IV
et pour tout cycle non réversible
dQ rfO'
Le coefficient économique élémentaire, c'est-à-dire relatif à Tun des cycles infiniment petits, est
dO-dQ' T-T dQ ~ T '
si le cycle élémentaire est réversible, et
dQ-dQ\.T-T dQ - ï '
si le cycle n'est pas réversible.
Le coefficient économique d'un cycle Terme, réversible ou non, est inférieur, ou au plus égal, au plus grand des coefficients économiques des cycles élémentaires dont il se compose,
et, a fortiori, au coefficient économique maximum — î-= — %
correspondant aux températures extrêmes entre lesquelles le cycle est compris.
APPUCATION DU PRINCIPE DE L'ÉQUIVALENCE ET DU PRINCIPE DE CARNOT AUX CHANGEMENTS DE VOLUME.
CHALEUR LATENTE DE DILATATIOl. — On a, en général, pour exprimer la quantité de chaleur absorbée par une transformation élémentaire, la relation
dQ=zcdt-\-ldi^.
Nous nous proposons d'obtenir une expression de la chaleur latente de dilatation /, où n'entre d'autre coefficient spécifique qu'un coefficient de dilatation. •
Pour cela, nous appliquerons le principe de Carnot à un* cycle formé de deux éléments de lignes isothermes réunis par deux éléments de lignes adiabatiques [fig, 35 j.
I i%* CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MtCANIQDB.
Le long de Félément AB dlsotherme k température l+dt, le corps soumis à la transformation absorbe une quantité de chaleur Idç; une portion de cette chaleur est transformée ei travail et a pour équivalent mécanique Taire du cycle, c*esU-
dire l'aire du parallélogramme AKD.
Celle-d a pour valeur le prodUi AE . MN. Mais AE est la variation subie | par la pression quand la tempéntore s*élève de di sans changement de vh lume
— =■ dt
FIg. 35.
MN est égal à la variation de volume dv subie de A en B. L'ire du parallélogramme est donc
et son équivalent en chaleur est
El**
Enfin le coefficieni économique tf est le rapport de cette
quantité de chaleur à la quantité totale /cft; absorbée s«i vant AB
I di
on tire de là
(ao)
dt
T - É Idv '
On a d'ailleurs (p. 85*], en appelant ^ le coefltcient de dUtliii* sous volume constant,
^ p dt
par suite
IFTETS TIEIMIÛIIE8 DB LA G0MPBE88I0V. — Dans la formule (19), on peut introduire, au lieu du coefllcient de dilatation sous volume constant j3, le coefficient de dilatation sous pression constante a ; nous avons démontré (p. 85) la relation
a---p^lJL ou p^=^ -5 et par suite la formule (11) devient
Quand on comprime un corps sans variation de chaleur, on
(*) Si, dans les expressions qui conduisent à cette formule, on remplace Idv par les quantités égales hdp ou hdp-\-Xdv^ on obtient des relations analogues à la précédente
{11 ter) S =^5 T.
La considération du cycle fuHniment petit ABCD et le mode de raisonnement que nous arons employé sont dus à Clapcyron [Mémoire sur la puis^ 9ance motrice de la chaleur {Journal de VÉcole Polytechnique, XIV* Cahier, 1834 )]• ^^ principe de l'équivalence de la chaleur et du travail n'était pas encore connu, etClapeyron, après avoir obtenu Taire du parallélogramme ABCD, me borne à exprimer que le coefficient économique est égal à une fonction
^dt de la température qui demeure invariable, quel que soit l'agent de transformation. Il obtient ainsi la formule
A= Cl», a.
dC Se fondant ensuite sur des expériences de Delaroche et Bérard, Il évalue -3-1
al
dC I pour t égal à zéro, à o,oo9565. Kn réalité, -^- = » =0,00235; l'évaluation
donnée par Clapeyron est donc très-voisine de la vérité.
La forme de la fonction G a été explicitée par William Thomson : c'est lui qoi a donné pour la première fois la formule (31) telle qu'elle est écrite cidessus.
i44^ CALORIIIËTRIB. - THÉORIE MÉCANIQUE.
a» entre les variations élémentaires de la tempéradore H et k pression» la relation
(23) Cdi-hhé^=zo.
