera directement égale à leur sonune. Cest alors comme si Técnin était exposé à deux sources identiques représentées par les fentes, et les franges intérieures dont il s'agit s'expliquent par Tinterférence des rayons de ces sources , comme celles qui proviennent du concours des rayons réfléchis sur les deux miroirs légèrement inclinés , dans l'expérience de Fresnel. £n effet , la mesure de la largeur des franges , observées dans Tombre commune à deux fentes très étroites ^ conduit à des longueurs d'ondulation identiques avec ceUes que fournit l'expérience des deux miroirs.

Quand l'intervalle qui sépare les deux fentes augmente, les franges intérieures se resserrent ou diminuent de largeur -, c'est cooune dans l'expérience des deux miroin , lorsque les deux images s'éloignent , par une diminution de l'angle aigu que forment les plans réfléchissants. Quand on introduit , dans le trajet des faisceaux interférents , une

QUARAÎIIriBMS LEÇOlf. 36^

lame mince transparente ^ qu'il suffit de poser sur une des fentes^ tout le système- de ces franges est déplace-, et le nombre des largeurs de franges que la bande brillante centrale parcourt sur Fécran, lors de ce déplacement > peut servir à déterminer Tépaisseur ou Tindice de réfraction de la lame y ou la longueur d'ondulation qu'y possède la lu^ mière homogène employée , ou enfin le rapport de la yitesse de cette lumière dans la lame à sa vitesse dans Tair (§ 6o4)' 6i I . Le phénomène de la diffraction fournit des appa- Rayons pois-

, . ^ '^ riaéfi non

reils très commodes pour étudier rintevférence des rayons iaterférenu. de lumière polarisés dans divers plans, et vérifier une découverte importante faite par MM. Arago et Fresnel. Ces physiciens ont constaté , par une multitude d'expériences, que deux rayons provenant d'une même source, ou de deux sources identiques, ne peuvent interférer lorsqu'ils sont polarisés suivant deux plans perpendiculaires entre eux. C'est-a-dire qu'alors la lumière de l'un s'ajoutant à celle de l'autre, produit toujours la même clarté, quelle que soit la différence des chemins parcouruiB par les deux lumières, ou, ce qui est la même chose > quelle que soit la différence des phases des deux rayons à leur point de concours. Nous ne citerons qu'une seule expérience , imaginée par M. Arago, qui met ce fait hors de doute.

Cha se procure une pile de lames de mica , suffisamment étroite, que l'on coupe en deux parties égales suivant un plan normal aux lames *, puis on dispose chacune de ces non* veUes piles derrière une des fentes de l'appareil indiqué au paragraphe 609, pour le troisième cas de la difiracUon^ de telle manière que les plans des lames fassent un angle de 34*> angle de polarisation du mica , avec l'axe du faisceau

368 caims de physique.

Tenant de la saorce à la fente ^ enfin ^ on £Bdt tourner anlourde cet axe Tune des piles , sans changer Fangle. Tant que les plans d'incidence des deux faisceaux sur les deux petites piles né sont pas perpendiculaires entre eux, on ne cesse pas d'apercevoir sur Técran le système des franges intérieures-, maïs sa vivacité diminue à mesure que Fangle de ces plans d^incidence approche de Fangle droit. Quand cette Umite est atteinte, tontes les franges disparaissent complètement au centce de la projection conique de Fintervalle *, ou du moins Fon n'aperçoit plus que les firiiuges plus larges et plus-pâles qui bordent les images des deux fentes, comme sidhacune de ces fentes existait seule. Or, les iaisceaux lumineux qui traversent les deux.petites piles sont toujours totalement polarises, perpendiculairement à leurs plans d'incidence y les plans de polarisation des deux faisceaux font donc un angle droit, lors de la position relative des deux piles qui détruit tout signe d'interférence. On peut donc établir; comme une loi générale, que deux rayons polarisés à angle droit n'exercent aucune action Fun sur l'autre, dans les circonstances les plus favorables à la production des franges. MW. Arago et Fresnel ont vérifié cette loi par des expériences variées sur les rayons polarisés qui émergent des cristaux biréfringents. En partant de la même loi , Fresnel a démontré celte propriété importante, que les vibrations de l'éther, sur un rayon de lumière polarisé , s'exécutent suivant une même direction, parallèle à la surface des ondes. Voici celte démonstration.

d^^-ÔTs ^'^' ^o^'^lérons deux rayons dune même lumière ^*dîSf* ^^"^ogène, R et R', provenant d'une même source, pola- !a théorie risés à angle droit, et assez peu inclinés l'un sur l'autre,

des ondes.

QUARANTIEME LEÇON. 36g

k leur point de concours P, pour qu'on puisse les supposer parallèles. Quel que soit l'^^tat vibratoire transmis par chacun de ces rayons, on peut^ujours le dt^coraposer en trois systèmes de vibrations orthogonales -, nous prendrons pour les directions de ces composante^, la route commune aux deux rayons^ et deux droites perpendiculaires à cette dernière direction, prises dans les deux plans de polarisation, et parallèles aux surfaces des ondes. Soient, pour le rayon R : c', i*, û', les intensit<?s des composantes -, r? , ?|/ , y , leurs phases au point P , tv, i>, k , leurs vitesses

de vibration variables. On aura w=:c sin 27r T -^j,

1;=^ sin tin r -j\ u=za sin aTi f 7 ) *> ^ représentant la durée d'une vibration , et /la longueur d'ondulation de- la lumière homogène employée. On peut pareillement

représenter par w' = c' sin 27r f j J ,

^' =zh' sin 2ir f j-j, M'sa'sinaTrT j j , les

trois composantes, sur les mêmes axes, du mouvement vibratoire transmis en P par le rayon R'-, c'*, 4'", «'", étant leurs intensités , r/, ^' et <p' leurs phrases.

Parmi ces six composantes, iv et w! sont sur la direction commune des deux rayons, v et v' dans le plan de polarisation de R, uetu' dans celui de R'. Il faut remarquer que ces rayons , appartenant à la même espèce de lumière , venant de la même source , et ne différant que par leurs plans de polarisation, deviendraient identiques, à leurs phases près, si Ton faisait tourner l'un d'eux autour de leur direction commune , de manière à ramener ces plans II. 24

Fan sur Tautre. D'où il suit que y si la composante normale aux ondes est nulle pour l'un de ces rayons , elle le sera nécessairement pour Tartre -, et que ,sib owa est nul pour R , il faudra que a' ou i ' le soit pour R'.

Cela pose , d'après le paragraphe SpS , les composantes W, V, U, du mouvement yibratoire résultant du concours des deux rayons au même point, seront données par les formules W = iv-4-w', V=i;+'v', Usa-f-i/j leurs intensités C*, B», A% par celles-ci :

C =C* +c'" + icd COS 271 — j

B'=i» + 6'' + 2Aft' COS 2;r ^ , A*=a* +a'*+ uaa! cos aTi — % — ;

enfin l'intensité l' de la lumière totale seraI*=:C*«4-B*+A* . Or, puisque les rayons B. et R', polarisés à angle droit, donnent toujours la même clarté, quelle que soit leur déférence de marche au point P, il faut que I* soit constant, quelles que soient les différences n — y{y^ — ^j ç — 9'-, ce qui exige que l'on ait à U fois ccf=^o , i^&'=o > aa'=o.

Ainsi l'on a c=o > ou (/so; mais lorsque la composante IV est nulle pour le rayon R, w' doit l'être. pour R'*, on a donc à la fois c=o et c'=so. C'êst-à-dire que sur tout rayon polarisé les vibrations s'exécutent parallèlement à la surface des ondes. De plus , pour que l'équation bb'=so soit satisfaite, il faut que &=3o ou b'=iOj or si 6=50, on a nécessairement a'=so, et si b'=so il s'ensuit que a est nul. On doit conclure de là que les vibrations de l'é* ther, pour toute lumière polarisée , s'exécutent sur la sur*

QUAHAHTIÈMB LEÇON. 37 1

face des ondes, ou parallèlement, Ou perpendiculairement au plan de polarisation. Il faut ayoir recours à d'autres phénomènes pour décider entre ces deux directions quelle est la véritable.

L'explication qae Fresnel a donnée de tous les (aits de la double réfraction démontre que , dans un milieu dont Télasticité n^est pas constante autour d^un même point , la ▼îtesse de propagation d'un rayon polarisé varie avec la direction du monyement oscillatoire des molécules de Téther, relativement aux axes d'élasticité* Il suit de là que dans les cristaux à un axe , pour lesqueb deux des trois axes d'élasticité sont égaux j un rayon polarisé de telle manière' que les vibrations de Téther soient normales à la section principale, doit avoir la même vitesse de propagation , dans toutes les (Brections autour de l'axe d'élasticité ou de double réfraction contenu dans cette section; la constance de cette vitesse entraîne celle da l'indice de réfiraction pour la même espèce de lumière , et par suite la Térification de la loi de Descartes sur le rayon dont il «'agit«

An contraire^ pour un faisceau polarisé de telle manière ^qae les oscillations de Téttier s'exécutent dans le plan de la section principale, ayant conséquemment une composante parallèle à l'axe d'élasticité, laquelle change de grandeur avec l'angle compris entre cet axe et la normale à l'onde , Télasticité développée, et par suite la vitesse de propagation, doivent varier avec cet angle; d'où résulte la non -vérification de la loi des sinus. Or, de ces dqpix faisceaux de lumière polarisés à angle droit, le premier est nécessairement le rayon ordinaire , et puisqu'il est dit polarisé suivant le f^Ian de la section prnicîpale , on doit con-

dure de ec rapprochemoiil que les oscillations de Téther, dans un rayon de lumière polarisée ^ ont lien sur la surface de Tonde normalement au plan de polarisation. Définition 6 1 3 . Lorsqu^un faisceau de lumière naturelle, ou n'ayant naturelle, ^ubi , par la réfraction ou la réflexion , aucune polarisation totale ou partielle, tombe normalement sur un cristal biréfringent à faces parallèles y les deux faisceaux émergents ont chacun une intensité égale à la moitié de celle de la lumière incidente *, en sorte que leurs lumières réunies reproduisent Fintensité primitive; ou du moins la très petite perte que Ton constate est suffisamment expliquée par les portions de lumière réfléchies, à la première et à la seconde surface du cristal. Ainsi Ton doit admettre qu'un rayon de lumière naturelle, d'intensité i, se décompose sans résidu en deux rayons polarisés à angle droit et d'intensités |.

Il suit de là que la trajectoire décrite par une molécule de l'éther^ sur un rayon de lumière naturelle , est située sur la surface de Tonde ; puisque s'il existait une composante du mouvement vibratoire sur la normale à cette surface, on devrait eu retrouver la trace dans les phénomènes produits par les deux seuls rayons polarisés à angle droit, qui se partagent toute là lumière incidente*, tandis que le fait de leur non-intei^férence prouve que cette composante y est toujours nulle. Les conséquences nombreuses, déduites de cette conclusion érigée en principe, sont toutes vérifiées par l'expérience , comme nous le verrons dans les leçons suivantes. Ainsi il ne peut plus rester de doute sur la nature des vibrations lumineuses -, elles appartiennent réellement au genre de vibrations transversales, que nous avons suffisamment défini au paragraphe 587.

QUA^HAMTE-irNlÈME LEÇON. iji

Théorie de la diffraction de Fresnel. — Résultante d'une onde sphërique. — Résultante d'une onde circulaire complète et incomplète. — Explication des franges produites par un seul bord opaque; par un corps étroit; par une fente étroite; par deux fentes très voisines. —* Phénomènes des réseaux. Explication.

6i4* Sans entrer dans tous les détails de calcul néces- Théorie saires pour obteuir, d'après la marche indiquée au para- diffraction, graphe 6io, Texpression exacte de la vitesse de vibration finale , dans les diverses circonstances du phënoraène de la diffraction, on peut démontrer, par des considérations géométriques , comme Fresnel Ta lui-même indiqué , que la lumière reçue sur les écrans doit of&ir les variatiotis d^intenstté quel'on observe. Nous supposerons toujours qu*il ne s'agisse que d'une lumière homogène , qui n'ait subi aucune modîGcation dans le trajet de la source aux bords opaques, en sorte que les rayons puissent être regardés comme identiques entre eux , quelle que soit leur direction , avant que les. ondes soient interceptées. Nous admettrons, par exemple , que dans tous les cas de diffraction cités , on ait placé , entre la source et les bords opaques^ un verre coloré qui ne laisse passer que de la lumière rouge sensiblement ho- * inogène *, ou bien qu'on ait disposé dans le trajet des rayons

374 COUBS DE PHYSIQUE.

solaires ud prisme d'ane puret<! parfaite , et derrière lui un diaphragme perce d*ua trou qui ne laisse passer qu'une seule espèce de rayons , dont le faiscjeau soit ensuite concenti^ en une source lumineuse très étroite pat une lentille dlun très court foyer.

Résaltante 6i5. On peut regarder comme un axiome le principe sphérique. établi par Huyghens y et que Fresnel a pris pour base de sa théorie de la diffraction , savoir : que le mouyement de Téther en un point P, situé à une distance (r-f^ a:) d'une source S , est identique avec celui qui résulterait de la composition des mouvements vibratoires envoyés par tous les points de Fonde ayant pour rayon r; ces points étant pris comme autant de centres d'ébranlement. En effet, si Ton imagine que toutes les molécules , situées sur la sphère de rayon r, soient mises directement dans Télat osciHatoire qui serait transmis par un seul point lumineux S, placé eu son centre ; ces molécules exécutant conséquemment des vibrations isochrones et concordantes, on aura ainsi cons^ truit de toutes pièces une sphère lumineuse, en tout identique à Tonde sphérique de même i-ayon provenant de la source finique S^ et le mouvement de Téther extérieur à cette sphère devra être le même que si le centre seul avait été directement ébranlé. Il est donc vrai de dire que la lumière transmise directement , de la source S à la molécule P, est égale en intensité à la somme algébrique des lumières envoyées à la même molécule par tous les points de Tonde antécédente.

