PENDULE SIMPLE

ii3

par a, et £B/que nous appellerons «r, puissent se con Tondre avec leurs cordes. On aura

BD = 4îl = ^., BF=- ^^^'

et

2OB il

l)F=rBD — BF =

2OB . il

par conséquent, la vitesse au point E sera

Développons CBC {fig. 56) en une ligne droite, et imaginons un mobile oscillant sur elle avec les mêmes vitesses que

Fig.

le pendule sur Tare qu'il décrit : le temps que mettra ce mobile pour aller de C en C sera celui d'une oscillation du pendule.

Pour trouver ce temps, décrivons la demi-circonférence CMC et supposons un second mobile la parcourant avec une

vitesse constante

ay/f: le

temps qu'il mettra à passer de C

^, lia en C sera -r ou

Vf

Vf

Mais la vitesse horizontale de ce mobile sera toujours égale à la vitesse du premier, comme il est facile de s'en convaincre,

J. et B. — I (4« édit., 1888), i« fasc. 8

ii4 INSTRUMENTS DE MESURE.

en projetant sur Thorizon la vitesse en M ; celte projection ou omposante horizontale est

Les deux mobiles, ayant toujours la même vitesse horizontale, resteront donc constamment sur la même verticale s'ils partent en même temps du point C, et ils arriveront ensemble en C,

après un temps ^=7:1 / — • Ce temps est donc celui d'une

oscillation du pendule.

Ce résultat a été obtenu en supposant que les arcs décrits par le pendule sont assez petits pour se confondre avec leur corde ; il s'applique donc exclusivement aux amplitudes très petites, et il est justifié par les expériences que nous avons faites, car il montre : i^ que le temps des oscillations est indépendant de Tamplitude, pourvu qu'elle soit très petite; a*' qu'il reste constant, quels que soient la nature et le poids de la sphère oscillante, puisque ces quantités n'entrent pas dans la formule ; 3° qu'il est proportionnel à la racine carrée des longueurs. La formule nous montre de plus que t est en raison inverse de la racine carrée de g*, et, par conséquent, si nous avons mesuré la longueur / du pendule et la durée t d'une oscillation, nous pourrons calculer l'accélération de la pesanteur en. résolvant par rapport à g* (*) Téquation du pendule

simple

Mais, avant d'en venir là, essayons de montrer par l'expérience que le temps t est en raison inverse de la racine carrée de l'accélération.

(*) La détermination de g^ au moyen du pendule, a été proposée et essayée pour la première fois par Huygens. II trouva pour Paris environ 3o pieds et a pouces, soit 978''",93. Cette valeur ne diflere que de i'^^qG du nombre actuellement adopté.

PENDULE SIMPLE. ii5

YÉBIFIGATION DE LA FORMULE. — A cet effet, nous allons chercher à constituer un pendule qui soit sollicité, hon plus par son poids, qui produit une accélération g, mais par une force différente qui donnerait une accélération ^^ et nous aurons à vérifier la relation

-vî

Fixons aux extrémités d'une règle de sapin {Jig, 57), dont le poids soit assez petit pour être négligé dans une première approximation, deux fortes masses de plomb. Tune en A, de masse P, Tautre en B de masse P -hp- Supportons cette règle sur un plan par un couteau d'acier fixé en 0 au milieu de AB, et nous aurons un pendule complexe dont il est facile de calculer le mouvement.

Les poids des deux masses P, ayant une résultante unique qui passe par le centre 0, se font équilibre, et le système n'est sollicité que par le poids de la masse p qui agit sur la masse inférieure B, mais qui est employé à imprimer le même mouvement à deux pendules égaux en longueur OA et OB formés par les deux masses P et P -f-/?. C'est comme si une force unique, le poids de la masse P, était appliquée à un pendule unique de même longueur et de masse aP 4-/?. Par conséquent, l'accélération sera diminuée, comme dans la machine d'Atwood, dans le rapport de p à 2p +/?, et Ton aura

iV -i-p et, pour la durée des oscillations,

^■sT?

L Supposons P constant et égal à l'^s, et donnons successive

ment à p les valeurs

ii6 INSTRUMENTS DE MESURE.

g*' sera

et le temps des oscillations devra être égal à

c'est-à-dire que ces temps devront être 2, 3, 4 fois celui qui correspond au pendule simple de même longueur. Les expériences réussissent très facilement avec des appareils que chacun peut construire soi-même ; elles démontrent donc que, si l'accélération change, les temps varient en raison inverse de la racine carrée de cette accélération.

FORMULE fiÉHÉBALE DU PENDULE SIMPLE. — Nous arrivons maintenant à l'application que nous avons annoncée, celle qui a pour objet la mesure exacte de g. C'est là une opération d'une grande précision, et qui exige des soins fort minutieux. Il faut avant tout remarquer que la formule

n'est rigoureusement vraie que si les oscillations sont infiniment petites. Mais la Mécanique rationnelle fournit la valeur suivante du temp3 d'une oscillation, d'amplitude quelconque :

h représente la hauteur DB à laquelle s'élève le pendule dans chaque oscillation {^g- 57). On voit que le temps ^s'exprime au moyen d'une série qui est d'autant plus convergente que A est plus petit, et qui se réduit à l'unité quand il est négligeable ; dans ce cas, la formule générale reproduit celle que nous avons démontrée. Nous admettrons que, dans les expériences que nous allons faire, les amplitudes soient assez pe-