DÉFORMATION D'UNE SPHÈRE CREUSE
Mais il faut considérer que, p étant toujours très petit, -^ est aussi 1res petit, et, en négligeant les quantités de l'ordre de -V- ] > cette longueur se réduit à
on a de même, pour les arêtes OB et OC,
Les allongements, rapportés à l'unité de longueur, sont
œ^ dp
^ r ar
\ f^ r ar
z^ do •^ /• ai'
Par suite, la variation proportionnelle du volume est
(27) G.) = a-f-6-hc — 3p -h- /•-!£•
Nous pouvons aussi déterminer les rotations 9, x> ^ des arêtes du cube. Il suffit de remarquer que les cosinus des angles que ces arêtes font avec les axes après la déformation sont sensiblement égaux à
■^±, fl± pour l'arête 0' A,
' /• dr r df
/• dr r dr
xz dp yz dp ,) OT
/• dr r dr J. et B., I, 2*. Pfiys, moléc. (4* éd., 1891.) i3
cos
i9'i* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
Or, les artMes O'B el O'C font entre elles Tangle - — o, doui
le cosinus esl
[t. \ œy dû xz do yz do yz do
is 9 z= -^ -f . - i- +,.' J: + Jl- ^.,
\ "^ ^ J r dr r dr r dr r dr
ou, en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur,
• . . lyz dp
cos(7r -- o)— — fy
r dr
2 yz dp
dr'
on trouve de même -/ et ^ :
2 vz dp /• dr
^ ^^ /• dr
^xy^dp; r dr
Nous possédons maintenant les expressions (26), (27) el (28) de a, byC, w, 9, y, ^ en fonction d'une seule inconnue 0 el de sa dérivée par rapport à /*. Les relations (11) et (12) dous permettent donc d'obtenir les tensions en fonction de la raêD)e inconnue. Elles donnent
ï - - ' [q ^ (i — 2^)^»4-fxr' i dpi
a(i — 2/x)L^ 14-^ r dry
T r^ ' [04. ('-2/^)j'H-fxr» r dpi
^ a(i — 2|jl)L^ i-h|UL rdr]
a(i — 2p.)L^ i-h/ji rdr]
T - » J£ dp
a(i -H/ji) r ^r rp I xy dp
DÉFORMATION D'UNE SPHÈRE CREUSE. iqS*
CALCUL DES VABIATIOHS DE VOLUME. — Supposons maintenant l'axe des x dirigé suivant le rayon 00', alors, pour rr^R et r = Ro, on doit avoir respectivement
c'est-à-dire, d'après la première équation (-29),
' a (n-fx)(i — 2//)
dans lesquelles \-r-\ ' (;7^) désignent ce que devient -7^
pour r =: B et r = Rq.
Il ne reste qu'à déterminer l'inconnue auxiliaire p ; à cet effet , nous emploierons l'une quelconque des équations (i5), la première par exemple, dans laquelle nous ferons X == o. 11 faut calcule^' d'abord les dérivées
dx ' dy âz
en fonction de p et de ses dérivées par rapport à r, ce que l'on fait aisément au moyen des équations (29) et (3o), et porter les valeurs obtenues dans la première équation (i5). Toutes réductions faites,' on obtient ainsi
« V ^ dp d^p
^ ^ r dr dr-
équation différentielle du second ordre qui détermine p. Ei> multipliant par r* son premier membre, on voit qu'on peut
196* PHYSIQUE xMOLÉCULAÏRE.
la ramener au premier ordre :
dp . d* p dr dr^
z=id
dr
dr
iizO,
A est une constante introduite par l'intégration. Intégrant entore, on a enfin
k' est une nouvelle constante.
Les constantes k et k' se déterminent par les équations (3i)
en y remplaçant p et ( -^ j > (^. ) P^^ leurs expressions tirées de (33) et (34), et l'on a définitivement
(PoRî~PR')(i-st/ji)-i-HPo~P)(i + /^)
(34 bis) p=:i (X
iV-Rl
Cette valeur de p permet d'obtenir les expressions définitives de toutes les inconnues,
En particulier, l'augmentation proportionnelle de volume w est, d'après (27),
f,)z=z3p-h r -f- = Zk'=L 3a ^ dr
elle est constante dans tout l'intérieur de la masse.
Un autre élément qu'il nous importe de déterminer, c'eslla variation de la capacité intérieure ou du volume extérieur de la sphère. La surface sphérique, dont le rayon primitif était/*, est devenue /(i -h p); elle embrassait une capacité v=i\t,i^, qui est devenue, à des infiniment petits près d'ordre supérieur,
ç -^ dr=|7r/-^(i -h 3p).
