ar' 1 » \ f

imes occupés en arrière de A et en avant de A' par des masses egaz pesant aussi i^*. Au bout d'un temps suffisant la masse A' se sera transportée en AB', et le travail des pressions «lérieures aura pour expression

uisque Tétat de la portion commune A A' n'a pas changé, est le travail extérieur correspondant à l'écoulement de 1^» de iz. •

Ce travail est susceptible d'une expression encore plus mple. Soient po et ç^o la pression et le volume de i^» du gaz Kéro; on a, d'après l'équation (-xo) du Chapitre précédent,

/ ti \ C — r

de même

Il ne reste plus qu'à effectuer les substitutions dans l'équa- •II (7); on a définitivement

c[ti—t\)'\ 1- (C — c) (/is— ^0 — o

L'élimination de i^i et V2 entre les équations (5) et (6) donne, pour déterminer /a,

quand ti est connu, on détermine w par Téquation (8).

En supposant /i = 3o°, pt = i'*",5, /?2== i**", on trouve w =^ ^58"» par seconde et ^2 = — 4" (*)•

EXFËRIERGE DE MM. W. THOMSON ET JOULE. — Nous sommes maintenant en mesure de comprendre en quoi ont consisté les expériences de MM. Thomson et Joule, que nous avons signalées (p. 94*] sans les décrire, et qui ont permis de mesurer approximativement la valeur du travail interne dans les gaz.

Supposons qu'on substitue à Torifice d'écoulement en mince paroi un tampon de coton, ou tout autre corps poreux, à travers lequel s'effectue la irançition de la pression /7| à la pression /^3f de telle sorte que le gaz ne puisse prendre qu'une vitesse d'écoulenrent insensible w=o; on aura ti'=^t\ [équation (8-], el par suite le gaz obéira à la loi de Mariotte, et Ton aura p.^v^., =r^,(',. C'est ainsi que les choses se passeront pour un gaz parfait : un thermomètre placé au delà du tampon por€u\ accusera une température identique à la température /. du gaz en arrière de l'orifice d'écoulement. Mais, si raccroissemeni (le volume est accompagné d'un travail interne appréciable, la température h sera inférieure à /|.

Dans les expériences de MM. Thomson et Joule, le gaz traversait un long serpentin de cuivre, où il prenait exactement U température de l'eau du calorimètre dans lequel le serpentin (Hait plongé. Le serpentin était terminé par un cylindre de buis, fermé par le tampon de coton hb [fig- '2'>-), protégé lui-même contre tout réchaufl'ement par un cylindre de buis concentrique d rempli aussi de coton : le thermomètre était placé immédiatement au-dessus de bh.

(*) Voir Briot, Théorie mécanique de la chaleur ^ Paris, Gauthier-VilUr», 1869, p. 139.

PRINCIPE DE CARNOT. ,a,-

Dans CCS conditions on observa un rerroidissement du gaz, sensiblement proportionnel à la différence de pression sous laquelle avait lieu l'écoulement. Cet abaissement de température esl, pour l'air, de o',i&i par atmosphère environ; mais il

est bien plus grand pour les gaz non permanents. Ainsi, pour l'acide carbonique à 30", il est de 1", iSi par atmospbère.

Le refroidissement et, par suite, la grandeur du travail interne, sont d'autant plus faibles que la température est plus élevée. Ainsi, pour l'acide carbonique à 91",^, le refroidissement n'est plus que de o°,7o3 par atmosphère.

A la température ordinaire [lo") le iravail intemen'est pour l'acide carbonique que la la^* partie du travail externe fpdv;

122* CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE, pour Tair celle fraclion se réduil à j^-^, el pour Thydrogène

LIGUES ADIABATiaUES. — UGHES IS0THCBME8. — Revenons à la considéralion des gaz parfails : leurdélenleàlempératurecoDslanle esl régie par la loi de Mariolle, el leur délente sans varialion de chaleur par la formule de Laplace

Quand on considère p el i^ comme des coordonnées cou-

ranles, i'équalion (4) représenle une courbe hyperbolique RS

(yîg*. 23), qui se rapproche plus rapidemenl de Taxe des vo-

pig 23 lûmes que de Taxe des pressioas.

