V - aiarctani? — -{- Lmti

Les surfaces équipotentielles ont donc pour équation

— — const.;

ce sont des plans passant par le courant; l'angle des plans équipotentiels V = i2i, \'— Q! i est -J(li — £2').

Au voisinage immédiat d'un courant de forme quelconque, le potentiel ne dépend que de la portion du courant infiniment voisine. Pour évaluer le potentiel en un point très voisin d'un courant, on peut donc confondre celui-ci avec un courant rectiligne de môme intensité et de même direction, et le théorème que nous venons de démontrer sur l'angle de deux surfaces équipotentielles infiniment voisines est toujours applicable.

Les lignes de force sont nécessairement fermées autour du courant.

La fig, 37 représente le champ magnétique d'un courant circulaire. Le plan du diagramme est perpendiculaire au courant et limité supérieurement à son axe. Au voisinage du courant, les lignes de force sont sensiblement circulaires et très rapprochées : leur écart est maximum au voisinage de Taxe dans cette région, le diagramme est divisé par les lignes équipotentielles et les lignes de force en petits rectangles sensiblement égaux, c'est-à-dire que le champ magnétique est à peu près uniforme. L'axe du courant est une ligne de force.

FLUX DE FORGE A TRAVERS ÏÏN GOHTOUR DÉTERMINÉ. — Il est sou vent utile, en éleclromagnélisme, de considérer l'intégrale fVn^S étendue à une surface quelconque limitée à un contour donné. Nous désignons par F„ la composante du champ

FLUX OK FOBCK. 55

uiagnétique, dirigée iiormalemoiil à l'élément de surface d^, L'inlégrale /F„rfS, introduite par Maxwell, est désignée par MM. Mascart et Joubert (') sous le nom de flujc de force, que nous adopterons dans ce Traité.

Dans un champ unilormc, le flux de rorco à travers nue surrace plane varie proporlionnellcmont à l'intensité du champ, à l'étendue de la surface et au cosinus de l'angle que

/■ l'ÉlecCriciléet le Magne

Jes lignes de force font avec la normale à la surface. Si Ton se représente un tel champ comme traversé par des lignes de force dont le nombre (ou mieux la densité) varie proportionnellement à l'intensité du champ, le flux de force à travers la surface considérée demeurera, quelle que soit son inclinaison, proportionnel au nombre de lignes de force qu'elle rencontre. Considérons maintenant un champ variable en direction et en intensité, et décomposons la surface S en ses éléments : F„ciS représente le nombre de lignes de force coupées par l'élément c^S, et / F„^ le nombre total de lignes de force interceptées par la surface, lequel ne dépend évidemment que du contour qui la limite, et non de la forme ciu'elle affecte.

Dans le cas particulier de l'électromagnétisme, ce flux do force est le nombre de lignes de force qui sont embrassées clans le circuit d'un courant fermé ou interceptées par un feuillet magnétique. Le flux de force est considéré comme positif quand il pénétre dans le feuillet par sa face boréale.

ACnOirS ÉLEGTROMAGNÉnaUES ÉLiMElITAIBES. — Au lieu de considérer en bloc l'action exercée par un courant fermé sur un pôle magnétique ou inversement, on peut regarder l'action d'un courant comme la résultante d'actions élémentaires exercées par tous les éléments dans lesquels on peut le décomposer, en partageant son conducteur en parties de longueur infiniment petite. (]ette conception paraîtrait tout à fait artificielle, puisqu'on ne peut produire une portion de courant permanent isolément d'un circuit fermé dont elle fait partie, si elle ne répondait à certaines expériences, où l'on ne doit avoir en vue (|ue les forces agissant sur une portion de conducteur qui est seule mobile. Il se produit alors des phénomènes remarquables qui s'interprètent sans peine par la considération des actions électromagnétiques élémentaires.