Résulunte 6i6. Considérons isolément les molécules de Tonde sicircniaira tuées SUT SOU intersection OAO', par un plan méridien mené comp t% guivant PS, et proposonsHious de trouver la résultante das mouvements vibratoires transmis en P par toutes ces mo-

QUABANTE-UMIÈICB LBÇOH. ij5

lëcules. Soit A le point de rencontre de PS avec la courbe -,

nous supposerons toujours que la distance FA 3= x eomr

prenne un très grand nombre de fois /. Il eal évident que

la lumière envoyée par Tare AO' de gauche, sera égale à Fie 3i5.

celle provenant de Tare de droite AO » putscpie ces deux

arcs sont composés d'un même nombre de molécules > sj-

métriquement placées deux à deux par rapport à PA, et à

des distances égales de P ', ainsi il suffit de considérer les

mouvements vibratoires transmis par un seul de ces arcs, et

de doubler le résultat. Concevons Tare AO divisé aux points

M, Mi^ May Ma,... de telle manière que les distances

PA , PM , PM , y PM a , . • • forment une progression arithmétique ayant pour raison \ l, ou la moitié de la longueur

d*ondulation de la lumière employée. Les divisions AM ,

MMi, Ml May MtMs^.... iront en diminuant d'abord assez rapidement -, mais lorsque les rayons vecteurs au point P feront un angle sensible avec PA , elles n'éprouveront plus que des variations de grandeurs négligeables.

Le9 ^rations envoyées en P par les molécules do Tonde qui occupent deux points de division consécutifs M „ , M „ ^ 1 , seront en discordance, puisque leurs phases différeront de ^ / ', on doit même les regarder comme se détruisant compléteoàent , car les rayons PM„ , PM„^. i , différant d'une quantité très petite relativement à leur grandeur^ peuvent être considérés comme parallèles. De même les vibrations , provenant des molécules d'éther qui se succèdent de M„ à M„^i , seront en partie détruites par les vibrations envoyées par Tare M„^i Mn+t\ et cett^S destruction sera d'autant plus complète que ces deux arcs différeront moins Tun de l'autre. Ainsi les divisions correspondantes aux

rajofts yectcurs qui font un angle sensible avec Pâ , appor** teront en P des vibrations qui 3e détruiront mutuelleaient* On n^aiva donc à considérer, pour obtenir la résultante chercbécy que les oudes élémentaires provenant des divisions voisines de A , et Ton pourra supposer que leurs rayons vers P sont tous parallèles^ que les coefficients des vitesses de vibration qu^ils transmettent en ce point sont égaux, enfin que leurs pbases seules diiC^rent.

Même dans le voisinage de Â^ les rayons partis des moitiés situées à droite sur deux arcs consécutifs sont en discordance au point P-, il en est de même des rayons provenant des deux moitiés situées à gauche sur les mêmes arcs. Ainsi la lumière envoyée par Tare MM^ est presque annulée , par son interférence avec celle venue de la seconde moitié de AM et de la première de MMi -, la lumière envoyée par l'arc M, M, détruit presque totalement celle venant de

la seconde moi tiède Ml M,, et de la première de Ma M 4 ^ et ainsi de suite. Il n'y a donc que les rayons partis de la première moitié de l'arc AM, qui échappent à toute destruction par interférence. Ainsi, lorsque l'onde ciDculafre est complète^ sa résultante relativement au point P se réduit sensiblement à celle d'un petit arc , ayant son milieu en A , et dont les rayons vecteurs extrêmes, tant à droite qu'à

gauche, ne surpassent AP que d'un quart d'ondulation. Cette dernière résultante, comparée à la vitesse de vibration transmise par le point A seul , peut avoir une phase différente j mais en 'supposant que cette différence existe , eUc doit être évideniment considérée comme indépendante de la distance x. Si le rayon /• est très grand , ou si la source est très éloignée, l'onde sphérique devient plane ^

QUÀRANT£-UNIÈM£ LEÇON. 377 •

et Tonde circulaire O'AO devient une droite perpendiculaire à PA-, aiosi la résultante d*une onde liné»||é complète , relatiTement au point P, se réduit à celle de» petites parties voisines du pied de la perpendiculaire, abaissée de P sur la droite lumineuse,

617. Dans le but de simplifier Texplication des phéno^ ^un°'*nde noMènes de la diffraction, nous prendrons pour source lumi- cylindrique. neuse la raie brillante formée par une lentille cylindrique d'un très court foyer ; les ondes provenant de cette source seront des cylindres droits ayant cette raie poUr axe commun. Nous admettrons aussi que les bords dss corps opaques, ou des fentes qui font naître les frapgcs, soient parallèles à la raie lumineuse. Dans ces circonstances^ il suffira de considérer ce qui doit arriver dans un plan normal à la source linéaire^ ou parallèle aux bases des ondes cylindriques; ce sera comme si la lumière se propageait dans ce plan en ondes circulaires que Ton pourra considérer seules. Eu effet, pour trouver la résultante d*une onde cylindrique relativement au point P, on peut d'abord décomposer cette onde en une suite de bandes parallèles aux arêtes. Chacune d'elles formera une onde linéaire complète, dont la résultante partielle sera la même que celle des demiéléments voisins du pied A de la perpendiculaire abaissée de P sur cette bande , et dont la phase ne pourra différer de celle correspondante au rayon lumineux PA , que d'une quantité â indépendante de sa longueur. Pour trouver ensuite la résultante totale, il suffira de chercher oelle de tous les rayons lumineux situés dans un plan normal à toutes les bandes linéaires, et qui ne sont pas interceptées par les bords opaques. On peut alors se dispenser d'avoir égard à la différence â, car comme elle doit être la même

pour les phases de tous ces rayons, leur ëtetde discordance ou de êdncordance , c'est-à-dire rintensîtë définitive de la lumière en P, n'éprouTe aucun trouble par cette suppression. Ainsi , pour ëyaluer l'intensité de la lumière en un point P de récran , placé au-delà des bords opaques ou des fentes, dans les différents cas de la diffraction, ces bords et ces fentes étant toujours parallèles au foyer rectiligne de la lentille cylindrique , il suffira de calculer la résultante des mouvements vibratoires transmis par les molécules d'éther situées dans le plan mené par P, normalement à la source linéaire, et appartenant à une onde circulaire incomplète. Considérons donc encore Fonde circulaire O'AO de la figure 3 25 , et cherchons ce que devient la résultante relativement au point P, dans le cas où une certaine partie des rayons vecteurs vers ce point sont interceptés par des bords opaques, nëfinition 618. Le point A où la droite PS rencontre Fonde cir* édaframe! culaire peut être appelé le pôle du point de concours P; nous désignerons la distance PA sous le nom de hauteur du pôle. Nous appellerons en général zone, une portion quelconque d'un des arcs indéfinis AO, AO'; la grandeur de cette portion sera la largeur de la zone -, la différence des rayons vecteurs vers P, menés parles deux extrémités d'une zone, sera sa hauteur. Nous désignerons particn* lièrement par le noni de zone polaire, tout arc défini ayant une de ses extrémités au pôle A lui-même ; la^listance circulaire au pôle A de Fextrémité la plus voisine d'une zone quelconque peut être appelée sa distance polaire. Nous appellerons zone graduée ou élémentaire une zone ayant pour hauteur une demi- longueur d'ondulation, quelle que soit sa distance polaire. Nous désignerons sons le

QUA]tAllTE-UNlEM£ LEÇON. ^79

nom d^écheile toat arc, pris sur AO ou sur AO', dÎTisé en zones graduées*, V origine de r^chelle sera son extrémité la plus voisine du pôle *, Téchelle sera dite définie, si les sones élécaentaires qai la composent sont en nombre limité; indéfinie dans le cas contraire -, elle sera dite échelle po^ laire, si son origine est au pâle lui-même -, et en général la distance circulaire de l'origine d'une échelle au point A sera sa distance polaire. Gela posé y nous pourrons dire siipplement : une onde circulaire complète est composée , pour chaque point de concours ^ de deux échelles polaires indéfinies^ Tune à droite, l'antre à gauche-, les zones élémentaires de chaque échelle yont en diininuant de largeur à partir du pôle y d'abord très rapidement , ttisuite d'une maniève insensible \ lorsque le point de concours s'éloigne ou se xapprochc de l'onde , les zones graduées du même ordre augmentent ou diminuent de largeur, etc.

61Q. Ces conventions établies, proposons^nous d'abord Résnlunte

^ 1 1 ;i . d'uno zone

de chercher la résultante de toutes les ondes élémentaires éiémenuire. qni partent des molécules situées sur une zone graduée mm'. Tous les rayons de ces ondes dirigés vers P peuvent être supposés parallèles. Le mouvement vibratoire propagé par Fie. 3a6. chacun de ces rayons, quelque compliqué qu'il soit^ ^eut être décomposé suivant trois axes, tels que leur direction commune , et deux droites orthogonales perpendiculaires à cette direction. Lorsqu'on passe d'un rayon à un autre ^ ces trois composantes sont identiquement les mêmes , aux origines des ondes-, et de là au point de concours, leurs phases subissent les mêmes variations pour chaque rayon -, lenrs résultantes s'obtiendront donc rigoureusement de la même manière , et il suffit de considérer un seul de ces troi» mouvements composants -, ce qui revient à suj^fioser que

38o COURS DE PHYSIQUE.

toutes les molécules de mrrJ exécutent et transmettent des vibrations linéaires , toutes parallèles entre elles.

Concevons la zone mm', de hauteur y/, partagée en un trè« grand nombre de zones d'égales hauteurs , assez petites pour qu'on puisse supposer que les molécules situées sur chacune déciles envoient des rayons de même phase au point de concours. Soient a un coefficient proportionnel à la largeur d'une de ces zones partielles, et f l'excès de

son rayon sur mP-, on pourra représenter par

a sin 27r r 7 ) '*^ vitesse de vibration que cette zone partielle transmet au point P, en prenant pour zéro la phase du rayon mP à ce point de concours. D'après cela , la vitesse de vibration , résultante de toute la zone mm', sera

V=2asîn27rf jj, la série s'étendant à toutes les

zones partielles, ou de 9^=0 à f =|/« Il faut remarcjuer que le coefficient a décroît à mesure que cp augmente, mais que ce décroissement est d'autant moins rapide que la zone graduée est pins éloignée du pôle. La résultante V

peut se mettre sous la forme V = Asîn27r ( r\

(§593), et l'on a, pour déterminer A et 4> , les deux re-

lations A sm îtt j ==2^1 sm stt j, et A ces 271 r =

2a cos 271 j -, d'où tang 27: ^ =

Sa sm 2»- 7

2â cos 29r j

Soit posé 271 j=e, aTT ^=i- l'équation précédente de-

vient. ta to'./=: r; . L'arc e varie de o à tt* dans les

• 2.a cos f

deux séries Sa sia e , £a cos e\ si a avait la méine valeur pour tous leurs termed, comme sin 6 est toujours positif, taudis que cos e a des valeurs égales, et de signes contraires, à des distances égales des limites de e, on aurait

évidemment tangi=? oo , i= -, d'où 4> =z\l. C'est-à-dire

que Tonde résultante serait, à l'intensité près, la même que l'onde élémentaire venant du point qui partage mm' en deux zones ayant toutes les deux pour hauteur ^ d'on* dulation. On aurait en outre A=Za sin s, et il est facile de voir que cette valeur serait proportionnelle à la surface

cTune demi-ellipse, ayant pour demi-axes } mm' et sin "=5 1 ;

ou à TT mmf.

Mais en réalité a varie avec s , et décroît de e=o à e=7r-, la somme des termes positifs l'emporte donc sur celles des termes négatifs dans le dénominateur Zacose; taqg /'est

donc positif, « <-> ^ ^i ^* Néanmoins on peut prendre

pour la résultante cherchée , celle qui correspond au cas où les coefficients a seraient tous égaux , et remplacer une zone de hauteur y /, par une onde élémentaire unique , ayant son centre au point qui partage cette zone en deux autres de hauteur moitié , et une intensité proportionnelle au carré de sa longueur. II faudra se rappeler toutefoisi, que cette définition de la résultante cherchée n'est qu'approximative , et que le centre de Tonde élémentaire unique s'écarte un peu de celui qui vient d'être défini , vers l'origine de la zone ; cet écart diminuant à mesure que cette zone s'éloigne du pôle, et augmentant lorsqu'elle s'en rapproche.

382 GOOmS DE PHYSIQUE.

Rëtulunta 6ao. Les rësultantes de deux zones élëmeataires consë-

oiid« cutÎTes sont donc toujours en disGoc^dance au point de con-

inMlmpièïe. couis , et la lumière transmise par Tune détruit celle

Toyée par l'autre y d'autant plus complètement que leur distance polaire est plus grande. D'après ce résultat , si le point de concours n'est éclaire que par une échelle dëfinîe d'un nombre pair de zones graduées , leurs résultantes ae détruisant presque complètement deux à deux, le point de concours sera obscur. Si au contraire Téchelle définie contient un nombre impair de zones élémentail^ , il j aura toujours une de ces zones dont la résultante échappera complètement à toute destruction par interférence , et le point de concours sera brillant.