Celle ligne, caraclérîstique de la Iransformalion d'un gaz sans Yarialion de chaleur, se nomme ligne de nui/e transmission ou adiabor tique. Quand le point figuralif se déplace sur celle courbe, dans le .«, sens RS des abscisses croissanies,

le gaz exécute un travail exteneur positif//; Je, et se refroidit; quand le point liguratif se déplace en sens contraire, le Iravail exléneiir est négatif, et le gaz s'échaull'e. Ainsi la variation de température s'exécuii» toujours en sens inverse de la variation du volume.

L'é(juation

\ "il

qui exprime la loi de Mariotte, représente, pour chaque valeur de t, une hyperbole équilatère US, ayant pour asymptotes les axes de coordonnées, (^etle ligne caractérise la transformation d'un gaz à température constante, d'où son nom de ligne «^ therme.

Nous avons vu que l'énergie interne d'un gaz ne dépend que de sa température, c'est-à-dire que, quand un gaz parfait se détend à température constante, le travail extérieur effectué esl équivalent à la chaleur absorbée, et inversement. Quand

le point figuratif se déplace sur la courbe isotherme dans le sens MN ( fig, ^4), c'est-à-dire quand le volume augmente, il y a de la chaleur absorbée; quand le volume diminue, il y a de la chaleur dégagée.

Fig. 24.

Fig. 25.

î^r^^toorMe.

Par un point quelconque M [fig^ '?'5) du plan/yOr, passent toujours une ligne isotherme MN et une ligne adiabatique RS, car, à partir de l'état initial caractérisé par le point figuratif M, on peut toujours concevoir que le gaz éprouve une transformation, soit à température constante, soit à chaleur constante. D'après les équations des deux sortes de lignes, on reconnaît sans peine que toute ligne adiabatique est plus inclinée vers Taxe des ^que les lignes isothermes; on voit de même qu'une ligne adiabatique donnée rencontre toutes les lignes isothermes, et inversement; mais que deux lignes isothermes ne peuvent se rencontrer entre elles, non plus que deux lignes adiabatiques.

KAGHniES A GAZ. — Quand un gaz se transforme' sans varialion d'énergie actuelle (p. 1 13*), le travail extérieur produit est représenté en grandeur et en signe ps^rfpdv^, la température varie d'une manière continue et l'on a, en désignant par p, Vy t les valeurs des variables à un instant quelconque, par ti la température initiale, par tx la température finale, par Q la chaleur absorbée, les relations

pV - -PfiVa

q-=c[ti-ti] + ^fpdv

Toute machine à gaz doit satisfaire à cette condition qu*une masse de gaz déterminée serve d'une manière continue etindéfînie à transformer la chaleur en travail. Cela n'est possible que si, à la suite d'une série convenable d'opérations, le gaz revient à son volume, à sa pression et à sa température primitives, c'est-à-dire éprouve ' des transformations périodiques. On dit alors que le gaz parcourt un cycle fermé; le point figuratif de l'état du gaz parcourt lui-même une ligne fermée AMBN Fig. a6. [f^ë- ^^) Caractéristique du cycle

que l'on considère.

A une révolution entière MBAM, exécutée dans le sens de la flèche, ^ correspond la production d'un travail extérieur égal à l'aire circou-

scrite par la courbe. Comme d'ail-

^ ^ ^ " leurs la température initiale et la

température finale ont une valeur identique, puisque l'on est revenu au même point M, le premier terme de l'équation (i3) est nul, et l'on a simplement

(«4) q = Ljpdv^.\.

La totalité de la chaleur absorbée est transformée en travail externe, c'est-à-dire en travail utilisable.

Remarquons que, si l'on mène, à la courbe MBA, deux tangentes parallèles à Taxe des py le cycle se trouve divisé par les points de tangence A et B en deux portions x\MB, BNA, telles que dans la première le gaz exécute un travail extérieur PAMBQ et dépense de la chaleur empruntée soit à luimême, soit aux corps environnants qui peuvent lui en céder: tandis que dans la seconde il exécute un travail négatif BQPAN, en s'échaulfant lui-même, ou en cédant de la chaleur aux corps voisins; et puisque le gaz, parti de l'état A, je suppose, revieul en A, c'est-à-dire au même volume, à la même pression et à la même température, il faut en définitive qu'une quantité de chaleur équivalente au travail BQPAN ait été empruntée par lui à des corps chauds et cédée à des corps froids. Ce transport de chaleur, non employée à effectuer du travail, est un phéno-

mène corrélatif de la transformation de la chaleur en travail, et raccompagne nécessairement (*).