Nous nous proposons donc d'exprimer l'action d'un circuit fermé par une intégrale simple étendue à tout son contour : nous considérerons conventionnellement l'élément de cette intégrale comme l'action de l'élément de courant sur le pôle

Fig. 38.

ACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES ÉLÉMENTAIRES. 5;

inag;nétique considéré, et nous comparerons le résultai de ce calcul à Texpérience.

Plaçons en A {fig. 38) un pôle magnétique austral égal à Tunité, et soit S un circuit traversé par un courant d*intensité /. Supposons que ce dernier glisse d*une quantité égale à dx dans une direction arbitraire : un élément ds du circuit |)lacé en B, à la distance AB = r et dont la direction fait avec celle du déplacement un angle rj, est soumis de la pari du pôle à une force qu'il s'agit de calculer, et dont nous désignons par X la composante suivant le déplacement. Le travail exécuté par cette force est ILdx et peut être considéré comme résultant d'une

extension d% ^iz dx ds sin-n donnée au feuillet que nous avons toujours le droit de substituer au courant. Soient dV l'élément de potentiel en A fourni par dS, dQ. l'angle solide sous-tendu par d^ en A; on a

d\ ■- ^\dx-:ida.

Pour une valeur positive c^S, dQ. est positif quand le ])ôle A est situé vers la face australe du plan de déplacement, négatif dans le cas contraire. Soit i l'angle de AB avec la direction BN de la normale à ^S située vers la droite du courant. On a, en valeur absolue et en signe,

dil :-. -

/ dil ids .

- -—-. - - snirî cosc.

dx

X est la composante, dans la direction du déplacement dx, de la force exercée par le pôle sur l'élément. Pour avoir la grandeur F de la force elle-même, il suffit de choisir la direction du déplacement, de manière à rendre X maximum.

Or le maximum de sinm est égal à l'unité, lorsque y) — -,

c'est-à-dire quand le déplacement est normal à l'élément de

j8 les aimants.

courant. Quant à cose, on ne peut le rendre égal à i, mais il prend sa valeur maximum quand AB est perpendiculaire au déplacement. Soit m Tangle de AB et de ds; on a alors

co

~ sm w ,

£V/.çsin6)

(lO)

l.a direction de F est telle que la force électromagnétique exercée sur l'élément de courant tend à diminuer Î2. F est donc dirigée de la face australe vers la face boréale du feuillet, c'est-à-dire vers la droite du courant. Il résulte de la formule (lo) :

I" Que la force F exercée par un pôle égal à l'unité sur un élément de courant est appliquée au milieu de Vêlement, perpendiculaire à l'élément et à la droite joignant le pâle à Vêlement, c'est^-dire perpendiculaire au plan passant par Vêlement et le pôle ;

2<^ Que cette force est proportionnelle à V intensité du courant, à la longueur de Vêlement, au sinus de Vanglc que fait, avec l'élément, la droite joignant Vêlement au pôle, enfin en raison inverse du carré de la distance.

Si Ton substitue au pôle unité un pôle contenant une quantité de magnétisme fz, la force augmentera dans le rappori de fjL à l'unité, et l'on aura définitivement

(II) f--,^j,\ -,i^-

tacite expression do l'action éléniehtairo électromagnétique ;i été donnée par Ampère ('). Mais la marche synthétique que nous avons suivie pour la démontrer a été indiquée par Sir W. Thomson et adoptée par Maxwell (') dans son important Ouvrage sur l'électricité et le magnélismo.

(*) Ampkrk, Mémoires sur la théorie des phénomènes électrodynamiques. Voir la colleclioa des Mémoire* publiés par la Société française de Physique, l. II et ïll.

(») Maxwell, A Trealis'i on Electricity and Mas;netism, l. II.

ACTIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES ÉLÉMENTAIRES. 5c^

I/action exercée par le pôle A sur nri élément B de courant étant

juieV.vsinfj)

Taction de l'élément B de courant sur le pôle A est

|ui/^5sinr,)

Le signe — indique qu'elle est dirigée en sens contraire de f^ c'est-à-dire que l'action de l'élément sur le pôle tend à déplacer celui-ci vers la gauche i^'ie- 39.

du courant.

