FORMULE DE REYNARD

Il reste à trouver une expression directe de la force /dont es composantes sonl

^ ... , , X dy — ydx fyz=z-u'ds' ' ^.3 ,

z--u'ds'

Désignons par S l'angle (*) de rel de ds {fig* 60), on trouve aisément (*)

/•'t/5*sin*^ -- {ydz — zdyY-Y- (zdx — xdz)^-\- (x dy — y dx^

i^nds^sl^u^ r (ydz—zdyY^ •^ "^ A L' /•*^5«sin«^^ J'

Le terme entre parenthèses est le carré du sinus de langlo «|uo fait avec Taxe des x la normale au plan rds ( ' ), ou encore de Tangle du plan des xy avec le plan rds, ou enfin le carré du cosinus de Tangle [tJ que fait Taxe des x avec le plan rds j donc

, ii'dsds' . ^ ,

( l.>) /=:: -j Sin9cOS|JL'.

Celle force élémentaire est donc proportionnelle au sinus de l'angle de r et de d!s et au cosinus de l'angle de ds' avec le plan rds.

En remarquant que ; — est Tangle d'^ sous lequel ds est

vu du centre de ds', on peut encore écrire la formule (10)

>. ii' ds' , „

(l()) f=i COSfJl'c^P.

( ' ) C'est le même angle qui est désigné par u> dans la flg, 67 et dans les formules (2), (3) et (4).

(») Voir formule (2).

(') Voir formule (3).

Réciproquenienl raclion/' de ds' sur ds serait

(17) /=:-—- C0S/JLe/(3';

elle n'est ni éj^aie ni direclemenl opposée à y.

FORMULE D'AMP^. — Quand on admet l'action directe à distance, s'exerçant sans Tintermédiaire d'un milieu, il est naturel de supposer que Taction de deux corps est dirigée suivant la ligne qui les joint, et alors Taction et la réaction sont nécessairement égales. Cherchons donc si la formule de Reynard ne pourrait pas être modifiée de manière à satisfaire à cette condition.

D'après la manière dont nous avons obtenu Faction d*un élément de courant sur un autre, il est évident que, si l'action réelle diffère de celle que nous avons calculée, ce ne peut être que par Tadjonction d'un terme qui s'annule quand on cherche la résultante des actions d'un courant fermé sur un élément de courant; or cette condition sera toujours remplie si l'on ajoute arbitrairement, aux composantes /r, /y, /s de la force cherchée, les dérivées de fonctions des coordonnées n'admettant qu'une seule détermination; car alors les fonctions obtenues par l'intégration reprennent la même valeur quand on revient au point de départ en cheminant le long du conducteur du courant : elles ne donnent à la force résultante aucun accroissement.

Nous désignerons donc par X, Y, Z trois fonctions des coordonnées que nous nous réservons de déterminer iillérieurement, et nous poserons

f^^.ii'd,'d\,

U^ i^ds\d:L--^d[^

Pour que la force /soit dirigée suivant la droite qui joint les deux éléments de courant, on doit avoir

(.9) h ^ ÙL --, ù ^ l ,