DÉFORMATION D'UN CYLINDRE CREUX

L'augmentation proportionnelle de volume est donc

-^ = dp.

Calculons, en particulier, les variations du volume intérieu r dans les trois cas suivants :

(36)/ P =P„ ôVo = -3a(i-2fjL)PVo,

Ce sont les formules que nous avons employées page 162* pour le calcul des expériences de Regnault sur la compressibilito des liquides.

ÉamUBRE D'UH CTLINDRE CREUX, A BASES PLANES, SOUMIS A UNE COMPRESSION UNIFORME. — Imaginons un cylindre de rayon intérieur Rq, de rayon extérieur R, fermé à ses deux extrémités par des bases planes infiniment minces et parfaitement résistantes : il est soumis extérieurement à la pression P, intérieurement à la pression Pq par unité de surface, sur les faces latérales et sur les bases planes.

Le cylindre ayant partout même épaisseur, sa section demeurera circulaire, et il éprouvera, dans le sens de Taxe, un allongement k" par unité de longueur qui sera constant ; d'autre part, l'allongement proportionnel p d'un rayon quelconque /• ne dépendra que de /•, et nous nous proposons de le déterminer. Il suffit pour cela de reproduire le raisonnement que nous avons employé dans le cas de la spbère. Nous trouverons pour les dilatations proportionnelles

œ^ dp

' r dr

(37) l . y^ dp

' r dr

et pour la variation proportionnelle du volume

(38) (s^—ip-^r-^-\-k\

l)*aulre part, les angles 9, x» ^ ont pour valeurs

H en résulte

* a(n-fJL)(i— 2/ul)L^ /• dr ^ \

a(H-[JL)(i — 2fjL) L "^"^ "^ ar ' J

Tys~0,

Tzx — O,

"^•^ /• dr a(i -i- fx)

^ rfp i

et par la première équation (i5),

3 e/p dro

r dr dr^ '

r^dp

£n désignant par k et â:' les deux constantes introduites par l'intégration, on a enfin

Pour déterminer k et k^, ainsi que la dilatation longiludi-

DÉFORMATIOiN D'UN CYLINDRE CREUX. 199*

nale k", on exprime qu'il y a équilibre à Textérieur et à Tintérieur du cylindre et sur ses bases. La première équation (i5) donne ainsi

Pour exprimer Téquilibre des bases planes, remarquons d'abord que la valeur de T^ est indépendante de /*. On Irouve,

en substituant à p et -^^ leurs valeurs,

' ar

(44) T.— \2u.k'-^ii — u.)k"\

^^^ . a(n-/ji)(i — 2/x) ^ ^ V r/ J

Or, la pression P s'exerce à l'extérieur sur une surface ttR', et la pression Po à l'intérieur sur la surface irRJ. Leur différence fait équilibre à la tension T^sur la surface ttR'— ttRJ :

i -(ttR'P-ttRJPo)

^^""^ =(7rR2-7rRJ)-7 ^^ [2/x^' + (i - /ji)F].

( ^ "'^ a(l 4- //)(! — 2fJL) "- * V 1"/ J

En résolvant les équations (43) et (45), on trouve

^' = ~rF^*'^^^"^^^^^~^^)'

par suite

(PR^- PoR;)(i - 2/x) + (I + ;z) (P - Po) ^

(46) p — cf. RîZTrî '

// N ^1., ^ i , pr»-~PoR;

(47) w — 3A-'=:3a(i — 2fx)--j^^y-— g2 —

La diminution proportionnelle de volume est constante dans toute la masse.

Pour déterminer la variation du volume extérieur ou intérieur, on remarque que le cylindre, dont le rayon était r et la hauteur H, a pour rayon r(i -hp), pour hauteur H(n-/r'),de sorte que le volume, qui était v =:= 7rr*H, est devenu

* ou, au degré d'approximation de tous ces calculs,

On^ donc, pour la variation proportionnelle — duvolumedu cylindre,

^^^^ ^ 3(i-2fx)(PR»-P.RÎ)4-2(n-fi)(P-P.)^'

En particulier, la capacité intérieure s'accroît

D A ^xr (5-4f)PR* ,

pourPo=o de^Vo— — a' „, '^^ — V»,

K' — Ko

(49)i P ^P„, .aV„ = -3a(i-2fji)PV„,

Si le cylindre est terminé, non par des bases planes, mais par des calottes hémisphériques de même épaisseur R — Ro»<>'^ peut admettre que la variation de volume du système est très sensiblement la somme des variations qu'éprouveraient séparément le cylindre terminé par des bases planes et la sphère formée par la réunion des deux hémisphères. On obtientainsi les formules qui doivent servir à calculer celles des expériences de Regnault qui ont été réalisées avec un piézomètre cylindrique.

DÉTEBMIHATIOH EXPÉRIMENTALE DES GONSTAITTES ÉLiSTiaVES BIH SOLDE ISOTROPE. — Pour déterminer le coefficient decompres-