CL" *^ C
pour une sphère, ^n -^l log — pour un ellipsoïde de révolu-
tion allongé, ayant pour grand axe c, pour petil axe a et que nous supposons aimanté longitudinalement. Cette dernière
quantité tend vers zéro avec -•
Z^ Green (*) a étudié Taimantation d'un cylindre à bases planes soumis à l'action longitudinale d'un champ magnétique d'intensité F. Soient a le rayon du cylindre, a/ sa longueur. La densité magnétique ? en un point situé à la distance xdu milieu du cylindre est •
pr px
p est une quantité numérique liée à /.
Le Tableau suivant donne, d'après Green, quelques valeurs correspondantes de/? et de X :
oc
6a, oi
1 1 ,8oj
^,Oî)
Quand la longueur du cylindre est grande par rapport à son rayon, la totalité du magnétisme libre sur chaque moitié du cylindre est
(•) Green, An essay on the application of mathematical anaij'sis fo the Théories of eiectricity and magnetism, Noltingham; 1828.
FONCTION MAGNÉTISANTE ARBITRAIRE. 323
dont une fraction, égale à j/?, se trouve sur les bases planes. La distance du centre de gravité de la masse M à l'extrémité
du cylindre est -• Il en résulte que, lorsque X: est petit, la
presque totalité du magnétisme est aux extrémités du cylindre ; à mesure que k augmente, la région sur laquelle il y a du magnétisme libre en quantité sensible augmente, et pour k infini la quantité de magnétisme libre en chaque point serait simplement proportionnelle à sa distance au milieu du cylindre. Ces résultats du calcul ont une grande importance, parce que la forme cylindrique est la plus employée dans la construction des aimants.
CAS D'UHE rOICnOI HAOHÉTISAirTE ABBITRAIRE. — Théorie de Kirchhoff. — Kirchhoff(*) a cherché ce que deviennent les équations fondamentales de la théorie de Poisson dans le cas d'une masse de fer doux caractérisée par une fonction magnétisante quelconque, mais que Von suppose totalement dénuée de force coercitive , de telle sorte que son aimantation ne dépend que des forces auxquelles elle se trouve actuellement soumise.
Par raison de symétrie, le moment magnétique d'une sphère soumise à une force constante demeure, même dans le cas actuel, dirigé suivant la force. Si Ton considère une masse de fer doux placée dans un champ magnétique quelconque, et un point (j?, j, «) à son intérieur, on peut tracer autour de ce point deux sphères concentriques infiniment petites S et Sj , mais telles que la sphère Si extérieure soit infiniment grande par rapport à S. Les moments magnétiques à Tintérieur de ces sphères, rapportés à l'unité de volume, peuvent toujours être considérés comme constants, ce qui ne peut avoir lieu que si les forces exercées sur la sphère S par le fer compris entre les sphères S et S] s'équilibrent exactement. On trouve donc,
(•) G. KiRCHHorp, Ueber den inducirten Magnetismus eines unbegranzten Cylinders von weichem Eisen {Journal de C relie j t. 48; i853). Ce Mémoire a été publié de nouveau dans la Collection des Mémoires de KÏTclàioft {Gesammelte Abhandlungen von G, Kirchhoff, p. tgS; Leipzig, 1881).
3/4 l^ES AIMANTS.
comme dans la théorie de Poisson, que la force exercée au poinl (jc, y, z) se réduit à deux parties : l'une, provenant des forces extérieures et dont le potentiel est V; Tautre, provenant (le l'action de la masse de fer doux extérieure à la sphère S,; et comme les forces des deux espèces peuvent être considérées comme constantes à Tintérieur de la sphère S, la direclioii du moment magnétique de celle sphère, c'est-à-dire celle de l'aimantation au poinl {x, y, z), esl dans la direction de la force résultante R et proportionnelle à la valeur correspondante de la fonction magnétisante.
L'examen des équations auxquelles on est conduit montre (|ue, dans le cas où le fer a la forme d'un ellipsoïde et se trouve placé dans un champ magnétique constant, raimantation est uniforme. La valeur constante du moment magnétique rapporté à l'unité de volume dépend, bien entendu, delà direction de la force, comme dans la théorie de Poisson : elle est proportionnelle à la valeur de la fonction magnétisante. Ce résultat est de la plus haute importance : il justiGe une méthode employée par M. Stoletow (*) pour la détermination de cette fonction.
Si l'on admet que le moment magnétique d'une masse de fer doux soumise à un champ magnétique d'intensité F constante tend vers une limite Unie, quand on donne à F des valeurs de plus en plus grandes, Kirchhoff en déduit que, quand un corps de forme quelconque est soumis à de:^ forces magnétisantes très considérables, la portion de la fora* résultante provenant du fer doux est négligeable par rapport à la force extérieure, que raimantation a une intensité constante en tous les points de sa masse, et que sa direction coïncide en chaque poinl avec celle des lignes de force (lu champ magnétique inducteur.
