CONSTANTES ÉLASTIQUES D'UN SOLIDE
sibilité cubique d'un solide, on peut le travailler en forme de piézomètre sphérique ou cylindrique; on le munit d'une tige calibrée, on détermine son volume et on y introduit un liquide; on exerce ensuite sur le piézomètre une compression extérieure, et la diminution correspondante de sa capacité intérieure est donnée par l'ascension du liquide dans la tige. On applique la première formule (36) dans le cas de la sphère, la première formule (49) pour le cylindre à bases planes; on y remplace a par la valeur obtenue directement par des expériences de traction, on en déduit fx et l'on calcule le coefficient de compressibilité k par la formule (7)
A" = 3a (i — 2|ul).
Les mesures suivantes ont été exécutées par Regnault à Toccasion de ses recherches sur la compressibilité de l'eau et du mercure.
Pour une sphère de cuivre rouge de rayons Rzn 29^^,9, R<,:= 29'^™,io5 et dont le volume intérieur était de log^ii, Regnault a trouvé
PRESSION P en atmosphères.
^^pour P,o.
o,ooooo3i23 i o,ooooo3i56 ' o,ooooo3i36 o,ooooo3i4o ) 0,000003224
O.OOOOo32'73
Moyenne
. o,ooooo3i83
Si au lieu de prendre l'atmosphère pour unité de pression, on rapporte les valeurs de a à une pression de i kilogramme par millimètre carré, on trouve en moyenne
- a(i — fji)=o,ooo3o8i.
En employant les mêmes unités, Wertheim avait trouvé.
>o2* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE,
pour le coefficient d'élasticité du cuivre rouge étiré,
Q= - — loSiQ.
De la comparaison des expériences de Werlheim et de Regnault, on déduit
/x = 0,3797, A'irz 0,0001695,
OU, en prenant pour unité de pression une atmosphère,
enfin la valeur de k en unités C. G. S.,
A~i,566.io-»«C.G.S,
Des expériences analogues réalisées par Regnault sur udc sphère en laiton (R = 29™»", 45, Ro= 28"^", 78) donnent
-a(i — fjL)T= 0,0008257,
ou, si Ton admet la valeur 0=19271 trouvée par Wertheim pour le laiton,
|Ul=irO,38,
d'où Ton déduit
A = i,i2i.io-**C.G.S.
Enfin Regnault a opéré avec un piézomèlre de verre pour lequel on avait
R r= 1 2™"*, 1 28, Ro = I O™"*, 728, H = 208"»™, 7.
Le calcul de ces expériences donne
2a(i — |jl)=: 0,00049884,
ou, en admettant Q = 6o4o, d'après Wertheim,
fx =1:0,809, A- = i,984.io-"C.G.S.
ÉLASTICITÉ DE TORSEON.
Ces déterminations ont le grave défaut de s'appuyer sur <leux séries de mesures faites sur des échantillons différents du niême corps. La même objection ne peut s'appliquer aux travaux récents de M. Amagat (^). Ce savant a déterminé sur un même lube terminé par des bases planes : i" l'accroisseiTient de capacité intérieure résullant d'une traction ; 2° la diminution de capacité intérieure résullant d'une compression extérieure uniforme : on déduit de ces expériences a et /x et, par suite, k (première méthode). M. Amagat détermine aussi le raccourcissement du même tube comprimé intérieurement et extérieurement; ce raccourcissement, rapporté à l'unité de longueur et multiplié par 3, donne directement le coefficient k de compressibililé cubique; combinant la valeur de k ainsi
obtenue et celle de - a(i — /jl) donnée par la compression exté-
rieure, on obtient fx et a. Ces recherches sont résumées dans le Tableau suivant :
UBSTANCES.
erre
iristal
.cier.
iuivre
«aiton
létal delta *lomb
Première
Deuxième
méthode.
méthode.
Moyenne.
Amagat.
ces.
2,f68.io-"
Amagat.
ii»9»4
io85i
ii56
TORSION. — Considérons un cylindre circulaire droit OAB ^fiS' ^^) formé d'une matière élastique, dont la base supérieure OA est fixe, la base inférieure OB soumise à un couple normal à l'axe. Nous pouvons décomposer le cylindre en tranches infiniment minces normales à l'axe. L'effet du couple
(') Amagat, Journal de Physique^ 2« série, t. VIII, p. 199 et 39; 1889.
•io4*
PHVSIOUE MOLÉCULAIRE.
Fi-. 86.
sera de faire lourner chaque tranche par rapport à la précédente, de telle sorte que la forme circulaire et le rayon de
la section demeurent invariables, ainsi que la longueur L de Taxe, mais que toute droite OB comprise dans la section normale s'y déplace d'un certain angle 6 dans le sens où s'exerce la torsion.
11 résulte des conditions du problème que les dilatations proportionnelles a, b, c sont nulles ainsi que co; déplus, deux droites rectangulaires quelconques comprises dans la section normale demeurant rectangulaires, l'un des angles o, y, 4^ est nul . Prenons l'axe du cylindre pour axe des y, nous aurons
Tar-O, Ty— o,
'arc —
et, d'après les équations (i5),
dTxy
àT.r ,
ây
ôy
qui expriment que les tensions T^y, T^z conservent une valeur invariable tout le long d'une droite quelconque parallèle à l'axe du cylindre.
