XX
Pour trouver X dêcompc^ns le trapèie en deux triangles ACE et ABC. Si Ton applique le thè^orènie d«« moments par rapport à AB, on aura
La pr«i&k>n sur le tnpèie est donc
on doit donc avoir
b*{Za — ix) n
m = — ou
d'où enfin
3am
2 (m t- fi)
Problème 18. — Un cône en fer flotte sur le mercure; de quelle fraction de sa hauteur enfoncera-t-il dans le liquide?
Solution, — i<> Le cône flotte la pointe en bas (yî^^ 4oo). Fig. /|00. Soient x la portion de la hauteur plongée dans le liquide.
C p V le volume du cône total, ♦» le volume immergé, D la den-
' site du mercure, d celle du fer. On a, d'après le principe des corps flottants,
\d = vD ou - = - = — ,
2^ Le cône flotte le sommet en haut (/rg* 4^0* Soient encore V le volume
total et y le volume du cône SAB : le volume immergé est V — f ; on a
Donc
a/ÀI
d'où
D~rf
on aura donc
et X
Problème 19. — Un cube de plomb de 4 eentimètres de côté est suspendu à une sphère de liège. Quel doit être le diamètre de la sphère de liège, pour que le système soit en équilibre dansTeau?
Densité du plomb 11, 35; du liège 0,24.
ftx* Solution. — Soit x le diamètre de la sphère de liège; son volume sera ^t"
Le poids total du système est
---XO,24-*-4 Xii,35.
igo PROBLÈMES ET SOLUTIONS.
Le poids de Teau déplacée est
on a donc
D'où
d'où
-^-Xo,a4-4-4 X 11,35= -^--+-4 .
i/bX 6 X io,33 ^ -
y i,i4i()Xo,7b
Problème 20. ^- On veut lester un cylindre d'acier de longueur / avec un cylindre de platine de même diamètre. Quelle doit être la longueur de ce dernier pour que le système soit en équilibre au milieu du mercure?
Solution. — Soient D la densité du platine, </ celle de l'acier, 9 celle du mercure, X la longueur cherchée. Exprimons que le poids du système est égal an poids du mercure déplacé; nous aurons l'équation
x\)'^ld={l-^x)S, d'où ^ = ^(534)-
Problème 21. — Un vase hémisphérique d'épaisseur a reposant sur sa base
est rempli d'un liquide de densité jus- Fig. 402. qu'à Ja moitié de sa hauteur. Quel doit
être le rapport entre les densités du liquide et du vase pour que la pression verticale soit égale au poids du vase?
Solution, — Pour évaluer la pression verticale, considérons une tranche d'épaisseur ^x à la distance x du niveaa {fig- 4^2); la composante verticale de la
pression sur cette tranche est
A? = 2 ff R Ax X xû? cos a =
a=^7rRxAxl — — — / rf,
d'où
=2ffX I X \ d,
Ax \i /
et, en remontant à la fonction primitive,
Pour a: = 0,
P = ; par suito C = o.
Pour avoir la pression totale, nous ferons x = — et nous aurons
Le poids de l'hémisphère est on aura donc
d'où
d i6(a«-t-3aR»-r3a'R)
Problôme 22. — Quelle est la forme de la surface libre d'un liquide contenu
dans un vase qui tourne d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical ?
Fi;;. /|03.
Solution, — Soit oj la vitesse angulaire du mouvement de rotation {Jig* 4^3). Une molécule M prise sur la surface à une distance / de l'axe est soumise à la pesanteur MG = /n^ et à la force centrifuge MC = moi*jr, La résultante MR de ces deux forces doit être normale à la surface libre. Traçons la tangente à la courbe au point M. Le triangle MGR
donne
,.«^ MG ff tangMRG=rT-T = -7—
Mais l'angle MRG est égal à l'angle MTP ; on a donc
tangMTP = -^.
Or tangMTP =^x» ^i l'<>° prend pour axe des x la droite XY, et pour axe des y une perpendiculaire; on a donc
rx=^-4' ou bien ry=4-
Remontant à la fonction primitive, on trouve
ce qui est l'équation d'une parabole.