Une échelle indéfinie peut toujours être considérée comme composée d'un nombre très grand ^ mais impair, de zones graduées *, en sorte que la lumière qu'elle envoie, et qu? échappe à toute destruction , se réduit à peu près s la résultante de sa première zone , dont le point de départ est à moins d'un quart d'ondulation aib-dessus de son origine. U faut remarquer ici que ce point d'application de la résultante sera d'autant plus près de Torigine de Téchelle que sa distance polaire sera plus courte, et au contraire d'autant plus voisine du point situé à 7 / «u-dessus de cette origine, que cette dernière sera plus éloignée du pâle. En outre 9 la clarté produite par une édielle indéfinie dëccolt d'une manière continue à mesure que sa distance polaire augmente^ car la largeur de la première aone« dont le carré peut sei^ de mesure à l'intensité de la résultante totale , va en diminuant dans le même sens. Lorsque l'échelle indéfinie est polaire, la lumière qu'elle envoie est

QUARàMTB «UNIÈME LBÇQ|||^ 383

éTideminent la moitié de la lumière produite par Toade circulaire complète.

621* Il est facile d'expliquer maintenant toutes ks cir- Explication constances du phénomène de la diffraction. Considérons produites d*abord le cas où Fune des ondes cylindriques , produites ^a opaque par le foyer rectiligne d'une lentille verticale , est interceptée par une lame opaque très large y dont le bord est parallèle aux arêtes*, et cherchons quelles doivent êtm les traces lumineuses , projetées sur «n écran vertical , placé au-delà du bord opaque , à une distance Incomparablement plus grande que la longueur d^ondulatibn / de la lumière homogène transmise par la source. Il sdffit d'étudier ce qui doit se passer dans un plan horizontal.

Soient S la projection de la raie lumineuse sur ce plan , yiq. 337. LB l'intersection de la lame opaque^ et B celle de son bord-, BO la portion non interceptée de l'onde circulaire, dont les éléments doivent être considérés connue éclairant seuls les différents points jde Tintersection E'E de Técran*, G le point de rencontre du rayon SB et de l'écran , ou la trace de la limite de Fombre géométrique du bord opaque. Au point de concours G, Féchelle polaire indéfinie BO fournit la moitié de la lumière quiFéclairerait si la lame n'existait pas. Chacun des points de l'écran sur la partie G£', est éclairé par une échelle indéfinie BO, dont la dis* tance polaire est d'autant plus grande que le point de concours s'éloigne plus du point G; la clarté ira donc en dîr minuant d'une manière continue de G vers E^ ou dans Fombre géométrique.

De G vers E, au contraire, la clarté devra offrir des maxima et des minima succesâfs. En effet, représentons par a Fintensité de la lumière qui serait projetée sur l'écran si la

lame opaque n'existait pas -, i sera Tintensitë en G y lors de Tinterposition de cette lame. Soit maintenant P un point de concours situe swr GE , tel que le bord de Tëcran laisse à gauche de son pôle  une zone graduée Afi non interceptée -, ce point P recevra , outre la lumière i, due à Té* chelle polaire indéfinie AO^ celle due à la zone PA, laquelle surpasse Tunité , puisque Téchelle indéfinie de gauche , interceptée par la lame, devrait détruire une partie de cette dernière lumière*, la ckrté en P sera donc plu* grande que 2-, le point Psera donc brillant comparativement au point G. Soit G' tin point de concours, plus éloigné que P sur GE, tel que Taffe B'B comprenne deux zones graduées ; G' recevra encore y outre la lumière i duc à la demi-onde circulaire B'O, la petite quantité de lumière qui échappera à la destruction par interférence, occasionnée par la discordance des résultantes des deux zones élémentaires comprises entre B' et B-, la clarté en G^ sera donc un peu plus grande que celle en G, mais beaucoup plus petite que celle en P ', il y aura donc un minimum de lumière vers G.

Si Ton continue à considérer des points de concours , situés sur GE , de plus eu plus éloignés de G , et tels que la lame opaque laisse , à gauche de leurs pôles ^ une échelle définie polaire*, un de ces points recevra un maxiomm de lumière quand le nombre des zones graduées de T^helle définie correspondante sera impair, un minimum quand ce nombre sera pair. La différence de clarté entre un minimum et un maximum consécutifs ira en diminuant , et enfin la clarté deviendra uniforme, et égale à 2, aux points de Fécran assez éloignés de G pour que Téchelle définie de gauehe , non interceptée , ne diffère de la demi-onde circulaire dont elle fait partie , que par quelques zones graduées

QUARAlfTE'^UNlÈME LEÇON. 38S

d^une grasde distance polaire , dont l'influence serait toutk-'fmt nulle.

Ainsi la surfece de l'écran ne présentera pas^ comme cela dewait résulter de la théorie géométrique des ombres y une ligne verticale séparant nettement une portion régulièrement obscure /d'une clarté uniforme. A gauche de cette figne , il y aura au contraire une clarté décroissant d*intensité' d'une manière continue , et à droite une suite de franges yerticaks, alternativement plus obscures et plus brillantes^ correspondantes à des maxima et à des minima dé lumière. Tel est, en effet, le phénomène que l'on observe dana les circonstances indiquées» Les milieux des franges ne sont pai précisément placés aux points de concours que nous venons de définir, mais l'erreur est très peu sensible lorsque l'écran est suffisamment éloigné de la lame. Fresnel a d'ailleurs calculé leurs positions exactes, à l'aide d'une ' analyse rigoureuse, qui lui a permis d'évaluer en outre les rapporta des intensités de la lumière sur les différents points deFécran*, ces rapports rendent parfaitement compte de la vivacité des premières franges , de la pâleur que présentent celles plus éloignées, et enfin de la clarté uniforme qui leur succède. Les largeurs des pfarties comprises entre les milieux de deux bandes obscures consécutives, dnn certain ordre , étaient données par l'analyse en fonction des distances relatives de la source, du bord opaque , et de récran *, Fresnel a mesuré ces diverses largeurs à l'aide de son micromètre^ qui lui faisait apprécier des différences de longueur d'un centième de millimètre, et ces mesures ont présenté l'accord le plus parfait avec les résultats déduits de la théorie.

Soient r la distance SB dé la source au bord opaque , II. ^5

386 COUM DE PHTSIQUB.

X celle qui sépare ce bord de récran , y la distance au point G d*un point de concours situé sur GE^ n le nombre des sones graduées que la lame opaque laisse libres, à gaucbe du pôle correspondant à ce point de concours.

On aura érideounent l/(r-f-x)*^-j'*— V/x'-f-J^«» r — n -, D*après cette formule , il est ùndh de voir que le

oûlieu d*une bande obscure du même ordre , correspondant à un certain nombre pour n, décrit une hypedK>Ie ayant pour foyers la source S et le bord B , lorsque r restant constant on fisiit varier x \ c'estrà-dire quand on«éloigne ou rapproche l'écran de la lamé opaque ^ sans changer la distance qui sépare cette lame de la àource. En outte, la formule précédente donne, par un calcul très simple,

;,/ niic -f- 1 n*i* . .,'

»/^'+J^=^4--H Ir—ln ' ^^ demontrô qucjr

augmicnte, pour la même valeur de x, lorsque r diminue^ c*est-à-dire que les bandes obscures du même ordre s* élargissent > ous'éloignentdelâlimitederombre géométpque , lorsque la distance, de l'écran à- la lame restant. la même» on diminue celle de la lame à la source. Ces deux conséquences de la théorie ont été complètement vérifiées par les mesures de franges prisespar Fresnel.

des frangM ^^^* Nous avoâs supposé la lame suffisamment large, daos Pombre q^ g0Q «ecoiid bord trop éloigné du premier, pour que éiroU. Técran pût recevoir une lumière sensible de la portion d*onde cylindrique libre vers la gauche. Cette l'estriction était indispensable r car le phénomène de l'ombre d^une lame étroite diflère essentiellement de celui de. l'ombre produite par un seul bord opaque. On remarque alors sur l'écran > non-seulement des franges extérieures, à droite et

QUXRàNTE-UMlÈMB LE^ON. 38 "7

à gauche de l*ombre géométrique du corps titroit, mais un antre système de frangea, pins vives et pins serrées, dans J'intérienr même de cette ombre. Ces franges intërïenres sont dues à Finfluence mutuelle des rajon^ envoyés sur Técran, par les denz parties de fonde cylindrique qpà restent libres à droite et à gaucbe dvl corps opaqne; car lorsqu*on intercepte un de ces groupes de rayons, eu masquant Tun des bords par «m nouvel écran, tout le système des franges intérieures disparait complètement. On peut démontrer facilement que le concours de ces deux groupes de rayons doit en effet occasionner des ^ngés, alternativement briUantes et obscures.

Soient^ sur un plan borisontal, S la trace du foyer linéaire de la lentille cylindrique-, BB' la coupe d'un fil métallique très fin, qui intercepte une partie B 'B de Tonde circulaire O'O -, 6' et G les traces des limites de TominK p,^ j^^ géométrique, sur un écran vertical E'E perpendiculaire à ia droite SQ, qui partage Tangle B'SB en deux piurties égales. Le point Q est éclairé par les deux édielles indéfinies BO et BO', dont les résultantes sont égales et concordautes^; en sorte que la lumière envoyée par l'une d'elles double celle de l'antre-, le point Q sera donc brillant, et cela d'autant plus que BB' sera plus petit et Técran plus éloigné 9 enfin sa clarté différera très peu de celle qui existerait si l'écran était enlevé. Il n'en sera pas d&méme de tous les points situés entre Q et G, entre Q et G' : en marchant dans un sens on dans Tàutre, on doit rencontrer une suite de points de concours, pour chacuÀ;desqneb la différence de hauteur des résultantes, qui cofrespoudent aux deux échelles indéfinies BO et B'O', soit d'un nombre entier de demi-ondulations, successivement pair

388 COUBS DE PHYSIQUE.

et impair*, ces points seront donc.altematÎTemeDtëclairés et noirs*, il doit donc enfin exister des franges obscures et brillanteslidans l'intérieur même de Tombre projetée par le

corps étroit.

Si le point d^application de la résultante de Tëchelle indéfinie BO ou B'O^ relativement à tout point de concours situé entre G et G', était toujours à 7 d'ondulation audessus de son origine B ou B'^ le point milieu d'une bande brillante ou obscure pourrait être déterminé par la condition que la différence des distances de ce point, aux bords B et B^, fut un nombre entier de demi-ondulations^ pair ou impair-, mais ce mode de détermination serait inexact, car nous avons fait voir que le point d'application de la résultante d'une échelle indéfinie, au-dessus de son origine, varie de hauteur entre zéro et j /. Par exemple, à mesure que le point de concours s'approche de G, à droite de la bande centrale Q, la résultante de l'échelle B'O' s'.ëloigne de plus en plus du bord Ef', tandis que celle de l'échelle BO se rapproche du bord B. Fresnel a déduit de son analyse rigoureuse, des formules donnant les largeurs des franges intérieures de différents ordres, et de nombreuses observations micrométriques ont ensuite vérifié l'exactitude de ces formules.

Les -franges extérieures que l'on observe sur GE ou G'Ë^ ne doivent pas être identiques avec celles que nous avons considérées dans le premier cas de Ja diffraction *, car tout point de concours situé un peu au-delà de G vers E , est opn-^eulement éclairé par la demi-onde circulaire située à droite de son pôle, et par la zone qui sépare ce pôle du bord B, mais encore par l'échelle indéfinie B'O', dont la résultante apporte une lumière sensible qui doit complî-

QUARANTE-UNIÈME LEÇON. 3Sg

quer le phénomène.' En effet, lorsqu'on intercepte cette dernière lamiére , en masquant le bord B' par un nouvel (icran , ce qui fait disparaître les franges intérieures, on remarque en même temps des changements très sensibles dans les franges extérieures projetées sur GE.

62). Considérons maintenant le second cas de la difirac- Explication

des franges

tion y celui d'une fente yerticale pratiquée dans une lame produites opaque ou produite par le rapprochement de deux lames , étroite, que l'on présente à une certaine distance de la raie brillante formée par la lentille cylindrique. Soient, toujouri sur un plan horizontal , S la trace du foyer rectiligne ; L'L la section des lames; B'B celle de la fente .^ B'GB Tare non P>«- 3^intercepté de l'onde circulaire passant, par B' et B , que nous supposerons à la même distance de la source-, G' et G les points d'intersection des rayons SB' et SB avec un écran E'E, disposé perpendiculairement à la droite SGQ, qui partage l'angle B'Sfi en deux parties égales. Le phénomène diffhre ayec la position de Fécran : lorsqu'il est très éloigné, on observe une image brillante de la fente, plus large de beaucoup que la projection conique G'G*, à droite et à gauche sont des franges obscures et brillantes que nous appellerons franges extérieures. Mais lorsqu^on rapproche successivement Fécran des lames opaques, on aperçoit un autre système de franges, dans l'intérieur même de l'image , lequel subit des transformations très sensibles à mesure que la distance diminue.

Il est facile de concevoir la cause de cette différence. Tout point de concours pris sur Fécran, entre G et G', a son pôle sur Farc BCB', en sorte qu'il est éclairé à la fois par deux zones. polaires, l'une située à droite et Fautre à gauche ; c'est l'interférence variable des résultantes de cea

3qo cours db physique.

zones qui occutionne les franges intérieures. Au contraire, pour un point de concours pris au-delà de G vers E , ou en*deçà de G' vers E'^ le pôle est intercepte y et Tare éclairant forme une seule zone , située sur la demi-onde circulaire de gauche ou de droite , laquelle produit moins qu plus de lumière , aut vaut que sa hauteur contient un nombre pair ou impair de fois | Z-, et c'est ici la cause des (ranges extérieures.