L'expérience ensdgne d'ailleurs queréchauflémenltfinieoipi que l'on comprime est toujours extrêmement petit; la reb» lion (a3) peut donc être étendue à un accnrissemmt fini de ii pression dp et à la variation de température df oorrespondaiiie. On a donc
d'ailleurs (p. 88* et 89*)
et par suite
. C di 1 « a
i^OfA dp E fl
d'après i'équation (as).
On a donc enfin
ou, en désignant par po la densité du corps à zéro.
Cette expression de réchauffement produit par la compression ( * ) ne contient plus que des données expérimentales bia connues, le coefficient de dilatation vrai a, et la chaleur spécifique vraie sous pression constante.
Dans le but de vérifier la relation (^4)> M. Joule (*) a réalisé une série d'expériences très-délicates sur la chaleur dé veloppét* par une compression brusque, dans feau ou Thuile de baleiitf- L'élévation de température était mesurée à faide d'une pifc thermo-électrique dont l'une des soudures était plongée ai
(*) Elle est due à M. William Thomson.
(*) Joule, Pkilosophical Transactions, t. CXL1X, p. i33; iSSg.
a du liquide comprimé, tandis que Tautre était en relation ic un galvanomètre assez sensible poour permettre d*apcier une variation de température de 3^ de degré C. Voici résultats de ces expériences :
iuile taleine.
Prattlon
par
MnUnètre carré.
Températarj
Initiale du liquide.
3o,oo
it
obfné.
caleulé.
— o,oo83
.'accord du calcul et de Tobservation est remarquable. Ily a . d'observer que, dt étant proportionnel au coefficient vrai de iation, qui est nul à la température du maximum de densité, chaleur développée par la compression de Teau doit être le à 4* et négative au-dessous de cette température. C'est effet ce que montre le tableau précédent.
KALEUR SPÉanaUE DES UaïïIDES A VOLUME GOHSTAHT. — Cet ment, qui ne paraît guère susceptible de mesure directe, peut î évalué par le calcul, en se fondant sur les relations déntréesdans les paragraphes précédents. On a (p. 88*ei89*)
UfQt de remplacer / par sa valeur tirée de l'équation (22) ir obtenir une expression d'où l'on tire le rapport - »
ECiJL
et B., Calorimétrie, — II. 2* fasr.
i46^ CALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE. Pour le mercure on trouve
el pour Teau à zéro
- nr I , 001 I .
A 4"" les deux chaleurs spécifiques de Teau sont égales.
ÉLASTICITÉ DE TRAGTIOH. — Jusqu'ici nos formules supposesl que la pression demeure uniforme sur toute la surface des corps; mais on peut calculer réchauffement positif ou négitf qui accompagne la traction, exercée seulement dansunseos,î Taide d'une formule analogue à la formule ('i4)-
Remarquons que Tétat d'un corps solide, auquel on a dooDé la forme d'une barre prismatique, peut être caractérisé par II pression p, rapportée à l'unité de surface, que supporteni les bases du prisme (nous supposons la pression latérale nulle!, b température t de la barre et la longueur x correspondante ée l'unité de poids de la matière dont elle est formée. Enueces trois quantités il v a une relation
(i*{p,Xyt) —o
jouant, dans le cas actuel, le même rôle que joue habituel^
ment la fonction
qui caractérise l'état d'un corps soumis à* une pression utfforme.
Il suffit donc de répéter les raisonnements que nous avons faits précédemment, pour obtenir une relation analogue il* relation (^4)
Dans cette équation, les lettres accentuées ont une significalioB particulière : a' est le coefficient vrai de dilatation sous ten^i^ constante de la barre; C sa chaleur spécifique à tension coo-
te ; enOn p^ le poids de Tunité de longueur de la barre à
DUS' ne rappellerons que pour mémoire des expériences s par M. Joule (* ) pour vérifier Téqualion (^5), expériences 3 lesquelles il a malheureusement négligé de déterminer ctement le coefficient de dilatation a', qu*il a supposé à égal à a.