Comme application de la formule (11), nous allons calculer Faction R exercée par un pôle magnétique A sur un courant rectiligne indéfîni {fig. 89). Elle a pour expression

•" sinw^.v

^ . r smw

Mais, en désignant par ^ la longueur VP,

.ç T- a tang ( w 1 \ -- — a

COtCi),

fis =z= - - -r- <'^0) , sin*r,)

Xd(ù 'xu.i r . , 9.1x1

-r-, -; — — ^ — — ~i— / smwad)"- — a'(i -f- col'w) smo) ûr ./ n

Cette force est appliquée au courant en P, perpendiculairement au plan passant par le pôle A et le courant et tend à entraîner le courant vers la droite de l'observateur d'Ampère

Oo LES AIMANTS.

(Jig. 39). Nous retrouvons ainsi le résultai obtenu antérieurement (*).

Toutefois, nous devons faire observer que, tant qu'on se bornera à appliquer la formule (1 1) au calcul de l'action d'un courant fermé, on est libre d'ajouter à l'expression élémentaire que nous avons adoptée toute dérivée exacte d'une fonction des coordonnées de l'élément de courant, car l'intégrale correspondante est identiquement nulle dans le cas d'un circuit fermé. On ne peut lever l'indétermination que par des expériences dans lesquelles une portion seulement d'un circuit fermé est rendue mobile. Nous verrons que la formule élémentaire d'Ampère, telle qu'elle a été donnée ci-dessus, rend un compte exact de tous les faits observés. Il n'y a donc pas lieu de la modifier.

ROUE DE BARLOW. — On peut montrer l'action exercée par un aimant sur une portion de courant mobile par une expérience très élégante due à Barlow (*).

Lne roue dentée en cuivre, évidée pour être plus légère, est mobile autour d'un axe GF {fig. 40' Les dents dont le contour est garni viennent, quand elle tourne, lécher la sur-

(') Puiir passer au cas d'un courant angulaire, il suffit de remplacer «

Kig. \o.

par a sin a, cl d'étendre rinlégration de t - a îi tt {fig- 'i<>) -

.. ï\xi . ^ . i\i.i I -cosa a ai a

H " —i — I cos ( rr — a ) ^- i - — : -— tang - •

r/ sin a ' ft sina a 2

C'est encore le résultat connu du calcul direct.

(•) Baulow, On ma gnetic attraction, London, iSaS; Bibliothèque unisse rselle, t. \\, p. 127. {Voir la Collection de Mémoires publies parla .Société française de PhysiquCy t. Il, p. 2o3.)

ROUE DE BARLOU-. n,

face d'un bain de mercure dans une nuge ED. Un courant êleclrique, qui arrive au mercure par la poupée t., remonte verlicalement, par les dents de la roue, du contour vers le

Fiff. 4'-

i-enlre, el retourne par l'axe au p6lc ncgalir. Enfin un aimant \MB, qui est fixé sur la base de l'appareif, présente ses deux pôles A et B aux deux faces de la roue.

L'observateur placé dans le courant mobile sera vertical, il ;iura les pieds en bas, la lëte vers l'axe FG, et, s'il regarde le [i6le boréal B, il sera sollicité par une force dirigée vers sa gauche de D en E. S'il se retourne de manière à regarder le pAle A, il sera chassé vers sa droite : ce sera encore de D en E, car sa droite a changé de posilion pendant qu'il s'est retourné. Par conséquent, la roue qui conduit le courant devra se mouvoir de D vers E, et, comme c'est en effet ce que montre l'expérience, on peut conclure que l'action des p'iles d'un aimant sur un élément de courant a réellement la direction que nous avons indiquée.