Or, quand la distauce ^e Técran estsuflSsamment grande , les deux zones polaires qui composent Tare éclairant, pdur tout pofut de concours intérieur , ont des hauteurs tellement petites, que leurs résultantes sont concordantes^ il nçi peut donc plus exister de franges intérieures. Toute Vîmage géoniétrique G'G est alors éclairée d'une lumière continue^ et cette clarté s'étend même au-del^, si pour le point de concours G ou G Ma zone polaire BÇB' a une hauteur moindre que {/• Aii^si l'image occupera toute la largeur comprise entre les milieux des deux premièresfrangçs obscures extérieures, pour lesquels Tare, éclairant comprend deux zones graduées , situées sur la même demioi|de drçnlaire. Cette imi^ge doit donc être considérablelUent élargie, et cek d'autant plus que Técran se trouTe plus éloigné et que la fente est plus étroite.

Lorsque l'écran s'avanee parallèlement vers les bords opaques , il atteint une position telle , que lare éclairant comprend exactement deux zones graduées polaires, relatiyeqtient au point de concours Q -, c'est à partir de cette portion que les franges intérieures commencent à paraître. Copsidérons de suite une position encore plus rapprochée, telle que Taxe BGB' se compose , pour le milieu de Técnin, de deux échelles définies polaires j soit n le nombre de

QUARàfm-UUlkME LEÇON. igi

zones graclaëes de chacmie de ces échelles *, le point Q sera brillant si n est impair, obscvir an contraire si n est pair. A droite et à gauche de ce point if existera des points de concours pour lesquels Tare éclairant s^- composera de deux échelles polaires inégales, comprenant à trAs peu près Tune (n — i), Tautre (n -f- 1) zones élémentaires; ces points seront obscurs si n est impair, brillants m i» est pair. Au-aelà de ces points on en trouTera d^autres dont les deux échelles polaires contiendront presque. Tune (n -*- a) ; Taûtre (n -(- s ) zones graduées ; ces nouveaux points seront éclairés ou obscurs suivant que n sera impair ou pair -y jet ainsi de suite. Ces franges intérieures seront donc d'autant plus nombreuses, et par conséquent d'autant plus serrées, que n sera plus grand, ou que Técran sera plus rappro<:hé des lames. D est à remarquer que la bande centrale ne sera briHante que pour n impair, et qu'elle sera au contraire obscure pour n pair.

6a4- I^ouB arrivons enfin au dernier cas de la diffrac- £<pyca^>on

^ des franges

tion, celui de deux fentes verticales très voismes, prati- produites quéclp datis une même lame opaque , que 1 on place entre fentes. r* 90{iice rectiligne et l'écran. Soient, encore sur un plan horizontal , S la trace du foyer- de la lentille*, I/CL la coupe de la lame-, A'B^ AB les sections des deuK fentes, ou les arcs non interceptés d'une m.éme onde circulaire f,c, 330, O'CO; F 'G', FG les traces des images géométriques des fentes sur l'écran. Nous supposerons pour simplifier que les deux fentes ont .une largeur égale-, que la lame opaque est disposée normalement au rayon SC, venant de la source au milieu de l'intervalle étroit qui sépare les deux fentes^ enfin que l'écran est parallèle à la lame. Les deux imagées F^G' et FG ont alors la même largeur, et le milieu Q

3^3 c^ujts DE Physique.

de G'G est situe sur le prolengement de SG. De F vers E, et de F' vers E^ on observe des fraages extérieures, cpi s'expliquent comme celles <{ui entourent Tûnage d'one seule ient^. De.F en G ou de F' en G', il peut y avoir d'autres franges , si la distance CQ n^est pas trop grande , et dont Texplication est en tout conforme à celle des franges intérieures à Timage d^une seule fente. Toutefois les franges des images GF ou G' F' peuvent être modifiées d'une manière seBMble par la lumière. venant de A'B' ou AB, si l'intervalle B'B est très petit. Enfin on observe sur G'G un système de franges très vives et très serrées y qui s'étendent symétriquement à gaucbe et à droite du milieu Q , et qui caractérisent principalement le cas actuel de diffraction.

Ces franges nouvelles sont dues à Tioterférence des rayons envoyés par les deux arcs éclaicants A'B' et AB ; ce qu'il est facile de prouver y car si Ton intercepte un des groupes de rayons interféreuts , en^ masquant une des fentes par un nouvel écran > tout le système de franges dont Q «st le centre disparaît complètement, et Ton n'ap^pçoit plus sur l'écran E'E que les franges extérieures ploi ptial et plus larges produites par la fente qui reste libre. li est encore facile d'expliquer les franges dont il s'agit. Le point de concours Q , au milieu de G' G, est toujours éclairé par deux ^ones égales et symétriqueo^ent placées à droite et à gauche de son pôle ; les lumières envoyées par ces deux zones s'ajouteront donc , et Iç^oint Q sera toujours brillant. Mais à droite et à gauche de ce milieu Q y on doit rencontrer une suite de points , tels que les résultantes des deux zones éclairantes aieiit des hauteurs inégales différant d'un nombre entier de foisi/j ce nombre sera successivement;

QUARAMT£-UMI£lfB LEÇON. 3^3

pair et impair, dans la série de ces points^ qui Se trouye-' ront coDsëquemment sur autant de bandes brillantes et obscures. *

Les développements qui précèdent suffisent pour £iire couceypir que les faits de la diffraction sont des conséquences du principe des interférences. Mais pour acquérir

la certitude que ce principe peut seul expliquer toutes' les circonstances de la diffraction , il faut lire le dernier mémoire, que Fresnel a publié sur ce sujet. Il serait impossible d'émettre le moindre doute sur la théorie de cet illustre physicien, quaftd on observe Faccord surprenant qu'il signale , entre les nombres déduits du calcul , et ceux doùnés par des mesures directes dans une multitude de cas différents. Il esta regretter que les bornes de ce Cours ne permettent pas de donner ici, dans tous leurs détails, ces preuves irrécusables de la réalité des ondes lumineuses.

6a5. Les mesures prises par Fresnel , à l'aide de son op- Meenre de U

, distance

pareil micrométrique (§ 600), avaient toujours pour but d'une frange de déterminer, soit la largeur d'une frauge ou l'intervalle géométriqae. compris entre les milieux de deux bandes obscures consécutives, soit la distance qui séparait une bande obscure de la limite de ToDobre géométrique. Dans ce dernier cas, il fallait employer un artifice particulier, puisque dans les faits dont il s'agit, les- ombres géométriques n'ont pas de limites vis()blesj voici le procédé indirect qu'a employé Fresnel , dans le premier cas de la diffraction , et qu'il est bon de connaili». Pour mesurer sur l'écran la distance d'une bande obscure id'un certain ordre à la projecUon Fig. 33i. du bord de la lame opaque, on approche.de ce bord, et dans le même plan , une lame semblable à la première ,, que l'on arrête à une distance asseas grande^ pour que l'intervalle

394 GOUKS DE PHY8IQVB.

des deux lames ne produise pas les .phénomènes de tion d^nne ouvertare (Stroite; ce dont on est «âr tant que les franges extérieures à Tombre de la première lame ne subissent pas de modification, et conservent les mêmes largeurs.

Dans ces circonstances, les detei lames produisent sur Fécran deux systèmes de franges extérieures- identiques , et symétriquement placés dans Timage de TouTerture. On mesure alors la distance qui sépare les milieux des deox bandes obscures, de i* ordre que Ton a en Tue, dans les deux systèmes*, on retranche cette distance de la projection conique de Touyerture , qu*il est facile de déduire , par une simple proportion, des distances connues de- la source an plan des lames > et à Técran , et de la grandeur mesurée de Touverture; la moidé du reste donne la dis* tance cherchée. Les autres cas de la diffiraction n'exigent aucun appareil additionnel, pour mesurer la distance d'une bande aux limites géométriques des ombres*, puis» que, pour chaque frange, de quelque ordre qu'elle soit, le phénomène présente de lui-même une frange symétrique du même ordre. ^ etdartédlDs ^^^* Nous u'avous considéré que la dMEraction produite Tombre par des ondes cylindriques et par des bords opaques rec* tilignes *, lorsque la source lumineuse est form^ par une loupe ordinaire d'un très court foyer, et quand les bords opaques sont courbes, les franges se contournent, mais le phénomène résulte toujours de Tinterférence des rayons envoya par les parties non interceptées des ondes sphériques. Les calculs qu'il faut ùire alors pour évaluer les résultantes sont nécessairement plus compliqués que dans les eas simples que nous avons décrits. Fresnel a considéré le

QUÀRAHTB-inflEltE LEÇON. SpS

cas de ronibce dVn petit écran circulAÎre opaqae, interceptant les ondes sphéri^es provenant d'un point lumineux v I^ largeurs des fraqges annulaires intérieures 9 données par le calcul, ont encore été vérifiées par rexpérience, le disqi|e opa<]Qe. était un petit cercle noirci sur la surface d'une laine de vçrre , et le pbénomâne était observé par transmission. M, Poisson fit remarquer qu'il résultait de la théorie de Fresnel , que le centre même de Tombre du disque très étroit, observée à une distancer suffisante, devait être aussi éclairé que si le disque n'existait pas : cotte cons^pience a été viérifiée par M. Arago.

627 . Il résulte évidemment de l'explication des dififérents ^JV^^''** cas de la di&action^ que -dans tout système de fiaipiges laïamièro produites par une lumière homogène, les largeurs des b^des alternativement brillantes et obscures doivent aug* menter et diminuer avec la longueur d^ondulation; d'où il suit que pour les mêmes positions relatives de la source lumineuse >. des bords opaques et de l'écran, les franges doivent être d'autant plus fines, que la couleur homogène difiractée est plus réfrângibie. C'est, en effets ce que confirme l'expérience. Les bandes irisé^ , qui sont produites dans les mêmes circonstances par la lumière blanche, pro- • viennent de la superposition* de tous les systèmes démanges correspondants aux différentes couleurs du spectre solaire.

6a8. Fraunhofer a observé avec beaucoup de soin un PhénomèD^ phénomène de diffraction particulier, dont l'explication rëseanx padiff%re de celle des cas généraux que nous avons décrits, '^ ^^' quoique étant fondée ^r les mêmes principes. L'appareil principal est un réseau composé d'une suite d'intervalles, alternativement opaquss et transparents. Le meilleur réseau qa'on puisse employer est une lame transparente, suj:

3g6 • COURS DE PHYSIQUE.

laqudle sont tracées au diamant des lignes parallftles^ éqoddistantes et très serrées , tellement qu*on puisse en compter depuis vingt jusqu^à plusieurs centaines dans r^paissear d*un millimètre; les sillons formés par la pointe da diamant sont les parties opacpies. Pour observer le phénomène dont il s^agity on introduit un faisceau de rayons solaires, réfléchi horizontalement sur le miroir d* un héliostat, par une fente verticale étroite > pratiquée dans le volet d'une chambre obscure. Qe &isceau est reçu à une asses grande distance du volet , sur la lame du réseau, que Ton dispose de telle manière que les traits qui le composent soient verticaux ou parallèles à la fente. Immédiatement derrière la lame, on place Tobjectif d^une lunette, mobile autour d'tin axe vertical occupant le milieu du faisceau , et dont les variations de direction puissent être observées sur un limbe horizontal, propre à mesurer des angles.

Dans ces circonstances, l'œil placé derrière V oculaire de la lunette aperçoit : i** sur Taxe optique une inlage blan- Fio. 33a. che de la fente A , ayant ses bords très nettement terminés -, a*" à droite et à gauche de cette. image, deux espaces égtfttx complètement obscurs 0 et (X-, 3* au-delà « ctsymétri^ement de part et d* autre, une suite de spectres solaires parfaits^ ayant tous le violet plus près , et le rouge plus éloigné de la bande blanche. De chaque côté , le premier spectre est séparé du second par un espace obscur Œ moindre que 0 ; mais le rouge du second se projette sur le violet du troisième, l'extrémité de celui«cisur le quatrième et ainsi de suite. Ces spectres^ et surtout les premiers , présentent distinctement les mêmes raies noires qneFraûnbofer a découvertes dans les spectres produits par des prisaies

QUARANTE-UNIÈME LEÇON. 3qtj

très homogènes; on aperçoit très nettement les raies principales G, D,E» F, G. .

Si, considérant uqe même 4me, F par exemple, dans les spectres successifs situés d'an même côté , oin mesura à l'aide du fil micromëtrique de Fraiinhofer (§ 5 14), et en faisant tourner conyenablement la lunette , les distances qui séparent du milieu de l'image blanche, les différentes positions de cette raie^ F' dans le premier spectre, F' dans le s^ond, F^^^ dans Je troisième, •..• on trouve que la seconde de ces distances»ÀF'' est double , la troisième AF''' triple, ... , de I9 première AF -, d'où il est facile de conclure que l'intervalle compris entre dçux raies du même spectre, croit suivant la même progression arithmétique, d'un spectre à Tautre. AF' peut être appelé la déiàatiçn de la raie F; elle se mesure sur le limbe de la lunette, en prenant la moitié de l'angle décrit, pour amener j^ccessivement le fil micrométrique sur la raie F' des deux spectres du premier ordre, a droite. et à gauche de A.

