THÉORIE DES EXPÉRIENCES DE POISEUILLE

Mais, r étant considéré comme variable indépendante, dr est une constante, et Ton peut poser

Y) est le coefficient de frottement intérieur ou coefficient de viscosité. C'est la force à appliquer par centimètre carré de surface en supposant que la vitesse v, parallèle à la paroiy s^ accroît d'un centimètre par seconde quand la distance à la paroi augmente aussi d'un centimètre.

On reconnaîtra aisément que les dimensions des coefficients Ê et Yî caractéristiques du double frottement que nous envisageons (*) sont respectivement

THÉORIE DES EXPÉRIENCES DE POISEUILLE. — Revenons à Texpérience de Poiseuille. Un tube cylindrique horizontal, assez étroit pour qu'on puisse négliger les mouvements qui s'exécutent perpendiculairement à son axe, est parcouru par un courant liquide. Prenons dans la masse une couche cylindrique de rayon /• et d'épaisseur dr^ ayant pour axe l'axe du tube. Elle frotte contre le liquide ambiant par ses deux surfaces extérieure et intérieure; le liquide intérieur se meut plus vite et tend à entraîner la couche, le liquide extérieur agit pour la retarder : il suffit, pour maintenir sa vitesse relative, que la couche soit soumise à une force extérieure égale à la différence des deux frottements. Limitons cette couche par deux bases planes perpendiculaires à son axe : il n'y a d'autres forces extérieures que les pressions du liquide; les pressions latérales, abstraction faite de la composante tangentielle ou frottement intérieur, sont normales à la direction du déplacement et doivent s'équilibrer avec le poids du liquide; les pressions appliquées aux bases font équilibre au frottement intérieur; leur résultante, égale à leur

différence, agit donc dans la direction du déplacement et la pression est décroissante dans la direction où s'effectue l'écoulement.

Pour exprimer la condition de Téquilibre, il n'y a plus qu'à évaluer la grandeur des pressions et des frottements. Prenons pour axe des x Taxe du tube, pour direction positive celle de l'écoulement, et limitons la couche infîniment mince considérée à une longueur dx. Les pressions p Qi p -\- -^ dx sont

appliquées en sens contraire à ses extrémités sur une surface 2T.rdr; leur résultante est

— 2 TT / -r- dx dr dx

dans le sens de l'écoulement. La vitesse v du liquide décrois-

dv sant de l'axe du tube à sa paroi -7- est négatif; le frottement

à la surface intérieure agit pour entraîner le liquide, et û Von admet que le coefficient de viscosité est indépendant de la courbure des sur/aces, la valeur dû frottement est

, dv , dv

Yî . 2 TT/* dx -7- =z — 2T:ri dxr -r-y dr dr

estimée dans le sens de l'écoulement et le coefficient rj estle même que dans le cas où les surfaces de glissement sont planes. Le frottement à la surface extérieure est de même

— 2Tiridx \ r~ -h , dr

et il est estimé en sens contraire de l'écoulement. Pour l'équilibre du cylindre, la somme de toutes les forces évaluées dans

(') La considération de ce double frottement est due à Newton.

LOI DES PRESSIONS, le sens de l'écoulement doit être nulle : on a donc

l%\ dp —fi \ drf

^^' tir ~~ r dr

LOI DES PBESSIOHS.— Le second membre de l'équation (3) étant indépendant de x, il en est de même du premier. On a donc

Pt est la pression à l'origine des abscisses que nous pouvons mettre à l'exlrémité du tube capillaire par où pénètre le 11- ,

quide. C'est alors la pression sous laquelle se produit l'écoulement : d'autre part, en faisant abstraction de la pression atmosphérique qui s'exerce de part et d'autre, la pression est I. el B., I, V. Phya. moléc. (4* éd., iSgr.) 9

i3o* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

nulle à l*orifice du lube, c'esl-à-dire à la distance / de l'origine

Celle formule exprime la loi des pressions. On peut la vérifier expérimenlalement, à Taide d'un vase b muni d'une longue tubulure, sur laquelle se dressent une série de tubes verticaux. Quand le régime normal de l'écoulement est établi, les niveaux c du liquide dans les tubes sont lous sur la droite ao, passant par l'orifice et rasant le niveau du liquide dans le vase ijig. 64).

LOI DES VITESSES. — En substituant à -^ sa valeur — ^ tirée

dx l

de l'équation (6), l'équation (3) devient

dr ~ n r on en tire

et il n'y a pas de constante à introduire, car, -r- ne pouvant

dç être infini, /-^ = o pour r = o. Intégrant encore, on obtient

(8) ç^^llP^^c.

Pour déterminer la constante C, nous écrirons l'équation d'équilibre relative à la couche liquide infiniment mince qui touche la paroi. Son rayon est le rayon R du tube; sa vitesse tr est, d'après l'équation (8)

(9 ^R = — TTy + C;

LOI DES VITESSES. i3i*

elle doit se trouver en équilibre sous l'effet du frottement

exercé contre la paroi, et qui tend à la retarder, et du frottement contre le liquide intérieur dont la valeur est

qui tend à Taccélérer. Tenant compte du signe de ( -^ ) > qui est négatif, Téquation d'équilibre est donc

d'ailleurs (-f-) est donné par l'équation (7), en y faisant r = R,

En remplaçant dans l'équation (lo) ^'r ^M ;7". ) P^^ leurs valeurs (9) et (11), elle devient

L'équation (12) donne la valeur de C; l'équation définitive des vitesses est donc

Si le liquide mouille la paroi, s doit être considéré comme infini, et l'on a simplement

elle a sa valeur maximum au centre du tube. Dépense, — Pour déterminer la quantité de liquide qui s'é-

iS-i* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

coule pendant l'unité de temps à travers le tube, il suffit de remarquer que la couche d'épaisseur dr et de rayon r fournil à l'écoulement le volume de liquide

(^2 7crc?/•.