On nomme coefficient économique d'un moteur thermique

le rapport ^ -,p^ de la quantité de chaleur transformée à la

quantité totale de chaleur empruntée, pendant la durée d'un cycle complet, aux sources de chaleur qui alimentent la machine. La valeur du coefficient économique d'un moteur à gaz dépend évidemment de la nature du cycle parcouru.

CYCLE DE CABHOT. — On nomme cjrcie de Carnet [^) un cycle formé de deux portions d'isothermes AB et DC, et de deux portions de lignes adiabatiques BC et AD. Ce cycle est parcouru dans le sens ABCDA [fig, 27).

Fig. 27.

C(Pa^a)

I* De A en B le gaz est à la température fixe /< ; il travaille en empruntant de la chaleur à une source à /?, par exemple à

( ' ) C'est ce que Sadi Carnot a reconnu le premier. Il compare la chute de chaleur, dont une machine à feu est le siège, à la chute d'eau qui alimente une machine hydraulique; dans un cas comme dans l'autre, pas de chute, pas de tniTaii {^Réflexions sur la puissance motrice du feu, Paris, 1834).

(*) Sàdi CâB!10t, Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les ma» chines propres à développer cette puissance ^ Paris, i8a4. Ce Mémoire a été réédité dans le tome I*' de la a* série des Annales scientifiques de l'École I9or^ maie supérieure.

i26« CàLORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE.

un bain liquide de masse très^-grande par rapport i cele.tfo gaz. La chaleur absorbée Qi est, en désignant pw piVupst^f les valeurs du volume et de la pression en A et en B»

Qi = g / pdç.

Puisque la ligne AB est isotherme, on a d^ailleurs

par suite,

1^ De B en C le gaz se détend sans variation de chaleur; et, puisque son volume augmente, il se refroidit de la température Il , qu'il possédait en B^à la température ^2 correspondant à la ligne isotherme DC .

3*» De C en D le gaz parcourt une ligne isotherme dans le sens des volumes décroissants; il abandonne aux corps . environnants ( par exemple un bain de très-grande masse à température t2) une certaine quantité de chaleur Q^, que l'on calculera comme précédemment. Soient/?3, ^'3,/?i, i^\ les pressions et les volumes correspondant aux points C et D, on aura

4*" Enfin de D en A le gaz est comprimé sans variation de chaleur, et par suite il se réchauffe de la température tt à la température initiale tt .

On observera que les volumes et les pressions [ptiVi]y

. . . sont liées par les relations

ri =

îT'o

Pi

-Pi

it que les quatre transformations ont été opérées, la ! et la troisième suivant la loi de Mariotte,la deuxième trième suivant la loi de Laplace.

quatre relations on tire ( » )

Pi pn îfficienl économique u est, par définition,

Qi — Qi \ -i-^l i>i \ f-ij Pi

\ ^-7V Pi quant la relation (iG), il vient

3sant T — rî73 -f- /,

une machine à gaz, fonctionnant d'après un cycle U, le coefficient économique est proportionnel à la température ti — ti^Ti — Ta, et en raison inverse

iffit de multiplier les quatre équations membre à membre, après la première et la troisième à la puissance -y*

laa* CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE. *

de la température la plus haute du cycle T%, comptée ipmtxt de a73<* au-^dessous de zéro C.

GTCU8 BÉfSBSIBUl R IW BÉfSBSIBUl. — On dh qu'on ejde est réversible quand on peut supposer indifférenuneql, el san absurdité, que ce cycle est parcouru dans le sens direct ou dan le sens rétrograde. D ne peut en être ainsi que sous deoico»* ditionSy que nous allons spécifler :

i"" Le gaz que Ton considère doit toiiyours se trouver en relation avec des corps dont la température soit égale k h sienne; supposons en effet que, dans le cycle direct, et pour un déplh cernent infiniment petit MM' du point figuratif» le gai effeeM un travaU extérieur positif avec absorption de chaleur ; fl fiMK que la température f du milieu ambiant soit supérieure ou m moins égale à la température t du gaz, t>t. Si mainteiuM nous supposons le cycle parcouru en sens inverse, de M' en M, il y aura production de travail négatif et dégagement de chaleur, ce qui ne peut avoir lieu que si l'on a f < f. Quand le cycle sera réversible, les deux transformations pourront s'efwtuer indifféremment, ce qui exige qu'en chaque point da cjde on ail t=^f.