Fnunhofer a mesuré ainsi les déviations des sept raies principales, en se servant de réseaux différents, c*est4«dixe plus ou moiB8.fterrés, et dans lesquels le sillon^ opaque était plus ou moins large par rapport à l'intervalle transparent. Il a constaté de cette manière que la déviation d'une même raie ou d'une même couleur ne dépend pas du rapport de répaisseur d'un sillon , à la largeur d'un intervalle transparent, mais de la somme de ces deux grandeurs; que la valeur absolue de la déviation est en raison inverse de 4$ette somme ; o'est4-dire qu'en multipliant Ja déviatioft mesurée par la somme connue de Tépaisseur d'un sillon et d'un intervalle transparent, on obtient un nombre constant pour la même raie , quel que soit le réseau dont on se serve.

^qg COtmS DB PHYSIQUE*

Fraânhofer a t^iculë, sar des mesures exactes et nombreuses , les valeurs de ce nombre constant pour les sept raies principales du spec^ solaire \ et il se trouve que ces ▼alenTS sont précisëménlëgâl^ aux longneurs d^ondalatîoD des couleurs correspondantes à ces raies , tdles que Fresnd les a obtenues par d'autres procédés.

ExplicaUeii 6^9. Ces lois ne sont que des conséquences très simples phénomène de la théorie des ondes lumineuses , comme IL Babinet Ta renvoi, remarqué le premier. Considérons ce qui doit arriver pour les rayons d'une sieule couleur homogène » dont la longueur d'ondulation soit /, et supposons que le réseau soit asses éloigné de la fente pour que sa surface puisse être •con» ndérée comme située sur une même onde cylindrique. FiG. 333. Spieql, sur un plan horizontal, R'R la trace du réaeaa et de Tonde interceptée; P la position de Tœil de robserrateur; pp le 4|von venant directement du miUeu de la fente* Nous admettrons que cette droite PF est perpendiculaire à V B> et passe par le milieu A d'un sillon opaque , en aorte qu'elle partage le réseau en deux parties symétriques *, nous supposerons aussi que le phénomèiie soit observé à Toeil nu. Il suffit de chercher l'effet que peuvent pocdittîre , au point de concours P, les rayons de la lumière partis des inter- Hdles transparents du réseau , qui se succèdent sur la demionde <ârculaire itP.

D'abord ceux de ces intervalles qyii sont asses voisina du pâle A 9 pour que les rayons vers P ne finssent pas un angle sensible avec PA» donneront une résultante iqui différera peu.de c^e de la demi -onde circulaire Complète; quant aux autres j leurs lumières se détruiraieat complètement, si les sillons opaques n'existaient pas. En s'éloignant de A vers R, on doit trouver un lieu, tel que la largeur d'un

QUARAllïB-'inilèMB Z.BÇON. Spp

mtervalk transparent, ajoiitëe à Tëpaissear du sillon qui le sait> oowpe une zone z^ aiyant à très peu près pour hauteur la longueur d'ondulation /• La himi^ enyoyëe par t<kute cette zobe serait nulle , si toute sa sniface éclairait le point P-, mais le sillon opaque qu'elle contisnt) intercep* tant une partie de ses rayons, indispensables pour détruire Teffet des autxes, le point de concours recevra de b lumière da$s la direction I^^ -, ce dok être à peu près suivaut cette direction que l'oeil reçoit l'impressidn de la couleur homogène con8i4érée, dans le spectre du premier ordre « situé à droite de la bande brillante otatrale. En continuant à marcher de Z^ vers R , on doit trouyer une suite de lieux où Fintervalle transparent et 1&. largeur du sillon Toisin occupent successivement dés zones Z», Z9, Z4,.... dont les hauteurs soient à trèa peu près â/^ 3/, 4A • • • • î <^^ zones, qui produiraient des effets nuls au point Pj si leurs surfaces totales Téclairaient, lui fourniront au contraire de la lumière, à cause de Topacité de plusieurs parties de ces* surfaces. G^est à peu près suivant ces direotions^ PZa, PZs, PZ4,.... que l'œil recevrk l'impression de la couleur ehoiste, dàns^ les spectre du secoiid ordre, du troUiéme,dn quatrième.

Il faiidrût avoir recours k l'analyse employée par Fres« nel pour calculée les véritables directions de ces résul tantes partielles, et les rapports de leurs intensités. Mais fcans siijLjilnjnr cette marche rigoureuse, l'explication qui: précède suffit pour rendre compte des lois observées * par Fraûnfaofer. Soient aetb les deux extrémités de la zone Z«-, T l'intervalle transparent *, eo l'épaisseur du aiUo*^ p ^^. ahs^ssîsx+id la largeur delà soneZ, \ TangleAPasaD,. Si Fou décrit du point P comme centre, et avec Pa pour

^OO COURS DE PHtfif^B.

rayon, un arc de cercle qui rencontre en h le rayon P6, d'après la dëfinition de la zone Zi , on aura pour sa haa» tenr bh s=b L L*angle D,=APa ca hah mesure la déviation de la couleur reçue suivant la direction Z. P, et Ton a,

dans le petit triangle hah^ bh^:^ab sin bah \ d'où Fou conclut t en substituant l'angle D^ à son sinus , à cause de ta petitesse , /s= ^D, -, c'est-à-dire que la déviation d'une des couleurs du speétre du premier ordre, multipliée par la somme d'un intervalle transparent et de la laideur d'un sillon, doit donner la longueur d'ondulation de cette couleur. Ce proddh doit donc rester constant d'un réseau à un autre , et fournit un moyen exact de détermiaer la longueur d'ondulation /.

Il est facile de voir, par une construction analogue à la précëdente, que la déviation D„, correspondaute à la sone éclairant Z„ dans le spectre du n**^ ordre, doit être

donnée par la formule D„ === n - y d'où l'on conclut

que les déviations d'une xùèmte couleur, considérée dans les spectres suqcessib, doivent croître comme les nombres

entievs i,a,3, 4 Enfin, il jésuite de la même formule

que les déviations dé deux couleurs dans un même spectre doivent ^étre entre elles comme leurs longueurs d'ondulation-, tous les spectres doivent donc oflFnr le violet en dedans ou plus. près du pâle A,, et le rouge en ddiors. Toutes les lois énoncées plus haut se trouvent ainsi d^ montrées.

En observant le phénomène dont il s'agit sur un grand nombre de réseaux, qui différaient par les grandeurs et les rapports des largetus r et (d , Fraûnhofer a souvent reftiarifuéque, pour chacun d'eux, unouplosieui^spectresétaient

QUÀRANTE-iniIÈME LEÇON. 4oi

très pâles ^ ou presque insensibles. Tordre de ces spectres affaiblis variant d*an réseau à Tautre. La théorie rend encore parfaitement compte de cette circonstance : Si t et a> sont eatre eax à très peu près comme deux nombres entiers ni «t /i", la zone de Tordre n = n' -f- tj" se partagera presque exactement en deux autres ayant pour hauteurs Tune 71 '/^ Tautre n}^l\ la seconde de ces zones partielles sera interceptée^ la première seule pourra éclairer le point de concours P> mais sa hauteur comprenant un nombre pair de demi-ondulatious , les rayons qu'elle enverra se détruiront presque complètement , et le spectre correspondant devra manquer, ou être très faible. Par exemple, si T est la moitié ou le double de co , c'est-à*dire le ^ ou les \ de Sf}e spectre du troisième ordre doit manquer. Les me* sures données par Fraûnhofer, lorsqu'il signale Taffaiblissement d'un spectre d'un ordre déterminé , s'accordent complètement avec cette explication.

Deux réseaux parallèles et égaux , croisés à angle droit , recevant la lumière solaire par une petite ouverture ronde, et disposés devant l'objectif de la lunette, dans l'appareil de Fraiinhofer (§ 6a8)^ donnent lieu au phénomène des réseaux à mailles carrées. On aperçoit alors une multitude de spectres , distribués symétriquement autour de l'image blanche de l'ouverture, sur des droites qui divergent de cette image. Ce phénomène plus compliqué doit s'expliquer de la même manière que le phénomène plus simple des réseaux parallèles. Un effet analogue se produit quand on regarde le soleil ou une lumière artificielle à travers une lame de verre , recouverte sur une de ses faces par les grains adhérents d'une poussière très fine , ou obscurcie par les gouttelettes imperceptibles et très rapprochées qui se IL 96

4oa COURS DE PHYSIQUE.'

déposent sur cette fume , quand on Texpose froide a h vapeur d'eau* Le corps lumineux parait alors entonrd d'une auréole, formée de rayons divergents » sur lesquels toutes les couleurs se succèdent à de courts intervalles. Ces spec- ' très nomhnenx sont indubitablement dus k l'interférence des rayons lumineux provenant des intervalles étroits qui séparent les grains de poussière, ou les gouttelettes adhérentes à la lame de verre; mais il serait difficile de suivre cette explication dans tous ses détails, à cause de leur complication. La théorie des réseaux parallèles suffit d'ailleurs pour prouver que tous les phénomènes de ce genre sont des conséquences naturelles de l'hypothèse des ondulations.

QUARAlfTE-DEirXlÈME LEÇON. J^oi

Théorie de la double réfraction. — Surface courbe des ondes. — Propriétés optiques des cristaui à deux axes. — Phénomène de la réfraction conique. -^ Axes de réfraction conique. — Axes optiques des cristaux. —• Phénomène produit par la lumière qui parcourt un axe optique.

63o. Le caraetère fondamental des vibrations Inmi- Théorie neusesy défini et démontré dans les paragraphes 587, 612 réfraction. el 6i3, a fait découvrir à Fresnel la véritaï>le théorie des phénomènes de la double réfraction. Nous allons exposer les principes et les résultats de cette théorie, à qui Ton doit, non-seulement Texplication de toutes les Ioi$ primitivement trouvées par Tobservation , mais encore la décou* verte de plusieurs faits nouveaux. Fresnel admet que, dans an cristal biréfringent , Téther répandu entre ses particules pondérables a une densité constante , mais une élasticité ▼ariable -, il ne considère que le cas où cette élasticité change de la même manière d^une direction à Tautre dans toute retendue du cristal. Cette hypothèse et cette restriction 86 présentent naturellement, quand on réfléchit aux pro'» priétés mécaniques des substances cristallisées , et au pHénomène de double réfraction que présente le verre comprimé (S 573).

4o4 COURS DE PHYSIQUE.

AiM 63 1. Concevons qu'une molécule d'rfther soit écartée

Ttt6ue« de sa position d'équilibre, dans une direction quelconque,

principale». ^^^^^ quantité f très petite par rapport aux intervalles moléculaires. Les actions que cette molécule exerçait sur le fluide environnant , et qui dépendent nécessairement de la distance, seront troublées par ce déplacement; les molécules voisines seront donc sollicitées à se mouvoir ; leur mouvement occasionnera celui des molécules plus éloignées , et Tébranlement se communiquera ainsi de proche en proche. Pour que la direction du premier déplacement soit conservée, lors de cette propagation, en tons sens autour du centre d'ébranlement , il faut que la force élastique mise en jeu ait précisément la même directiott. On démontre 9 en partant des principes de la mécanique rationnelle , que cette relation entre le déplacement et la force développée ne peut exister^ en général, que suivant trois directions perpendiculaires entre elles , auxquelles on peut donner le nom d'axes d'élasticité , et qui restent les mêmes dans toute Tétendue du milieu, d'après la définition adoptée. Les forces élastiques correspondantes à ces trois axes principaux sont en général inégales *, elles sont proportionnelles aux carrés des vitesses de propagation des mouvements qui les font naître; chacune de ces vitesses étant prise perpendiculairement à la direction même du déplacement, puisqu'il ne s'agit ici que des vibrations lumineuses. D'après cela, soient OX, OY^ OZ, les directions orthogonales des trois axes d'élasticité , en un point 0 du milieu cristallisé ; a la vitesse avec laquelle se propage dans le plan YOZ un mouvement de la molécule 0 suivant OX; b la vitesse de propagation dans le plan ZOX d'un dépla-

Fhî. 335. cernent dirigé suivant OY; enfin , c la vitesse avec laquelle

QUlRAlITE-BEUXlkME LEÇON. 4^^

se propage dans le plan XOY le mouvement de 0 sur OZ. Les forces «élastiques mises en jeu par ces déplacements seront respectivement égales à fi(^a*, fi^b*, fi^c*-^ fi étant un coeflBcîent constant , et Ç l'écart primitif de la molécule 0 , supposé le même sur les trois axes. On peut admettre 9 sans détruire la généralité des conséquences qui vont suivre, que des trois vitesses principales, a soit la plus grande, c la plus petite, et que b soit comprise entre les deux autres. D'après cette convention , on peut dire que l'axe OX est celui de plus grande élasticité , OY Taxe moyen , et que OZ est celui de plus petite élasticité,

63 a. Lorsque l'écart t a lieu suivant une direction OE , Pr<^gâUon

, , du déplaça-

faisant des angles a , ^^y, avec les trois axes d'élasticité , ment d'une on démontre que la force élastique développée est la résultante des trois forces que feraient nattre les déplacements Ç cos a , Ç cos jS , Ç cas y, dirigés suivant les axes. Si donc R représente cette force , et X , Y^ Z , ses trois angles de di-< rection , on aura RcosX = fiÇa* cosa, R cos Y =: fi^b* cos ^, R cos Z =3 fx^c' cos y\ d'où R =

yi^y/a^ cos* a -|- b^ cos* |3 + c^ cos* y, ou simplement R=fAÇr*, en représentant le radical par r*. Ainsi la force R et l'écart correspondant ^ ont en général des directions différentes^ qui font entre elles un angle e dont le cosinus

ii»cos*« 4-^*co8*/3-f-c'cos*> -^ , ,

est cos e = > -^ « -. Décomposons la

force R en deux autres forces , l'une R cos e dirigée suivant le déplacement ^, et l'autre R sin e normale à cette ligne. Le mouvement se propagera en tout sens autour de OE , mais la direction de l'écart primitif ne sera conservée que pour un seul sens de propagation, celui OS parallèle à la composante R sin e saR', qui tendant au rapprochement

4o6 COURS DE PBTSIQUB.

des couches du fluide, D*aura aucune influence sur les vibrations transversales. Les vibrations que la molëcnle O exécutera suivant OE, se propageront donc suivant OS, en conservant leur direction, avec une vitesse W liée à la force R cos e par Téquation R cos e =3^W', qui donne W= |/«' cos*a+i*co8/3+c*cos*y. Il n'en est pas de même de la propagation du mouvement suivant toute autre direction OS', faisant un angle a avec OS; car la force R' se décompose alors en deux autres, Tune R' coa er qui n^a pas d'influence sur le mouvement transmis, mais l'autre R' sin a qui change néeessairement sa direction à mesure qu'il se propage.