Le volume total Q est

— rdr

Dans le cas où le liquide mouille le tube, cette expression devient

^ 8r]l i2S-nl

ME8UBE DU COEFFICIENT DE VISCOSITÉ. — L'expérience nous a appris que le débit d'un tube capillaire est proportionnel à la charge /?o, en raison inverse de la longueur / du tube et proportionnel à la quatrième puissance de son diamètre D. La formule (i6) exprime précisément ces lois de Poiseuilie : il faut donc admettre que la vitesse du liquide au contact de la paroi est nulle ; et par suite que le débit est indépendant de la nature des parois du tube. C'est ce que M. Couette (*) a vérifié récemment, en substituante un tube de verre un tube de cuivre rouge, un tube de métal blanc et enfin un tube de paraffine obtenu par moulage autour d'un fil métallique. Cette dernière vérification est particulièrement intéressante, parce que l'eau ne mouille pas la paraffine. Divers savants (') avaient déjà prouvé que le mercure, qui ne mouille pas le verre, obéit aussi aux lois de Poiseuilie. Il semble donc établi que le coefficient £ doit être, dans tous les cas, considéré comme infini

(*) Couette, Thèse de doctorat. Paris, 1890. Annales de Chimie et de Physique, 6* série, t. XXI, p. 43.

(■) Warburg, Pog. Ann., t CXL, p. 867. Villari, Nuovo Cimente. 2* série, t. XV, p. 267, et t. XVI, p. 23.

MESURE DU COEFFICIENT DE VISCOSITÉ. i33*

et que le frottement du liquide sur lui-même, c'est-à-dire sa viscosité, est seul en jeu dans les expériences.

Le coefficient K de la formule de Poiseuille se rattache au coefficient de viscosité par la relation

128YÎ

Pour évaluer les coefficients de viscosité en unités C.G.S., il faut exprimer la pression/?© en dynes par centimètre carré, le rayon R et la longueur / en centimètres. Or, Poiseuille ayant trouvé K = i836™"S724 pour Teau à o« et pour une pression de i"*" de mercure ou de i334 dynes par centimètre carré, ce coefficient serait de i""S 377 pour une pression de i dyne; si, maintenant au lieu d'évaluer R et / en millimètres, comme le faisait Poiseuille, nous les exprimons en centimètres, la valeur

du quotient -j devient mille fois plus faible, et, pour ne pas

changer Q, il faut attribuer à K une valeur mille fois plus forte

K = i-,377, d'où, d'après la formule (17),

Yj = 0,01783.

A une température quelconque, on a

pour t = 3o% par exemple, yî se réduit à o,oo8o5.

De nombreux expérimentateurs ont étudié, par la méthode de Poiseuille, les vitesses d'écoulement de divers liquides et mesuré leurs coefficients de viscosité. Nous signalerons en particulier les travaux de Sprung(*), Graham(*), Rellstab('),

(») Sprung, Poggendorff's Annaleriy t. CLIX, p. i; 1877. (') Graham, Liebig's Annalen, t. CXXIII, p. io5. (>) Rellstab, Inaugural Dissertation, Bonn, 1868.

i34* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.

Guérout (M, Wijkander (« ), Pribram elHandl («), Schottner(*), Warburg (»), Villari (•), Couette (').

Pour tous les liquides étudiés, le coefficient de viscositf décroît rapidement quand la température s'élève.

M. O.-E. Meyer (*) a mesuré le coefficient de viscosité par une méthode tout à fait différente, consistant à observer le décroissement de Tamplitude des oscillations d'un disque suspendu à rintérieur du liquide et oscillant dans son propre plan. La résistance que le disque éprouve sur sa tranche est négligeable, tandis que ses faces latérales sont retardées par les couches liquides parallèles qu'elles entraînent. La force retardatrice peut être déterminée par le calcul en fonction de TQ,et, réciproquement, l'observation des oscillations permet de mesurer celte force et, par suite, le frottement intérieur. Les valeurs trouvées par ce procédé sont un peu plus fortes qae celles qui se déduisent des expériences de Poiseuille : ainsi M. Meyer donne pour Teau à io<*, yî = 0,01 545 au lieu de 0,01 809 qui résulterait de la formule donnée ci-dessus.

Le Tableau suivant résume quelques-unes des données que l'on possède sur les coefficients de viscosité.

(*) GuÈROUT, Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, t. LXXVIII, p. 35i; t. LXXIX, p. 1:^01; t. LXXXI, p. 1026; t. LXXXÏÏI; p. 1291; 1874-1876.

(») Wijkander, Lunds Physiogr. Sàllsk, Jubelskrift, 1878. Beiblàtter, t. III, p. 8.

(') Pribram et Handl, Wiener Berichte, t. LXXVIII, 1878.

(*) ScHOTTNER, Wicncr BerichtCf t. LXXVII; 1878. Beiblàtter, t. lU» p. 5fj.

(*) Warburo, Annales de Poggendorff, t. CXL, p. 867; 1870.

(•) Villari, Nuovo Cimento, 1* série, t. XV, p. 268; t. XVI, p. 23.

(M Couette, loc. cit.

(•) O.-E. Meyer, Journal de Crelle, t. LIX,et Annales de Poggendorf. t. CXIII, p. 55, 93, i83; 1861.

DOUBLE RÉGIME DU MOUVEMENT DES LIQUIDES. i35*

SUBSTANCE

Eau

Alcool méthylique

» éthylique

» propylique

» butylique

Mercure

Glycérine

Eau et glycérine 9^,00 pour 100.

Poix

Storax