i"" La pression extérieure/?' doit à chaque instant être égale à la pression p du gaz ; car, si de M en M' le gaz augmente de volume, on a dans le cas du cycle direct/?^/?', et dans le cas du cycle inverse p <p', La valeur p'—p est la seule qui satisfasse aux deux conditions imposées pour la réversibilité du cycle.

Pourvu que les deux conditions/? ■/>', ^= Z' soient remplies, le cycle est réversible. Une même courbe fermée, de Fi{j. a8. forme arbitraire, représente donc

un cycle réversible ou non ^évc^ sible, suivant que l'on suppose qœ les conditions relatives au miliea extérieur sont ou ne sont pas réalisées.

Un cycle réversible peut être dé- ^ composé d'une infinité de manières en deux cycles réversibles. Il suffit pour cela [fig. a8) *

lag"

sux points quelconques A el C, de la courbe Ûgucycle, par une ligne arbitraire AEC telle, que chacun éments corresponde à une transformation réversible; loser que le point Rguratif parcourt les deux cycles ECB, CEAD : l'addition des deux translormations in- SC, CEA n'introduit ni production de travail, ni varialaleur.

efficient économique correspondant à un cycle de fonctionnant entre les températures T| et Tj, est 71, c'est-à-dire supérieur ou au moins égal au coefonomlgue correspondant à tout autre cycle rêvertprls dans le même intervalle de température.

iémontrer ce théorème, considérons un cycle Terme ! quelconque, et décomposons-le {fig. rjg} en une in-

cycles de la manière suivante; menons une série de iabatiques infiniment voisines, telles que MP, NQ, . . ; oints d'intersection M, Q de ces lignes et de la courbe 1 le cycle, menons des arcs Mn, Q/j de lignes isothermes, re à former des cycles de Carnot d'aire infiniment petite, MnQ/7. Le cycle total équivaut, d'après le théorème :t, à l'ensemble de tous les cycles de Carnot que nous e créer, auxquels il faut encore ajouter les petits cycles ires MNn, pQV, compris entre une ligne adiabatique, ; isotherme et la courbe. Mais la somme des aires em-

Calorimélrie. — It. i' tatc. a

i3o- CALORIMÉTHIE. - THtOHIE MECANIQUE, hi'iissées par ces derniers cycles, et par suite la dépens iraiisporl de chaleur correspondants, tendent vers téro, les lignes MP, NQ sont inTmiment voisines. Nous nous rons donc à considérer les cycles M», Qp.

Le coelTicient ccorioraique du cycle Iota) est ïnférieu) plus égal nu plus grand coeCTicieni économique des cycl liela; c'ost-à-dire, a fortiori, au coefficient écononiiqu» machine de Carnot fonctionnant entre les limites exirê Icnipc'raUire T, et Ti qui caraclèriscnt le cycle consid^

CYCLES COOPREHAIIT DEUX PORTIOHS D'ISOTE&Etns. - U lion expérimentale du cycle de Ciiriiot présente une gr( liculté : dans les transformations à chaleur constante qu> doit subir, il se trouve nëcessairemeiil en contact avec t uorps. et ceux-ci devraient suivre les variations de temp résultant de sa détente, sans toutefois lui enlever ni lui de chaleur, ce qui est impossible. Toutefois il est évîde m l'on remplace la transformation à chaleur constante \ trunsformation avec variation de chaleur, on pourra obi nouveaux cycles pratiquement aussi avantageux que lec Carnot, pourvu que toute In chaleur cédée par le gaz transformation PQ, qui l'amène de la température la plusli à la température la plus basse /i, puisse être ultérieui

FtB. 30.

Fig. II.

employée i élever le gaz de fi à /■ , sans perte aucune. 0 prendre ponr la ligne PQ telle ligne que l'on voudra (fy la ligne MN, suivie par le gaz pour revenir de tt ktt,n

PRINCIPE DE CARNOT. i3i*

! complètement déterminée. D'ailleurs les lignes MF et NQ >nt toujours des lignes isothermes.