Propa^Ation 633. Concevons que toutes les molécules du fluide ^nes. éthéré situées sur un plan P, passant par le point 0, soient à la fois écartées de leurs positions d'équilibre, de la même quantité (;, et parall^ement à la même direction \ ee sera comme si ce plan glissait tout d'une pièce. Mais le mouvement qui résultera de ce glissement, dans la masse fluide, sera différent suivant la position du plan mobile relativement aux axes d'élastâcité. Si ce plan est perpendiculaire à l'un de ces axes, à OX par exemple, et si le glissement a lieu parallèlement à l'un des deux atitrqs axes, OY ou OZ, les forces élastiques développées reste* ront parallèles à OY ou à OZ , et le mouvement se propagera suivant OX, en conservant sa direction, avec la vitesse h ou c. Il suit évidemment de là que les oodes lumineuses planes , normales à l'un des trois axes d'élasticité, et polarisées suivant un plan perpendiculaire à Tun des deux autres axes, se propageront sans se décomposer^ en conservant leur plan de polarisation, et avec la vxtesse qui leur correspond.

QUA]IANTE->DEUX1ÈME LBÇON. ^OJ

Si le plan mobile ëtani toujours perpendiculaire à OX, le glissement a lieu dans le plan YOZ , suiYioit une direction OG qui fasse un angle i a^ec OZ, le mq^ement qui s'ensuivra sera la résultante de deux moureonents partiels , Fun dû au glissement ^ cos i pamllèle à OZ, l'autre au glissement ^mtî parallèle à OY. Ainsi ime onde plane lumineuse normale à Fun des axes d'élasticité , mais p<darisée suivant un plan qui n*est perpendiculaire à aucun des deux axes 9 doit se décomposer en deux systèmes d'ondes , po*larisés à angle droit > et qui se propagent avec des vitesses différentes suivant la même directioii.

634- Considérons enfin le cas général où le plan gUssant Vitessea P est situé d'une tbanière quelconque par rapport aux axes propagation d'élasticité. Soient m, /i, ^^ les angles da direction de sa ^anes. normale ON^ et toujours a , 6, y, ceux correspondants k la Fio. 336. ligne OE parallèle au déplacement ^ de ce plan. . Si la force élastique développée R^ faisant un angle e avec OE^ est située dans^ le plan NOE , la direction du mouvement sera conservée lors de sa propagation , la composante R cos e sera setde efficace, et ceVeR sin e, qui tend au rapprochement des coucbes de l'éther, n'aura pas d'influence sur le mouvement transmis. On démontre que sur un même plan P il n''y a que deux directions du glissement primitif, normales entre elles ^ pour lesquelles la condition précédente se trouve satisfaite *, soient OE', OE'^ ces deux directions. Il suit de là qu'une onde plane lumineuse parallèle à P et polarisée suivant un plan normal à OË' ou OE'', doit se propager sui-* vaut ON^ avec une vitesse constante W, en conservant son plan de polarisation. Cette vitesse de polarisation W di^ fère d'un cas à Fantre -, on trouve qu'elle est liée aux angles wi, /», ^, par l'équation (i) (w* — i') (iv*— c') cos' m-f-

Tonde.

4o8 COURS DE PHYSIQUE.

(,v»— c«) (w* — a') cos'nH-(w" — a') (w* — a*)co8" p=^o , qui donne les deax valeurs de tv' correspondantes à ces

deux cas. ^

Si le dëplacement Ç du plan P a lieu parallèlement à une direction quelconque OE , faisant un angle z avec 0E\ le mouvement résultant peut être décomposé en deux autres, l'un dû au glissement (^cos z parallèle à 0E^ l'autre au glissement ^ sin i parallèle à OE". Ainsi une onde plane lumineuse Pdonne lieu en général à deux systèmes d'ondes planes, polarisées à angle droit suivant des plans perpendiculaires à OE' et OE", et qui se propagent avec les deux vitesses différentes données par l'équation (i), suivant la même direction ON. Surface d« 635. Imaginons maintenant que l'éther en 0 soit agité à la fois dans toutes les directions possibles, et proposonsnous de trouver le lieu géométrique de tous ces ébranlements simultanés, au bout de l'unité de temps-, ce lieu sera la surface des ondes lumineuses dans le milieu biréfringent. Il est évident que toute onde plane passant actuellement en 0 , et se propageant suivant une vitesse constante, doit être tangente à la surfate cherchée au^boUt de l'upité de temps. Soient m, n, ^, les angles de direction de la normale à cette onde plane, et w sa vitesse de propagation ; elle occupera , à cette époque , une position représentée par Téquation (2) x cos m -{-y ces n + Ç cos^=^ w, w satisfaisant à l'équation (x) , et x, y, z , représentant les coordonnées d'un point quelconque du plan de l'onde. La surface cherchée sera celle enveloppée par tous les plans compris dans Téquation (2), en y faisant varier cos m, cos Tiy cos p, et Wy de telle manière que ces variables vérifient toujours l'équation (1), et la relation comioe cos' m -f- cos' n -f* cos* ^ =? z.

QUARAl^TE- DEUXIEME LEÇON. 4^9

Soît pose cos / = -T— , cos m = — , cos h = — r-»

d'où tv=:aic l/d*jc'»+ft*j'"+c"z'"-, Téquation (2) devient (3)/w:'ar+èy|7'+czj3'=a6c, et la formule (i) prend la forme (4) (a:" + j" + ^'0 (a'^'' + *y* + ^'^'0

a^i'c' =0. Le problème ae réduit alors à trouverla surface dont leplan tangent est donné par l'équation (3), x', y' y z' étant les coordonnées d'un point M' faisant partie du lieu géométrique représenté par l'équation (4). Or des calculs^ qui ne peuvent trouver place ici^ démontrent que tout plan (3), satisfaisant à cette condition, est toujours tangent au lieu géométrique (4) lui-même, en un certain point autre que M'-, on aura donc la surface cherchée, en substituant x^j^, z kx^^y', z' y dans l'équation (4).

636. ATant de discuter cette équation , il importe d'in- Construction diqner l'utilité de la surface qu'elle représente, pour assi- des'rayonB gner les lois que suit la lumière en se réfractant dans une '■^*"®^"substance diaphane cristallisée. Nous admettrons pour cela que les directions des axes d'élasticité du milieu soient connues, et qne les vitesses principales a, &, c, aient été déterminées en nombre, en prenant pour l'unité la vitesse de propagation dans le vide de l'espèce de lumière considérée -, enfin nous supposerons que la surface (4) puisse ^ta, 337. être construite, ou simplement qu'il soit possible de dé* teroiiner, par des procédés graphiques , ceux de ses plans tangents qui passent par une ligne donnée. Soient AB une face plane quelconque du cristal , et LI un faisceau de lumière naturelle, de couleur homogène, tombant obliquement dans le plan d'incidence LIA sur la surface AB. Le mouvement de Téther apporté par le faisceau incident LI,

4lO COUBS DB PHYSIQUE.

qui existe actuellement en I, se trouvera transmis au bout de Tuoité de temps en un certain point R du milieu cristallisé ', si ce point R était connu de position , la droite IR donnerait évidemment la direction du fiôaceau lumiaeiuL réfracte.

Pour déterminer ce point R, il Êiut remarquer que le mouvement de Téther en I fait partie d'une onde plane IP, perpendiculaire au rayon incident IL, et que conséquemment le mouvement de l'éther en R doit se trouyer sur cette même onde plane , lorsque après s^étre réfractée eu partie, elle s'est propagée pendant un temps égal à l'unîté. Si dans Tangle PI A on inscrit une ligne TI, parallèle à IL, et égale à Tunité de longueur, il est évident que la droite menée par le point T normalement au plan AIL doit se trouver sur Tonde plane réfractée qu'il s'agît de détermi* ner. Mais toutes les ondes planes paasant actuellement eo 1 doivent se trouvfr^ après Tunité de temps, tangentes à la surface représentée par Féquation (4)^ en prenant pour origine le point I, et pour axes coordonnés ceux d'élasticité dont les directions sûnt supposées connues. Le point R cherché se trouvera donc sur le plan tangent à cette sarface, mené par le point T normaleoaent au plan d'ioen dencc Et il est facile de voir que R est le poiot^de tangence même : car le mouvement de Téther, en I , fait partie du mouvement le plus général possible ^ qui se propagerait dans le milieu cristallisé, autour de ce point I considéré comme centre d'ébranlement, en ondes ayant la foinae de la surface (4) ', le point R doit donc se^ trouyer sur celle de ces ondes qui possède les mouvements de I au bout de Tu* nité de temps.

Ainsi , ayant mené par le point I trois droites octhogo-

QUARÀHTB-DEUXIÈME LEÇON. 4^^

nales parallèles aux axes d'élasticité du milieu , et construisant les ligues et les points qui puissent suffire pour déterminer la surface de Tonde (4) 9 on mènera, par la aormale en T au plan d'incidence» autant de plans tangents qu'il sera possible à cette surface, et les droites qui joindront leurs points de contact au point I donneront autant de rayons réfractés correspondants au faisceau incident LI. Le degré de l'équation (4) indique que par uns droite donnée on peut mener en général quatre plans tangents à la surface qu'elle représente-, mais dana la positiçn actuelle de cette surface, deux de ces plans iraient la toucher aunlessus de AB, et sont évidemment étrangers à la question. La construction précédente donne donc en général deux rayons réfiractés IR', IR'^ pour un seul rayon incident IL.

687. Le monrement de Téther, propagé par chacun de Direction ces rayons^ a néeessairement lieu suivant une direction vi^^^jons constante *, car toute onde plane qui se propage d*ttn ^^^ chaqae mouvement unifonne, dans un n^ilieu cristallise ayant trois axes d'élasticité inégaux , est totalemoat polarisée ; et chaque molécule d'éther, située sur la surface de l'onde que représente l'équation (4), exécute ses vibrations suivant une direetion unique qui varie d'un point à l'autre. On démontre que la direction du mouvement, vibratoire, en un point 'de la surface de l'onde, est celle de la projection du rayon vecteur sur le plan tangent en ce point. Diaprés cela y si après avoir exécuté la construction précé- Mlente, on détermine les'traoes TS', TS", sur le plan d'incidence, des plans tangeuls R^S^T^R^S^'T, et qu'on abaisse les perpendiouWres IF» IP"» sur ces traces , les droites R'P' et R'T" donneront les directions des mouvements vibra-

4ia COURS DE PHYSIQUE.

toires respectivement transmis par les rayons réfractés IR^ et IR''. Ainsi tont faisceau de lumière naturelle , en péDétrant dans un mflieu cristallisé homogène , mais d^élasticité variable , doit s'y réfracter en deux faisceaux totalemntt pols^risés suivant des plans différents.

Les exceptions que comportent ces lois générales sont indiquées par la théorie , et ^vérifiées par l'observation. Il importe de ne pas confondre , dans les milieux biréfringents y la vitesse de propagation de Tonde plane , avec celle du rayon lumineux sensible qui aboutit au point où cette onde plane touche la surface courbe des ondes. Dans la construction que nous venons de décrire , IR' et IR" sont précisément les vitesses des deux rayons réfractés, mais celles des ondes planes correspondantes sont IP' etlP'', TP=si représentant la vitesse du rayon incident. Il suit de là que dans les cristaux le mouvement vibratoire de Téther, transmis par un rayon lumineux, est en géiiénl incliné sur la direction de ce rayon, et non toujours normal comme dans les milieux d'élasticité constante. Dans ce dernier cas , qui comprend les cristaux dont la forme primitive est un polyèdre régulier, et tous les corps diaphanes homogènes non cristallisés , les vitesses principales a, fr, c, sont égales entre elles *, la surface des ondes devient alors sphérique, toutes les ondes planes se propagent avec la même vitesse , et les rayons lumineux se confondent avec les normales aux ondes.