Théorie de AI, Duhem (*). — Nous avons démontré (p. ri) <|ue l'énergie d'un»» particule magnétique, due à sa position
(•) Stoletow, On the magnetizing function of soft iron e^peciaUy ivilh weakcr decomposing -poivers {Philosophical Magazine, -J* séri»*; l. \LV, p. /|o; 1873, et Pogg. Ann., t. CXI^VI, p. ^Sg).
(') Duhem, Théorie nouvelle de raimantation par influence, fondcf sur la Thermodynamique ; Paris, 1888.
FONCTION MAGNÉTISANTE ARBITRAIRE. 325
dans un champ magnétique, a pour expression
dV ,. d\
dW= k^ -^B
-T 1- C ^r- ]ax a y dz .
or dz I ^
Considérons acluellement une particule magnétique appartenant à un corps dénué de force coercitive. M. Duhcm admet (|u*en dehors de Ténergic dW convertible en travail mécanique que posséderait cet aimant infiniment petit, s'il était permanenty par suite de son transport depuis Tinfini jusqu'à la position qu'il occupe, il y a lieu de considérer aussi l'énergie d\] absorbée parla création de cet aimant, et qui deviendra disponible si son aimantation disparaît. L'énergie totale que l'aimant infiniment petit possède est donc
dE — d{]\-d\\ et pour un aimant fini
(I) E irU-i-W.
Nous admettrons (' ) que l'énergie U ne dépend que de l'intensité de l'aimantation en chaque point de l'aimant fini, et nous poserons par conséquent
(si) U— Ç Ç Çê{\)dxdydz,
Cherchons la variation âE éprouvée par l'énergie totale de Taimant quand l'intensité de l'aimantation d'une particule dœdydz éprouve l'accroissement infmiment petit ^1. La variation de U est
^\!,—di{\)dxdydz
^^l^^dXdxdydz
= i ^^1 (\d\ 4- BdB -f- CdC)dxdydz,
<■) yoir, p. i8 du Mcmoire de M. Duhcm, la démoDStration de cette proposition.
3i6 LES AIMANTS.
Dans les mêmes conditions W a éprouvé raccroissement
et, par suite, E raccroissement
ÔE =: ô w H- OU = 3- -^ ï — Ti-^ A ^-^
( Ldofc' 1 c/l J
[à7nT«]'«|^-<-'='
Supposons i*équilibre magnétique établi. Nous définirons, avec M. Duhem , corps dénué de force coercitive un corps tel que les conditions générales d'équilibre prescrites par la Thermodynamique sont réalisées (*). On sait que ces conditions soni telles que Ténergie totale des forces tant intérieures qu'extérieures du système doit être minimum. Il en résulte que, dans le cas actuel, (îE doit être nul, quelles que soient les variations infiniment petites ^V, ^B, dC. Les composantes A, B,C de raimanlation correspondant i\ l'équilibre doivent donc satisfaire à la condition
((3) ( ÔH\) Or
Les équations (6) sont les é(|ualions de l'équilibre magnétique.
Ces équations sont identi(|ues, par leur forme, à celles de
(') Loc. cit., p. 3^.
FONCTION MAGNÉTISANTE ARBITRAIRE. 827
KirchhofT; elles expriment en effet que, pour obtenir les composantes de l'aimantation, il suffit de multiplier les composantes de l'intensité du champ par un même facteur
qui n'est fonction que de l'intensité de l'aimantation. C'est la fonction magnétisante.
L'hypothèse de Poisson conduirait à poser
dï
Il est aisé, dans cette hypothèse particulière, de trouver la forme de la fonction J(I). On a, en effet,
d\ ~ k' el, puisque -1(1) doit s'annuler avec I,
D'ailleurs, en désignant par F Tintensilé totale du champ, on a, dans la même hypothèse,
L'énergie potentielle d'une particule unique, due à son aimantation, est donc dans ce cas
k — dxdydz\
elle est proportionnelle au carré de l'intensité du champ, au
poinl où la parlicule est placée. L'énergie potentielle totale U sera
(I.) U:^^ fjjv'-dxdydz.
Si, clans l'expression de W, on remplace A, B, C par leurs valeurs correspondant à l'hypothèse de Poisson, on a
^:-k f f ÇY^dxdydz — — i\}.
L'énergie totale sera (i3) E=zWH-U = -L-r:-^ :=- - ^ Ç Ç Çv^dxdydz,
Ce sont des théorèmes dont nous ferons des applicalions (Véquenles.
Si le coefficient A est 1res pelil, on pourra négligerdans l'expression de V, et, par conséquent, dans celle de F, les forces résultant de raimanlalion propre du corps soumis à rinfluence. On pourra donc confondre F avec l'intensité exU'rioure du champ.
SPECTRES MAGNÉTIQUES. 3^[r