On peut, par exemple, choisir pour PQ (Jig, 3i) une ligne arallèle à Taxe des/?, c'est-à-dire refroidir le gaz sous volume onstant; la quantité de chaleur perdue parle gaz de P en Q est (^1 ~ ^a). Une quantité de chaleur égale devrait être fournie au aZy pour le ramener à la température /i, en suivant une autre arallèle MN à l'axe des /?, puisque c est invariable; le cycle IPQN satisfait donc à la condition imposée ( * ).

(*) Il faut, bien entendu, supposer les appareils disposés de façon que la baleur dépotée par le gaz qui se refroidit de t -k~ dt à f soit employée à lerer ultérieurement sa température de t k t-hdt,

La relation générale qui lie les deux lignes PQ et M N est d'ailleurs facile à rovTer; le gai à /<*, qui se refroidit de dt en se transformant suivant la Ii(;ne [aelconque PQ, abandonne une quantité de chaleur

pour l'échauffer de e k t-hdt suivant la courbe MN, il faudra lui fournir la même quantité de chaleur. En désignant par p' et v* les coordonnées correspon- 4tntà la température t sur la courbe MN, on a donc

' dQ = Cde-i-^^p'di'',

Ptr suite

(i) pdv = p' dv' ,

Mais les deux transformations élémentaires inverses considérées ayant lieu entre ''isotherme à température t et Tisothcrme à t -^ dt^ les quantités p^ p', v^ v' ^nt liées par la loi de Mariotte. On a donc

^ ) of =-• » V OU ^ = - ;

^^» en tenant compte de (i),

^^, en intégrant,

L— =const.,

^*où, enfin,

lions détignoni par m une constante quelconque.

i32* CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE.

On peut encore prendre pour PQ et MN des parallèles à Taxe des i^, comme le montre la Jig. 3i ; la quantité de chaleur absorbée de N en M, et restituée de P en Q, est C (/i — /j).

Fig. 32.

Le cycle NMPQ {fig, 3a ) est connu sous le nom de cjrck (VEriccson (*).

MAGHIHE A AIR GHAUI) DTBIGGSOl. — Il n'entre pas dansDO^ vues de faire des descriptions de machines. Toutefois il linporte de donner une idée de la manière dont on peot réaliser expérimentalement, au moins d'une manière approûnilive, un cycle imposé d'opérations. Nous prendrons pour exemple le nioleur à air chaud d'Ericcson.

La pièce essenlieiio de Tappareil (/?§*. 33) est un pislonAD. formé de deux parties qui se déplacent, en conservant leurdirlance invariable, dans des corps de pompes superposés des**'lion inégale. La capacité comprise entre les deux portions '1" piston est en libre communication avec Talmosphère; d'aillours le corps du piston A est formé de matières imperméable^ à la chaleur, lolles que briques pilées, etc.

L'air qui alimente la machine est puisé dans Talmosplu*^ |)ar la partie supérieure du corps de pompe D, et rejeté à IVM'" rieur par rorilice g, après avoir subi une série de transformations (\\x\ l'ont ramené à la pression et à la température qu^ possédait primitivement . On peut donc admettre, comme nou? l'avons supposé ihéoriquemenl, que c'est toujours la nièiw masse d'air qui parcourt le cycle d'Ericcson.

(') T'oir VtRDKT, Tfuhrie mécanique de lu chaleur, t. 1"", |». i^J.

PRINCIPE DE CAHNOT. jlï'

ivons maiiilenanl la série des opôralionssur le diagramme vc!e \fig. 33) el en même temps sur \afig. 33, Le pision esL au bas de sa course et commence à monter, ipons-nous seulement de ce qui passe au-dessous du pisi [Jig. 33]; la soupape b s'ouvre, et une certaine quantité az Tournie par le réservoir F, où la pression est seosiblo-

KiB- 33.

iconslanle ei égale à P, passe dans le corps de pompe B vers les toiles métalliques G, el leur emprunte la quantité laleur nécessaire pour s'élever de la température d du ré- )ir â la température tt qui règne au-dessous du piston A, r le diagramme [fig- 3^), le point figuratif se déplace de i-li ; le travail exécuté par le gaz est positif, c'est-à-dire

iSr CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE.