Au lieu des deux quantités T^yy T^^ nous pouvons, d'ailleurs, n'en conserver qu'une seule, en remarquant que, par raison de symétrie, la force déformatrice T est partout normale ao rayon et conserve la même valeur en tout point situé à une môme distance r de Taxe. On a, d'ailleurs,
mais, pour un point situé sur l'axe des .r, on voit aisément que
Tory - o,
ÉLASTICITÉ DE TORSION. 2o5*
L'angle 9 est facile à évaluer. Considérons un élément de la droite CD de longueur égale à dy; l'angle d croît le long de cet élément d'une quantité dd, et l'on a
rde
dO 9
inaiS; T étant indépendant de j, -r- est constant et égal à -p*
On a donc définitivement
(DO) T^.—-^ r^.
T croît proportionnellement à la distance r à Taxe.
Soit F le moment du couple total de torsion. La valeur de T exprimée par la formule (5o) se rapporte à l'unité de surface. Sur une couronne de rayon /• et d'épaisseur dr, la force
exercée est
2 TT /• ^r . T
et son moment par rapport à l'axe est
^Tir^Odr
2nr^dr.T=
2a(n-fji)L
Le moment du couple F est égal en valeur absolue à la somme de ces moments, c'est-à-dire que, en désignant par Rie rayon du cylindre, on a
(5i) F =-7 rr / r^dr=j—. — ; r-f >
L'angle de torsion est donc proportionnel au moment du couple tordant, à la longueur du fil, à son coefficient de compressibilité a, et en raison inverse de la quatrième puissance du diamètre.
2o6* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
Le même raisonnement est applicable à un cylindre creoi (le rayon intérieur R© et extérieur R, et conduit à la formule
Il cesse d'être rigoureux pour un prisme de section quelconque. En désignant par A le moment d'inertie de l'unité de longueur du prisme par rapport à son axe, on admettait autrefois que Ton a encore, au moins d'une manière approximative,
L*angle 0 est effectivement proportionnel au produit
2a(i -h- fJL)LF,
mais la section est déformée d'après des lois complexes et. par suite, d n'estpas constant dans toute l'étendue d'une section perpendiculaire à l'axe. M. de Saint- Venant (*), qui a traité la question d'une manière complète, a reconnu que dans bien des cas les résultats de la formule (54) sont grossièrement inexacts. Nous renverrons le lecteur au Mémoire original.
Le coefficient r est souvent désigné sous le nom
2a(i-f-/Jt) ^
de coefficient d' éldsticité de torsion,
LOIS EXFÉBIMEirTALES DE LA TORSION. — Pour étudier expérimentalement les lois de la torsion, on peut se servir de l'appareil de Wertheim (') {fig. 87); il se compose d'un banc de fonte très lourd sur lequel sont disposées deux poupées analogues à celles d'un tour. La première R peut être transportée le long du banc et fixée par des boulons dans toutes ses positions; elle sert à encastrer une des extrémités de la verge que l'on veut essayer. A cet effet, elle soutient une pièce
(') De Saint- Venant, Mémoires des Savants étrangers, i855.
(») Annales de Chimie et de Physique, 3« série, t. I, p. 396; 1841.
ÉLASTICITÉ DE TORSION. ao;'
percée oii l'on enfonce la verge TU, que l'on serre par une vis de pression N.
Il est nécessaire que l'exlrémilé U <le la verge soit fixe pendant la torsion, et l'on s'en assure en y plaçant une ai-
Fig. 87
guille C, qui doit rester constamment en Tace d'un index immobile faisant partie de l'appareil.
L'autre bout T de la vei^e est saisi de la même manière dans un axe creux M, qui tourne entre des colliers horizonlaux fixes. Cet axe porte une poulie E surlaquelle s'enroulent deux cordes. Jl>a première, placée en avant de l'appareil, en E, est retirée par le poids P; la deuxième, attachée de l'auirc côté, se dirige en remontant vers la poulie It, la contourne
2o8* PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
el soulienl un autre poids S égal au premier. Il est évideol que ces deux poids concourent à produire un couple, à faire tourner la poulie E et à tordre la verge.
Pour mesurer la torsion produite, on a tracé sur Tune des faces de la poulie un cercle divisé et Ton a placé vis-à-vis une alidade immobile D ; on lit la position du cercle avant TaclioD, on la lit de nouveau quand les poids fonctionnent, et la rotation mesurée est Tangle de torsion 9, Ce que nous voulons chercher, c'est le rapport de 0 à l'action du poids 2P qui est appliqué au rayon rdela poulie, et dont le moment est aPr: nous désignerons ce moment par F.
I. En faisant les expériences, on trouve une première loi, qui est la plus importante de toutes : c'est que, si les momenis du couple varient suivant les nombres i, 2, 3, 4, les angles de torsion sont co, 2w, Sw, 4w, c'est-à-dire que l'angle de torsion est proportionnel au couple de torsion.
II. On soumet à l'action d'un même couple plusieurs morceaux d'une même tige dont les longueurs sont i, 2, 3, 4; on
trouve des angles de torsion 0, 2 0, 30, Donc les angles
de torsion sont proportionnels aux longueurs.