Cas 638. Lorsque deux des trois vitesses principales sont

égales^ c=3i par exemple , ou lortque deux des trois axes d'élasticité sont identiques , FéquaCion (4)> dont le pracoier membre devient décomposable en deux fiacteurs, prend la forme suivante :

dM eristanx à an axe.

la surface des ondes est donc Tensemble d'une sphère de ray<»n i , et d'un ellipsoïde de révolution. C'est le cas des cristaux biréfringents à un seul axe , tels que le spath d'Islande et le quartz. L'axe de double réfraction est celui pour lequel la force élastique principale diffère de la grandeur commune aux deux autres. La construction générale est alors identiquement la même que celle d'Hujghens; or, comme on Ta vu (§ 57a), cette dernière résume toutes les propriétés optiques des cristaux à un axe \ l'identité de ces deux constructions, dans le cas actuel , peut donc être regardée comme une vériBcation de la théorie de Fresnel. b est la vitesse constante de tout rayon ordinaire , et de toutes les ondes planes qui sont polarisées suivant des plans passant par l'axe de double réfraction, ou par l'axe de révolution de Tellipsoide, et qui sont toutes tangentes à la sphère de rayon b -, a est la vitesse des ondes planel polarisées suivant un plan perpendiculaire à l'axe de double

réfraction; r et - sont les indices des réfractions ordinairc et extraordinaire , etc.

639* Les lois optiques des cristaux à deux axes sont pa* Criitaux à reillement des conséquences nécessaires de la théorie de ^^ ^^^' Fresnel. Les formules et les constructions précédentes conservent alors toute leur généralité ; c'est-à-dire que les vitesses principales a, &, c, sont toutes inégales. Pour découvrir ces lois, il suffit de chercher la forme et les points singuliers de la surface de l'onde. L'équation de cette surface étant (5) (x»-f^+^*) (a'^'-f-fty +c'z')— (ft'+c») a^x'— (c'+fl») iy — (a'-f-ft»)c»^^4-a'iV'=0 , ses trois

4l4 COURS DB PHTSIQITE.

sections principales , ou ses traces sur les plans coordonnés, sont représentées par les groupes suivants :

x=o, (y»4-^^— a')(fty+e'z*— &«c') = o;

jer = o, (af+y— c»)(a»j:'+iy— a'i")=o.

Chacune de ces traces est Tensemble d^un cercle et d^une ellipse. D'après le rapport de grandeur établi entre a , ft » c , pour la première trace le cercle est totalement eirt^érieur à

FiG. 338. Fellipse', pour la troisième^ c^est au contraire Tellipse qui enveloppe le cercle sans le toucher*, mais pour la seconde \ les deux courbes se coupent. Cette dernière section, qui est perpei^diculaire à Taxe de moyenne élasticité , est la plus importante. Il résulte de la forme de ces sections principales, et de la construction générale décrite plus haut, qu'un faisceau de lumière, tombant sur une face du cristal dans^un plan d'incidence parallèle à Tune de ces sections, doit donner à la réfraction deux rayons qui se trouvent aussi dans le plan d'incidence, mais desquels l'un suit la loi de Descartes et l'autre une loi plus compliquée. Cest en effet ce que l'expérience vérifie.

Mesure des gXo. Si donc OU parvient à tailler dans la même subs-

trois indices • • i t i •

principaux, tance trois pnsmes dont les arêtes soient respectivement parallèles aux trois axes d'élasticité, et que l'on mesure, pour chacun de ces prismes, l'indice de réfraction correspondant à celui des rayons réfractés qui suit complètement la loi de Descartes, pour un plan d'incidence perpendiculaire aux arêtes de ce prisme , les trois nombres obtenus

donneront les valeurs des fractions -, t» -« et par suite

aybfC, La difficulté de ce moyen de mesure consiste dans

QUARANTE- DEVXlkilE LEÇON. 4^5

la détermination préalable des axes d^élasticité -, mais les propriétés optiques que nous énoncerons par la suite , et les forn;ies cristallines habituelles de la substance qu^on se propose d'étudier, fournissent des indices certains qui facilitent cette détermination, en diminuant les tâtonnements qu elle exige.

Ce procédé a été appliqué par M. Rudberg, à Tarragonite et à la topaze incolore. Ce physicien a mesuré les trois indices de réfraction correspondants à ces substances, pour les sept raies principales du spectre , ou pour les couleurs qui les avoisinent. Voici le résultat de ses obseryations.

Raie.

ABRAGONITE.

I ,5a749 I ,62820 i,53ot3 I ,53a64 1,53479 I, 5388a I ,54226

^l6 CO«M DE PHYBIQOE.

>- 641. Lorsqae le faisceau ïncïiieDt tombe nonnAlement sar ane face da cristal biréfringent, taîllëe parallèlement h denz des axes d'élasticité, ta construction générale et la forme connue des sections principales de la sarEace des ondes, indiquent que les deux rayons réfractés correspondants ont pour direction commune la normale à la face du cristal , ou qu'ils sont situés tous les deux sur le prolongement du faisceau incident. Mais ils diffèrent alois , nonseulement par leurs plans de polarisation qui forment un angle droit, mais encore par leurs vitesses qui sont très différentes. Si le rayon incident normal est parallèle )i l'axe OX , ou OY, ou OZ , ces vitessoi sont & et c , ou r et a , ou a et 5. Dans chacun de ces trois cas les vitesses des deux rayons réfractés sont identiques avec celles des ondes planes correspondantes.

Si la face du cristal sur laquelle la lumière tombe sous l'incidence normale, n'est perpendiculaire à aucun des

QUA.IUNT£-D£US.làMe LEÇON. ^in

trois axes d'élasticîlé > les ondes planes réfractées restent encore parallèles à cette face ] mais les rayons réfractés s'éloignent tous. les deux de la normale > dans des directions différentes. Pour ce cas de Tincidence normale y la construction générale se réduit à la suivante. Par'le point I où le faisceau incident rencontre la face du cristal , on mène trois droites parallèles aux axes d'élasticité-, on construit sur ces axes la soriace des ondes (5) *, puis on mène à cette surface des plans tangents parallèles k la face du cristal ; les droites qui joignent leurs points de contact avec le point I^ donnent les directions et les vitesses d'autant de rayons réfractés. En général cette construction donne deux plans tangents y et par suite deux rayons réfractés.

64^. Mais il existe deux directions particulières de la Pbénomèno face d'incidence, pour chacune desquelles on ne trouve réfraction qu'un seul plan parallèle^ tangent à la surface de l'onde, mais en même temps un nombre infini de points de contact , et par suite , une infinité de rayons réfractés. Cette circonstance, signalée par M. Hamilton^ comme une conséquence nécessaire de l'équation de la surface de Tonde trouvée par Fresnel , conduit à des propriétés optiques singulières , dont M. Lloyd a constaté la réalité. La section de la surface de l'onde perpendiculaire k l'axe de moyenne élasticité se compose, conune on l'a vu plus haut, d'un cercle et d'une ellipse concentriques , mais qui se coupent en quatre points. Il suit de là qu'on peut mener quatre tangentes communes à ces jieux courbes, qui étant parallèles deuxà deux, forment un parallélogramme. Un plap F perpendiculaire à la section principale dont, il s'agit, #t passant par une de ces tangentes communes MN, touche p,Q^ 33^ nécessairement la surface de l'onde aux deux points de II. ^7

/^ig COURS DE PHYSIQUE.

contact £ et C de cette tangente *, or Tanàlyse démontre que ce plan touche encore lar«Déme surface en une infinité d'autres points , tous situés sUr un cercle dont le diamètre est EC , et dont le plan est parallèle à Taxe moyen d'élasticité^ ces points sont tous inégalement distants de Forigine ou du centre de Tonde.

Si la théorie de Fresnel est exacte, ou si la construction qui é'en déduit est applicable en toute circonstance, Toici ce qui doit arriver : Le cristal étant taillé de manière à présenter deux faces parallèles au plan P, lorsqu'on fera tomber un rayon lumineux normalement à Tune des faces, il devra donner à la réfraction une infinité de rayons situés sur la surface d*un cône oblique^ et ayant tous des vitesses et desplans de polarisation différents. A Fémergence ces rayons reprendront des directions parallèles, et formeront un tube cylindrique lumineux; en sorte que le faisceau émergent devra projeter une image annulaire sur un écran perpendiculaire à sa direction , et dont la grandeur ne variera pas avec la distance à l'écran. Ces conséquences ont été complètement vérifiées par M. Lloyd. ^P^ 643. Les tangentes communes MN, M'N', étant pa-

^'c^ïue*°" rallèles entre elles, ainsi que les deux autreé MN', et M'N, il n'existe que deux directions du plan P, qui puissent produire le phénomène décrit. Les normales à ces plans, ou les directions des rayons normaux incidents qui donnent un tube conique lumineux à la réfraction, sont deux lignes remarquables dans un cristal ayant trois axes d'élasticité distincts \ nous les désignerons sous le nom d^axes de refraction conique. Ils sont tous les deux situés dans la section principale de la surface de l'onde , et font avec l'axe de plus grande élasticité^ de part et d'autre de cet axe.

QUAR4MTE-DEVX1ÈICE LEÇON. 4^9

un même angle, moitié de celai qa'ils comprennent, et dont la tangente est :. Leur position est donc fa<-

cile à trouver lorsqu'on connaît les directions des axes d'élasticité, et les nombres a^b^ c,

n n'est pas indispensable que la face du cristal soit normale à Tau de ces axes pour produire le phénomène de la réfraction conique. Il suffit , par exemple , que cette face soit parallèle à Taxe de moyenne élasticité -, si sa position est d'ailleurs connue par rapport aux deux autres axes, il sera facile de calculer Fangle sons lequel il &ut recevoir la lumière^ dans le plan perpendiculaire à l'axe moyen , pour que Tonde plane réfractée soit une de celles qui touchent la snrfiace courbe de l'onde suivant toute Fétendue d'un petit cercle. Le faisceau incident, disposé de cette manière, se réfractera en tube conique dans l'intérieur du cristal y et doftmera un tube cylindrique lumineux à l'émergence. C'est par ce procédé que M. Lloyd a constaté le phénomène dont il s'agit.

644* Considérons encore le cas général où la face du cristal 9 sur laquelle on reçoit un rayon incident normal , n'est perpendiculaire â aucun des deux axes de réfraction coniqpe. Il y a alors deux ondes planes réfractées , parallèles à la face du cristal et ayant d^s vitesses différentes %vi 9 ^s » dont l'analyse donne les valeurs. Si l'on désigne par m eln'j les angles que fait avec les deux axes de réfraction conicpie la normale à la face d'incidence , on trouve atv' =(a*-f-c») — (a' — c*) cos(» — »')> a^^'î = (a' -4-0') — (a* — c*) cos {yi^rl). D'où l'on conclut cette relation très simple wj — w\ =(a' — c*) sin m sin in'\ c'est-à-dire que la différence des carrés des vitesses des

Vitesses des ondes

planes réfractées

sous

rincidence

normale.

deax ondes planes réfractées , est toujours proportionnelle au produit des sinus des angles qae le (aisceau incident normal fait avec les deux axes de réfraction conique. deî'wÏMMs ^45 . Cette loi remarquable , et les valeurs séparées de Wi ém oDdfls g|. ^^ ^ peuvent être vérifiées par un procédé, dont Fresnel s^est souvent servi, dans toutes ses recherches sur la double, réfraction. L^appareil prindpal est celui qui sert à produire le phénomène de la diffraction dans le cas de deux fentes très étroites \ il convient de placer entre la lame opaque et le foyer lumineux un verre coloré qui ne laisse arriver aux fentes qu'une lumière sensiblement homogène-, le système de franges, projeté dans Fombre de l'intervalle des fentes, est observé au moyen d'une loupe fixe, et la largeur sensiblement constante d'une de ces franges doit avoir été mesurée avec, soin à Taide du micromètre de Fvesnel ; la bande brillante centrale est en quelque sorte Tindex de l'instrument. Le crislal biréfinngent qu*on se propose d'étudier doit présenter deux faces parallèles , soit naturelles , soit taillées -, on le place sur la lame opaque et du côté de la source, de manière à ne masquer qu'une des fentes de l'appareil -, quant à l'autre fente, on la recouvre, s'il est nécessaire , d'une lame de verre à glace d'épaisseur convenable.

Dans ces circonstances la lumière qui tombe perpendiculairement sur le cristal , s'y réfracte en faisceaux inclinés sur la normale, mais qui émergent parallèlement à la première direction pour venir éclairer la première fente -, c'est alors comme si ces faisceaux n'avaient pas subi de déviation dans l'intérieur du cristal-, en sorte que les retards qu'ils y auront éprouvés, et qui doivent être indiqués par les déplacements de l'index, seront ceux des deux ondes

QU4RA£iTE-DBUXISME LBÇOM. 4^1

planes parallèles aux faces du cristal. Quant à la lumière qui dclaire la seconde fente ^ elle a éprouyé dans 4a lame dm verre un retard que Fou déduit facilement^ par le calcul, de répaisseur et du pouvoir réfringent connu de cette lame. On remarque alors, au foyer de la loupe fixe, deux systèmes de firanges dus à Tinterférence de la lumière qui a traversé le vetre , et des deux Inmières de phases différentes venant du cristal.