i"" Le piston achève de monler {fig. 33); la soupape b s*e»i fermée, et Ton admet ( < ) que la rapidité de la marche est réglée, de sorte que toute la chaleur qui passe dans le corps df pompe B pendant cet intervalle est employée à produire l'eipansion du gaz,sans changer sa température. Le point figuratif se meut de M en P (Jig- 3-2) suivant l'isotherme à tempénturc /i. Le temps pendant lequel la soupape b est demeuréf ouverte est réglé de telle sorte que, quand le piston est aa haut de sa course, la pression de cet air est réduite à la valeur p de la pression atmosphérique.

3° Le piston descend; la soupape /(^/îg*. 33) s*ouvre, eik gaz, s'échappant à rexlérieur sous la pression constante de Tatmosphère, se refroidit à travers les toiles métalliques G, df tt k t'i. Le travail exécuté par lui sur le piston A est résistant; le point figuratif va de P en Q.

4'^ Dans la troisième phase {fig. 3a], c*est-à-dire tandb que le piston descend, de Tair s'est hitroduit de rextérieur dans l'espace vide laissé au-dessus du piston D; quand k piston remonte (phases i et a), ce gaz est refoulé dansk réservoir F,'et conserve sensiblement sa température en pa^ sant de la pression extérieure /? à la pression P, grâce à ta large surface offerte par le réservoir au refroidissement di gaz; celui-ci exerce un travail négatif sur la face supériftnf du piston I). Sur le diagramme, le point figuratif revient de Q en N [ //g". 3i).

Observons que la section s du corps de pompe D doit èii' à la section S du corps de pompe A comme i-f-a^j est» I h a/i ; de la sorte la masse totale de gaz contenue dans l'appareil, à la lin de chaque cycle, a une valeur Invariable. D'ailleurs, la pression P dans le réservoir est à la pression /»de ralnH)sphère comme la capacité totale du corps de pompe ^

(*) OUe hypotliôito h'onI ccrUiriomciit pas rigoureuse; certains aulnn^ mctlent, co qui ost aumî cloi|;nc dt* l'exacte vérité, que, dans cet intcrnllf. ^ (;iz se (letotul à chaleur constante. Alors le cycle d'Ericsson est romê à* àni portions d'adiabatique relicos par des portions de paranèlea à Taie Jn *'' lûmes, et l'on démontre que le n'géuêrati^ur C ne aert à rien (voir T^"* tucttinî</ttr de la chaleur de Zeuncr, p. 3oG }.

PRINCIPE DE CARNOT. i3V

L à la portion de celte capacité remplie par le gaz au moment i la soupape b se ferme.

Dans ce qui précède, nous avons étudié les machines à gaz ; lais les conclusions auxquelles nous sommes parvenus, relavemenl au coefficient économique, possèdent un haut degré e généralité : elles s'appliquent à toutes les machines Iheru'ques, quel que soit Tagent de transformation.

Quand une machine thermique fonctionne suivant un 'de de Carnot, le coefficient économique propre à cette achine est égal au coefficient économique d'une machine gaz, fonctionnant suivant le même cycle, dans le même ten*alle de température.

Ce principe, énoncé pour la première fois par Sadi Carnot ( * ,

Slé démontré par lui dans Thypolhèse de la matérialité du cû-

rique, La démonstration de Carnot a été modifiée par Clau-

is [*) et mise en harmonie avec l'idée que Ton se fait acluel-

ment de la chaleur : il suffit d'admettre qu'i7 est impossible de

xmsporter de la chaleur d'un corps froid sur un corps

laud, sans dépense extérieure de travail, ou sans qu'en

ême temps de la chaleur soit transportée d'un corps

\aud sur un corps froid. Nous pouvons considérer cette hv-

►thèse comme l'expression d'un fait expérimental [^),

Sans rien préjuger sur la forme des lignes isothermes ou

iabatiques, qui nous est inconnue dans le cas général, nous

pellerons toujours cycle de Carnot le cycle compris entre

ux lignes de transformation à température constante, et deux

T.-To

nés de transformation à chaleur constante. Soient a =^

* ) Sadi Carnot, Réftexiom sur la puissance motrice du feu et sur les mânes propres à la développer ; Paris, i8i/|.