La roue de Barlow nous montre un premier et remarquable exemple d'un mouvement de rotation continu produit par les actions électromagnétiques. La force exercée par l'aimant sur la roue est constante, puisque l'appareil n'éprouve aucune déformation par la rotation de la roue; la vitesse acquise par

ti> LliS AlMA-NTS.

l'apparoil aiigmciile «loue à ctiaque n'-voluiton cl augmenlerail san»^ limite, i\, d'une |>arl, les rrottemenls à vaincre n'agissaient en sens contraire du inouvciiient pour en limiter la vitesse, et si, d'autre part, k-s phénomènes d'induction que nous étudierons par la ïiiile ne diminuaient l'intensité du courant, d'autant plus énergi<|ucmciil que la vitesse est plus ;;randc, et le travail méranique accompli par le courant plus lonsidérabic.

fiUTAKOKiTBE A HEBCDai. — t'our (nonlrer l'aclion d'un aimant sur un élément de courant , on peut encore avoir lecotns à la disposition suivante , imaginée par M. Mppniaiin (').

lin lulic eu U contenant du mercure est placé entre les piMes d'un aimant en l'or à clieval (Jîg. 4^ et 43). Un couranl

Fig. 4î.

\erlical c^t dirigé à traders lu lirunclie liurizonlale du tube, normalement aut lignes de l'uice du clianip. L'action électroina^nétifpiu cnir.itiic le mercure dans une direction horizontalc noJinale au\ lignes de force, cl une dénivellation s'établit entre les d('u\ branches «lu l»bc en U. l,c mercure s'arrête

ROTATION DES COURANTS PAU LHS AIMANTS. Oi

quand Texcès de pression résultant de la dénivellation contrebalance exaclenienl Taction éieclrodynamiquc.

Cette expérience a donné lieu à la création d*un véritable galvanomètre à mercure. La partie essentielle de l'instrument est une chambre à mercure plate disposée verticalement entre les pôles de Taimanten fer à cheval, et communiquant de part et (Fautre avec les deux branches du tube en U. Deux électrod(*s de platine de môme largeur que la chambre à mercure occupent sa partie supérieure et sa partie inférieure. Soient h la hauteur de la chambre à mercure, e son épaisseur, i l'intensité du courant, H l'intensité du champ magnétique, d la densité du mercure, x la dénivellation produite, La force électromagnétique est H/i/; elle équilibre la pression due à la dénivellation x et agissant sur la surface he dii rectangle qiii termine latéralement la chambre à mercure. On a donc

}\hi rm gx dhe^

g de

La dénivellation est proportionnelle à l'intensité H du champ, à l'intensité £ du courant, et en raison inverse de ré|)aisseur e de la chambre à mercure. Pour avoir un instrument sensible, il faut donc réduire le plus possible celte épaisseur, par exemple à moins de o™"*, i.

On graduera le galvanomètre îi mercure par comparaison a\ec une boussole des tangentes. H olTre l'avantage d'être absolument apériodicjue, car le frottement considérable que le mercure doit vaincre pour passer d'une branche dans l'autre l'empêche de prendre une vitesse sensible. La position d'équilibre sera donc alteinlc» sans oscillations. Habituellement l'appareil porte une graduation en ampères; mais il est clair qu'on doit le vérifier de tenq)s à autre, pour s'assurer si le champ magnétique de l'aimant n'a pas subi d'altérations.

ROTATIOir DES GOURAHTS PAR LES AIMAHTS. — D'une manière générale, soient MN un élément de courant, et A le pôle d'un aimant (//^. 44)* L'action exercée sur MN est une force F

ri-' Aifv . ' I > /^£sinfj)//.v perpendiculaire aAMN et égale a -^ > ou, pour un cou-

raiil d'inlensilé 1 agissant sur un pôle unilé, à ^ — • Si Ton

abaisse MP perpendiculaire sur A\, MP ^zâssinoa, el si l'on décrit du point A comme centre une sphère de rayon égal à l'unité, elle sera coupée par le plan \MN suivant l*arc M'P'

. sinwc^^