L'observation se réduit à mesurer au micromètre les écarts des bandes centrales dans ces deux systèmes de franges, relativement à la bande centrale du afêiime unique , qui existe quand les deux fenteé sont découvertes. Les nombres de largeurs de franges contenues dans- ces écarts, donnent les différences des nombres de longueurs d*ondulation que les ondes planes correspondantes ont parcourues dans le verre et dans le cristal. L^épaisseur et le pouvoir réfringent de la lame de verre étant connus, l'épaisseur du cristal ayant été mesurée, il est facile de conclure de ces différences les rapports des vitesses des deux ondes planes , dans le milieu biréfringent, à la vitesse de la lumière employée , dans le verre, et par suite les rapports ivo Wt9 de ces vitesses, à celle de la même espèce de lumière dans le vide. Enfin les grandeurs des vitesses principales a, b^etc, les positio^^s des axes d'élasticité du cristal par rapport à ses faces , et par suite les directions des axes de réfraction conique, ayant été déterminées d'avance , on a tous les éléments nécessaires pour éprouver l'exactitude des formules du paragraphe firécédent. Les nombreuses vérifications de iitte nature, que Fresnel a entreprises, ont toutes réussi, ainsi les vitesses des tedcs planes lumineuses, dans les milieux biréfringents,

43a COURS DE PHYSIQUE.

soiycBt réellement les lois iadU€|uées par la théorie. Viteises g^gi Les lois dont il s'agit ne se rapportent qa aux vîluminénx. tesses de deux ondes planes parallèles et différentes , dans Tinlëriear d'un cristal biréfringent. Il existe des relations analogoes entre les vitesses des deux rayons lumineux qui ont UM direction commune, dans le même milieu. Soient a, |3, y y les cosinus des angles que celte direction comoiune fait avec les trois axes d'élasticité ^ et V la vitesse d'un des rayons > ou la distance qui sépare de l'origine le point ou la snr&oe de Tonde est rencontrée par ce rayon \ ou aura X sss ^ , y a=s |3V, zsssyVy et l'équation (5) devient

et a pour racines les carrés des deux vitesses Yf et Vf des deux rayons qui suivent la direction proposée. >^^ . 647« Ces deux vitesses deviennent égales pour deux dicrisunx. rectioDS particulières > auxquelles on donne le nom ai axes optifues du cristal^ et qu'il ne faut pas confondre avec les axes de réfraction conique , dont ils diffèrent essentiellement pal* leurs propriétés, bien qu'ils en soient très voisins dans tous les cristaux connus. Ces axes optiques sont précisément les droites qui joignent en diagonale les quatre pointa d'jutersection du^çercle et de l'ellipse, dans la section de la surface de l'onde &ite perpendiculairemeiit à l'axe uxoym. Ik sont donc situés, comme les axes de réfraction coi|ique, dans le fjfii de cette section j mais ils font avec raa^f-detplus grande élasticité , encore de part et d'autre de cet axe, un mène angle , moitié de celui qu'ils

comprennent, et dont la taD£;ente est ^==^

QUARANTE-DEUXIÈME JUEÇON. 4^^*^

648. En général les vitesses Vf et Y, 4ieSp4eux rayons qui Relation

parcourent une même direction > dam lOl milieu birëfrin- les vitesses

gent, diffèrent Tune de Tautre-, et si T^n désigne par u et mémo di-

u' les angles que c^tte direction commune fait avec les deux '®®^^^"' axes optiques 9 on trouve facilement la relation suivaate :

:^jrL — «r = { -; : ) sin M sin m'. Ainsi la différence des

VJ VJ \c» aV

carrés des fractions ayant pour numérateur Tunité , et pour dénominateurs les vitesses des deux rayons lumineux de même direction , edt toujours proportionnelle au produit des sinus des angles que cette direction comipune fait avec les deux axes optiques*, et de plus> le quotient de cette différence par ce produit de sinus, est égal à la différence des carrés des indices de moindre et de pluç grande réfraction , mesurés suivant les trois sections principales. Cette loi, énoncée dans le langage de la théorie de rémission , est connue depuis long* temps ^ découverte par M. Biot, elle était considérée comme résumant les propriétés optiques des cristaux à deux axes, déduites de T observation; c'est donc une nouvelle conséquence très générale de la théorie de Fresnel , que Texpérience vérifie complètement.

64q* li^ axes optiques sont, dans le milieu biréfrin- Phénomène

, . , , , , produit par

genty les deux seules directions où les deux rayons lumi- un

. » 1 . 1 A . â *" Optique.

neux qui leur correspondent aient la même vitesse. Avant

que Fresnel eût donné sa théorie, et que M. Hamilton eût étudié de pins près les propriétés de la surface des ondes, on admettait, et même on crtyait vérifier par Vexpérience , qu un rayon normal incident, parallèle à l'un des axes optiques, pénétri|it aussi normalement dans le cristal sans se diviser, ou que toute la lumière réfiractée se propageait avec une vitesse unique suivant cet axe ; et c'est de là

i^'i4 - COURS DB PHYSIQUE.

qu^est venue hi d^oominatibtt de cristaux à deux axes. Pour qu'il en fàt ain^i 9 il faudrait , d*après la constraetioii gëndrale, que la turface de Tonde n'eût qu'un seul plan tangent} en chacun des quatre points d'intersection du cercle et de l'ellipse, formant la section normale k l'axe de moyenne élasticité , et que de plus ce plan fût perpendiculaire à l'axe optique qui aboutit en ce point.

Or M. Hamilton a démontré par l'analyse que les quatre points dont il s'agit sont des ombilics ^ c'ieat-à-dire qu'il existe pour chaci^n d^eux une infinité de plans tangents â h surface de l'onde^, dont les traces sur la section principale , qui comprend ces quatre points singuliers « varient de po^ sition entre les tangentes au cercle et à l'dlipse , et parmi lesquels un seul est normal à Taxe optique correspondant. Il suit de cette conséquence théorique qu'une infinité de rayons incidents , formant une certaine surface conique y peuvent fournir de la lumière réfractée suivant la direction d'un des axes optiques-, et que réciproquement la lumière qui a parcouru ce milieu dans la direction d'un axe optique peut donner un tube conique de rayons émergents.

M. Lloyd a constaté l'existence de ce phénomène. H s'est servi à cet efiet d'un cristal d'arragonite taillé suivant deux faces parallèles entre elles, et perpendiculaires à l'axe de plus grande élasticité. Le plan d'incidence, parallèle au plus petit axe , contenait alors les deux axes optiques, dont le calcul indiquait les positions. M. Lloyd plaça andessus du cristal une lentille ( dont l'axeétait situé dans ce plan d'incidence , et qui , recevant un faisceau de rayons parallèles, les faisait converger vers un des points d'une face du cristal , dans une position telle que le rayon Inmi'neax , non dévié par la lentille , se réfractât suivant un

QUARAMTE-OEUXIÈMS LEÇQlf. . 4^^

des axes optiques. Une plaque opaque percëe d*UD très petit trou, masquait Fautre face, dans une position telle que la droite allant du foyer de la lentille au trou de la plaque fut exactement parallèle à Taxe optique. Par cette dispo^tion, la lumière tombait sur le cristal suivant un faisceau conique qui devait fournir une infinité de rayons^ polarisés suivant des plans différents, parcourant tous Taxe optique ^ et l'œil placé immédiatement derrière le trou de la plaque ne recevait que ces rayons à leur émei^ence.

Si la conséquence théorique signalée par M. Hamilton était vérifiable , l'œil devait apercevoir un anneau lumineux^ entourant un espace obscur-, or c'est effectivement le phénomène qui fut observé par M. Lloyd. Il reconnut ensuite que le moindre déplacement de la plaque changeait cette apparence singulière, qui se transformait rapidement en deux points brillants, correspon^bnts aux deux rayons réfractés dans les cas ordinaires. Ayan^épété cette expérience dans une chambre suflSsamment obscure , mais recevant la lumière émergente sur un écran, M. Lloyd constata que l'iofage projetée était un anneau brillant, dont la grandâir augmentait avec la distance au cristal. Ce phénomène d'un faisc^u lumineux, émergeant en tube conique ciett , et celui du tube cylindrique dans lequel se transforme i la sortie du cristal le faisceau conique réfracté intérieurement (§ 64^ ) 9 sont sans contredit les propriétés optiques les plus extraordinaires des cristaux à deux axes.

65o. On doit conclure de la découvert^de M. Hamilton, Faaaseté constatée par l'expérience, que les extréiifités des axeai^p- définiUoDT^ tiques d'un cristal sont réellemeqt des points singuliers ^{^^ où la surface de l'onde a une infinité de plans tangents, et que conséquemment il n'existe aucun rayon incident qui

puisse ne donner à la rëfraction qu*un seul rayon de vitesse unique dans Tintérieur du milieu « Par exemple, consîdërons uniquemeot la marche de la lumière dans un plan d'incideoce perpendiculaire à Taxe de moyeime ëlastkitë. Tout rayon lumineux menant dans ce plan , donne teajoan deux rayons réfractés de vitesses diffiérentes, Ton qui suit la loi de Descartes et que Ton peut appeler le rayon ordinaire, Tautre pareiUement situe dans le plan d^incide&ce, mais pour lequel l'indice de réfraction est variable , et qu*on peut appeler alors rayon extraordinaire.

Pour les trouver on peut appliquer la construction générale ainsi qu'il suit. ÀB étant la face du cristal , LI le FiG. 340. ^on incident» AIL le plan d'incidence perpendiculuire à l'axe de moyenne élasticité, on mène dans ce plan par le point I deux droites DL, IZ, parallèles aux deux autres axes d'élasticîjté -, du point I comme centre on décrit un cercle de riiyolà b ; on construit une dllîpse ayant pour demi-axes , m fiur^IZ ^ et c sur DL \ cette ellipse coupe le cercle aux points P,Q, P» Q'-, PP' et QQ' sont les deux axes optiques du cristal \ ayant ensuite déterminé le point T pailla méthode ordinaire, dn m^ par t^]^0int deux tangentes TO, TE, Tune au oercl^ Fautre à Tdlipse-, les droites 10, lE, sont alors, la première le ntysfu réfracté ordinaire, la seconde le rayon réfrncté extraordinaire correspondant au rayon incident LI..

Il suit évidenuneot de cette construction que si Tunlles rayons réfractes *lj^ confond avec un des axes optiques, Taiitre en sera néces$airemetit séparé^ car si la tangente au cercle ou à l'ellipse n^enée par le point T aboutit en P, la taogente à Tellipse ou au cercle menée par le màoie point ne saurait prendre la même direction , sans quoi les

QV ARàNTE-DEUXI ÈM»- LEÇON . 4 ^7

deux courbes se toucheraient en P, ce qui n est pas. Cette séparation constante des deux rayons réfractes existe même lorsque la face AB est perpendiculaire à un axe optique » et que le rayon incident est normal \ car les deux rayons rëfracUb se déterminent alors en menant au cercle et à Tellipee deux tangentes parallèles à cette face, qm sont ëvidenunent différentes.

Il n'y' a réellement que les rayons incidents norrattox, parallèles aux trois axes d'élasticité, qui ne dévient ni ne se bifurquent à leur entrée dans Iç cristal *, mais alors, quoique ayant une direction commune, leurs vitesses diffèrent beaucoup. Ainsi la définition que Ton donnait des axes optiques, comme un résultat de l'expérience, est totalement iuexacte. Cette erreur est d'ailleurs facile à expliquer : les axes optiques sont très voisins^ dans les cristaux connus ; des axes de réfraction conique, et les cristaux éprouvés ont toujours une petite épaisseur *, on confondait ces axes di£Eérents, et l'on considérait le tube cylindrique lumineux , dans lequel se transforme â sa sortie le faisceau conique rëfiracté intérieurement , cooune un rayon unique.

65 1. La propriété caractéristique des axes optiques, DéfiDîUon celle qui peut servir à leur définition exacte, c'est de des axes pouvoir être parcourus , avec la même vitesse, -par des ^P^^"^* rayons polsffisés suivant une infinité de plans différents. E2n efifet, ]M>ur tout avtre poîptde la surface de^I'onde que les extrémités de ces axes, il n'existe qu'un seul plan tangent » et par conséquent qu'une seule directioii du mouvement vibratoire ^i paisse l'atteindre, laquelle est celle de la droite allant de ce peint au pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sur&ce sur le plan tangent. Ainsi les deux rayons qui seuls peuvent parcourir une même di-

rectioD quelconque} et qui ont deux vitesses difiSéreates, sont nëcessairement polarisés suivant deux plans dëlerminés.

Les points de la surface de Tonde 9 situes sur les axes d'élasticité , ne font î>as exception à cette loi géaérale : la direction du mouvement vibratoiie, correspondant » Tun de ces points , ne peut pas être déterminée par la conatruction graphique qui vient d'être indiquée , car pour ce poiot la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent se confond %vec le rayon \ niais le calcul fait disparattire cette indétermination ^ et condiût à une direction unique du mouvement vibratoire^ laquelle est parallèle à Fun des axes d'élasticité. A Textrémité d'un des axes optiques ^ il y a au contraire un nombre infini de plans tangents, par suite une infinité de mouvements vibratoires qui peuvent l'atteindre» et dont les directions s^obtiendraient en joignant cette extrémité, avec les pieds des perpendiculaires abaissées du centre de l'onde sur tous les plans tangents.

Variations^ gSa. Les trois indices de réfraction principaux mesurés ^MuM par M. Rudberg, sur l'arragonite et la topaze incolore, férentes pour les sept raies principales du spectre solaire ( § 640) , indiquent que pour une même substance biréfringente les rapports de ces indices y ou ceux des vitesses principales a, bj c^ défièrent sensiblement d'une raie à l'a Are. Il suit de là que les axes optiques^ et ceux de iréfiraction conique, varient réellement dans le même cristal , pour les diffé* rentes couleurs. Cette variation , qid s'e|plique comme la dispersion, a été reconnue pour la première fois par M. Herscbel, dans un phénomène dont nous parlerons plus tard.

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Théorie de la polarisation par rëflexion. — Lois de la réflexion de la lumière polarisa, suivant le plan d'ioeidence, dans un plan perpendiculaire , dans un plan quelconque. — Changement du plan de polarisation dû k la réfleiion. -rLois de la polarisation partielle par réflexion f par réfraction. — Dépolarisation produite par la réflexion totale. ^ Théorie delà polarisation circulaire.— Rotation des plans de polarisation et 'phâioroénes de coloration produits par le quartz , par différents liquides.