■ ) Clacsids, Sur une nouvelle forme du second théorème principal de la éorie mécanique de la chaleur {^Annales de Poggendorff, t. XCUl, traduit 18 le Journal de Liouville, t. XX, i85.i).

■) yoir dans la Théorie mécanique de la chaleur de Verdct, t. !•% p. i5i, les eussions auxquelles a donné lieu l'introduction du principe de Claosius.

ii6* CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE.

le coeflQcient économique d'une machine à gaz A fonctioniiaDl ] suivant un cycle de Carnot, a! le coefficient d*une roachioe quelconque B fonctionnant suivant le même cycle et dans le même intervalle de température. Il faut démontrer que s =2.

Accouplons ensemble les deux machines, disposées pour fonctionner en sens inverse, c'est-à-dire de telle sorte que, quand le point figuratif correspondant à Tune de ces machines parcourt le cycle dans le sens ABCD [fig, ^7)» le point figuratif de l'autre se meuve dans le sens DCBA, et réciproquemenl L'une des machines transforme de la chaleur en travail et transporte, en outre, de la chaleur d*une source chaude sur une source froide ; l'autre transforme du travail en chaleur, et dépose, sur la source chaude, de la chaleur empruntée en partir à la source froide. Pour une même machine le coefficient économique, c'est-à-dire le rapport de la chaleur transformée à b chaleur totale, demeure évidemment le même, qu*elle fon^ lionne en sens direct ou en sens inverse.

Quand la machine quelconque B fonctionne dans le sen? direct, elle emprunte à la source à température t% une quantité totale de chaleur Q, fournit un travail mécanique de o'EQ^'", et restitue (i — a'jQ*'*' à la source froide à température /j.

Quant à la machine A, elle reçoit celle quantité de chaleur

(i -a')Q, transforme en outre en chaleur une quantité de

travail égale à aE Q*'^"' et dépose le tout, c'est-à-dire

Q'»^ sur la source à température ^i.

Un cycle complet d'opérations a été ainsi exécuté par le système des deux machines, et tous les corps qu'il comprend possèdent à la lin une énergie égale à celle qu'ils possédaient au début; dans ces conditions, il est impossible, d'après l'énoncé de Clausius, qu'il soit passé de la chaleur de la source froide sur la source chaude : on a donc

I — a ou

Renversons maintenant le sens dans lequel fonctionnent le?

deox machines et répétons le raisonnement précédent ; nous

trouverons de même

«lia .•

Comme rien ne s'oppose au renversement, les deux équations doivent être vérifiées simultanément et Ton «==«'.

masm im prugipe de gabiot a uv cycle béversibIiE auEL-

COVttDE. — Considérons maintenant une machine fonctionnant suivant un cycle réversible quelconque, et décomposons le cycle total en cycles de Carnot élémentah*es, tels queMQPR (« ) .

Pour chacun de ces cycles on aura» en désignant respectivement par dQ et dQ' les quantités de chaleur empruntée suivant Tisotherme MN (Jig, 34), et restituée suivant PR, et en appliquant le principe de Carnot,

Fig. 34.

dQ -dQ' T - T'

dQ

dQ dQ' ou Y""T'~^'

On aura donc, pour Tensemble des cycles élémentaires considérés,

ou, en étendant la sommation aux éléments positifs et négatifs dQ, — dQ*, pris chacun avec son signe,

ÇdQ j ^ = 0.

Remarquons maintenant que les quantités de chaleur dépensées dans les cycles triangulaires MNS ont pour équivalent les aires de ces cycles et, par conséquent, ont une valeur nulle à la limite. On peut donc en faire abstraction et Ton a, en désignant par dQ la quantité de chaleur positive ou négative

(•) Foir p. 129*.

i38' CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE.

absorbée dans chaque transformation élémentaire individuelle, la relation remarquable

rp ~0.

Cette relation fournit, dans le cas le plus général, Texpression du principe de Carnot. On vérifiera aisément ue, dans le cas des gaz, elle se réduit à une identité.

DÉriKITIOl THÉORiaUE DE LA TEMPËBATUBE. — La température T qui figure dans Téquation précédente est la température mesurée à partir de — 273" avec un thermomètre formé d'un g» parfait. Mais, comme nous ne connaissons aucun gaz obéissant rigoureusement aux lois de Mariotte et de Gay-Lussac, la définition de la température à Taide d'un tel thermomètre ne satis fait pas complètement Tespril. On écartera cette difficulté en définissant la température par l'équation

rp -O.