[us récemment M. Edlund (2) a fait, par une méthode un différente, des expériences de mesure qui mettent bien en ence Tinsuffisance de la formule de Thomson quand on y place ol' et C par les quantités a et C ; on peut en effet tiie réquation (a^) la valeur de l'équivalent mécanique de la eur, et Ton trouve ainsi, d'après les déterminations expéri-
itales de Edlund,
ur une fois et demie trop grande. Cela tient à ce qu'en ;tituantà ol' et C les quantités analogues a et C, on fait abs- Jon de la différence du travail interne exécuté pour produire même transformation, suivant que les solides sont soumis e pression uniforme sur toute leur surface ou à une traction cée seulement dans un sens.
. Edlund mesurait successivement : 1° la quantité de chau absorbée par un fil qui s'allonge, en même temps qu'un s suspendu à son extrémité descend d'une quantité égale à mgement; 1^ la quantité de chaleur u' absorbée par le fil ; l'expérience inverse, lorsqu'il se raccourcit d'une quantité e en soulevant le même poids ; ces deux quantités doivent égales et de signes contraires; 3° la quantité de chaleur u** igée quand le fil se raccourcit sans soulever aucun poids. B dernière quantité est plus grande d'une quantité équiva-
3 au travail extérieur supprimé. La différence if 1
;ée par le nombre de kilogrammètres exécutés de plus I la seconde expérience que dans la troisième, fournira la
JoCLE, Philosophical Transactions, t. CXLIX, p. 98; i85g.
Edlqxd, Annales de Poggendorff, t. CXIV et t. CXXV et Annales de
e et de Physique, 4* série, t. VHI, p. 357.
i48^ GALORIMÉTRIE. - THÉORIE MÉCANIQUE.
valeur exacte de Téquivalent mécanique de la chaleur, indépendamment de toute théorie. M. Edlund a trouvé en moyenne
PROPRIÉTÉS PARTICULIÈRES DU CAOUTCHOUC. — Quand on étire fortement un fil de caoutchouc, il s*échauffe. Cette curieuse observation a été faite pour la première fois par Gough {*|;i constata qu'un fil de caoutchouc placé entre les lèvres devieoi sensiblement chaud quand on retire d'une manière subite.
On doit conclure de là, d'après la formule de Thomson, qoe pour de fortes tractions le coefficient de dilatation ot' du caoutchouc est négatif. M. Joule ( ^ ) a fait à cet égard des mesures directes, en déterminant par la méthode de la balance hydrostatique la densité du caoutchouc étiré. Il a constaté que lecaoolr chouc non étiré possède un coefficient de dilatation positit mais qui diminue quand on l'étiré. Pour une tension détenninét ce coefficient s'annule et change de signe : il est négatif poff des tensions très-considérables. Pour la tension critique le corfficient de dilatation est nul, et le caoutchouc présente un minimum de densité (').
FONCTION CARACTÉRISTiaUE [ ^ ). — Quand on ne fait subir à an corps que des transformations réversibles, on sait [voir^. «38
que -,^ est une ditTcrenlielle exacte
Soit d\J la variation de l'énergie interne du corps; on a ('^
dQ^^d\]-\-^pdi^^TdS.
(') GoiGH, Journal de Xicholson, t. XIII, p. 3o3, et Journal de G«AH»-'^' p. IQ7; 1806-1810.
(•) Joi'LE, Philosophical Transactions, t. CXLIX, p. 98. (•) PvscBL, Journal de Physique, t. V, p. 3i ; 1876. (*) M ASSIED, Mémoires des Savanes étrangers, t. XXU. (•) Toirp. ii3 et i38.
Sa ajoutant Scf^aux deux membres de cette équation, il vient
dV-h -^pdu-hSdt = d{TS], m encore
Sdt'h^pdi^=zd{TS-\]).
Le second membre de cette équation est une différentielle sxacte; il en est donc de même du premier. Posons
H = TS-U, ipous aurons
da = Sde-+- ^pdi^;
M. Massieu a donné à cette fonction H le nom de fonction wactéristique du corps. On peut en effet, au moyen de cette Imction et de ses dérivées partielles, exprimer tous les coefficients mécaniques et calorifiques qui appartiennent à ce corps.
L'entropie S est
rfH
dt
La pression /?, déterminée comme fonction du volume et de la température, est de même
l'énergie interne sera donnée par la relation
