OB

mv -^ m'v'

Ces deux équations suffisent pour trouver x ei x' ; elles donnent

d'où Ton tire, pour la vitesse commune aux deux masses,

On passera du cas où les vitesses sont de même sens à celui où elles sont de direction opposée, en changeant Je signe de r', ce qui donne l'expression générale

ou

(w-i-/w')V = mv±m'v'.

Cette équation exprime que la somme des quantités de mouvement n'a pas été altérée par le choc; mais la somme des forces vives a diminué. On a, en effet,

On voit, d'après cela, que le principe des forces vives ne s'applique pas directement au choc des corps non élastiques. La force vive a diminué d'une quantité égale à

(') Nous verrons plus tard qu'a cette perte de force vive, résultant de l'écrasement, correspond un dégagement de chaleur proportionnel et que Ton

Second cas : Corps parfaitement élastiques, — Nous avons supposé les corps A el B dépourvus de loule élasticité; s'ils sont au contraire parfaitement élastiques, ils se comprimeront au moment du choc, mais reprendront aussitôt après leur forme primitive. La masse m aura d'abord perdu la même vitesse œ que si elle était dénuée d'élasticité ( * ), puis elle recevra par suite de la réaction une autre vitesse égale à iP en sens inverse ; elle aura donc une vitesse (^ — ^x. La masse /w' aura gagné une vitesse x' au moment du choc et une autre vitesse x' par la réaction ; ces deux corps auront donc des vitesses définitives Y = {^ ^ ix et V' = c^'h-2^', ce qui donne

,. m'(v — v') im'v' -\-vim — m')

\\f— / . - -' -' • m(v — v') o.mv -\-v'(m' — m)

formules dans lesquelles il faudra changer le signe de v' si les vitesses sont de sens contraires.

On vérifiera aisément dans ce cas : i" que la somme des quantités de mouvement n'a pas été altérée par le choc ; 2** que la somme des forces vives est la même avant et après le choc ( 2) :

En dehors des intervalles très courts pendant lesquels se produisent les chocs y on peut donc appliquer sans restriction le principe des forces vives à un système de corps, à la condition qu'ils soient tous parfaitement élastiques.

considère comme équivalent; ce qui permet de généraliser le principe des forces vives, {f^oir t. II, 3* fasc, au Chapitre De Véquivalence.)

(') En d'autres termes, on admet qu'à la fin de la première phase du choc les deux corps possèdent pendant un instant infiniment court la même vitesse de translation, d'où v — x = v' -^ sc'y comme dans le cas précédent.

(' ) Cette relation a été trouvée dès i668 par Huygens. Toutefois le principe xtela conservation des forces vives n*a été développé d'une manière générale que beaucoup. plus tard par Jean Bernoulli {ifoir p. 47)*

56 INSTRUMENTS DE MEStlDE.

Admettons que m = m' \ les formules (3) se réduisent à

les deux corps ont échangé leurs vitesses, et, si c' esl égal à o, c'esl-à-dire si la sphère choquée est primitivement en repos,

V = c — ÎX = o, V = (/' + 2 x' = c,

c'est-à-dire que la bille choquante reste en repos et qu'elle communique toute sa vitesse à la bille choquée. Ce remarquable résultat se vérifie aisément par l'expérience suivante, due à Mariotte (')• On suspend à un support commun

(Jig. 24) plusieurs billes d'ivoire égales, en contact, et dont les centres se trouvent sur une ligne droite. On écarte la première d'un angle quelconque et on l'abandonne à l'action de

( ') Martotte, courra, t. I, p. i (édillan de lu Haye). L'appareil ■ étd perfeclianaé p«r Nallel (Leçoiu de Physique expérimentale, t. I, p. 36o).

la pesanteur ; elle décrit un arc de cercle comme un pendule et vient choquer la sphère suivante avec une vitesse

Après le choc, elle est en repos, mais elle donne toute sa vitesse à la deuxième bille, qui la transmet de même à la troisième, et, Taction se continuant dans toute la série des sphères d'ivoire jusqu'à la dernière B, celle-ci acquiert la vitesse qu'avait A, et on la voit se soulever jusqu'en B'; ensuite elle retombe avec la même vitesse que celle qu'elle avait reçue, elle l'a communique inversement de B en A, et l'on a ainsi un pendule formé de parties intermédiaires immobiles et de deux billes extrêmes qui seules se soulèvent et s'abaissent alternativement. On vérifie par là avec la plus grande évidence le fait de la transmission des vitesses d'une bille à la suivante. Si l'on suppose m' infini et u' nul, on a simplement

ce qui veut dire que, quand une bille frappera un obstacle immobile de masse infinie, elle prendra après le choc une vitesse égale et opposée à celle qu'elle avait d'abord. Par conséquent, quand on laissera tomber une sphère d'ivoire sur un plan de marbre, appuyé sur le sol, elle devra rebondir et remonter jusqu'au point d'où elle est tombée, pour recommencer ensuite et indéfiniment le même mouvement. On sait que ces oscillations ont lieu en effet, mais que leur amplitude diminue rapidement, ce qu'il faut attribuer à trois causés : i® à ce que la résistance du plan n'est pas infinie, parce que, vu la rapidité du choc, la force ne se transmet qu'à une portion seulement de la masse et non à sa totalité ; a<> à la résistance que l'air oppose au mouvement ; 3<> à ce que l'élasticité n'est jamais parfaite. Enfin, si la bille vient frapper obliquement le plan résistant dans la direction AB {Jig, 25), sa vitesse se décompose en deux autres, l'une tangentielle BE, l'autre normale BF ; celle-ci seulement change de signe après le choc et devient BG, d'où résulte une vitesse unique BH par la composition de BE et de BH ; et il est évident que le mouvement incident se réfléchit avec un

angle de réflexion égal à celui dincidence. Tout le monde sait que Texpérience vérifie celte conclusion. La discussion que nous venons de faire résume les cas les

plus simples du choc, c'est-à-dire ceux où l'on suppose des billes sphériques animées d'un mouvement de translation, mais ne tournant pas sur elles-mêmes. Il ne faut pas croire que les formules précédentes suffisent pour expliquer les effets que Ton produit sur un billard : là, en effet, les billes tournent sur elles-mêmes, et, suivant que le joueur les frappe en haut ou en bas, à droite ou à gauche, il imprime, outre une vitesse de translation, un mouvement de rotation très complexe que le frottement sur le tapis ou le choc sur les bandes transforme à chaque instant. Celte complication fait de la théorie du jeu de billard une des questions les plus difficiles que l'analyse puisse aborder.

FORGES CENTRALES. — Quand deux points matériels agissent ou paraissent agir à dislance, leur attraction ou leur répulsion est généralement dirigée suivant la ligne qui les joint, et agit proportionnellement à leurs masses et à une certaine fonction de leur distance. Les forces de celte espèce sont très répandues dan^ la nature : on les désigne sous le nom de forces centrales. Les plus connues varient en raison inverse du carré de la distance.

Le mouvement produit par les forces centrales sur deux points matériels A et B libres de se mouvoir ne peut être rectiligne que s'ils sont sans vitesse initiale, et alors il est dirigé suivant la ligne qui les joint. En général, le mouvement des deux points est curviligne, et Taccélération totale, qui est le plus souvent oblique par rapport à la trajectoire, est dirigée à chaque instant suivant la ligne AB.

Un cas particulièrement intéressant est celui où, le point matériel A étant fixe, le point B décrit d'un mouvement uniforme une circonférence dont A occupe le centre. L'accéléra-