La température, pour un corps quelconque, est alors le facteur par lequel il faut multiplier les quantités de chaleur dQ, positives ou négatives, absorbées sur un élément quelconqu»" du contour d'un cycle réversible, pour que Tintégrale, étendue au cycle complet, soit nulle ou, en d'autres termes, pour que cette intégrale, prise entre deux points M et \, ne dépende que de la position de ces points, et possède la même valeur, quel que soit le chemin suivi, pourvu qu'il ne comprenne que des transformations réversibles.

;n est ce qu'on appelle en analyse le facteur propre à rendre

la dilîérentielle r/Q une dilîérentielle exacte des deux variable-

indépendantes qu'elle contient. On pose souvent ~- -rfS^et

Ton donne à la fonction S le nom dentropie, proposé par Clausius.

La définition de la température, fournie par Tapplication du principe de Carnot, ne suppose l'emploi d'aucune substance thermométrique particulière, et elle satisfait aux condition?

PRINCIPE DE CARNOT. iSo*

imposées a priort, à savoir : i*» que, quand deux corps seront dits à la même température, il ne pourra y avoir passage direct d'une quantité finie de chaleur de Tun des corps sur Tautre ; 2® que, quand deux corps seront à des températures différentes, le passage de chaleur se fera du corps chaud au corps froid.

La température T se nonune température absolue. Le zéro absolu correspond au point -- 273" de l'échelle centigrade.

CTGLES 101 BË7ERSIBLES. — Examinons ce que devient Tin-

tégrale 1 -tjt pour un cycle non réversible.

I** Un cycle n'est pas réversible, si Tune des transformations élémentaires qu'il comprend s'effectue de telle sorte que la pression /?i du corps soumis à la transformation diffère d'une quantité finie de la pression extérieure p à laquelle il est soumis. Si pi'^p, on est dans la portion du cycle où le travail effectué est positif, c'est-à-dire où il y a absorption de chaleur; le travail effectué esi pdif et la quantité de chaleur absorbée

c?Q — cdl -\- ^pdi'.

Si le cycle était réversible, la quantité de chaleur absorbée serait

dQi —. cdt -\- p pidi';

on a donc

dQr^dQ,

et, puisque l'un des éléments de l'intégrale se trouve diminué, l'intégrale n'est plus égale à zéro, mais inférieure à zéro.

Si, au contraire, on a pi <ipj on trouvera de même que dQt <CdQ en valeur absolue. Mais on est alors dans la portion du cycle où le travail effectué est négatif, et l'élément rfQ doil être affecté du signe — dans la sommation. Cet élément étant plus grand que l'élément correspondant d'un cycle réversible,

Fintégrale / -^ ^^t plus petite que zéro.

i4o* CALORIMÉTRIE - THÉORIE MÉCANIQUE.

a° Un cycle n'est pas réversible si Tune des transformations élémentaires dont il se compose s'effectue de telle sorte que la température T du corps diffère d'une quantité finie de la température extérieure T|. La quantité positive ou négative de chaleur absorbée est indépendante de la température extérieure, quand l'élément de cycle parcouru ne change pas. On a donc, comme pour le cycle révei^ible dont le contour coïnciderait avec celui du cycle non réversible considéré,

dQ

mais on voit sans peine que

3° Enfin un cycle n'est pas réversible s'il comprend une action mécanique, telle que choc, frottement, etc.» qui dégage nécessairement de la chaleur. Celle-ci s'ajoute à la chaleur dégagée ou se retranche de la chaleur absorbée, de telle sorte

que l'un des éléments positifs de l'intégrale / -^ se trouve

diminué ou l'un des élémenls négatifs augmenté, et Ton i\

dQ .

Ainsi, dans tous les cas où le cycle que l'on considère n>si pas réversible, on a nécessairement

COEFFICIENT ÉCONOMIAÏÏE. — L'intégrale / -~ est la somme

d'un nombre pair d'éléments de signe contraire -—^ -t

et nous avons montré que, pour tout cycle réversible élémentaire, on a

dQ dQ'